Giáo trình kỹ thuật điều khiển tự động cho ngành Điện Tử - Viễn Thông

LỜI NÓI ĐẦU
Kỹ thuật điều khiển là một lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt, bởi vì nó gắn liền với nhiều
ngành khoa học nghiên cứu về các hệ thống động rất đa dạng về bản chất, như
các hệ thống cơ khí, điện, điện tử, các q trình hóa học và sinh học, và cả các hệ
thống kinh tế, chính trị và xã hội. Vì vậy, phạm vi ứng dụng của kỹ thuật điều
khiển cũng rất rộng lớn, từ các lĩnh vực kỹ thuật như năng lượng điện, điện tử,
viễn thông, cơ khí... đến các vấn đề mang tính xã hội.
Kỹ thuật điều khiển sử dụng mơ hình tốn học của các hệ thống động trong
việc phân tích hành vi của hệ thống, trên cơ sở đó áp dụng các lý thuyết điều
khiển để xây dựng các bộ điều khiển nhằm làm cho hệ thống hoạt động như được
mong muốn. Lý thuyết điều khiển cổ điển tập trung vào các vấn đề của điều khiển
phản hồi. Mặc dù những cơ sở toán học của lý thuyết điều khiển phản hồi đã xuất
hiện từ thế kỷ 19 và nhất là trong những năm 1920-1940, như mơ hình phương
trình vi phân của các hệ thống động, lý thuyết về tính ổn định, các phương pháp
phân tích trong miền tần số..., những năm sau chiến tranh thế giới lần thứ hai cho
đến thập kỷ 60 của thế kỷ 20 mới được coi là giai đoạn phát triển thực sự của lý
thuyết điều khiển cổ điển với sự ra đời của các công cụ phân tích và thiết kế hệ
thống. Đặc điểm cơ bản của lý thuyết điều khiển cổ điển là việc sử dụng các
phương pháp trong miền tần số, dựa trên phép biến đổi Laplace. Chính do đặc
điểm đó nên lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ thích hợp cho các hệ thống tuyến
tính bất biến.
Thập kỷ 60 của thế kỷ 20 là thời điểm đánh dấu sự mở đầu của kỷ nguyên
không gian trong lịch sử của loài người. Kể từ đây, kỹ thuật điều khiển bước vào
một giai đoạn mới − giai đoạn phát triển của lý thuyết điều khiển hiện đại. Hai
khái niệm quan trọng nhất trong kỹ thuật điều khiển hiện đại là các phương pháp
trong miền thời gian và điều khiển số. Việc thiết kế các hệ thống điều khiển phi
tuyến phức tạp, ví dụ như hệ thống điều khiển quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo, vượt
quá khả năng của các phương pháp cổ điển. Các phương pháp trong miền thời
gian, sử dụng mơ hình biến trạng thái, đã vượt qua được những hạn chế của lý
thuyết điều khiển cổ điển khi đối mặt với các hệ thống phi tuyến. Với sự phát
triển mạnh mẽ của các lĩnh vực ứng dụng của điều khiển phi tuyến như trong kỹ

thuật hàng khơng vũ trụ hay robotics, vai trị của các phương pháp trong miền
thời gian cũng trở nên ngày càng chiếm ưu thế so với các phương pháp trong
miền tần số trong kỹ thuật điều khiển hiện đại. Ngày nay, thật khó tưởng tượng
việc xây dựng một hệ thống điều khiển nếu thiếu đi máy tính hay các bộ vi điều
khiển. Các lý thuyết của điều khiển số gắn liền với sự ra đời của máy tính, và
cùng với sự phổ biến ngày càng rộng rãi của các hệ thống điều khiển sử dụng
máy tính, điều khiển số đã trở thành lĩnh vực quan trọng hàng đầu của kỹ thuật
điều khiển. Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển hiện đại còn quan tâm tới những vấn đề
như điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu, do các hệ thống cần điều khiển
ngày càng trở nên phức tạp, không thể mơ hình hóa được một cách chính xác, và
do tính hiệu quả đối với nhiều hệ thống điều khiển hiện đại được xem là chỉ tiêu
chất lượng quan trọng nhất.
1


Cuốn sách này được biên soạn với mục đích làm tài liệu giáo khoa nhập môn
kỹ thuật điều khiển cho sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật. Phần lớn nội dung
của sách được biên soạn dựa trên hai cuốn sách được chọn làm giáo trình chính
cho mơn học kỹ thuật điều khiển bậc đại học tại nhiều trường đại học lớn trên thế
giới là Modern Control Systems của Richard C. Dorf và Feedback Control of
Dynamic Systems của Gene F. Franklin et al. Tài liệu này đã được duyệt đưa vào
giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Điện tử - Viễn thông tại trường Đại học
Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội. Các lý thuyết điều khiển được giới thiệu ở
đây là những lý thuyết chung, có thể áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau chứ
không thiên về một chuyên ngành nào. Nội dung của sách sẽ chỉ giới hạn trong
phạm vi các vấn đề của điều khiển các hệ thống tuyến tính bất biến. Giới hạn đó
là cần thiết đối với môn học đầu tiên của kỹ thuật điều khiển, nhằm tránh cho
sinh viên khỏi bị choáng ngợp trước quá nhiều vấn đề khi mới bắt đầu làm quen
với lĩnh vực này. Nội dung lý thuyết trong sách được chia làm ba phần chính: các
mơ hình tốn học của hệ thống động (Chương II, III), phân tích (Chương IV đến

IX) và thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi (Chương X, XI). Do đối tượng
nghiên cứu là các hệ thống tuyến tính bất biến, phần lớn nội dung lý thuyết trong
sách sẽ là lý thuyết điều khiển cổ điển, bao gồm: mơ hình hàm chuyển dựa trên
phép biến đổi Laplace (Chương II), phương pháp Routh-Hurwitz phân tích tính
ổn định của hệ thống trong miền tần số (Chương VI), phương pháp quỹ tích
nghiệm (Chương VII), các phương pháp dựa trên đáp ứng tần số (Chương VIII,
IX), và các phương pháp thiết kế trong miền tần số (Chương X). Để giúp sinh
viên bước đầu tiếp cận với một số khái niệm của lý thuyết điều khiển hiện đại,
cuốn sách có đưa ra giới thiệu một số nội dung về mô hình biến trạng thái
(Chương III), các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống dựa trên mơ hình
biến trạng thái (một phần chương VI và toàn bộ chương XI) và điều khiển số
(Chương XII). Mặc dù việc đặt các khái niệm này vào trong khuôn khổ của các
hệ thống tuyến tính bất biến khơng làm nổi lên được sự ưu việt của các công cụ
hiện đại so với các công cụ cổ điển cũng như các vấn đề của kỹ thuật điều khiển
hiện đại, việc giới thiệu chúng vẫn là tiền đề cần thiết cho các môn tiếp theo
trong hệ thống môn học của kỹ thuật điều khiển mà nội dung sẽ bao gồm các lĩnh
vực của kỹ thuật điều khiển hiện đại như điều khiển số, điều khiển phi tuyến,
điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu.
Một phần rất quan trọng thường có trong các mơn học về kỹ thuật điều khiển
là giới thiệu cho sinh viên các cơng cụ phân tích, thiết kế và mơ phỏng hệ thống
điều khiển trên máy tính. Điều đó sẽ giúp mơn học trở nên lý thú hơn và có tính
thực tiễn cao hơn. Trong cuốn sách này này, phần mềm MATLAB của hãng
MathWorks và bộ chương trình Control System Toolbox của MATLAB được
chọn làm công cụ thực hành. MATLAB là bộ phần mềm tính tốn phục vụ cho
nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau, vì vậy phần lớn sinh viên các chuyên ngành
kỹ thuật đều quen thuộc với MATLAB. Bộ chương trình cơng cụ Control System
Toolbox được xây dựng trong mơi trường MATLAB như một cơng cụ phân tích,
thiết kế và mơ phỏng các hệ thống tuyến tính bất biến, sử dụng các phương pháp
trong miền tần số và cả các phương pháp trong miền thời gian. Như vậy, bộ công
cụ phần mềm này rất phù hợp với nội dung của cuốn sách.

