Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 13 pps

CHƯƠNG 6

228

Do đó:
( )Φ = + + +
3 2
32 340 2000
A A A A I


( )
   
   
Φ = + +
   
   
− − − − − −
   
3 2
0 1 0 0 1 0
0 0 1 32 0 0 1
4 7 3 4 7 3
A


   
   
+ +
   
   

− − −
   
0 1 0 1 0 0
340 0 0 1 2000 0 1 0
4 7 3 0 0 1

⇒

( )
 
 
Φ = −
 
 
− − −
 
1996 333 29
116 1793 246
984 1838 1055
A
Bước 3: Tính
K
dùng công thức Ackermann:

[
]
-
( )
= Φ
1

0 0 1
K A
C
CC
C


[ ]
-
   
   
= − −
   
   
− − − −
   
1
0 3 1 1996 333 29
0 0 1 3 1 24 116 1793 246
1 24 53 984 1838 1055

⇒

[
]
, , ,=
220 578 3 839 17 482
K
g

Ta thấy véctơ
K
tính được theo cả hai cách đều cho kết quả
như nhau. Tuy nhiên phương pháp tính theo công thức
Ackermann phải thực hiện nhiều phép tính ma trận nên thích
hợp để giải bài toán trên máy tính hơn là giải bằng tay. Công
thức Ackermann được Matlab sử dụng để giải bài toán phân bố cực.
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC


229

Phụ lục: THIẾT KẾ HỆ THỐNG DÙNG MATLAB
Phụ lục này giới thiệu công cụ
Sisotool

hỗ trợ thiết kế hệ
thống điều khiển tự động của Control Toolbox 5.0 chạy trên nền
MATLAB 6.0. Độc giả cần nắm vững lý thuyết điều khiển tự động
và tham khảo thêm các tài liệu hướng dẫn sử dụng của MATLAB
mới có thể khai thác hiệu quả công cụ này.
Sisotool
là công cụ giúp thiết kế hệ thống điều khiển tuyến
tính hồi tiếp một đầu vào, một đầu ra. Tất cả các khâu hiệu
chỉnh trình bày trong quyển sách này như sớm pha, trễ pha, sớm
trễ pha, P, PI, PD, PID đều có thể thiết kế được với sự trợ giúp
của công cụ này. Cần nhấn mạnh rằng
sisotool
không phải là bộ

công cụ thiết kế tự động mà chỉ là bộ công cụ trợ giúp thiết kế,
người thiết kế phải hiểu rõ lý thuyết điều khiển tự động, nắm
được bản chất của từng khâu hiệu chỉnh thì mới sử dụng bộ công
cụ này được. Do phụ lục này chỉ mang tính giới thiệu nên chúng
tôi chỉ trình bày một ví dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha
dùng QĐNS, các khâu hiệu chỉnh khác có thể thực hiện tương tự.
Ví dụ: Thiết kế hệ thống điều khiển ở ví dụ 6.4 dùng
sisotool
.
Trình tự thiết kế như sau.
Bước 1: Khai báo đối tượng điều khiển
>> G=tf(50,[1 5 0]); H=tf(1,1);
Bước 2: Kích hoạt sisotool
>> sisotool;
Cửa sổ
SISO Design Tool
xuất hiện.
Bước 3:
Nhập đối tượng điều khiển
vào sisotool

Trong cửa sổ
SISO Design
Tool
chọn [File]
→
[Import …] (xem
hình bên). Cửa sổ
Import System Data
xuất hiện. Thực hiện các

bước sau:
3.1. Đặt tên hệ thống tùy ý (ở đây tên hệ thống được đặt là
ví dụ 6.4).
3.2. Cấu hình hệ thống điều khiển hiển thò ở góc trên, bên
phải. Có thể thay đổi cấu hình điều khiển bằng cách nhấp chuột
CHƯƠNG 6

230

vào nút nhấn [Other …].
Ban đầu tất cả các khối trong hệ thống điều khiển đều có
hàm truyền bằng 1, ta thay đổi đối tượng điều khiển (plant) là G,
cảm biến (sensor) là H, bộ lọc F (prefilter) bằng 1, khâu hiệu
chỉnh (compensator) C chưa thiết kế nên cũng bằng 1.
3.3. Sau khi thực hiện xong bước 3.2 cửa sổ
Import System
Data
như hình trên. Nhấp chuột vào nút [OK].

