Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 8 pdf

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


135


H
ình 4.
5: Quỹ đạo nghiệm số
Vẽ các nghiệm của phương trình (4.10) tương ứng với các giá
trò của
K
lên mặt phẳng phức. Nếu cho
K
thay đổi liên tục từ 0
đến +
∞
, tập hợp tất cả các nghiệm của phương trình (4.10) tạo
thành đường đậm nét như trên hình vẽ. Đường đậm nét trên
hình vẽ được gọi là quỹ đạo nghiệm số.
Đònh nghóa
Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của phương
trình đặc tính của hệ thống khi có một thông số nào đó trong hệ
thay đổi từ 0
→

∞
.
4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số

Hình 4.6

Xét hệ thống điều khiển có sơ đồ khối ở hình 4.6.
Phương trình đặc tính của hệ
G s H s
( ) ( )
+ =
1 0
(4.11)
Muốn áp dụng các qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số, trước tiên ta
phải
biến đổi tương đương
phương trình đặc tính về dạng
CHƯƠNG 4

136

N s
K
D s
( )
( )
+ =
1 0
(4.12)
trong đó
K
là thông số thay đổi.
Đặt
o
N s
G s K

D s
( )
( )
( )
=

Gọi
n
là số cực của

G
0
(s)
,
m
là số zero của
G
o
(s)
(4.12)
⇔

o
G s
( )
+ =
1 0


⇔

o
o
G s Điều kiện biên độ

G s l Điều kiện pha
( )
( ) ( )

=


∠ = + π


1
2 1

Sau đây là 11 qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số của hệ thống có
phương trình đặc tính có dạng (4.12):
Qui tắc 1:
Số nhánh của quỹ đạo nghiệm số = bậc của phương
trình đặc tính = số cực của
G
0
(s) = n.

Qui tắc 2:
Khi
K = 0

: các nhánh của quỹ đạo nghiệm số xuất
phát từ các cực của
G
o
(s)
.
Khi
K
tiến đến
+
∞

:
m
nhánh của quỹ đạo nghiệm số tiến
đến
m
zero của
G
o
(s), n-m
nhánh còn lại tiến đến
∞
theo các tiệm
cận xác đònh bởi qui tắc 5 và 6.
Qui tắc 3:
Quỹ đạo nghiệm số đối xứng qua trục thực.
Qui tắc 4:
Một điểm trên trục thực thuộc về quỹ đạo nghiệm
số nếu tổng số cực và zero của

G
o
(s)
bên phải nó là một số lẻ.
Qui tắc 5:
Góc tạo bởi các đường tiệm cận của quỹ đạo
nghiệm số với trục thực xác đònh bởi
l
n m
( )
+ π
α =
−
2 1
(
l
, , ,
= ± ±
0 1 2
K
) (4.13)
Qui tắc 6:

Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm
A có tọa độ xác đònh bởi

n m
i i
i i
p z

cực zero
OA
n m n m
= =
−
−
= =
− −
∑ ∑
∑ ∑
1 1
(4.14)
(p
i
và z
i

là các cực và các zero của G
o
(s)).

Qui tắc 7: Điểm tách nhập (nếu có) của quỹ đạo nghiệm số
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


137

nằm trên trục thực và là nghiệm của phương trình:
dK
ds

=
0

Qui tắc 8:

Giao điểm của quỹ đạo nghiệm số với trục ảo có
thể xác đònh bằng một trong hai cách sau đây
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz.
- Thay
s j
= ω
vào phương trình đặc tính (4.12), cân bằng
phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm với trục ảo và giá trò
K.
Qui tắc 9:

Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức
p
j
được xác đònh bởi
arg( ) arg( )
m n
j j i j i
i i
i j
p z p p
= =
≠
θ = °+ − − −
∑ ∑

1 1
180
(4.15)
Dạng hình học của công thức trên là

θ
j
= 180
o
+ (
∑
góc từ các zero đến cực p
j

)
– (
∑
góc từ các cực còn lại đến cực p
j
)
Qui tắc 10: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ
0 → +∞
Qui tắc 11:

Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có
thể xác đònh từ điều kiện biên độ
N s
K
D s
( )

( )
=
1

(4.16)


Ví dụ 4.7.
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối như sau

K
G s
s s s
( )
( )( )
=
+ +
2 3


Hình 4.7
Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞.