2


Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp tại Khoa Điện tử Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, đặc biệt là Giáo sư Huỳnh Hữu Tuệ và
Tiến sỹ Trần Quang Vinh, đã giúp đỡ tác giả hồn thành cuốn sách này. Mọi ý
kiến đóng góp về nội dung của sách, xin gửi về cho tác giả tại Bộ môn Xử lý
thông tin, Khoa Điện tử - Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc
gia Hà Nội.

3


MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU............................................................................................1
CHƯƠNG I. GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN ..................7
1.1. Giới thiệu......................................................................................................... 7
1.2. Lịch sử của điều khiển tự động ....................................................................... 9
1.3. Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại .................................................... 11
CHƯƠNG II. MÔ HÌNH TỐN HỌC CỦA HỆ THỐNG...........................15
2.1. Giới thiệu....................................................................................................... 15
2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý ............................................... 16
2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý ..................................................... 18
2.4. Biến đổi Laplace ........................................................................................... 20
2.5. Hàm chuyển của các hệ thống tuyến tính ..................................................... 25
2.6. Mơ hình sơ đồ khối ....................................................................................... 30
2.7. Mơ hình lưu đồ tín hiệu................................................................................. 34
CHƯƠNG III. CÁC MƠ HÌNH BIẾN TRẠNG THÁI .................................44
3.1. Giới thiệu....................................................................................................... 44
3.2. Biến trạng thái của một hệ thống động ......................................................... 45

3.3. Phương trình vi phân của vector trạng thái ................................................... 47
3.4. Đáp ứng theo thời gian rời rạc ...................................................................... 50
CHƯƠNG IV. ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN
HỒI .........................................................................................................53
4.1. Hệ thống điều khiển vòng hở và vịng kín .................................................... 53
4.2. Độ nhạy của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số ..... 54
4.3. Điều khiển đáp ứng nhất thời........................................................................ 57
4.4. Tín hiệu nhiễu trong hệ thống điều khiển phản hồi ...................................... 59
4.5. Sai số ở trạng thái thường trực ...................................................................... 62
CHƯƠNG V. HIỆU SUẤT CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN
HỒI .........................................................................................................66
5.1. Giới thiệu....................................................................................................... 66
5.2. Mô tả hiệu suất trong miền thời gian ............................................................ 67
5.3. Chỉ số hiệu suất ............................................................................................. 74
4


5.4. Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống điều khiển phản hồi................ 76
CHƯƠNG VI. TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THỐNG PHẢN HỒI TUYẾN
TÍNH .......................................................................................................80
6.1. Khái niệm về tính ổn định............................................................................. 80
6.2. Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz................................................................. 81
6.3. Tính ổn định của hệ thống trong miền thời gian........................................... 84
6.4. Tính ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển phản hồi ..................... 86
CHƯƠNG VII. PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM ...........................88
7.1. Giới thiệu....................................................................................................... 88
7.2. Khái niệm quỹ tích nghiệm ........................................................................... 88
7.3. Phương pháp quỹ tích nghiệm ...................................................................... 91
7.4. Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm .................................. 94
7.5. Độ nhạy và quỹ tích nghiệm ......................................................................... 95

CHƯƠNG VIII. CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ ...................99
8.1. Giới thiệu....................................................................................................... 99
8.2. Đồ thị của đáp ứng tần số............................................................................ 101
8.3. Mô tả hiệu suất trong miền tần số ............................................................... 108
CHƯƠNG IX. TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................113
9.1. Giới thiệu..................................................................................................... 113
9.2. Ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng s.............................................. 114
9.3. Điều kiện Nyquist ....................................................................................... 117
9.4. Tính ổn định tương đối và điều kiện Nyquist ............................................. 120
9.5. Đáp ứng tần số của hệ thống vịng kín........................................................ 126
9.6. Tính ổn định của hệ thống điều khiển với trễ ............................................. 129
CHƯƠNG X. THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
TRONG MIỀN TẦN SỐ ........................................................................132
10.1. Giới thiệu................................................................................................... 132
10.2. Các phương pháp bù ................................................................................. 133
10.3. Các mạch bù nối tiếp................................................................................. 134
10.4. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha ............................................. 140
10.5. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha .......................................... 144
10.6. Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân ................................................. 146

5


10.7. Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha ........................................ 149
10.8. Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha ........................................... 151
10.9. Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID ......................................... 153
CHƯƠNG XI. THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI ..................................................157
11.1. Giới thiệu................................................................................................... 157
11.2. Tính điều khiển được và tính quan sát được ............................................. 158

11.3. Sự triệt tiêu điểm cực-điểm khơng............................................................ 161
11.4. Các phương trình biến trạng thái tương đương......................................... 163
11.5. Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái ..................................................... 164
11.6. Điều khiển tối ưu bậc hai .......................................................................... 169
CHƯƠNG XII. HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ .......................................173
12.1. Giới thiệu................................................................................................... 173
12.2. Hệ thống lấy mẫu ...................................................................................... 174
12.3. Biến đổi z................................................................................................... 175
12.4. Biến đổi z nghịch....................................................................................... 179
12.5. Phân tích tính ổn định của hệ thống trong mặt phẳng z ............................ 180
12.6. Tính ổn định và hiệu suất của hệ thống lấy mẫu bậc hai .......................... 182
PHỤ LỤC A. GIỚI THIỆU MATLAB VÀ BỘ CHƯƠNG TRÌNH CONTROL
SYSTEM TOOLBOX CỦA MATLAB .....................................................185
A.1. Giới thiệu.................................................................................................... 185
A.2. Sử dụng MATLAB..................................................................................... 186
A.3. Thiết lập các mơ hình hệ thống bằng Control System Toolbox................. 194
A.4. Phân tích mơ hình....................................................................................... 201
A.5. Thiết kế hệ thống điều khiển ...................................................................... 203
TÀI LIỆU THAM KHẢO .........................................................................206

6


Chương I
GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN
Tóm tắt nội dung
Mục đích của chương là giới thiệu một cách khái quát về các phương pháp thiết
kế và xây dựng hệ thống điều khiển.
Để hiểu được mục đích của hệ thống điều khiển, chúng ta sẽ xem xét các ví
dụ về các hệ thống điều khiển trong lịch sử phát triển của lồi người. Thậm chí cả

những hệ thống xuất hiện sớm nhất cũng đã bao gồm ý tưởng về phản hồi, một
khái niệm có ý nghĩa trung tâm đối với toàn bộ cuốn sách này.
Ứng dụng của kỹ thuật điều khiển hiện đại bao gồm việc sử dụng các chiến
lược điều khiển cho các thiết bị trong nhiều lĩnh vực như hàng không, công
nghiệp luyện kim, y học... Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới nhiều ứng
dụng thú vị của kỹ thuật điều khiển.
1.1. Giới thiệu
Nhiệm vụ của các kỹ sư điều khiển là hiểu rõ và điều khiển các thành phần của
môi trường làm việc, thường được gọi là các hệ thống, nhằm tạo ra những sản
phẩm có ích cho xã hội. Để có thể điều khiển một cách hữu hiệu, các hệ thống
cần điều khiển phải được mơ hình hóa, vì vậy sự hiểu biết bản chất và nguyên lý
hoạt động của các hệ thống là vô cùng quan trọng. Trong thực tế, kỹ thuật điều
khiển còn được áp dụng cho những hệ thống mà hoạt động của chúng chưa được
lý giải hồn tồn, ví dụ như một số quy trình hóa học. Thách thức đối với kỹ
thuật điều khiển ngày nay là mơ hình hóa và điều khiển các hệ thống hiện đại,
phức tạp, có nhiều quan hệ tương hỗ, như các hệ thống điều khiển giao thơng,
các q trình hóa học, hay các hệ thống robot... Tuy nhiên, lĩnh vực lớn nhất của
kỹ thuật điều khiển vẫn là các hệ thống tự động hóa cơng nghiệp, một lĩnh vực đã
và đang phát triển mạnh mẽ, mang lại nhiều lợi ích cho nền kinh tế và xã hội.
Lý thuyết điều khiển dựa trên các nền tảng của lý thuyết phản hồi và phân
tích hệ thống tuyến tính, kết hợp các khái niệm của mạng truyền dữ liệu và lý
thuyết truyền thơng. Vì vậy, phạm vi của kỹ thuật điều khiển không hạn chế
trong một ngành kỹ thuật cụ thể nào mà có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác
nhau như hàng khơng, hóa học, cơ học, môi trường, xây dựng, điện và điện tử...
Ví dụ, chúng ta thường gặp các hệ thống điều khiển trong đó bao gồm các bộ
phận điện, cơ học và cả hóa học. Ngồi ra, những kiến thức ngày càng tăng về
động lực của các hệ thống chính trị, xã hội và thương mại cho phép mở ra khả
năng ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong các hệ thống như vậy.
Một hệ thống điều khiển (control system) là một liên kết của nhiều thành
phần, tạo nên một cấu hình hệ thống có khả năng đáp ứng một u cầu nhất định.

Cơ sở để thực hiện việc phân tích một hệ thống là kiến thức nền tảng cung cấp
bởi lý thuyết hệ thống tuyến tính, trong đó giả thiết mối quan hệ giữa các thành

7


phần của hệ thống là mối quan hệ nhân-quả. Một thành phần hay q trình
(process) cần được điều khiển có thể biểu diễn bằng một khối có đầu vào và đầu
ra (Hình 1.1). Quan hệ vào-ra thể hiện mối quan hệ nhân-quả của q trình, trong
đó tín hiệu vào được xử lý nhằm tạo ra một tín hiệu ra, thường là với công suất
đã được khuyếch đại. Một hệ thống điều khiển kiểu vòng hở (open-loop) sử dụng
một bộ điều khiển nhằm điều khiển một quá trình đáp ứng một yêu cầu xác định
trước được thể hiện trong Hình 1.2.
Vào

Quá trình

Ra

Hình 1.1. Quá trình cần điều khiển

Trái với các hệ thống điều khiển vòng hở, một hệ thống điều khiển kiểu vịng
kín (closed-loop) sử dụng thêm một giá trị đo của tín hiệu ra thực sự để so sánh
với đáp ứng đầu ra được mong muốn cho quá trình cần điều khiển. Giá trị đo này
được gọi là tín hiệu phản hồi (feedback signal). Sơ đồ của một hệ thống điều
khiển phản hồi kiểu vịng kín được thể hiện trong Hình 1.3.
Đáp ứng
mong muốn

Bộ điều

khiển

Quá trình

Ra

Hình 1.2. Hệ thống điều khiển vòng hở

Định nghĩa: một hệ thống điều khiển phản hồi là một hệ thống điều khiển có
khuynh hướng duy trì một mối quan hệ được định trước giữa các giá trị biến
thiên của hệ thống bằng các phép so sánh giữa các giá trị này, sử dụng sự sai
khác như một phương thức điều khiển.
Đáp ứng
mong muốn

So sánh

Bộ điều
khiển

Quá trình

Ra

Hệ đo
Hình 1.3. Hệ thống điều khiển phản hồi kiểu vịng kín

Hệ thống điều khiển phản hồi thường sử dụng hàm mô tả một mối quan hệ
xác định trước giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào đối sánh để điều khiển q trình.
Thường thì sự sai khác giữa tín hiệu ra của q trình và tín hiệu vào đối sánh

được khuyếch đại và sử dụng để điều khiển quá trình sao cho sự sai khác liên tục
giảm. Khái niệm phản hồi được coi là nền tảng cho việc phân tích và thiết kế các
hệ thống điều khiển.
Do sự phức tạp của các hệ thống cần điều khiển ngày càng lớn và việc đạt
được hiệu suất tối ưu của các hệ thống ngày càng được quan tâm, tầm quan trọng
của kỹ thuật điều khiển đã và đang gia tăng một cách nhanh chóng. Khi các hệ
thống trở nên phức tạp, chúng ta cần xem xét tới mối quan hệ giữa nhiều biến cần
điều khiển của hệ thống. Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống điều
khiển đa biến (multi-variable control system hay còn gọi là MIMO − multiple8


input multiple-output), để phân biệt với các hệ thống đơn biến (SISO − singleinput single-output). Mơ hình một hệ thống điều khiển đa biến được biểu diễn
trong Hình 1.4.
Đáp ứng
mong muốn

So sánh

Bộ điều
khiển

Quá trình

Các
giá trị
ra

Hệ đo
Hình 1.4. Hệ thống điều khiển đa biến

1.2. Lịch sử của điều khiển tự động
Ứng dụng phản hồi để điều khiển một hệ thống có q trình lịch sử vơ cùng lý
thú. Những ứng dụng đầu tiên của điều khiển phản hồi xuất hiện cùng với sự phát
triển các cơ cấu điều chỉnh dùng phao nổi của người Hy Lạp trong giai đoạn 300
B.C. đến 1 B.C., ví dụ như chiếc đồng hồ nước của Ktesibios. Vào khoảng năm
250 B.C., Philon sáng chế ra một loại đèn dầu, sử dụng một phao nổi để khống
chế sao cho mực dầu trong đèn luôn ở một mức cố định. Tại thành phố
Alexandria của Ai Cập vào thế kỷ đầu tiên sau công nguyên, một tác giả tên là
Heron đã viết một cuốn sách mang tiêu đề Pneumatica, trong đó mơ tả vài dạng
cơ cấu điều khiển mức nước sử dụng phao nổi.
Hệ thống phản hồi đầu tiên được phát minh ở châu Âu là thiết bị khống chế
nhiệt độ của Cornelis Drebbel (1572 – 1633) ở Hà Lan. Dennis Papin (1647 –
1712) phát minh ra thiết bị điều chỉnh áp suất cho nồi hơi vào năm 1681. Đây là
một dạng thiết bị an toàn, tương tự như van an toàn của nồi áp suất.
Thiết bị điều khiển phản hồi tự động đầu tiên được sử dụng trong một hệ
thống công nghiệp được ghi nhận là thiết bị điều tốc do James Watt phát triển
vào năm 1769, dùng để điều khiển tốc độ của động cơ hơi nước.

Hình 1.5. Thiết bị điều tốc bằng các quả cầu (flyball governor) của James Watt

Theo người Nga thì hệ thống phản hồi đầu tiên là một thiết bị điều chỉnh mức
nước, do I. Polzunov phát minh vào năm 1765. Thiết bị này đo mức nước trong
nồi hơi và điều khiển việc đóng mở van cấp nước.
Giai đoạn trước 1868, sự phát triển các hệ thống điều khiển tự động cịn mang
tính trực giác. Các nỗ lực nhằm tăng độ chính xác của các hệ thống điều khiển
9


dẫn đến làm chậm sự suy giảm của các dao động nhất thời, thậm chí làm hệ
thống trở nên khơng ổn định. Điều đó dẫn đến sự cấp thiết phải phát triển một lý

thuyết về điều khiển tự động. Vào năm 1868, J.C. Maxwell là người đã thiết lập
một lý thuyết toán học liên quan tới lý thuyết điều khiển, sử dụng mơ hình
phương trình vi phân để giải thích các vấn đề về tính thiếu ổn định mà thiết bị
điều tốc của James Watt gặp phải. Nghiên cứu của Maxwell quan tâm tới ảnh
hưởng của các tham số của hệ thống tới hiệu suất của hệ thống. Cũng trong
khoảng thời gian đó, nhà khoa học Nga I.A. Vyshnegradskii đã thiết lập một lý
thuyết toán học về các thiết bị điều chỉnh.
Từ giai đoạn trước chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết và kỹ thuật điều khiển
phát triển theo hai xu hướng khác nhau. Tại Mỹ và Tây Âu, một trong những
động lực chính thúc đẩy các ứng dụng của phản hồi là sự phát triển các hệ thống
điện thoại và các bộ khuyếch đại phản hồi điện tử, thực hiện bởi Bode, Nyquist
và Black tại Bell Telephone Laboratories (Bell Labs – thành lập bởi AT&T vào
năm 1925, từ năm 1996 trở thành một bộ phận của Lucent Technologies). Đặc
trưng của xu hướng này là sử dụng các phương pháp trong miền tần số, chủ yếu
để mô tả hoạt động của các bộ khuyếch đại phản hồi bằng các biến tần số như dải
thông. Xu hướng thứ hai diễn ra ở Liên bang Xô viết, nơi mà lý thuyết điều khiển
là lĩnh vực thống lĩnh bởi nhiều nhà toán học và cơ học ứng dụng danh tiếng. Vì
vậy, lý thuyết điều khiển Xô viết đi theo hướng dùng các mơ hình tốn học trong
miền thời gian, sử dụng các phương trình vi phân.
Một động lực to lớn có tác dụng thúc đẩy sự phát triển về lý thuyết cũng như
ứng dụng của điều khiển tự động xuất hiện trong thời gian diễn ra chiến tranh thế
giới thứ II, do sự cần thiết phải thiết kế và chế tạo các hệ thống lái tự động cho
máy bay, ngắm bắn tự động, điều khiển anten của radar, cùng nhiều hệ thống
thiết bị quân sự khác dựa trên phương thức điều khiển phản hồi. Sự phức tạp và
hiệu suất được mong đợi của các hệ thống thiết bị quân sự này đòi hỏi phải mở
rộng các kỹ thuật điều khiển đã có và thúc đẩy sự quan tâm tới các hệ thống điều
khiển cũng như sự phát triển các lý thuyết và phương pháp mới. Cho tới năm
1940, trong hầu hết các trường hợp, việc thiết kế các hệ thống điều khiển là một
nghệ thuật theo phương pháp thử-và-sai. Trong những năm của thập kỷ 1940s,
các phương pháp toán học và phân tích đã tăng cả về số lượng và tính hữu dụng,

giúp kỹ thuật điều khiển trở thành một ngành kỹ thuật độc lập.
Các kỹ thuật trong miền tần số thống trị lĩnh vực điều khiển sau chiến tranh
thế giới thứ II với ứng dụng ngày càng phổ biến của phương pháp biến đổi
Laplace và mặt phẳng tần số phức. Vào những năm 1950s, trọng tâm của lý
thuyết điều khiển là sự phát triển và ứng dụng của các phương pháp mặt phẳng s
và đặc biệt là phương pháp quỹ tích nghiệm. Đến những năm 1980s, việc sử dụng
máy tính số cho các bộ phận điều khiển trở nên phổ biến. Những phần tử điều
khiển sử dụng máy tính này có khả năng tính tốn một cách nhanh chóng và
chính xác, điều đó trước kia nằm ngồi khả năng của các kỹ sư điều khiển. Ngày
nay, máy tính là khơng thể thiếu trong các hệ điều khiển ở đó rất nhiều biến của
hệ thống cần được đo đạc và điều khiển cùng một lúc.
Với sự mở đầu kỷ nguyên không gian, một động lực nữa của kỹ thuật điều
khiển xuất hiện, đó là sự cần thiết phải thiết kế các hệ thống điều khiển vô cùng
10


phức tạp và có độ chính xác cao cho các hệ thống tên lửa và thăm dị khơng gian.
Thêm nữa, sự cần thiết phải giảm tới mức tối thiểu trọng lượng của các vệ tinh và
điều khiển chúng một cách chính xác đã khai sinh một lĩnh vực quan trọng: điều
khiển tối ưu. Do những yêu cầu đó, các phương pháp trong miền thời gian của
Lyapunov, Minorsky và một số nhà khoa học khác ngày càng được quan tâm.
Ngoài ra, những lý thuyết về điều khiển tối ưu được phát triển bởi L.S.
Pontryagin (Nga) và R. Bellman (Mỹ) cũng là những chủ đề được quan tâm.
1.3. Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại
Điều khiển phản hồi là một yếu tố quan trọng trong nền công nghiệp cũng như
trong đời sống xã hội hiện đại. Điều khiển ô tơ là một ví dụ. Lái xe là một cơng
việc nhẹ nhàng khi chiếc ô tô đáp ứng một cách nhanh chóng những lệnh của
người lái. Những chiếc ơ tơ hiện đại có bộ phận trợ lực tay lái và phanh, sử dụng
các bộ khuyếch đại thủy lực để khuyếch đại lực do người lái xe tác động lên tay
lái và phanh. Sơ đồ khối đơn giản của một hệ thống điều khiển tay lái ô tô được

thể hiện trong Hình 1.6. Hướng lái người lái xe mong muốn được so sánh với giá
trị đo của hướng chuyển động thực sự của xe để sinh ra một giá trị đo độ sai lệch.
Hướng chuyển động thực sự của xe được cảm nhận bởi bản thân người lái xe,
bằng trực giác và cảm giác về độ nghiêng của cơ thể. Ngoài ra cịn có một thơng
tin phản hồi nữa là cảm giác tay lái của người lái xe. Các hệ thống điều khiển lái
của tàu thủy hay máy bay cũng có nguyên lý tương tự. Tất cả các hệ thống đó
hoạt động theo một quy trình vịng kín, được biểu diễn trong Hình 1.7. Tín hiệu
ra mong muốn và tín hiệu ra thực sự được so sánh và sự sai khác sẽ được
khuyếch đại bằng một bộ khuyếch đại công suất. Tín hiệu ra từ bộ khuyếch đại sẽ
khiến bộ phận chấp hành điều chỉnh quá trình nhằm làm giảm sai lệch nói trên.
Ví dụ, khi một chiếc tàu thủy hướng quá sang bên phải, bánh lái của tàu sẽ được
điều chỉnh để lái tàu về bên trái. Hệ thống biểu diễn trong Hình 1.7 là một hệ
thống điều khiển phản hồi âm, vì tín hiệu ra bị trừ vào tín hiệu vào và sự sai khác
đó được sử dụng làm tín hiệu vào cho bộ khuyếch đại.
Cảm giác tay lái
Hướng
mong
muốn

_
+
_

Sai
lệch

Lái xe

Cơ cấu
lái

Ơ tơ

Hướng
thực sự

Cảm nhận của lái xe
(trực giác, xúc giác)
Hình 1.6. Hệ thống điều khiển tay lái ơ tơ

Các hệ thống điều khiển quen thuộc với chúng ta cũng có những phần tử cơ
bản như hệ thống trong Hình 1.7. Ở một hệ thống điều chỉnh mức chất lỏng trong
bể chứa bằng tay, tín hiệu vào là một mức chất lỏng người vận hành được lệnh
phải duy trì (và được ghi nhớ bởi người vận hành), bộ khuyếch đại công suất là
bản thân người vận hành và bộ cảm biến là trực giác của người vận hành. Bộ
phận chấp hành là một van mà người điều khiển phải đóng hay mở để điều chỉnh
11


mức chất lỏng trong bể. Một ví dụ nữa rất quen thuộc với cuộc sống của chúng ta
là chiếc tủ lạnh. Người sử dụng có thể đặt một mức nhiệt độ mong muốn, một
nhiệt kế sẽ đo nhiệt độ thực sự trong tủ lạnh và độ sai lệch của nhiệt độ thực sự
với nhiệt độ mong muốn, còn động cơ nén khí của tủ lạnh đóng vai trị của bộ
khuyếch đại cơng suất.
Tín hiệu
vào hay
đối sánh

+
_

Khuyếch
đại

Cơ cấu
chấp hành

Q trình

Tín
hiệu ra

Hệ đo
Hình 1.7. Một hệ thống điều khiển vịng kín cơ bản

Tự động hóa được định nghĩa như một cơng nghệ trong đó các mệnh lệnh đã
được lập trình được sử dụng để vận hành một quá trình nhất định, và được kết
hợp với sự phản hồi thông tin để xác định xem các mệnh lệnh đó có được thực
hiện một cách đúng đắn hay khơng. Tự động hóa thường được áp dụng cho các
quá trình vốn đã được vận hành bởi con người. Khi được tự động hóa, q trình
có thể vận hành mà không cần tới sự trợ giúp hay can thiệp của con người. Trong
thực tế, phần lớn các hệ thống tự động có khả năng thực hiện các chức năng của
chúng với độ chính xác cao hơn và tốn ít thời gian hơn so với khả năng con
người có thể làm được.
Một trong những lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa là robotics. Robot là
những thiết bị tự động được điều khiển bằng máy tính. Robot công nghiệp là một
lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa, trong đó các thiết bị tự động (robot) được thiết
kế để thay thế lao động của con người. Để làm được điều đó, robot cần phải
mang một số những đặc tính tương tự như con người. Một trong những thiết bị
có đặc tính tương tự con người được sử dụng phổ biến nhất là các cánh tay máy,

thiết bị chấp hành cơ khí có cấu trúc phỏng theo cánh tay và cổ tay của con
người.
Một ứng dụng rất quan trọng của công nghệ điều khiển là các bộ phận điều
khiển trong ô tô hiện đại: các hệ thống điều khiển cho giảm xóc, trợ lái, điều
khiển hiệu suất làm việc của động cơ, hay các hệ thống lái bốn bánh, điều khiển
chống trượt...
Người ta hay nói đến khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn trong kỹ thuật
điều khiển. Cũng giống như nhiều ngành khác, trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật
điều khiển lý thuyết đã đi trước ứng dụng khá xa. Tuy nhiên, có một lĩnh vực mà
khoảng cách này là khơng đáng kể, đó là trong cơng nghiệp năng lượng điện.
Ngành năng lượng điện chủ yếu bao gồm các lĩnh vực chuyển hóa năng lượng
thành điện năng, kiểm soát và phân phối. Các hệ thống điều khiển bằng máy tính
đã được sử dụng để tăng tính hiệu quả trong việc sử dụng các nguồn năng lượng.
Ngoài ra, việc kiểm soát lượng chất thải của các nhà máy điện để giảm thiểu ô
nhiễm đã trở thành một vấn đề vô cùng quan trọng. Các nhà máy điện hiện đại
với công suất lớn tới hàng trăm megawatts cần những hệ thống điều khiển tự

12


động chịu trách nhiệm về các mối quan hệ giữa các biến của tồn bộ q trình và
thực hiện việc tối ưu hóa q trình sản xuất điện năng. Một q trình như vậy có
thể có tới hơn 90 biến đặt dưới một sự điều khiển thống nhất. Ví dụ, để điều
khiển hoạt động của lò hơi, hệ thống cần đo các giá trị biến thiên như nhiệt độ, áp
suất, nồng độ ơxy... và cung cấp cho máy tính thực hiện việc tính tốn. Sơ đồ
khối của một hệ thống điều khiển bằng máy tính được biểu diễn trong Hình 1.8.
Ngành công nghiệp năng lượng điện đã sử dụng được nhiều khía cạnh hiện đại
của kỹ thuật điều khiển vào những ứng dụng có ý nghĩa quan trọng. Bài học của
ngành công nghiệp năng lượng điện cho thấy, yếu tố làm duy trì khoảng cánh
giữa lý thuyết và ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong nhiều lĩnh vực là việc

thiếu những thiết bị dùng để đo đạc tất cả các biến quan trọng của các quá trình,
bao gồm cả chất lượng và thành phần của sản phẩm. Khi những thiết bị này trở
nên sẵn có, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển hiện đại vào các hệ thống cơng
nghiệp sẽ tăng lên nhanh chóng.
Tín hiệu
đối sánh

+

Máy tính
_

Cơ cấu
chấp hành

Q trình

Tín hiệu
ra

Hệ đo
Hình 1.8. Một hệ thống điều khiển bằng máy tính

Ứng dụng của khái niệm điều khiển phản hồi đã và đang xuất hiện trong rất
nhiều lĩnh vực như điều khiển tự động việc tàng trữ hàng hóa, các hệ thống tự
động hóa trong nơng nghiệp, các hệ thống sưởi ấm và làm lạnh sử dụng năng
lượng mặt trời, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển trong các lĩnh vực y-sinh
học như thí nghiệm, chẩn đốn, cấy ghép bộ phận giả và các hệ thống điều khiển
sinh học.
Cuối cùng, một lĩnh vực đang thu hút nhiều sự quan tâm là mơ hình hóa các

q trình phản hồi phổ biến trong các hệ thống xã hội, kinh tế và chính trị. Các
mơ hình như vậy rất có ích cho việc tìm hiểu, giải thích và dự đốn các hoạt động
của các hệ thống này, ví dụ như để đánh giá tác động của sự điều tiết và chi tiêu
của nhà nước tới các hoạt động của hệ thống kinh tế.
Bài tập
Bài 1.1. Một nguồn phát laser có thể điều khiển mức năng lượng của ánh sáng
phát ra bao gồm các bộ phận sau: một laser được điều khiển bởi một dòng điện
vào để phát ra năng lượng dưới dạng ánh sáng, một bộ vi điều khiển có chức
năng điều khiển dòng điện cấp cho laser và một cảm biến. Vi xử lý so sánh mức
năng lượng được mong muốn với một tín hiệu từ bộ cảm biến tỷ lệ với năng
lượng thực sự đang phát ra của nguồn laser. Vẽ sơ đồ khối của hệ thống điều
khiển vòng kín đó.
Bài 1.2. Vẽ sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống điều khiển phản hồi mô tả việc
điều khiển tốc độ của xe ô tô bởi người lái xe.

13


Bài 1.3. Một máy ảnh tự động sử dụng laser hay siêu âm để xác định khoảng
cách tới đối tượng được chụp và tự điều chỉnh tiêu cự của ống kính cho phù hợp.
Vẽ sơ đồ khối của hệ thống.
Bài 1.4. Chúng ta có thể coi việc tắm như là điều khiển một q trình có hai lối
vào là đường nước nóng và đường nước lạnh với lưu lượng được điều khiển bởi
hai van độc lập với nhau. Mục đích của việc điều khiển lượng nước vào mỗi
đường là để nước ở phun ra ở vịi tắm có lưu lượng và nhiệt độ như mong muốn.
Vẽ sơ đồ khối của hệ thống vịng kín.
Bài 1.5. Một người lính dừng chân hàng ngày bên cạnh một cửa hiệu trên đường
tới doanh trại và chỉnh đồng hồ đeo tay của anh ta theo đồng hồ treo tại cửa hiệu
vào đúng 9 giờ sáng mỗi ngày. Một ngày, anh ta bước vào cửa hiệu và khen ngợi
tính chính xác của chiếc đồng hồ tại cửa hiệu với người chủ cửa hiệu. Ông ta trả

lời rằng ông chỉnh chiếc đồng hồ hàng ngày vào lúc 5 giờ chiều theo tiếng đại
bác chào cờ tại doanh trại qn đội. Người lính nói, anh ta là một pháo thủ và
chính anh ta là người bắn phát đại bác vào lúc 5 giờ chiều mỗi ngày đó.
Thơng tin phản hồi trong trường hợp này là phản hồi âm hay dương? Giả sử
cứ sau 24 giờ chạy liên tục, chiếc đồng hồ tại cửa hiệu sẽ bị chậm một phút và
chiếc đồng hồ của người lính sẽ bị chậm ba phút, sai lệch về thời gian của phát
đại bác sau 15 ngày sẽ là bao nhiêu?

14


Chương II
MƠ HÌNH TỐN HỌC CỦA HỆ THỐNG
Tóm tắt nội dung
Để phân tích và thiết kế các hệ thống điều khiển, cần phải có được mơ hình tốn
học định lượng của những hệ thống này. Chúng ta sẽ xem xét nhiều loại hệ thống
khác nhau như các hệ thống cơ học hay điện, cùng với các phương trình vi phân
được sử dụng để mô tả động lực của những hệ thống này. Để có thể giải các
phương trình vi phân bằng cách sử dụng phương pháp biến đổi Laplace, trước hết
cần phải thiết lập các phương pháp xây dựng các mơ hình tuyến tính cho các
thành phần của mỗi hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể kết hợp tất cả các phương
trình vi phân mơ tả một hệ thống và thực hiện phép biến đổi Laplace cho những
phương trình này.
Phần tiếp theo của chương mô tả phương thức biểu diễn các mối quan hệ vàora giữa các thành phần hay hệ thống con dưới dạng hàm chuyển. Tập hợp các
hàm chuyển thể hiện các bộ phận liên kết với nhau của một hệ thống có thể biểu
diễn được bằng mơ hình sơ đồ khối hoặc đồ thị dịng tín hiệu. Các phương pháp
phân tích được sử dụng để thiết lập các phương trình cho các biến ra của một hệ
thống điều khiển với một số dạng tín hiệu vào chọn lọc.
2.1. Giới thiệu
Để hiểu và điều khiển các hệ thống phức tạp, cần phải thiết lập được các mô hình

tốn học định tính của những hệ thống này. Mơ hình tốn học được thiết lập dựa
trên sự phân tích các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống. Bởi vì các hệ thống
chúng ta cần quan tâm là những hệ thống động về bản chất, người ta thường dùng
các phương trình vi phân để mơ tả chúng. Nếu những phương trình đó có thể
được tuyến tính hóa, phương pháp biến đổi Laplace có thể được sử dụng để đơn
giản hóa việc giải chúng. Trong thực tế, do sự phức tạp của hệ thống và do nhiều
yếu tố có liên quan không được xác định, chúng ta phải sử dụng đến các giả thiết
về hệ thống. Vì vậy, khi nghiên cứu các hệ thống vật lý, cần phải đưa ra được
những giả thiết cần thiết để tuyến tính hóa hệ thống. Khi đó, chúng ta có thể sử
dụng các định luật vật lý mơ tả hệ thống tuyến tính để thiết lập được một hệ
phương trình vi phân tuyến tính. Cuối cùng, các cơng cụ tốn học, ví dụ như biến
đổi Laplace, được sử dụng để giải ra nghiệm của hệ phương trình mơ tả hoạt
động của hệ thống. Tóm lại, phương pháp phân tích vấn đề của các hệ thống
động có thể bao gồm những bước như sau:
1.
2.
3.
4.
5.
6.

Xác định hệ thống và các thành phần của hệ thống
Thiết lập mơ hình tốn học và các giả thiết cần thiết
Viết các phương trình vi phân mơ tả mơ hình của hệ thống
Giải các phương trình cho các biến ra cần xác định
Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phù hợp với các giả thiết
Phân tích lại hoặc chuyển sang bước thiết kế
15

2.2. Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý
Các phương trình vi phân mơ tả hoạt động của một hệ thống vật lý được thiết lập
bằng cách sử dụng các định luật vật lý của các quá trình. Phương pháp này có thể
áp dụng cho các hệ thống cơ khí, điện, chất lỏng, nhiệt động...
Ví dụ, chúng ta có thể mơ hình hóa hệ thống giảm xóc của ô tô bằng một hệ
thống cơ học đơn giản như trong Hình 2.1, bao gồm một vật có khối lượng M
được treo bằng một lị xo, có thể trượt theo phương thẳng đứng bên trong một
ống có vai trị cản dao động (damper). Hệ số ma sát giữa bề mặt vật và bề mặt
ống là f. Hệ số đàn hồi của lị xo là K. Vật có thể chuyển động theo chiều thẳng
đứng y dưới tác động của một ngoại lực F(t). Theo định luật 2 của Newton:
M

d 2 y (t )
dy (t )
+f
+ Ky (t ) = F (t )
2
dt
dt

(2.1)

K

Hệ số ma
sát f

y

M

F(t)
Hình 2.1. Hệ thống lị xo-vật-cản

Kéo vật tới một vị trí ban đầu rồi thả ra, khi đó chuyển động của vật sẽ là một
dao động tắt dần. Giải phương trình (2.1) cho y(t) chúng ta sẽ thu được phương
trình chuyển động của vật dưới dạng:
y (t ) = K1e −α1t sin( β1t + θ1 )

(2.2)

Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 2.2) sử dụng một nguồn dịng có cường
độ dịng điện là i(t) và sinh ra một hiệu điện thế v(t). Theo định luật Kirchhoff,
chúng ta có được phương trình sau:
t

v(t )
dv(t ) 1
+C
+
v(τ )dτ = i (t )
R
dt
L

∫

(2.3)

0

Giả sử i(t) = 0 và hiệu điện thế v ban đầu khác không, giải phương trình (2.3) cho
v(t) chúng ta sẽ thu được phương trình của hiệu điện thế có dạng:
v (t ) = K 2 e −α 2 t cos( β 2t + θ 2 )

(2.4)

Đây cũng là phương trình của một dao động tắt dần (Hình 2.3), tương tự như
phương trình chuyển động (2.2) của hệ thống cơ học trong Hình 2.1.

16


i(t)

R

L

C

v(t)

Hình 2.2. Một mạch RLC

Để thấy rõ sự tương tự của các phương trình vi phân của hai hệ thống cơ học
và điện nêu trên, chúng ta làm một phép biến đổi nhỏ: viết lại phương trình (2.1)
của hệ thống cơ học theo vận tốc v(t) = dy(t)/dt, phương trình sẽ trở thành:
t

dv(t )
M
+ fv (t ) + K v(τ ) dτ = F (t )
dt

∫

(2.5)

0

Do sự tương tự của hai phương trình (2.5) và (2.3) cũng như của hai biến: vận tốc
v(t) trong (2.5) và hiệu điện thế v(t) trong (2.3), hai biến đó được gọi là hai biến
đồng dạng, và hai hệ thống cũng được gọi là các hệ thống đồng dạng. Khái niệm
đồng dạng giữa các hệ thống rất hữu ích và là một kỹ thuật mạnh cho việc mơ
hình hóa hệ thống. Ngồi các cặp biến đồng dạng của các hệ thống điện và cơ
học là hiệu điện thế-vận tốc hay dòng điện-lực, người ta còn thường sử dụng sự
đồng dạng của cặp hiệu điện thế-lực.
v(t)

e-α2t

t

0

2π/β2
Hình 2.3. Dao động tắt dần của hiệu điện thế v(t) trong mạch RLC

Các hệ thống đồng dạng với các giải pháp tương tự nhau bao gồm cả các hệ

thống điện, cơ học, nhiệt và chất lỏng. Sự tồn tại của các hệ thống và giải pháp
17


đồng dạng cho phép chúng ta mở rộng kết quả phân tích của một hệ thống cho tất
cả các hệ thống đồng dạng với nó, cũng được mơ tả bằng chính những phương
trình vi phân của hệ thống đầu tiên. Vì vậy những kiến thức chúng ta có được
trong việc phân tích và thiết kế một loại hệ thống, ví dụ như các hệ thống điện, sẽ
có thể áp dụng ngay lập tức cho các hệ thống cơ học, nhiệt, chất lỏng...

2.3. Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý
Phần lớn các hệ thống vật lý chỉ tuyến tính trong những khoảng nhất định của các
biến. Tất cả các hệ thống trong thực tế đều trở thành phi tuyến nếu các biến của
chúng có thể thay đổi khơng giới hạn. Ví dụ, hệ thống dao động lị xo trong Hình
2.1 là một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình 2.1, chừng nào
vị trí của vật, y(t), chỉ xê dịch trong một khoảng nhỏ nhất định. Nếu ta tác dụng
lực để y(t) tăng lên mãi thì đến một mức độ nào đó lị xo sẽ khơng cịn chịu được
và đứt. Vì vậy, câu hỏi về sự tuyến tính và khoảng áp dụng được cần phải đặt ra
cho mỗi hệ thống.
Tính tuyến tính của một hệ thống được xác định dựa trên mối quan hệ giữa tín
hiệu kích thích (tín hiệu vào) và đáp ứng của hệ thống. Trong mạng điện ở Hình
2.2, tín hiệu kích thích là dòng điện i(t) và đáp ứng của hệ thống là hiệu điện thế
v(t). Phát biểu một cách tổng quát, một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi nó
thỏa mãn được cả điều kiện sau:
1. Nguyên lý chồng: Nếu đáp ứng của hệ thống là y1(t) khi tín hiệu kích thích
là x1(t) và đáp ứng của hệ thống là y2(t) khi tín hiệu kích thích là x2(t) thì
đáp ứng của hệ thống sẽ là y1(t)+y2(t) khi tín hiệu kích thích là x1(t)+x2(t).
2. Tính chất đồng nhất: Nếu y là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là x
thì khi tín hiệu vào được nhân với một hệ số tỷ lệ, tín hiệu ra của hệ thống
cũng phải thay đổi theo cùng tỷ lệ, nghĩa là đáp ứng của hệ thống sẽ là βy

khi tín hiệu kích thích là βx, với β là một giá trị bất kỳ.
Ví dụ, hệ thống được mơ tả bởi quan hệ y = x2 không phải là một hệ thống
tuyến tính vì khơng thỏa mãn cả hai điều kiện. Hệ thống được mô tả bởi quan hệ
y = mx+b cũng khơng tuyến tính vì khơng thỏa mãn được tính chất đồng nhất.
Tuy nhiên, hệ thống này có thể coi là tuyến tính xung quanh một điểm (x0, y0)
cho các thay đổi ∆x, ∆y: ∆x = x−x0, ∆y = y−y0; vì mối quan hệ giữa ∆x và ∆y,
biểu diễn bằng phương trình ∆y = m∆x, thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu.
Phần lớn các hệ thống cơ học và điện đều có thể coi là tuyến tính trong một
miền giá trị khá rộng của các biến. Điều đó thường khơng đúng với các hệ thống
nhiệt và chất lỏng, vì những hệ thống này có khá nhiều đặc trưng phi tuyến. Tuy
nhiên, chúng ta có thể tuyến tính hóa các phần tử phi tuyến với giả thiết tín hiệu
thay đổi trong khoảng khá nhỏ. Xét một phần tử với tín hiệu kích thích là x(t) và
đáp ứng là y(t), ở đó mối quan hệ giữa hai biến được biểu diễn bằng phương
trình:
y(t) = g(x(t))

(2.6)

ở đó g biểu thị rằng y(t) là một hàm của x(t). Xác định một giá trị của tín hiệu
vào, x0, gọi là điểm làm việc bình thường của phần tử. Thực hiện khai triển
Taylor tại x0, chúng ta có:
18


dg
y = g ( x ) = g ( x0 ) +
dx

x = x0

x − x0 d 2 g
+ 2
1!
dx

x = x0

( x − x0 ) 2
+ ...
2!

(2.7)

Với giả thiết tín hiệu thay đổi rất nhỏ xung quanh điểm làm việc bình thường,
chúng ta có thể xấp xỉ (2.7) bằng phương trình:
y = g ( x0 ) +

dg
dx

x = x0

x − x0
= y 0 + m ( x − x0 )
1!

(2.8)

hay:
∆y = m∆x

(2.9)

Độ chính xác của phép xấp xỉ tuyến tính này phụ thuộc vào khả năng áp dụng giả
thiết trong từng trường hợp cụ thể.
Nếu biến ra y phụ thuộc vào nhiều biến vào, x1, x2, ..., xn, quan hệ giữa y và
các biến vào có thể được biểu diễn dưới dạng:
y = g(x1, x2, ..., xn)

(2.10)

Tương tự như đối với trường hợp hàm đơn biến, chúng ta có thể thực hiện khai
triển Taylor tại điểm làm việc xác định bởi x10, x20, ..., xn0, và bỏ qua các thành
phần có bậc cao để thu được xấp xỉ tuyến tính:
y = g ( x10 , x 2 0 ,..., xn 0 ) +

∂g
∂x1

x1 = x10

( x1 − x10 ) + ... +

∂g
∂xn

x n = x n0

( xn − xn 0 ) (2.11)

ƒ Ví dụ 2.1
Xét một hệ thống con lắc bao gồm một vật có khối lượng M được treo bằng một
sợi dây có độ dài L (Hình 2.4). Giả thiết sợi dây khơng có khối lượng và khơng
đàn hồi. Mơmen quay trên vật được tính bằng cơng thức:
T = MgLsinθ

(2.12)

θ
L

M

Hình 2.4. Hệ thống con lắc

ở đó g là gia tốc trọng trường và θ là góc giữa sợi dây với phương thẳng đứng.
19


Điểm cân bằng của hệ thống là θ0 = 0o. Áp dụng khai triển Taylor tới đạo hàm
bậc nhất tại θ0, chúng ta có được xấp xỉ tuyến tính của T:
T = MgL

∂ sin θ
∂θ

θ =θ 0

(θ − θ 0 ) = MgL(cos 0)(θ − θ 0 ) = MgLθ

(2.13)

Xấp xỉ này tương đối chính xác với -π/4 ≤ θ ≤ π/4. Ví dụ, sai số của phép xấp xỉ
khi con lắc qua các vị trí ±30o là khoảng 2%.

2.4. Biến đổi Laplace
Khả năng xấp xỉ tuyến tính các hệ thống vật lý cho phép chúng ta xem xét tới
việc sử dụng biến đổi Laplace (Laplace transform). Phương pháp biến đổi
Laplace cho phép biến các phương trình vi phân tuyến tính thành các phương
trình đại số dễ giải hơn. Với phương pháp này, việc xác định đáp ứng của hệ
thống theo thời gian bao gồm những bước sau:
1. Thiết lập các phương trình vi phân mơ tả hoạt động của hệ thống
2. Áp dụng biến đổi Laplace cho các phương trình vi phân
3. Giải các phương trình đại số thu được sau các phép biến đổi cho các biến
cần quan tâm
Biến đổi Laplace tồn tại cho một phương trình vi phân nếu tích phân khơng
thực sự của biến đổi hội tụ. Nói một cách khác, điều kiện đủ để một hàm f(t) có
biến đổi Laplace là f(t) liên tục từng đoạn trong miền [0, ∞), và:
∞

∃s > 0 :

∫ f (t ) e

− st

dt < ∞

(2.14)

0

Nếu ∀t > 0: |f(t)| < Meαt với các giá trị thực M > 0 và α > 0 nào đó, tích phân trên
sẽ hội tụ với mọi ∞ > s > α. Giá trị nhỏ nhất có thể của α được gọi là giới hạn
của hội tụ tuyệt đối. Biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại với mọi s > α và được
định nghĩa như sau:
∞

F ( s ) = L[ f (t )] =

∫ f (t )e

− st

dt

(2.15)

0

Phép biến đổi Laplace nghịch (inverse Laplace transform) của F(s) được định
nghĩa như sau:
−1

f (t ) = L

1
[ F ( s )] =
2πi

σ +i∞

∫ F ( s )e

st

ds

(2.16)

σ −i∞

ở đó σ được chọn sao cho tất cả các điểm cực (pole) của F(s) đều nằm bên trái
của đường biên của tích phân trong mặt phẳng phức, nghĩa là F(σ+iω) hội tụ với
mọi ω nằm trong khoảng (−∞, +∞).
Một số tính chất của biến đổi Laplace:
1. Tính duy nhất
20