Bước 4: Khảo sát hệ thống trước khi hiệu chỉnh
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC


231


Sau khi nhấp chuột vào nút [OK] ở bước 3.3, cửa sổ
SISO
Design Tool
xuất hiện trở lại, trong cửa sổ này có các thông tin sau:

- Hàm truyền khâu hiệu chỉnh hiện tại bằng 1.
- Cấu hình hệ thống điều khiển hiện tại là hiệu chỉnh nối
tiếp, hồi tiếp âm. Có thể thay đổi cấu hình hệ thống điều khiển
bằng cách nhấp chuột vào nút [+/
−
] và [FS].
- QĐNS của hệ thống chưa hiệu chỉnh được hiển thò ở đồ thò
bên trái. Các chấm vuông đỏ đánh dấu vò trí các cực hiện tại của
hệ thống.
- Biểu đồ Bode của hệ thống chưa hiệu chỉnh được hiển thò ở
đồ thò bên phải, trên biểu đồ Bode có ghi chú tần số cắt biên, tần
số cắt pha, độ dự trữ biên, độ dự trữ pha.
- Có thể xem đáp ứng của hệ thống trước khi hiệu chỉnh bằng
cách chọn [Tool]
→
[Loop Responses …]
→
[Plant Output (Step)].
Quan sát đáp ứng của hệ thống ở hình dưới đây ta thấy độ vọt lố
khoảng 30%, thời gian quá độ khoảng 1.5 giây.
CHƯƠNG 6

232



Bước 5: Thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS

Di chuyển chuột vào đồ thò QĐNS và nhấp nút chuột phải,
THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC


233

một menu xuất hiện. Để ý các tùy chọn trên menu ở hình bên ta
thấy
SISO Design Tool
hỗ trợ thiết kế tất cả các khâu hiệu chỉnh
thông dụng trong lý thuyết điều khiển kinh điển như hiệu chỉnh
sớm pha (Lead), trễ pha. (Lag), sớm trễ pha (Notch), PD (Real
Zero), PI (Integrator + Real Zero), PID. (Integrator + Real Zero
+ Real Zero). Ngoài ra, ta còn có thể thiết kế các khâu hiệu chỉnh
khác tùy theo sự kết hợp của các cực thực (Real Pole), cực phức
(Complex Pole), tích phân lý tưởng (Integrator), zero thực (Real
Zero), zero phức (Complex Zero), vi phân lý tưởng (Differentiator).
Trong ví dụ này ta chọn
[Add]
→
→→
→
[Lead]
để thêm khâu hiệu
chỉnh sớm pha vào hệ thống. Nhấp chuột vào một vò trí tùy chọn
trên trục thực của QĐNS để xác đònh vò trí của cực, vò trí zero
SISO Design Tool
sẽ gán tự động nằm gần góc tọa độ hơn cực.
Ta thấy sau khi thêm vào khâu sớm pha QĐNS của hệ thống
bò sửa dạng. Bây giờ ta dùng chuột di chuyển vò trí cực và zero

sao cho QĐNS đi qua cực mong muốn s j
*
,
, ,
= − ±
1 2
10 5 10 5
(xem lại
ví dụ 6.4 để biết cách tính cực mong muốn này). Chú ý là khi di
chuyển vò trí cực và zero ta phải luôn đảm bảo zero gần góc tọa
độ hơn cực thì khâu hiệu chỉnh thiết kế mới là khâu hiệu chỉnh
sớm pha.
CHƯƠNG 6

234

Sau khi di chuyển cực đến vò trí –28.2 và zero đến vò trí –
7.91 ta thấy QĐNS đi qua cực mong muốn (hoặc chính xác hơn là
gần qua cực mong muốn, xem hình bên trái). Để ý hệ số khuếch
đại của khâu hiệu chỉnh bây giờ vẫn là 1 (hàm truyền của khâu
hiệu chỉnh nằm trong khung [Current Compensator]).
Di chuyển chuột đến vò trí cực hiện tại của hệ thống (chấm vuông
đỏ) và dời vò trí cực này đến gần cực mong muốn s j
*
,
, ,
= − ±
1 2
10 5 10 5
.

Khi di chuyển vò trí cực thì hệ số khuếch đại của khâu hiệu chỉnh
thay đổi. Khi vò trí cực đến s j
*
,
, ,
= − ±
1 2
10 7 10 7
thì hệ số khuếch
đại của khâu hiệu chỉnh là 6.82 (vò trí cực hiển thò trong khung
trạng thái phía dưới đồ thò QĐNS, xem hình bên phải ).



THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC


235

Bước 6: Kiểm tra lại đáp ứng của hệ thống
Chọn [Tools]
→
[Loop Responses]
→
[Plant Output (Step)], đáp
ứng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh hiển thò trên cửa sổ LTI
Viewer. Quan sát đáp ứng ta thấy hệ thống sau khi hiệu chỉnh có
độ vọt lố nhỏ hơn 20%, thời gian quá độ khoảng 0.5 giây, thỏa
mãn yêu cầu thiết kế.
Vậy hàm truyền của khâu hiệu chỉnh sớm pha là:

C
s
G s
s
( , )
( ) ,
( , )
+
=
+
7 91
6 82
28 1



CHƯƠNG 7

236

Chương
7

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG
ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1 HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
7.1.1 Khái niệm
Chương này đề cập đến một loại hệ thống điều khiển có hồi
tiếp, trong đó tín hiệu tại một hay nhiều điểm là một chuỗi xung,

không phải là hàm liên tục theo thời gian. Tùy thuộc vào phương
pháp lượng tử hóa tín hiệu mà ta có các loại hệ thống xử lý tín
hiệu khác nhau. Phương pháp lượng tử hóa theo thời gian cho tín
hiệu có biên độ liên tục, thời gian rời rạc. Hệ thống xử lý loại tín
hiệu này được gọi là hệ thống rời rạc. Nếu phép lượng tử hóa
được tiến hành theo thời gian và cả theo biên độ thì kết quả
nhận được là tín hiệu số. Hệ thống xử lý tín hiệu số gọi là hệ
thống số. Trong hệ thống rời rạc và hệ thống số, thông số điều
khiển - biên độ của tín hiệu chỉ xuất hiện tại các thời điểm rời
rạc cách đều nhau đúng bằng một chu kỳ lấy mẫu tín hiệu. Vì có
thời gian trễ tất yếu do lấy mẫu, việc ổn đònh hệ thống trở nên
phức tạp hơn so với hệ liên tục, do đó đòi hỏi những kỹ thuật
phân tích và thiết kế đặc biệt.
Sự phát triển mạnh mẽ của kỹ thuật số, kỹ thuật vi xử lý và
kỹ thuật máy tính làm cho ngày càng có nhiều hệ thống điều
khiển số được sử dụng để điều khiển các đối tượng. Hệ thống
điều khiển số có nhiều ưu điểm so với hệ thống điều khiển liên
tục như uyển chuyển, linh hoạt, dễ dàng đổi thuật toán điều
khiển, dễ dàng áp dụng các thuật toán điều khiển phức tạp bằng



237

cách lập trình. Máy tính số còn có thể điều khiển nhiều đối
tượng cùng một lúc. Ngoài ra, giá máy tính ngày càng hạ trong
khi đó tốc độ xử lý, độ tin cậy ngày càng tăng lên cũng góp phần
làm cho việc sử dụng các hệ thống điều khiển số trở nên phổ
biến. Hiện nay các hệ thống điều khiển số được sử dụng rất rộng
rãi, từ các bộ điều khiển đơn giản như điều khiển nhiệt độ, điều

khiển động cơ DC, AC, đến các hệ thống điều khiển phức tạp
như điều khiển robot, máy bay, tàu vũ trụ, các hệ thống điều
khiển quá trình công nghệ hóa học và các hệ thống tự động cho
những ứng dụng khác nhau.


Hình 7.1
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số

Hình 7.1 trình bày sơ đồ khối của hệ thống điều khiển số
thường gặp, trong hệ thống có hai loại tín hiệu: tín hiệu liên tục
c(t), u
R
(t) và tín hiệu số r(kT), c
ht
(kT), u(kT). Trung tâm của hệ
thống là máy tính số, máy tính có chức năng xử lý thông tin
phản hồi từ cảm biến và xuất ra tín hiệu điều khiển đối tượng. Vì
cảm biến và đối tượng là hệ thống liên tục nên cần sử dụng bộ
chuyển đổi A/D và D/A để giao tiếp với máy tính. Do đó để phân
tích và thiết kế hệ thống điều khiển số trước tiên ta phải mô tả
toán học được quá trình chuyển đổi A/D và D/A. Tuy nhiên, hiện
nay không có phương pháp nào cho phép mô tả chính xác quá
trình chuyển đổi A/D và D/A do sai số lượng tử hóa biên độ, vì
vậy thay vì khảo sát hệ thống số ở hình 7.1 ta khảo sát hệ rời
rạc ở hình 7.2.


CHƯƠNG 7

238

Hình 7.2
Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


239

Trong quyển sách này, chúng ta phát triển các phương pháp
phân tích và thiết kế hệ thống điều khiển liên tục cho hệ thống
điều khiển rời rạc. Nếu độ phân giải của phép lượng tử hóa biên
độ đủ nhỏ để có thể bỏ qua sai số thì ta có thể xem tín hiệu số là
tín hiệu rời rạc, điều đó có nghóa là lý thuyết điều khiển rời rạc
trình bày trong quyển này hoàn toàn có thể áp dụng để phân tích
và thiết kế các hệ thống điều khiển số.
7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu


Hình 7.3
Quá trình lấy mẫu dữ liệu

Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian thành
tín hiệu rời rạc theo thời gian. Xét bộ lấy mẫu có đầu vào là tín
CHƯƠNG 7

240

hiệu liên tục x(t) và đầu ra là tín hiệu rời rạc x*(t) (H.7.3). Quá
trình lấy mẫu có thể mô tả bởi biểu thức toán học sau:

x*(t) = x(t).s(t) (7.1)
trong đó s(t) là chuổi xung dirac:

( )
k
s t t kT
( )
+∞
=−∞
= δ −
∑
(7.2)
Thay (7.2) vào (7.1), đồng thời giả sử rằng x(t) = 0 khi t < 0,
ta được:

( ) ( )
k
x t x t t kT
* ( )
+∞
=
= δ −
∑
0


⇒

( ) ( )
k

x t x kT t kT
* ( )
+∞
=
= δ −
∑
0
(7.3)
Biến đổi Laplace hai vế phương trình (7.3) ta được:
( ) ( )
kTs
k
X s x kT e
*
+∞
−
=
=
∑
0
(7.4)
Biểu thức (7.4) chính là biểu thức toán học mô tả quá trình
lấy mẫu.
Đònh lý Shanon: Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu
mà không bò méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa mãn điều kiện:
1
2
c
f f
T

= ≥
(7.5)
trong đó f
c
là tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua
được sai số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi A/D chính là các
khâu lấy mẫu.
7.1.3 Khâu giữ dữ liệu
Khâu giữ dữ liệu là khâu chuyển tín hiệu rời rạc theo thời
gian thành tín hiệu liên tục theo thời gian.
Khâu giữ dữ liệu có nhiều dạng khác nhau, đơn giản nhất và
được sử dụng nhiều nhất trong các hệ thống điều khiển rời rạc là
khâu giữ bậc 0 (Zero-Order Hold - ZOH) (H.7.4).
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


241



Hình 7.4
Khâu giữ bậc 0 (ZOH)
Ta tìm hàm truyền của khâu ZOH. Để ý rằng nếu tín hiệu
vào của khâu ZOH là xung dirac thì tín hiệu ra là xung vuông có
độ rộng bằng T (H.7.4b). Ta có:
R(s) = 1 (vì r(t) là hàm dirac)

( ) ( )
{ }

( ) ( )
{ }
1 1 1
Ts
Ts
e
C s c t u t u t T e
s s s
−
−
−
= = − − = − =
L L
L LL L
L L

Theo đònh nghóa:
( )
(
)
( )
ZOH
C s
G s
R s
=

Do đó:
( )
1

1 1
− −
− −
= =
Ts
ZOH
e z
G s
s s
(7.6)
Biểu thức (7.6) chính là hàm truyền của khâu giữ bậc 0.
Trong các hệ thống điều khiển thực tế, nếu có thể bỏ qua được sai
số lượng tử hóa thì các khâu chuyển đổi D/A chính là các khâu
giữ bậc 0 (ZOH).
Nhận xét
Bằng cách sử dụng phép biến đổi Laplace ta có thể mô tả quá
trình lấy mẫu và giữ dữ liệu bằng các biểu thức toán học (7.4) và
a)

b)
CHƯƠNG 7

242

(7.6). Tuy nhiên các biểu thức toán học này lại chứa hàm e
x
nên
nếu ta sử dụng để mô tả hệ rời rạc thì khi phân tích, thiết kế hệ
thống sẽ gặp nhiều khó khăn. Ta cần mô tả toán học khác giúp
khảo sát hệ thống rời rạc dễ dàng hơn, nhờ phép biến đổi Z

trình bày dưới đây chúng ta sẽ thực hiện được điều này.
7.2 PHÉP BIẾN ĐỔI Z
7.2.1 Đònh nghóa
Cho x(k) là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của x(k) là:
( ) ( )
{ }
( )
k
k
X z x k x k z
+∞
−
=−∞
= =
∑
Z
ZZ
Z (7.7)
trong đó: z = e
Ts
(s là biến Laplace)
Ký hiệu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ
Z

Nếu x(k) = 0,

k
∀ <
0
thì biểu thức đònh nghóa trở thành:
( ) ( )
{ }
( )
k
k
X z x k x k z
+∞
−
=
= =
∑
0
Z
ZZ
Z (7.8)


Miền hội tụ
(Region of Convergence - ROC)
ROC là tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z) hữu hạn.


