Giáo trình kỹ thuật điều khiển 10 docx

97
được như một phương pháp phân tích, cho phép người thiết kế so sánh các thiết
kế khác nhau của hệ thống. Độ nhạy của nghiệm được dùng như một chỉ số biểu
diễn độ nhạy của một hệ thống đối với những biến thiên của tham số được thể
hiện trong mặt phẳng s.
Bài tập
Bài 7.1. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
0
22
)4(
1
2
=
++
+
+
ss
sKs

(a)
Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống bằng phương
pháp của Evans.
(b)
Xác định K để phương trình đặc trưng có hai nghiệm bằng nhau và tính
giá trị hai nghiệm này.
(c)
Xác định thời gian quá độ của hệ thống khi phương trình đặc trưng có hai
nghiệm bằng nhau.
Bài 7.2
. Một thiết bị ghi băng sử dụng một hệ thống điều khiển tốc độ phản hồi
âm với hàm chuyển của khối phản hồi là H(s) = 1. Hàm chuyển của quá trình cần

điều khiển là:
)54)(2(
)(
2
+++
=
ssss
K
sG
Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình đặc trưng của hệ thống khi K thay đổi.
Bài 7.3
. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
0
)6)(3)(1(
1 =
+++
+
sss
K

(a)
Xác định điểm thoát của quỹ tích trên trục thực.
(b)
Tìm điểm gốc của các đường tiệm cận.
(c) Xác định giá trị của K tại điểm thoát của quỹ tích.
Bài 7.4
. Một thiết bị điều khiển thang máy sử dụng một hệ thống điều khiển phản
hồi đơn vị âm có hàm chuyển của quá trình là:
)50)(20)(1(
)1(

)(
+++
+
=
ssss
sK
sG

Sử dụng phương pháp quỹ tích nghiệm để xác định giá trị của K sao cho tỷ số
cản
ζ
của một cặp nghiệm phức có giá trị bằng 0,8.
Bài 7.5
. Xem xét một hệ thống phản hồi có phương trình đặc trưng như sau:
0
)4)(1(
)1(
1
2
2
=
++
+
+
sss
sK

(a)
Vẽ quỹ tích nghiệm của phương trình khi K tăng từ 0 đến +∞.
(b)

Xác định khoảng giá trị của K để hệ thống ổn định.
98
(c) Với giá trị nào của K trong khoảng 0 đến +∞ phương trình chỉ có nghiệm
phức? Tính giá trị của các nghiệm đó.
99
Chương VIII

CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ

Tóm tắt nội dung
Chúng ta đã xem xét việc sử dụng các tín hiệu vào thử như tín hiệu xung hay tín
hiệu nhảy bậc trong việc phân tích hệ thống. Trong chương này, chúng ta sẽ sử
dụng tín hiệu vào có dạng sin ở trạng thái thường trực và xem xét đáp ứng của hệ
thống khi tần số của tín hiệu dạng sin thay đổi.
Chúng ta sẽ nghiên cứu đáp ứng của G(s) khi s = i
ω
và vài dạng đồ thị phức
cho G(i
ω
) khi
ω
thay đổi. Những đồ thị này mang lại cho chúng ta các hiểu biết
sâu sắc về hiệu suất của hệ thống. Một vài số đo hiệu suất cho đáp ứng tần số của
hệ thống sẽ được đề cập tới. Các số đo này có thể sử dụng được như các mô tả
định lượng chất lượng của hệ thống và chúng ta có thể điều chỉnh các tham số
của hệ thống để thỏa mãn các yêu cầu được định nghĩa trên các số đo hiệu suất
đó.
8.1. Giới thiệu
Trong các chương trước, đáp ứng và hiệu suất của hệ thống được mô tả dưới
dạng của biến tần số phức s và vị trí các điểm cực và điểm không trong mặt

phẳng s. Một phương pháp khác rất quan trọng và rất có tính thực tiễn cho việc
phân tích và thiết kế hệ thống là phương pháp đáp ứng tần số. Đáp ứng tần số
(frequency response) của một hệ thống được định nghĩa là đáp ứng ở trạng thái
thường trực của hệ thống với tín hiệu vào là một tín hiệu dạng sin. Với tín hiệu
sin là tín hiệu vào duy nhất, tín hiệu ra cho một hệ thống tuyến tính cũng như các
tín hiệu chuyển tiếp trong toàn hệ thống đều có dạng sin ở trạng thái thường trực,
chỉ khác tín hiệu vào ở biên độ
và góc pha.
Một thuận lợi đối với phương pháp đáp ứng tần số là rất dễ tìm các nguồn tín
hiệu thử dạng sin với nhiều khoảng biên độ và tần số khác nhau. Vì vậy, việc xác
định đáp ứng tần số của hệ thống bằng thử nghiệm rất dễ thực hiện và là phương
pháp đáng tin cậy nhất cũng như ít phức tạp nhất trong việ
c phân tích hệ thống
bằng thực nghiệm. Chúng ta còn có thể tìm được hàm chuyển của hệ thống từ
đáp ứng tần số được xác định bằng thực nghiệm. Thêm nữa, việc thiết kế hệ
thống trong miền tần số cho phép chúng ta điều khiển dải thông của hệ thống và
một số số đo khác của đáp ứng đối với nhiễu.
Thuận l
ợi thứ hai của phương pháp đáp ứng tần số là hàm chuyển mô tả hành
vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống có thể xác định được bằng cách
dùng i
ω
thay cho s trong hàm chuyển T(s) của hệ thống. Hàm chuyển biểu diễn
hành vi dạng sin ở trạng thái thường trực của hệ thống khi đó sẽ là một hàm của
biến phức i
ω
, và bản thân nó cũng là một hàm phức T(i
ω
), được đặc trưng bởi độ
lớn và góc pha. Độ lớn và góc pha của T(i

ω
) được biểu diễn bằng các đồ thị,
cung cấp cho chúng ta những thông tin quan trọng cho việc phân tích và thiết kế
100
hệ thống.
Điều bất lợi cơ bản của phương pháp đáp ứng tần số trong việc phân tích hệ
thống là mối liên hệ không trực tiếp giữa tần số và miền thời gian. Các mối liên
hệ trực tiếp giữa đáp ứng tần số và các đặc tính của đáp ứng nhất thời tương ứng
khá mỏng manh, trong khi trong thực tế, đặc tính của
đáp ứng tần số được điều
chỉnh bằng cách sử dụng các điều kiện thiết kế thường được nhằm để mang lại
đáp ứng nhất thời như mong muốn.
Trong các chương trước, chúng ta đã sử dụng cặp biến đổi Laplace:

∫
∞
−
==
0
)()]([)( dtetftfsF
st
L (8.1)
và

∫
∞+
∞−
−
==
i

i
st
dsesF
πi
sFtf
σ
σ
)(
2
1
)]([)(
1
L (8.2)
ở đó biến phức s =
σ
+ i
ω
. Tương tự, chúng ta có cặp biến đổi Fourier:

∫
+∞
∞−
−
== dtetftfiF
ti
ω
ω
)()]([)( F (8.3)
và

∫
+∞
∞−
−
==
ωωω
ω
deiF
π
iFtf
ti
)(
2
1
)]([)(
1
F (8.4)
Biến đổi Fourier tồn tại cho f(t) khi:

∞<
∫
+∞
∞−
dttf |)(| (8.5)
Biến đổi Fourier và biến đổi Laplace có mối quan hệ rất gần gũi. Khi hàm f(t) chỉ
xác định với t
≥ 0, khoảng lấy tích phân của hai biến đổi là như nhau. Khi đó, hai
phép biến đổi chỉ khác nhau về dạng biến phức. Vì vậy, nếu chúng ta đã có biến
đổi Laplace F(s) của một hàm f(t), chúng ta có được biến đổi Fourier cũng của
f(t) bằng cách thay s bởi i

ω
trong F(s).
Chúng ta có thể tự hỏi, nếu biến đổi Fourier và biến đổi Laplace gần nhau tới
như vậy, tại sao không luôn sử dụng biến đổi Laplace? Câu trả lời là, biến đổi
Laplace cho phép chúng ta tìm hiểu vị trí của các điểm cực và điểm không của
hàm chuyển T(s) trong mặt phẳng s, còn phương pháp đáp ứng tần số sử dụng
biến đổi Fourier cho phép chúng ta xem xét hàm chuy
ển T(i
ω
) cùng các đặc tính
về độ lớn và pha của hệ thống, với
ω
là tần số của tín hiệu vào và ra của hệ
thống. Khả năng biểu diễn tính chất của hệ thống bằng các phương trình và đồ thị
của độ lớn và pha là một thuận lợi cho việc phân tích và thiết kế các hệ thống
101
điều khiển.
Xem xét đáp ứng tần số của một hệ thống vòng kín, với tín hiệu vào r(t) có
biến đổi Fourier là R(i
ω
). Khi đó, đáp ứng tần số của hệ thống điều khiển phản
hồi được xác định bằng cách thay s bởi i
ω
trong phương trình biểu diễn mối quan
hệ của hệ thống vòng kín, C(s) = T(s)R(s), để có được phương trình sau:

)(
)()(1
)(
)()()(

ω
ωω
ω
ωωω
iR
iHiG
iG
iRiTiC
+
==
(8.6)
Áp dụng biến đổi Fourier nghịch cho C(i
ω
), chúng ta sẽ thu được đáp ứng nhất
thời c(t). Tuy nhiên, việc ước lượng biến đổi nghịch này thường khá khó khăn kể
cả cho những hệ thống đơn giản nhất, vì vậy phương pháp tích phân bằng đồ thị
có thể được sử dụng. Ngoài ra, một vài số đo của đáp ứng nhất thời có liên hệ tới
các đặc tính tần số cũng có thể s
ử dụng được cho các mục đích trong việc thiết kế
hệ thống.
8.2. Đồ thị của đáp ứng tần số
Hàm chuyển G(s) của một hệ thống có thể mô tả được trong miền tần số bằng
mối quan hệ như sau:
G(i
ω
) = G(s)|
s = i
ω
= R(
ω

) + iI(
ω
) (8.7)
ở đó:
R(
ω
) = real[G(i
ω
)] và I(
ω
) = imag[G(i
ω
)] (8.8)
Chúng ta cũng có thể biểu diễn hàm chuyển bằng độ lớn |G(
ω
)| và góc pha
φ
(
ω
):
G(i
ω
) = |G(i
ω
)|e
i
φ
(
ω
)

(8.9)
ở đó:

)()()(
22
ωωω
IRiG +=
(8.10)
và:

)(
)(
arctan)(
ω
ω
ωφ
R
I
=
(8.11)
Biểu diễn đồ thị của đáp ứng tần số có thể sử dụng phương trình (8.7) hay (8.9).
Đồ thị của phương trình (8.7) được gọi là đồ thị cực (polar plot) của đáp ứng tần
số. Các tọa độ của đồ thị cực là phần thực và phần ảo của G(i
ω
).
 Ví dụ 8.1
Một bộ lọc RC đơn giản được biểu diễn trong Hình 8.1. Hàm chuyển của bộ lọc
này là:

1

1
)(
)(
)(
1
2
+
==
RCssV
sV
sG
(8.12)
102

v
1
(t) v
2
(t)
C
R
Hình 8.1. Bộ lọc RC

Thay s bằng i
ω
, chúng ta có được hàm chuyển dạng sin ở trạng thái thường trực:

1
1
1

1
)(
1
+
=
+
=
ωωω
ω
iRCi
iG
(8.13)
ở đó
ω
1
= 1/(RC). Để vẽ đồ thị cực của G(i
ω
), chúng ta cần biểu diễn phương
trình (8.13) dưới dạng của phương trình (8.7) bằng cách như sau:

1)(
)(
1)(
1
1)(
)(1
)(
2
1
1

2
1
2
1
1
+
−
+
=
+
−
=
ωω
ω
ω
ωωωω
ω
ω
ω
i
i
iG (8.14)
Quỹ tích của hàm chuyển G(i
ω
) khi
ω
tăng từ 0 đến +∞ là nửa đường tròn có tâm
tại điểm (1/2, 0) và bán kính 1/2 trong mặt phẳng cực (Hình 8.2).

R(

ω
)
I(
ω
)
1 0
ω
= 0
ω
= ∞
Hình 8.2. Đồ thị cực cho bộ lọc RC

Hạn chế của đồ thị cực là việc tính toán đáp ứng tần số khá rắc rối và không
thể hiện được ảnh hưởng của từng điểm cực hay điểm không trong đồ thị. Vì vậy,
người ta sử dụng đồ thị logarit (logarithmic plot), thường gọi là đồ thị Bode
(Bode plot), để đơn giản hóa việc xác định biểu diễn đồ th
ị của đáp ứng tần số.
Lấy logarit tự nhiên của G(i
ω
) biểu diễn dưới dạng của phương trình (8.9):
ln G(i
ω
) = ln |G(i
ω
)| + i
φ
(
ω
) (8.15)
Từ đó, chúng ta có thể vẽ đồ thị của

φ
(
ω
) và logarit của độ lớn |G(i
ω
)| khi
ω
thay
đổi. Người ta thường biểu diễn logarit của độ lớn |G(i
ω
)| dưới dạng logarit cơ số
10 bằng công thức 20log
10
|G(i
ω
)| với đơn vị là dB.
103
Trở lại ví dụ 8.1, hệ số thời gian của bộ lọc RC là
τ
= RC. Viết lại phương
trình (8.13) dưới dạng sau:

11
1
1
1
1
1
)(
2222

+
−
+
=
+
=
+
=
τω
ω
τ
τω
ωτω
ω
i
iRCi
iG
(8.16)
Logarit của độ lớn hàm chuyển là:

)1(log10
1
1
log20log20
22
10
22
1010
τω
τω

+−=
+
=G
(8.18)
Ở tần số rất nhỏ,
ω
<< 1/
τ
, chúng ta có thể dùng công thức xấp xỉ:

(dB) 01log10log20
1010
=
−
≅
G (8.19)
Tại
ω
= 1/
τ
, chúng ta có được:

(dB) 01,32log10log20
1010
−
=
−
=
G
(8.20)

Tần số
ω
= 1/
τ
thường được gọi là tần số gãy (break frequency) hay tần số bẻ
góc (corner frequency). Góc pha của bộ lọc là:

)arctan(
)(real
)(imag
arctan)(
ωτωφ
−==
G
G
(8.21)
Đồ thị Bode của hàm chuyển G(i
ω
) được thể hiện trong Hình 8.3.

20log
10
|G| (dB)
φ
(
ω
) (
o
)
ω

(rad/s)
τ
2
1

τ
1

τ
2
3

τ
2

τ
2
5

τ
3

τ
2
7

τ
4

τ

2
9

τ
5

Hình 8.3. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(i
ω
) = 1/( i
ω
τ
+ 1)

Trong đồ thị Bode, người ta thường sử dụng thang logarit cho tần số
ω
, vì đồ
104
thị thay đổi rất chậm khi tần số rất lớn. Khoảng nằm giữa hai tần số
ω
1
và
ω
2
, ở
đó
ω
2
= 10
ω
1

, được gọi là một quãng mười (decade). Khi tần số rất lớn,
ω
>>
1/
τ
, sự sai khác độ lớn của hàm chuyển giữa điểm đầu và điểm cuối một quãng
mười có thể ước lượng được như sau:

(dB) 20
10
1
log20log20
)(log20)(log20
)(log10)(log10
)(log20)(log20
10
2
1
10
110210
22
110
22
210
110210
−===
+−=
+−≅
−
ω

ω
τωτω
τωτω
ωω
GG
(8.22)
Đồ thị Bode của hàm chuyển sử dụng thang logarit cho trục
ω
được thể hiện
trong Hình 8.4.

20log
10
|G| (dB)
φ
(
ω
) (
o
)
ω
(rad/s)
τ
1

τ
10
Hình 8.4. Đồ thị Bode của hàm chuyển G(i
ω
) = 1/( i

ω
τ
+ 1) sử dụng thang
logarit cho trục
ω

τ
10
1


Lợi ích chính yếu trong việc sử dụng đồ thị logarit là việc chuyển đổi hàm
chuyển từ dạng tích thành tổng. Trong trường hợp tổng quát, chúng ta có thể biểu
diễn hàm chuyển G(i
ω
) ở dạng:
105

∏∏
∏
==
=
+++
+
=
R
k
nnk
M
m

m
N
Q
l
l
kk
iiii
iK
iG
1
2
1
1
])())(2(1[)1()(
)1(
)(
ωωωωζωτω
ωτ
ω
(8.23)
Hàm chuyển này có Q điểm không, N điểm cực tại gốc tọa độ, M điểm cực nằm
trên trục thực và R cặp điểm cực liên hợp phức. Rõ ràng là việc vẽ đồ thị cực cho
một hàm như thế này là việc cực kỳ khó khăn. Logarit của độ lớn hàm chuyển
G(i
ω
) là:

∑
∑∑
∑

=
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++−
+−−
++=
R
k
nn
k
M
m
m
Q
l
N
Q
l
l
kk
i
i

ii
iKiG
1
2
10
1
10
1
10
1
101010
2
1log20
1log20)(log20
1log20log20)(log20
ω
ω
ω
ω
ζ
ωτω
ωτω
(8.24)
Góc pha
φ
(
ω
) là tổng các góc pha của các thành phần:

∑∑

∑
==
=
−
−−−
=
R
k
n
nk
M
m
m
Q
l
l
k
k
N
1
22
1
1
2
arctan)arctan()90(
)arctan()(
ωω
ωωζ
ωτ
ωτωφ

o
(8.25)
Từ hai công thức trên, chúng ta thấy đồ thị Bode có thể vẽ được bằng cách cộng
các đồ thị của các thành phần riêng biệt của hàm chuyển.
Như vậy, có bốn kiểu thành phần khác nhau có thể xuất hiện trong hàm
chuyển:
1.
Hằng số (K).
2.
Điểm cực/điểm không tại gốc tọa độ (i
ω
).
3.
Điểm cực/điểm không trên trục thực (1 + i
ωτ
).
4.
Các cặp điểm cực/điểm không liên hợp phức (1 + 2(
ζ
/
ω
n
)i
ω
+ (i
ω
/
ω
n
)

2
).
Chúng ta có thể xác định đồ thị logarit của độ lớn và đồ thị góc pha cho từng
thành phần của hàm chuyển, sau đó cộng chúng lại để có được đồ thị Bode cho
toàn bộ hàm chuyển. Chúng ta cũng có thể đơn giản hóa việc vẽ đồ thị bằng cách
sử dụng các xấp xỉ tiệm cận của các đường cong và chỉ tính các giá trị chính xác
tại một số tần số đặc biệ
t.
Hằng số (K). Giá trị logarit của hằng số cũng là một hằng số (20log
10
K), còn
góc pha bằng không.
Điểm cực hay điểm không tại gốc tọa độ (i
ω
). Với một điểm cực tại gốc tọa
106
độ, logarit của độ lớn là:
20log
10
|1/(i
ω
)| = −20log
10
ω
(8.26)
và góc pha là
φ
(
ω
) = −90

o
. Với N điểm cực tại gốc tọa độ, chúng ta sẽ có:
20log
10
|1/(i
ω
)
N
| = −20Nlog
10
ω
(8.27)
và góc pha là
φ
(
ω
) = −90
o
N. Với một điểm không tại gốc tọa độ, logarit của độ
lớn là:
20log
10
|i
ω
| = 20log
10
ω
(8.28)
và góc pha là
φ

(
ω
) = 90
o
.
Điểm cực hay điểm không nằm trên trục thực (1 + i
ωτ
). Điểm cực nằm trên
trục thực tương ứng với 1/(1 + i
ωτ
) trong hàm chuyển, chính là ví dụ 8.1 chúng
ta đã xem xét. Vì vậy, theo phương trình (8.18), logarit của độ lớn là
)1(log10log20
22
1010
τω
+−=G
và góc pha là
φ
(
ω
) = −arctan(
ωτ
). Đường tiệm
cận của 20log
10
|G| khi
ω
<<
τ

có độ dốc bằng không, còn đường tiệm cận khi giá
trị
ω
>>
τ
có độ dốc là −20dB/decade. Giao điểm của hai đường tiệm cận này
chính tại tần số gãy
ω
= 1/
τ
. Với điểm không nằm trên trục thực, tương ứng với
(1 + i
ω
t) trong hàm chuyển, logarit của độ lớn là
)1(log10log20
22
1010
τω
+=G và góc pha là
φ
(
ω
) = arctan(
ωτ
). Trong trường
hợp này, đường tiệm cận của 20log
10
|G| khi
ω
<<

τ
có độ dốc cũng bằng không
và đường tiệm cận khi
ω
>>
τ
có độ dốc là 20dB/decade.
Các cặp điểm cực hay điểm không liên hợp phức (1 + 2(
ζ
/
ω
n
)i
ω
+ (i
ω
/
ω
n
)
2
).
Thành phần của hàm chuyển tương ứng với một cặp điểm cực liên hợp phức có
thể biểu diễn dưới dạng 1/(1 + i2
ζ
u − u
2
), ở đó u =
ω
/

ω
n
. Logarit của độ lớn khi
đó được tính như sau:

]4)1[(log10
4)1(
4)1(
log20
4)1(
2
4)1(
1
log20
21
1
log20
2222
10
2222
2222
10
22222222
2
10
2
10
uu
uu
uu

uu
ui
uu
u
uui
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
ζ
+−−=
+−
+−
=
+−
−
+−
−
=
−+
(8.29)
và góc pha là:

2
1
2
arctan)(
u

u
−
−=
ζ
ωφ
(8.30)
Khi u << 1, nghĩa là
ω
<<
ω
n
, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ 0dB và góc pha xấp xỉ
0
o
. Còn khi u >> 1, nghĩa là
ω
>>
ω
n
, logarit của độ lớn sẽ xấp xỉ −10log
10
(u
4
) =