Giải.
Phương trình đặc tính của hệ thống

G s
( )
+ =
1 0

⇔
K
s s s
( )( )
+ =
+ +
1 0
2 3
(1)

Các cực: ba cực.
CHƯƠNG 4

138

p
=
1
0
,
p
= −
2
2
,
p
= −
3
3

Các zero: không có.
⇒
QĐNS gồm có ba nhánh xuất phát từ các cực khi K = 0.
Khi K → +∞, ba nhánh của QĐNS sẽ tiến đến vô cùng theo
các tiệm cận xác đònh bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

l l
n m
( ) ( )
+ π + π
α = =
− −
2 1 2 1
3 0

⇒

1
2
3
0
3
1
3
1
π

α = =



π

α = − =


α = π =


(l )
(l )
(l )
–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực

cực zero
OA
n m
[ ( ) ( )]
−
+ − + − −
= = = −
− −
∑ ∑
0 2 3 0 5
3 0 3

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
dK

ds
=
0

Ta có (1) ⇔
K s s s s s s
( )( ) ( )
= − + + = − + +
3 2
2 3 5 6

⇒
dK
s s
ds
( )
= − + +
2
3 10 6

Do đó
dK
ds
=
0
⇔ s s( )
− + + =
2
3 10 6 0
⇔

s (loại)
s
,
,
= −


= −

1
2
2 549
0 785

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo có thể xác đònh bằng một
trong hai cách sau đây:
Cách 1
Áp dụng tiêu chuẩn Routh
(1) ⇔ s s s K
+ + + =
3 2
5 6 0

Bảng Routh

s
3

1 6

s
2

5
K

α =
3
1
5

s
1

K
− × =
1
6 0
5

0
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


139


s
0

K

Điều kiện để hệ thống ổn đònh

K
K

− >



>

1
6 0
5
0
⇔ 0 < K < 30
Vậy hệ số khuếch đại giới hạn là K
gh
= 30.
Thay giá trò K
gh
= 30

vào phương trình (2), giải phương trình
ta được giao điểm của QĐNS với trục ảo.
s s s
+ + + =

3 2
5 6 30 0

⇔
s
s j
s j
= −


=


= −

1
2
3
5
6
6

Cách 2
Giao điểm (nếu có) của QĐNS và trục ảo phải có dạng
s j
= ω
.
Thay
s j
= ω

vào phương trình (1) ta được
( ) ( ) ( )
j j j K
ω + ω + ω + =
3 2
5 6 0

⇔ j j K
− ω − ω + ω + =
3 2
5 6 0

⇔
j j
K

− ω + ω =


− ω + =


3
2
6 0
5 0


K
ω =



=

0
0


K

ω = ±


=


6
30


Ví dụ 4.8.
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó hàm truyền
hở là:
K
G s
s s s
( )
( )
=
+ +

2
8 20

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0→ +∞.
Giải.
Phương trình đặc trưng của hệ thống

G s
( )
+ =
1 0

⇔

Hình 4.8
Hình 4.8

CHƯƠNG 4

140

⇔
K
s s s
( )
+ =
+ +
2
1 0
8 20

(1)

Các cực
p
=
1
0
,
p j
,
= − ±
2 3
4 2

Các zero không có
⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0. Khi
K → +∞, ba nhánh tiến đến vô cùng theo tiệm cận xác đònh bởi
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực

l l
n m
( ) ( )
+ π + π
α = =
− −
2 1 2 1
3 0
⇒
1
2

3
3
1
3
π

α = =


π

α = − =


α = π =


(l 0)
(l )
(l 1)
–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
cực zero
j j
OA
n m
[ ( ) ( )] ( )
−
+ − + + − − −

= = = −
− −
∑ ∑
0 4 2 4 2 0 8
3 0 3

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
dK
ds
=
0

Ta có
(1) ⇔ s s s K
+ + + =
3 2
8 20 0

⇔
K s s s
( )
= − + +
3 2
8 20

⇒
dK
s s
ds
( )

= − + +
2
3 16 20

Do đó
dK
ds
=
0
⇔ s s
+ + =
2
3 16 20 0
⇔
s
s
,
,
= −


= −

1
2
3 33
2 00

Vậy QĐNS có hai điểm tách nhập.
- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh cách thay

s j
= ω
vào phương trình đặc tính.
(1) ⇔ s s s K
+ + + =
3 2
8 20 0

Thay
s j
= ω
ta được
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


141

j j j K
( ) ( ) ( )
ω + ω + ω + =
3 2
8 20 0
⇔ j j K
− ω − ω + ω + =
3 2
8 20 0

⇔
K


− ω + =


−ω + ω =


2
3
8 0
20 0

K
K
ω =


=


ω = ±


=


0
0
20
160

Vậy giao điểm của QĐNS và trục ảo là
s j= ±
20
.
- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p
2
là

p p p p
[arg( ) arg( )]
θ = ° − − + −
2 2 1 2 3
180


{
}
j j j
arg[( ) ] arg[( ) ( )]
= ° − − + − + − + − − −
180 4 2 0 4 2 4 2


tg
−
 
 
= ° − +
 
 

−
 
 
1
2
180 90
4
{
}
,
= °− +
180 153 5 90


⇒

,
θ = − °
2
63 5


Hình 4.9
Ví dụ 4.9.
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó hàm truyền
hở là:
K s
G s
s s s s
( )

( )
( )( )
+
=
+ + +
2
1
3 8 20

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi K = 0 → +∞.
⇔
CHƯƠNG 4

142

Giải.
Phương trình đặc trưng của hệ thống
G s
( )
+ =
1 0

⇔
K s
s s s s
( )
( )( )
+
+ =
+ + +

2
1
1 0
3 8 20
(1)
Các cực
p
=
1
0
,
p
= −
2
3
,
p j
,
= − ±
3 4
4 2

Các zero
z
= −
1
1

⇒ QĐNS gồm bốn nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0.
Khi K → +∞, một nhánh tiến đến zero, ba nhánh còn lại tiến đến

vô cùng theo tiệm cận xác đònh bởi:
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
l l
n m
( ) ( )
+ π + π
α = =
− −
2 1 2 1
4 1
⇒
1
2
3
3
1
3
π

α = =


π

α = − =


α = π =



(l 0)
(l )
(l 1)
–

- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
cực zero
j j
OA
n m
[ ( ) ( ) ( )] ( )
−
+ − + − + + − − − −
= = = −
− −
∑ ∑
0 3 4 2 4 2 1 10
3 0 3

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
dK
ds
=
0

Ta có
(1) ⇔ s s s s K s( )( ) ( )
+ + + + + =
2
3 8 20 1 0

⇔
s s s s
K
s
( )( )
( )
+ + +
= −
+
2
3 8 20
1

⇒
dK s s s s
ds
s( )
+ + + +
= −
+
4 3 2
2
3 26 77 88 60
1

Do đó
dK
ds

=
0
⇔ s s s s
+ + + + =
4 3 2
3 26 77 88 60 0

⇔
s j
s j
,
,
, ,
, .
= − ±


= − ±

1 2
3 4
3 67 1 05
0 66 0 97
(loại)
Vậy QĐNS không có điểm tách nhập.
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


143

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh cách thay
s j
= ω
vào phương trình đặc tính.
(1) ⇔ s s s s K s( )( ) ( )
+ + + + + =
2
3 8 20 1 0

⇔ s s s K s K( )
+ + + + + =
4 3 2
11 44 60 0


Thay
s j
= ω
ta được
j K j K( )
ω − ω − ω + + ω + =
4 3 2
11 44 60 0

⇔
K
K( )

ω − ω + =



− ω + + ω =


4 2
3
44 0
11 60 0


K
ω =


=

0
0

⇔
K
,ω = ±


=

5 893
322

j
K
,
,
ω = ±


= −

1 314
61 7
(loại)
Vậy giao điểm cần tìm là:

s j
,
= ±
5 893

Hệ số khuếch đại giới
hạn là
gh
K
=
322

- Góc xuất phát của QĐNS
tại cực phức p
3

( )
θ = + β − β + β + β
3 1 2 3 4
180


, ( , , )
= + − + +
180 146 3 153 4 116 6 90


,
θ = −
3
33 7

g

Ví dụ 4.10.

Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó hàm truyền
hở là: G s
s s s a
( )
( )( )
=
+ +
400
6

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống khi a = 0→ +∞.
Giải.
Phương trình đặc trưng của hệ thống

G s
( )
+ =
1 0

Hình 4.10

CHƯƠNG 4

144

⇔
s s s a( )( )
+ =
+ +
400
1 0
6

⇔
s s s a
( )( )
+ + + =
6 400 0

⇔ s s as s( ) ( )
+ + + + =
2
6 400 6 0

⇔
as s
s s
( )+
+ =
+ +
3 2
6
1 0
6 400
(1)
Các cực
p
= −
1
10
,
p j
,
= ±
2 3
2 6

Các zero
z

=
1
0
,
z
= −
2
6

⇒ QĐNS gồm ba nhánh xuất phát tại các cực khi K = 0. Khi
K → +∞, hai nhánh tiến đến hai zero, nhánh còn lại tiến đến vô
cùng theo tiệm cận xác đònh bởi
- Góc giữa các tiệm cận và trục thực
l l
n m
( ) ( )
+ π + π
α = =
− −
2 1 2 1
3 2
⇒
α = π
, (l = 0)
- Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực
cực zero
j j
OA
n m
[ ( ) ( )] [ ( )]

−
− + − + + − − − + −
= = = −
− −
∑ ∑
10 2 6 2 6 0 6
8
3 2

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
da
ds
=
0

Ta có (1) ⇔ s s as s( )
+ + + + =
3 2
6 400 6 0


⇔
s s
a
s s
+ +
= −
+
3 2
2

6 400
6

⇒
da s s s s s s
ds
s s s s( )
+ + + + − −
= − =
+ +
3 2 4 3 2
2 2 2
6 400 12 36 800 2400
6 6

Do đó
da
ds
=
0
⇔ s s s s
+ + − − =
4 3 2
12 36 800 2400 0

⇔
s (loại)
s
s j (loại)
,

,
,
,

= +

= −


= − ±

1
2
3 4
6 9
2 9
8 7 48

Vậy QĐNS 1 có điểm tách nhập tại – 2,9.
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


145

- Giao điểm của QĐNS với trục ảo được xác đònh bằng cách
thay
s j
= ω
vào phương trình đặc tính.
(1) ⇔

( )s s as s
+ + + + =
3 2
6 400 6 0

⇔
( )s a s as
+ + + + =
3 2
6 6 400 0

Thay
s j
= ω
ta được
j a aj( )
− ω − + ω + ω + =
3 2
6 6 400 0

⇔
a
a
( )

− + ω + =


−ω + ω =



2
3
6 400 0
6 0


a
ω =


= ∞

0

⇔
a
,
,
ω = ±


=

5 85
5 7


j
a

,
,
ω = ±


= −

8 38
11 7
(loại)

Vậy giao điểm cần tìm là
s j
,
= ±
5 85
, tương ứng với giá trò
giới hạn của hệ số a là
gh
a
,
=
5 7

- Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức p
2


( ) ( )
θ = + β + β − β + β

2 1 2 3 4
180
( , , ) ( , )
= + + − +
180 71 6 36 7 26 6 90


,
θ = °
2
171 7


Hình 4.11
CHƯƠNG 4

146

4.4 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH TẦN SỐ
4.4.1 Nguyên lý góc quay
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính hệ số hằng:
A(s) =
n n
o n
a s a s a

−
+ + +
1
1

= 0 (4.17)
Đa thức A(s) được viết dưới dạng:
A(s) = a
o
(s - p
1
)( s - p
2
) ( s - p
n
)
với p
1
, p
2
, p
n
là cực của hệ thống, là nghiệm của phương trình
đặc tính.
Thay s = jω vào (4.17) ta có:
A(j
ω
) = a
o
(j
ω
- p
1
)( j
ω

- p
2
) ( j
ω
- p
n
)
Giả sử phương trình (4.17) có m nghiệm phải (có phần thực
dương), còn (n - m) nghiệm trái (có phần thực âm)

Hình

4.12

Góc quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω)
arg A(jω) =
n
i
i
j p
arg( )
=
ω −
∑
1

Khi tần số ω thay đổi từ –
∞
đến +
∞

thì sự thay đổi góc
quay của vectơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ là:
∆arg A(jω) =
n
i
i
j p
arg( )
=
ω −
∑
1

-
∞
<ω < +
∞
-
∞
<ω < +
∞

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


147

Ký hiệu ∆ chỉ sự thay đổi góc quay
Nếu qui đònh chiều quay dương là chiều ngược chiều kim đồng
hồ thì ta có biểu thức sau đối với nghiệm trái và phải:

∆arg (jω - p
n-m
) = π ∆ arg (jω - p
m
) = - π
-
∞
<ω < +
∞
-
∞
<ω < +
∞

Hệ có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái:
∆ arg A(jω) = (n - m)π - mπ = (n - 2m) π
-
∞
<ω < +
∞

Nguyên lý góc quay
Hệ thống bậc n có m nghiệm phải và (n - m) nghiệm trái có
vectơ đa thức đặc tính tần số A(j
ω
) sẽ quay một góc là (
− /
n m
( )
2 2

vòng kín theo chiều ngược chiều kim đồng hồ khi tần số
ω
biến
thiên từ -
∞
đến +
∞

∆arg A(jω) =
n m
−
 
 
 
2
2
. 2π
-
∞
< ω < +
∞

Véctơ đa thức đặc tính tần số A(jω) sẽ quay một góc bằng
hiệu số nghiệm trái (n - m) và nghiệm phải (m) nhân với π khi ω
biến thiên từ -
∞
đến +
∞
.

4.4.2 Tiêu chuẩn ổn đònh tần số Mikhailov

Tiêu chuẩn ổn đònh dựa vào nguyên lý góc quay được
A. V. Mikhailov phát biểu vào năm 1938:
Điều kiện cần và đủ để hệ tuyến tính ổn đònh là biểu đồ
vectơ đa thức đặc tính A(j
ω
) xuất phát từ nửa trục thực dương tại
ω
bằng không, phải quay n góc phần tư theo chiều ngược chiều
kim đồng hồ khi
ω
biến thiên từ 0 đến +
∞
, với n là bậc của
phương trình đặc tính của hệ thống

Chứng minh:
Xét hệ thống bậc n có phương trình đặc tính:
A(s) =
n n
o n
a s a s a

−
+ + +
1
1
= 0 (4.18)
Hệ thống ổn đònh nếu n cực nằm bên trái mặt phẳng phức.

Theo nguyên lý góc quay:
CHƯƠNG 4

148

∆arg A (jω) = nπ (4.19)
-
∞
<ω < +
∞

Vì A(jω) và A(-jω) là phức liên hợp nên
∆ arg A(jω) = ∆ arg A(jω) (4.20)
-
∞
<ω < 0 0 <ω < +
∞

Do đó phương trình (4.20) có thể được viết dưới dạng
∆ arg A(jω) = n
π
2

0 <ω < +
∞



Hệ ổn đònh Hệ không ổn đònh
Hình 4.13


Xây dựng biểu đồ Mikhailov

Thay S = jω vào phương trình đặc tính sau đó tách phần
thực và phần ảo
A(j
ω
) = P(
ω
) + jQ(
ω
)
trong đó: P(ω) là hàm chẵn với ω: P(-
ω
) = P(
ω
)
Q(ω) là hàm lẻ với ω: Q(-
ω
) = - Q(
ω
)

Từ biểu thức A(jω) nhận được bằng cách thế S = jω vào
mẫu số hàm truyền:
A
j
( )
ω

=
n n
o n
a j a j a
( ) ( )
−
ω + ω + +
1
1

Ta nhận thấy A
j
( )
ω
chính là đường chéo của đa giác có cạnh
tương ứng bằng a
k
ω
n-k
và các cạnh vuông góc với nhau.
KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


149

Ví dụ 4.12.
xét hệ bậc ba n = 3
A
j
( )

ω
=
o
a j a j a j a
( ) ( ) ( )
ω + ω + ω +
3 2
1 2 3

Cho ω biến thiên từ 0 đến vô
cùng bằng phương pháp trên xây
dựng toàn bộ biểu đồ véctơ đa thức
đặc tính A(jω).

Đa thức đặc tính (mẫu số hàm
truyền đạt của hệ cần xét ổn đònh ở
trạng thái hở hoặc trạng thái kín)
được phân tích thành hai thành
phần:
A(s) = D(s) + K(s)
Ví dụ 4.13:
A(s) = (1+sT
1
) (1+sT
2
) (1+sT
3
) + K = D(s) + K = 0
T
1

= 0,5 ; T
2
= 2 ; T
3
= 0,1. Tính K
gh
∆ arg A(jω) = D(jω) + K
0 < ω <+
∞
0 < ω < +
∞

Xây dựng biểu đồ D(j
ω
) = P(
ω
) + jQ(
ω
)
Từ đó suy ra: P(ω) = 1 - 1,25 ω
2

P(ω) = ω(2,6 - 0,1ω
2
)

0
2 6
0 1
( )

?
( )
,
,
o gh
gh
o
o
P K
K
Q
ω =


=

ω =


ω =


2 6
1 1 25 31 5
0 1
,
( , ) ,
,
gh
K = − × =

g

4.4.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist
Cho hệ thống tự động có sơ đồ khối

Hình 4.16

Hình 4.14

Hình 4.15
CHƯƠNG 4

150

Cho biết đặc tính tần số của hệ hở G(s), bài toán đặt ra là
xét tính ổn đònh của hệ thống kín G
k
(s).
Tiêu chuẩn Nyquist
Hệ thống kín G
k
(s) ổn đònh nếu đường cong Nyquist của hệ
hở G(s) bao điểm (–1, j0)
l
2
vòng theo chiều dương (ngược chiều
kim đồng hồ) khi
ω
thay đổi từ 0 đến +∞, trong đó l là số cực của
hệ hở G(s) nằm bên phải mặt phẳng phức.

Ví dụ 4.14.
Cho hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, trong đó hệ hở G(s)
có đường cong Nyquist như hình vẽ. Biết rằng G(s) ổn đònh. Xét
tính ổn đònh của hệ thống kín


Hình 4.17

Vì G(s) ổn đònh nên G(s) không có cực nằm bên phải mặt
phẳng phức. Do đó theo tiêu chuẩn Nyquist hệ kín ổn đònh nếu
đường cong Nyquist G(j
ω
) của hệ hở không bao điểm (–1, j0). Vì
vậy:
Trường hợp : G(j
ω
) không bao điểm (-1, j0) ⇒ hệ kín ổn đònh.
Trường hợp : G(j
ω
) qua điểm (-1, j0) hệ kín ở biên giới ổn đònh;
Trường hợp : G(j
ω
) bao điểm (-1, j0) ⇒ hệ kín không ổn đònh.
g

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG


151

Chú ý: Đối với các hệ thống có khâu tích phân lý tưởng, để
xác đònh đường cong Nyquist có bao điểm (–1, j0) hay không, ta
vẽ thêm cung
γ
−
2
bán kính vô cùng lớn (γ là số khâu tích phân lý
tưởng trong hàm truyền hệ hở).
Ví dụ 4.15.
Xét tính ổn đònh của hệ hồi tiếp âm đơn vò biết hàm
truyền của hệ hở là:
1 2 3
1 1 1
=
+ + +
K
G s
s T s T s T s
( )
( )( )( )

Giải.
Tùy theo giá trò của K, T
1
, T
2
, T
3
mà biểu đồ Nyquist của hệ
hở có thể có một trong ba dạng sau

Hình 4.18
Vì hệ kín không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên
- Trường hợp : G(j
ω
) không bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín ổn đònh.
- Trường hợp : G(j
ω
) qua điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín ở biên giới
ổn đònh.
- Trường hợp : G(j
ω
) bao điểm (–1, j0) ⇒ hệ kín không ổn đònh.
g

Ví dụ 4.16.
Cho hệ thống hở không ổn đònh có đặc tính tần số
như các hình vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn đònh?
CHÖÔNG 4

152




Hình 4.19

KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG

153

Gia
ûi:

(a) Ổn đònh (b) Không ổn đònh (c) Không ổn đònh
(d) Ổn đònh (e) Không ổn đònh

Ví dụ 4.17.
Cho hệ thống hở có hàm truyền đạt là
n
K
G s
Ts
( )
( )
=
+
1
(K > 0, T > 0, n > 2)
Tìm điều kiện của K và T để hệ thống kín (hồi tiếp âm đơn
vò) ổn đònh.
Giải.
Đặc tính tần số của hệ thống là
n
K
G j
Tj
( )

( )
ω =
ω +
1

Biên độ
( )
n
K
M
T
( )ω =
ω +
2 2
1

Pha
ntg T
( ) ( )
−
ϕ ω = − ω
1

Biểu đồ Nyquist của hệ thống hở có dạng như hình 4.29.



Hình 4.20

Do hệ hở không có cực nằm bên phải mặt phẳng phức nên để

hệ thống kín ổn đònh thì đường cong Nyquist của hệ hở không
bao điểm (–1,j0), theo hình vẽ ta thấy điều này xảy ra khi M(ω
–
π
)
< 1.
P
(
ω
)