Ý nghóa của phép biến đổi Z

Giả sử x(t) là tín hiệu liên tục trong miền thời gian, lấy mẫu
x(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuỗi rời rạc x(k) = x(kT).

Biểu thức lấy mẫu x(t):
( ) ( )
kTs
k
X s x kT e
*
+∞
−
=
=
∑
0
(7.9)
Biểu thức biến đổi Z:

( ) ( )
k
k
X z x k z
+∞
−
=
=
∑
0
(7.10)
Vì z = e
Ts
nên vế phải của hai biểu thức (7.9) và (7.10) là như
nhau, do đó bản chất của việc biến đổi Z một tín hiệu chính là rời

rạc hóa tín hiệu đó.
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


243



Phép biến đổi Z ngược

Cho X(z) là hàm theo biến phức z. Biến đổi Z ngược của X(z) là:
( ) ( )
k
C
x k X z z dz
j
−
=
π
∫
1
1
2

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của
X(z) và bao gốc tọa độ.
7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z
1- Tính tuyến tính
Nếu:
( ) ( )

x k X z
←→
1 1
Z
ZZ
Z


( ) ( )
x k X z
←→
2 2
Z
ZZ
Z

Thì:
( ) ( ) ( ) ( )
a x k a x k a X z a X z
+ ←→ +
1 1 2 2 1 1 2 2
Z
ZZ
Z
(7.11)
2- Dời trong miền thời gian

Hình 7.5
Làm trễ tín hiệu k
o

mẫu
Nếu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ
Z

thì:
( )
( )
o
k
o
x k k z X z
−
− ←→
Z
ZZ
Z
(7.12)
Nhận xét:
Nếu trong miền Z ta nhân X(z) với
k
z
−
0
thì tương đương với
trong miền thời gian là trễ tín hiệu x(k) k

o
chu kỳ lấy mẫu.
CHƯƠNG 7

244

Vì
( ) ( )
x k z X z
−
− ←→
1
1
Z
ZZ
Z

nên z
–1
được gọi là toán tử làm trễ một chu kỳ lấy mẫu.
3- Tỉ lệ trong miền Z
Nếu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ
Z

thì:

( )
( )
k
a x k X a z
−
←→
1
Z
ZZ
Z
(7.13)
4- Đạo hàm trong miền Z
Nếu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ
Z

thì:
( )
(
)
dX z
kx k z
dz
←→−
Z
ZZ

Z
(7.14)
5- Đònh lý giá trò đầu
Nếu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ
Z

thì:
(
)
(
)
z
x X z
lim
→∞
=
0
(7.15)
6- Đònh lý giá trò cuối:
Nếu:
( ) ( )
x k X z
←→
Z
ZZ

Z

thì:
( )
(
)
( )
z
x lim z X z
−
→
∞ = −
1
1
1 (7.16)

7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản
1- Hàm dirac
δ
(k) =
nếu k = 0
nếu k 0


≠

1
0

Theo đònh nghóa:

( )
{ }
( ) ( )
k
k
k k z z
+∞
− −
=−∞
δ = δ = δ =
∑
0
0 1
Z
ZZ
Z
Vậy:
( )
k
δ ←→
1
Z
ZZ
Z
(ROC: toàn bộ mặt phẳng Z)
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


245

2- Hàm nấc đơn vò
Hàm nấc đơn vò (liên tục trong miền
thời gian):
u(t) =
nếu t
nếu t < 0
≥



1 0
0

Lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu là
T, ta được:
u(k) =
nếu k
nếu k < 0
≥



1 0
0

Theo đònh nghóa:

( )
{ }
( ) ( )

k k
k k
u k u k z u k z z z z
+∞ +∞
− − − − −∞
=−∞ =
= = + = + +
∑ ∑
1 2
0
1
K
Z
ZZ
Z
Nếu z
−
<
1
1
thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn, ta
dễ dàng suy ra:
( )
{ }
z
u k
z
z
−

= =
−
−
1
1
1
1
Z
ZZ
Z
Vậy:
( )
z
u k
z
z
−
←→ =
−
−
1
1
1
1
Z
ZZ
Z
(ROC: |z| > 1)
3- Hàm dốc đơn vò
Hàm dốc đơn vò (liên tục trong miền

thời gian):
r(t) =
0
0
≥



t nếu t
nếu t < 0

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là
T, ta được:
r(k) =
0
0
≥



kT nếu k
nếu k < 0


⇒
r(k) = kTu(k)
Ta tìm biến đổi Z của r(k) bằng cách áp dụng tính chất tỉ lệ
trong miền Z: