Giáo trình kỹ thuật điều khiển 16 docx

157
Chương XI

THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI
TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI

Tóm tắt nội dung
Các số đo hiệu suất của hệ thống thường được định nghĩa trong miền thời gian,
như phần trăm quá mức, thời gian lên của đáp ứng nhất thời Vì vậy, việc phát
triển các phương pháp thiết kế trong miền thời gian là một nhu cầu rất tự nhiên.
Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét đến vấn đề thiết kế bằng cách sử dụng
các phương trình của biến tr
ạng thái. Các khái niệm tính điều khiển được và tính
quan sát được sẽ được giới thiệu và các điều kiện của chúng sẽ được đưa ra thông
qua những ví dụ đơn giản.
Chúng ta sẽ nghiên cứu các phép biến đổi tương đương và sử dụng biến đổi
tương đương để trình bày phương pháp thiết kế bù cho hệ thống vòng kín sử
dụng phản hồi trạng thái, được gọi là phương pháp
đặt điểm cực. Vấn đề cuối
cùng sẽ được đề cập tới là việc thiết kế hệ thống phản hồi tối ưu sử dụng chỉ số
hiệu suất là tích phân của một hàm bậc hai biểu thị trạng thái năng lượng của hệ
thống.
11.1. Giới thiệu
Ngoài các kỹ thuật sử dụng quỹ tích nghiệm và đáp ứng tần số, còn có một
phương pháp thứ ba được sử dụng trong việc thiết kế các hệ thống điều khiển
phản hồi: phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái. Trong phương pháp
này, chúng ta sẽ thiết kế các bộ bù bằng cách sử dụng trực tiếp các mô tả với biến
trạng thái của hệ thống. Cũng gi
ống như các phương pháp thiết kế trong miền tần
số, mục đích của phương pháp trong không gian trạng thái là xác định hàm
chuyển G

c
(s) của mạch bù sao cho đáp ứng của hệ thống sau khi bù thỏa mãn
được các yêu cầu thiết kế.
Phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái có nhiều ưu điểm so với các
phương pháp trong miền tần số mà chúng ta đã nghiên cứu ở Chương X. Thứ
nhất, việc sử dụng trực tiếp mô tả của hệ thống bằng các phương trình vi phân
của biến trạng thái, thường được bi
ểu diễn dưới dạng phương trình vi phân của
vector trạng thái, cho phép phương pháp trong không gian trạng thái có thể áp
dụng được với cả các hệ thống phi tuyến, các hệ thống biến đổi, hay các hệ thống
đa biến, điều mà chúng ta không thể thực hiện được với các phương pháp trong
miền tần số. Tất nhiên, trong chương này chúng ta vẫn sẽ tập trung chủ yếu vào
các hệ thống tuyến tính, có tham số bất biế
n theo thời gian và đơn biến, nhưng
những kết quả được trình bày trong chương có thể mở rộng được cho các trường
hợp tổng quát hơn. Thứ hai, như chúng ta đã đề cập tới trong Chương V, hiệu
suất của hệ thống điều khiển có thể đánh giá được bằng các chỉ số hiệu suất là
tích phân của các hàm sai số. Các hệ thống điều khiển với ch
ỉ số hiệu suất đạt tới
mức cực trị được gọi là các hệ thống điều khiển tối ưu (optimum control system).
158
Việc thiết kế các hệ thống điều khiển tối ưu sẽ cần phải tính toán giá trị tối thiểu
của tích phân của các hàm sai số của đáp ứng theo thời gian, vì vậy sẽ thực hiện
được một cách dễ dàng hơn với phương pháp thiết kế trong miền thời gian.
Một điểm quan trọng nữa là phương pháp thiết kế trong không gian trạng thái
đặc biệt phù hợp v
ới việc sử dụng máy tính trong tính toán thiết kế, vì vậy
phương pháp này ngày càng trở nên phổ biến hơn trong kỹ thuật điều khiển.
11.2. Tính điều khiển được và tính quan sát được
Theo mô hình biến trạng thái đã được trình bày trong Chương III, một hệ thống

động có thể mô tả được bằng phương trình vi phân của vector trạng thái
x dưới
dạng như sau:

BuAx
x
+=
dt
d
(11.1)
Đáp ứng theo thời gian của hệ thống được xác định từ tín hiệu vào và trạng thái
của hệ thống:
y = Cx + Du (11.2)
ở đó
u và y là các vector của các biến vào và các biến ra của hệ thống.
Với các hệ thống đơn biến (một biến vào và một biến ra), các phương trình
mô tả hệ thống nói trên có thể viết lại dưới dạng sau đây:

)()(
)(
tut
dt
td
bAx
x
+= (11.3a)

)()()( tdutty
+
=

cx
(11.3b)
Giả sử
x là một vector N chiều. Khi đó, A là một ma trận N×N, b là một vector
cột N chiều,
c là một vector hàng N chiều, còn d là một giá trị vô hướng.
Hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) được gọi là điều khiển được
(controllable) nếu chúng ta có thể làm hệ thống chuyển từ một trạng thái bất kỳ
sang bất cứ một trạng thái nào khác trong một khoảng thời gian hữu hạn bằng
cách áp dụng một tín hiệu vào. Để làm ví dụ, xem xét mạch đ
iện trong Hình 11.1.
Hệ thống này chỉ cần một biến trạng thái duy nhất là hiệu điện thế trên tụ điện C:
x = v
c
(t). Nếu hiệu điện thế khởi đầu trên tụ điện bằng không, nghĩa là x(0) = 0,
hiệu điện thế này sẽ luôn bằng không bất kể chúng ta cho hiệu điện thế vào bằng
bao nhiêu, do tính đối xứng của các giá trị điện trở trong mạch. Trong trường hợp
đó, chúng ta không thể làm hệ thống chuyển từ trạng thái x = 0 sang một trạng
thái x ≠
0. Vì vậy, chúng ta có thể nói rằng mạch điện trong Hình 11.1 không
điều khiển được.
Nếu như chúng ta có thể xác định giá trị khởi đầu của các biến trạng thái từ
các thông tin về biến vào và biến ra của hệ thống trong một khoảng thời gian hữu
hạn, hệ thống khi đó sẽ được coi là quan sát được (observable). Xem xét mạch
điện trong Hình 11.2 có tín hiệu vào là dòng điện i(t). Tươ
ng tự như ví dụ chúng
ta đã xem xét ở mục 3.2 (Chương III), trạng thái năng lượng của mạch điện này
có thể biểu diễn được thông qua hai biến x
1
(t) = i

L
(t) và x
2
(t) = v
c
(t). Tuy nhiên,
159
nếu tín hiệu ra của hệ thống là hiệu điện thế v
R
(t) trên điện trở R, tín hiệu ra sẽ
không phụ thuộc vào hai biến trạng thái này do v
R
(t) luôn bằng Ri(t), vì vậy
chúng ta sẽ không thể xác định được các giá trị khởi đầu x
1
(0) và x
2
(0) từ tín hiệu
vào i(t) và tín hiệu ra v
R
(t), do đó hệ thống sẽ được coi là không quan sát được.
Còn nếu chúng ta sử dụng hiệu điện thế v
c
(t) làm tín hiệu ra, hệ thống khi đó sẽ là
hệ thống quan sát được bởi vì chúng ta sẽ tính được các giá trị khởi đầu x
1
(0) và
x
2
(0) từ các giá trị của tín hiệu vào i(t) và tín hiệu ra v

c
(t).

R
1
R
1

R
2
R
2

C
v(t)
v
ra
(t)
v
c
(t)
Hình 11.1. Mạch điện không điều khiển được

Tiếp theo, chúng ta sẽ quan tâm tới các điều kiện để hệ thống biểu diễn bởi hệ
phương trình (11.3) là hệ thống điều khiển được và quan sát được.
v
R
(t)
C
R

Hình 11.2. Một mạch RLC
i(t)
L
v
c
(t)
i
L
(t)

Theo kết quả đã được trình bày ở Chương III, nghiệm của phương trình vi
phân của vector trạng thái trong hệ phương trình (11.3) có dạng như sau:

∫
−
+=
t
tt
dueet
0
)(
)()0()(
ττ
τ
bxx
ΑA
(11.4)
ở đó:

∑

∞
=
+=
1
!
i
ii
t
i
t
e
A
I
A
(11.5)
160
Thay (11.5) vào bên trong tích phân của phương trình (11.4) và biến đổi phương
trình (11.4) về dạng sau đây:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦

⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
+=−
∫
∫
∫
∫

∑
∞
=

!2
)()(
)()(
)(
] [
)(
!
)(
)0()(
0
2
0
0
2
0
1
t
t
t
t
i
ii
t
dut
dut
du

du
i
t
et
τττ
τττ
ττ
ττ
τ
bAAbb
b
A
Ixx
A
(11.6)
Để hệ thống điều khiển được, luôn phải tồn tại nghiệm của u(t) cho phương trình
(11.6) với mọi
x(t) và x(0). Điều đó xảy ra khi và chỉ khi hạng của ma trận
] [
2
bAAbb đúng bằng N. Ma trận này là một ma trận có N hàng và có số
cột bằng vô cùng. Theo định lý Cayley-Hamilton, ma trận
A
N
với A là một ma
trận vuông có kích thước N×N sẽ là tổ hợp tuyến tính của các ma trận
A
0
, A
1

,
A
2
, , A
N-1
. Vì vậy, hạng của ma trận
] [
2
bAAbb
sẽ đúng bằng hạng của
ma trận vuông có kích thước N×N dưới đây:

] [
12
bAbAAbbU
−
=
N
(11.7)
Ma trận
U được gọi là ma trận của tính điều khiển được (controllability matrix)
của hệ phương trình (11.3). Như vậy, điều kiện cần và đủ để hệ thống biểu diễn
bởi hệ phương trình (11.3) điều khiển được là ma trận
U phải không suy biến.
Để làm ví dụ, xem xét một hệ thống được biểu diễn bằng hệ phương trình sau
đây:

[]
x
x

x
12
0
1
01
15,1
−=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
y
u
dt
d
(11.8)
Ma trận của tính điều khiển được của hệ thống là:

[]
⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
==
10
5,11
AbbU
(11.9)
Ma trận
U không suy biến vì có định thức khác không. Vì vậy, hệ thống đang
được xem xét là một hệ thống điều khiển được.
Thay (11.4) vào phương trình thứ hai của hệ phương trình (11.3), chúng ta
tính được biến ra của hệ thống như sau:
161

)()()0(

]
!2
1[
)()()0(
!
)()()0(
0
)(
2
2
0

)(
1
0
)(
tdudue
t
t
tdudue
i
t
tdudueey(t)
t
t
t
t
i
ii
t
tt
++
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
=
++
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
+
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+=
∫
∫
∑
∫
−
−
∞

=
−
ττ
ττ
ττ
τ
τ
τ
bcx
cA
cA
c
bcx
A
Ic
bxc
Α
Α
ΑA
(11.10)
Để hệ thống quan sát được, luôn phải tồn tại nghiệm của
x(0) với mọi u(t) và y(t).
Tương tự như với tính điều khiển được, chúng ta sẽ rút ra được điều kiện cần và
đủ để hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3) quan sát được là ma trận
vuông có kích thước N×N dưới đây:

⎥
⎥
⎥
⎥

⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
−1
2

N
cA
cA
cA
c
V
(11.11)
phải không suy biến. Ma trận
V được gọi là ma trận của tính quan sát được
(observability matrix) của hệ phương trình (11.3).
Quay lại với ví dụ ở trên, ma trận của tính quan sát được của hệ thống được
tính như sau:

⎥

⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
22
12
cA
c
V
(11.12)
Ma trận
V cũng có định thức khác không. Vì vậy, hệ thống trong ví dụ nói trên là
một hệ thống quan sát được.
Ngoài các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây,
còn nhiều điều kiện khác cũng có thể sử dụng được. Hai điều kiện chúng ta đã
xem xét là những điều kiện được được đề cập tới nhiều nhất bởi sự dễ hi
ểu của
chúng.
11.3. Sự triệt tiêu điểm cực-điểm không
Từ các điều kiện về tính điều khiển được và tính quan sát được trên đây, chúng ta

có thể rút ra được mối quan hệ giữa tính điều khiển được và tính quan sát được
với hàm chuyển của hệ thống qua định lý sau đây.
 Định lý 11.1
Một hệ thống là điều khiển được và quan sát được nếu hàm chuyển được sinh ra
từ biểu diễn của hệ thống trong không gian trạng thái không thể rút gọn hơn
162
được, nghĩa là không xảy ra sự triệt tiêu điểm cực-điểm không (pole-zero
cancellation) của hàm chuyển.
Mối quan hệ nói trên sẽ được làm rõ thông qua ví dụ sau đây: Xem xét một hệ
thống bao gồm hai khối nối tiếp với nhau. Khối thứ nhất được biểu diễn bằng hệ
phương trình sau:

11
11
1
xy
ux
dt
dx
=
+=
(11.13)
và biểu diễn trong không gian trạng thái của khối thứ hai là:

222
22
2
2
uxy
ux

dt
dx
+=
−−=
(11.14)
Hàm chuyển của hai khối sẽ lần lượt là:

1
1
)(
1
−
=
s
sG
(11.15)
và

1
1
)(
2
+
−
=
s
s
sG (11.16)
Hàm chuyển của hệ thống gồm hai khối mắc nối tiếp là:

1
1
1
1
)()()(
21
+
−
⋅
−
==
s
s
s
sGsGsG
(11.17)
Vì hàm chuyển này rút gọn được nên hệ thống không thể vừa điều khiển được,
vừa quan sát được, theo Định lý 11.1. Chúng ta sẽ xem xét hai trường hợp sau:
−
Nếu khối thứ hai mắc phía trước khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín
hiệu vào của hệ thống là u = u
1
, tín hiệu ra y = y
2
, tín hiệu ra y
1
của khối
thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u
2
của khối thứ hai, vì vậy phương trình

sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:

12
12
2
1
1
2
xxy
xx
dt
dx
ux
dt
dx
+=
−−=
+=
(11.18)
hay:

[]
x
x
x
11
0
1
12
01

=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
y
u
dt
d
(11.19)
163
Chúng ta tính được các ma trận U và V của hệ phương trình (11.19) như
sau:

[]
⎥
⎦
⎤
⎢

⎣
⎡
−
==
20
11
AbbU
(11.20)
và:

⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
11
11
cA
c
V

(11.21)
Do det(
U) ≠ 0 và det(V) = 0, hệ thống sẽ điều khiển được nhưng không
quan sát được.
−
Nếu khối thứ hai mắc phía sau khối thứ nhất: Trong trường hợp này, tín
hiệu vào của hệ thống là u = u
2
, tín hiệu ra y = y
1
, tín hiệu ra y
2
của khối
thứ nhất sẽ trở thành tín hiệu vào u
1
của khối thứ hai, vì vậy phương trình
sẽ được biểu diễn trong không gian trạng thái như sau:

1
2
2
21
1
2
xy
ux
dt
dx
uxx
dt

dx
=
−−=
++=
(11.22)
hay:

[]
x
x
x
01
2
1
10
11
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
+
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣

⎡
−
=
y
u
dt
d
(11.23)
Chúng ta tính được các ma trận
U và V của hệ phương trình (11.23) như
sau:

[]
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−
−
==
22
11
AbbU (11.24)
và:

⎥
⎦
⎤

⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=
11
01
cA
c
V
(11.25)
Do det(
U) = 0 và det(V) ≠ 0, hệ thống sẽ quan sát được nhưng không điều
khiển được.

11.4. Các phương trình biến trạng thái tương đương
Chúng ta tiếp tục xem xét hệ thống được biểu diễn trong không gian trạng thái
bởi hệ phương trình (11.3) có vector trạng thái
x là một vector N chiều. Chọn một
164
ma trận P sao cho P là một ma trận không suy biến có kích thước N×N. Định
nghĩa một vector
x' = Px, nghĩa là x = P
−1

x'. Thay x = P
−1
x' vào (11.3), chúng ta
có được hệ phương trình mới:

duy
u
dt
d
+
′
=
+
′
=
′
−
−
−
xcP
bxAP
xP
1
1
1
)(
(11.26)
hay:

uu

dt
d
bxAPbxPAP
x
′
+
′′
=+
′
=
′
−1
(11.27a)

udduy
′
+
′′
=+
′
=
−
xcxcP
1
(11.27b)
ở đó,
A' = PAP
−1
, b' = Pb, c' = cP
−1

và d' = d. Điều dễ thấy là hai hệ phương trình
(11.3) và (11.27) có dạng giống hệt nhau. Vector
x' là kết quả của một phép biến
đổi tuyến tính với vector trạng thái
x. Phép biến đổi đó được gọi là phép biến đổi
tương đương (equivalence transformation), được biểu diễn bởi ma trận biến đổi
P. Các phương trình của (11.3) và (11.27) được gọi là các phương trình biến
trạng thái tương đương (equivalent state-variable equations). Phép biến đổi
A' =
PAP
−1
được gọi là phép biến đổi đồng dạng (similarity transformation). Một đặc
điểm của phép biến đổi đồng dạng này là nó không làm thay đổi các giá trị riêng
của ma trận
A, nghĩa là hai ma trận A và A' có cùng các giá trị riêng. Như chúng
ta đã biết từ Chương VI, các giá trị riêng của ma trận
A chính là các nghiệm của
phương trình đặc trưng của hệ thống được biểu diễn bởi hệ phương trình (11.3).
Như vậy, hai ma trận
A và A' có cùng các giá trị riêng có nghĩa là phép biến đổi
tương đương không làm thay đổi hàm chuyển.
Ma trận của tính điều khiển được của hệ phương trình (11.27) là:

PUbPAbPAPAbPb
PbPAPPbPAPPbPAPPb
bAbAbAbU
==
=
′′′′′′
=

′
−
−−−−
−
] [
])( )([
] [
12
11211
12
N
N
N
(11.28)
Vì
P là một ma trận không suy biến, hạng của hai ma trận U và U' sẽ bằng nhau.
Điều đó có nghĩa là phép biến đổi tương đương không làm thay đổi tính điều
khiển được. Tương tự, phép biến đổi tương đương cũng không làm thay đổi tính
quan sát được.
11.5. Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái
Trong phần này, chúng ta sẽ nghiên cứu phương pháp thiết kế sử dụng phản hồi
trạng thái (state feedback) để đặt giá trị cho các điểm cực (pole placement) của
phương trình đặc trưng của hệ thống. Với hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình
(11.3), các điểm cực của hàm chuyển G(s) chính là các giá trị riêng của ma trận
A. Chúng ta sẽ thiết kế một hệ thống sử dụng thông tin phản hồi của tất cả các
biến trạng thái với các hệ số phản hồi không đổi. Đặt
] [
21 N
KKK
=

h là
vector của các hệ số phản hồi trạng thái. Tín hiệu u(t) để điều khiển quá trình
165
G(s) khi đó sẽ là:
u(t) = r(t) −
hx(t) (11.29)
ở đó r(t) là một tín hiệu đối sánh, thường là đáp ứng được mong muốn cho hệ
thống. Thay (11.29) vào hệ phương trình (11.3):

rr
dt
d
bxbhAhxbAx
x
+−=−+= )()(
(11.30a)

drdrdy
+
−
=
−
+
=
xhchxcx )()(
(11.30b)
Các điểm cực của hệ thống với phản hồi trạng thái sẽ là các giá trị riêng của ma
trận (
A − bh). Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng, nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương
trình trạng thái (11.3) là điều khiển được thì chúng ta có thể đặt được các giá trị

mong muốn cho các điểm cực của hệ thống phản hồi biểu diễn bởi hệ phương
trình (11.30) bằng cách chọn giá trị thích hợp cho các hệ số phản hồi trạng thái.
Gọi ∆(s) là đa th
ức đặc trưng của ma trận A: ∆(s) = det(sI − A). Phương trình
∆(s) = 0 chính là phương trình đặc trưng của hàm chuyển G(s). Giả sử ∆(s) được
biểu diễn như sau:

N
NNN
asasass ++++=∆
−−
)(
2
2
1
1
(11.31)
Chúng ta sẽ xác định một phép biến đổi tương đương với ma trận biến đổi
P để
biến đổi phương trình (11.3a) về dạng chính tắc cho hệ thống điều khiển (control
canonical form) như sau:

u
aaaa
u
dt
d
NN
⎥
⎥

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
′
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢

⎣
⎡
−−−−
=
′
+
′′
=
′
−
0

0
0
1
01 00

00 10
00 01

121
x
bxA
x
(11.32)
ở đó
A' = PAP
−1
, hay:
A'P = PA

(11.33)
Giả sử ma trận
P được biểu diễn dưới dạng:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
N
p
p
p
P

2
1
(11.34)
ở đó
p
i

(i = 1 N) là các vector hàng N chiều. Phương trình (11.33) trở thành:
166

⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢

⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
−−−−
−
Ap
Ap
Ap
Ap
p
p

p
p
NN
NN
aaaa

01 00

00 10
00 01

3
2
1
3
2
1
121
(11.35)
Từ phương trình (11.35), chúng ta có được hệ phương trình sau đây:

App
App
App
App
NN
N
i
ii
a

=
=
=
=−
−
=
∑
1
32
21
1
1

(11.36)
Chúng ta còn có
Pb = b', hay:

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=

⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0

0
1

2
1
bp
bp
bp
N
(11.37)
Từ (11.36) và (11.37) sẽ suy ra được:

1

0
0

0
1
21
2
12
1
====
===
==
=
−
−−
−
bApAbpbp
bApAbpbp
Abpbp
bp
N
N
NNN
NN
N
(11.38)
Biểu diễn hệ phương trình (11.38) dưới dạng ma trận:

]1 00[] [
1
=
−
bAAbbp

N
N
(11.39)
hay:
]1 00[
=
Up
N
(11.40)
Nếu hệ thống biểu diễn bởi hệ phương trình trạng thái (11.3) là điều khiển được,
nghĩa là ma trận
U không suy biến, chúng ta sẽ tính được p
N
từ phương trình
(11.40):

1
]1 00[
−
= Up
N
(11.41)
Với
p
N
đã xác định, ma trận biến đổi P sẽ tính được như sau: