Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 14 pptx

CHƯƠNG 7

246

Ta có:

( )
u k
z
−
←→
−
1
1
1
Z
ZZ
Z

⇒

( )
( )
d z
ku k z
dz
z
z
−
−
−

 
←→− =
 
−
 
−
1
1 2
1
1
1
1
Z
ZZ
Z

⇒

( )
( )
( )
Tz Tz
kTu k
z
z
−
−
←→ =
−
−

1
2 2
1
1
1
Z
ZZ
Z

Vậy
( ) ( )
( )
( )
Tz Tz
r k kTu k
z
z
−
−
= ←→ =
−
−
1
2 2
1
1
1
Z
ZZ
Z

(ROC: |z| > 1)
4- Hàm mũ
Hàm mũ liên tục trong miền thời gian:
x(t) =
at
e nếu t
nếu t < 0
−

≥




0
0

Lấy mẫu r(t) với chu kỳ lấy mẫu là T,
ta được:
x(k) =
kaT
e nếu k
nếu k < 0
−

≥





0
0


⇒
x(k) = e
–kaT
u(k)
Theo đònh nghóa:

( )
{ }
( ) ( )
-k -k -2
0
1

aT
k k
x k x k z x k z e z
+∞ +∞
−
=−∞ =
= = = + +
∑ ∑
Z
ZZ
Z

( ) ( )

1 2
1

aT aT
e z e z
− −
= + + +

Nếu
( )
1
1
aT
e z
−
<
thì biểu thức trên là tổng của cấp số nhân
lùi vô hạn. Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô
hạn, ta suy ra:
( )
{ }
( )
1
1
1
-
aT
aT
z
x k

z e
e z
− −
= =
−
Z
ZZ
Z
Vậy:
( )
( )
( )
1
1
kaT
aT
aT
z
e u k
z e
e z
−
−
←→ =
−
−
Z
ZZ
Z

(
)
1
:
aT aT
ROC e z z e
−
> ⇔ >

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


247

Kết quả trên ta dễ dàng suy ra:
( )
k
z
a u k
z a
az
−
←→ =
−
−
1
1
1
Z

ZZ
Z

7.2.4 Các phương pháp tìm biến đổi Z ngược
Cho hàm
(
)
X z
, bài toán đặt ra là tìm
(
)
x k
. Theo công thức
biến đổi Z ngược, ta có:
( ) ( )
k
C
x k X z z dz
j
−
=
π
∫
1
1
2

với C là đường cong kín bất kỳ nằm trong ROC của
(
)

X
Z
ZZ
Z
và bao
gốc tọa độ.
Tìm x(k) bằng công thức trên rất phức tạp, thực tế ta thường
áp dụng các cách sau:
Cách 1: Phân tích
(
)
X z
thành tổng các hàm cơ bản, sau đó tra
bảng biến đổi Z
Ví dụ 7.1.
Cho
( )
( )( )
z
X z
z z
=
− −
2 3
. Tìm x(k).
Giải.
Phân tích
(
)
X

Z
ZZ
Z
, ta được:
( )
( )
z z
X z
z z
−
= +
− −
2 3

Tra bảng biến đổi Z:
( )
k
z
a u k
z a
←→
−
Z
ZZ
Z

Suy ra: x(k) = (–2
k
+ 3
k

)u(k)
g


Cách 2: Phân tích
(
)
X z
thành chuỗi lũy thừa
Theo đònh nghóa biến đổi z:
( ) ( )
( ) ( )
( )
k
k
X z x k z x z x z x z x z
( )
+∞
− − − −
=
== = + + + +
∑
0 1 2 3
0
0 1 2 3
K

Do đó nếu phân tích
(
)

X z
thành tổng của chuỗi lũy thừa ta
sẽ được giá trò x(k) chính là hệ số của thành phần z
–
k
.
CHƯƠNG 7

248

Ví dụ 7.2.
Cho
( )
( )( )
z
X z
z z
=
− −
2 3
. Tìm x(k).
Giải.

( )
( )( )
z z
X z
z z
z z
= =

− −
− +
2
2 3
5 6

Chia đa thức, ta được:
( )
X z z z z z
− − − −
= + + + +
1 2 3 3
5 19 65
K

Suy ra: x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,
g

Cách 3: Tính x(k) bằng công thức đệ qui
Ví dụ 7.3.
Cho
( )
( )( )
z
X z
z z
=
− −
2 3
. Tìm x(k).

Giải.
Ta có:
( )
( )( )
z z z
X z
z z
z z z z
−
− −
= = =
− −
− + − +
1
2 1 2
2 3
5 6 1 5 6

⇒

(
)
( )
z z X z z
− − −
− + =
1 2 1
1 5 6
⇒

( ) ( ) ( )
X z z X z z X z z
− − −
− + =
2 2 1
5 6
Biến đổi Z ngược hai vế phương trình trên (để ý tính chất dời
trong miền thời gian), ta được:
x(k) – 5x(k – 1) + 6x(k – 2) =
δ
(k – 1)
⇒
x(k) = 5x(k – 1) – 6x(k – 2) +
δ
(k – 1)
Với điều kiện đầu: x( k – 1) = 0; x(k – 2) = 0
Thay vào công thức trên ta tìm được:
x(0) = 0; x(1) = 1; x(2) = 5; x(3) = 19; x(4) = 65,
g

Cách 4: Áp dụng công thức thặng dư

( ) ( )
( )
1
Re
k–1
k
tại các cực của z X z
x k s z X z

−
 
=
 
∑

Nếu
o
Z
ZZ
Z
là cực bậc một thì:

( )
( )
( )
1 1
Re
o
o
k k
z z
o z z
s z X z z z z X z
− −
=
=
 
= −
 

Nếu
o
Z
ZZ
Z
là cực bậc p thì:

( )
( )
( )
( )
o
p
p
k k
z z o
p
z z
d
s z X z z z z X z
p
dz
Re
!
−
− −
=
−
=

 
 
= −
 
 
−
0
1
1 1
1
1
1

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


249

Ví dụ 7.4.
Cho
( )
( )( )
z
X z
z z
=
− −
2 3
. Tìm x(k).
Giải.

Áp dụng công thức thặng dư, ta được:
( ) ( ) ( )
k k
z z
x k s z X z s z X z
Re Re
− −
= =
   
= +
   
1 1
2 3

Mà:

( ) ( ) ( )
k k
z z
s z X z z z X z
Re
− −
=
=
 
= −
 
1 1
2
2

2
=
( )
( )( )
k
z
z
z z
z z
−
=
−
− −
1
2
2
2 3
=
( )
k
k
z
z
z
=
= −
−
2
2
3



( ) ( ) ( )
k k
z z
s z X z z z X z
Re
− −
=
=
 
= −
 
1 1
3
3
3
=
( )
( )( )
k
z
z
z z
z z
−
=
−
− −

1
3
3
2 3
=
( )
k
k
z
z
z
=
=
−
3
3
2

Do đó: x(k) = –2
k
+ 3
k
g

7.3 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG HÀM TRUYỀN
7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc



Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống rời rạc

được mô tả bằng phương trình sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
o n n
a c k n a c k n a c k a c k
−
+ + + − + + + + =
1 1
1 1
K

=
(
)
(
)
(
)
(
)
o m m
b r k m b r k m b r k b r k
−
+ + + − + + + +

1 1
1 1
K
(7.17)
trong đó n
≥
m, n gọi là bậc của hệ thống rời rạc
Biến đổi z hai vế phương trình (7.17) ta được:
( ) ( ) ( ) ( )
n n
o n n
a z C z a z C z a zC z a C z
−
−
+ + + + =
1
1 1
K

=
( ) ( ) ( ) ( )
m m
o m
b z R z b z R z b zR z R z
−
−
+ + + +
1
1 1
K

⇔

( )
n n
o n n
a z a z a z a C z
−
−
 
+ + + +
 
1
1 1
K
=

( )
m m
o m m
b z b z b z b R z
−
−
 
= + + + + +
 
1
1 1
K K

CHƯƠNG 7

250

⇔

( )
( )
m m
o m m
n n
o n n
b z b z b z b
C z
R z
a z a z a z a
−
−
−
−
+ + + +
=
+ + + +
1
1 1
1
1 1
K
K

Đặt:
( )
( )
( )
m m
o m m
n n
o n n
b z b z b z b
C z
G z
R z
a z a z a z a
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
1
1 1
1
1 1
K
K
(7.18)
(
)
G z

được gọi là hàm truyền của hệ thống rời rạc.
Hàm truyền (7.18) có thể biến đổi tương đương về dạng:
( )
( )
( )
n m m m
o m m
n n
o n n
z b b z b z b z
C z
G z
R z
a a z a z a z
( )
− − − − + −
−
− − + −
−
 
+ + + +
 
= =
+ + + +
1 1
1 1
1 1
1 1
K
K

(7.19)
Hai cách biểu diễn trên hoàn toàn tương đương nhau, trong
thực tế hàm truyền dạng thứ hai được sử dụng nhiều hơn.
Ví dụ 7.5.
Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k r k
+ + + − + + = + +
3 2 2 5 1 3 2 2

Tìm hàm truyền của hệ thống.
Giải.
Biến đổi Z hai vế phương trình sai phân mô tả hệ thống, ta
được:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z C z z C z zC z C z z R z R z
+ − + = +
3 2 2
2 5 3 2

⇒

( )
( )
( )
C z z
G z
R z
z z z
+
= =
+ − +
2
3 2
2 1
2 5 3

⇔

( )
( )
( )
(
)
C z z z
G z
R z
z z z
− −
− − −

+
= =
+ − +
1 2
1 2 3
2
1 2 5 3

7.3.2. Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối
Khi thêm vào hệ thống liên tục các khâu lấy mẫu, khâu giữ
dữ liệu (và bộ điều khiển số) ta được hệ thống điều khiển rời rạc.
Bài toán đặt ra là tìm hàm truyền hệ rời rạc theo biến z từ sơ đồ
khối có các khâu lấy mẫu. Xét một số sơ đồ thường gặp sau đây:
1- Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu



Hình 7.6
Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


251

( )
(
)
( )
( ) ( )
C z

G z G z G z
R z
= =
1 2
(7.20)
trong đó:
(
)
(
)
{
}
G z G s
=
1 1
Z
ZZ
Z
;
(
)
(
)
{
}
G z G s
=
2 2
Z
ZZ

Z

Ví dụ 7.6.
Cho
( ) ( )
2
G s và G s
s a s b
= =
+ +
1
1 1
. Tìm hàm truyền tương
đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.6.
Giải.
Tra bảng biến đổi Z, ta có:

( ) ( )
{ }
{
}
aT
z
G z G s
s a
z e
−
= = =
+
−

1 1
1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z


( ) ( )
{ }
{
}
bT
z
G z G s
s b
z e
−
= = =
+
−
2 2
1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z

Do đó dễ dàng suy ra:
( ) ( )
( )( )
aT bT

z
G z G z
z e z e
− −
=
− −
2
1 2

g

2- Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu



Hình 7.7
Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu
( )
(
)
( )
( )
C z
G z G G z
R z
= =
1 2
(7.21)
trong đó:
(

)
(
)
{
}
G G G s G s
=
1 2 1 2
Z
ZZ
Z

Cần chú ý là:

(
)
(
)
(
)
{
}
(
)
{
}
(
)
(
)

{
}
(
)
G z G z G s G s G s G s G G z
= ≠ =
1 2 1 1 1 2 1 2
Z Z Z
Z Z ZZ Z Z
Z Z Z

Ví dụ 7.7 sẽ minh họa điều này.
Ví dụ 7.7.
Cho
( ) ( )
2
G s và G s
s a s b
= =
+ +
1
1 1
. Tìm hàm truyền tương
đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Giải.
Tra bảng biến đổi z, ta có:
CHƯƠNG 7

252

( ) ( ) ( )
{ }
( )( )
G G z G s G s
s a s b
 
= =
 
+ +
 
1 2 1 1
1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z


( ) ( ) ( ) ( )
b a s a a b s b
 
= +
 
− + − +
 
1 1 1 1
Z
ZZ
Z

( ) ( ) ( ) ( )
b a s a a b s b
   
= +
   
− + − +
   
1 1 1 1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z


( )
( )
( )
( )
aT bT
z z
b a a b
z e z e
− −
= +
− −
− −
1 1

⇒

( )
(
)
( )
( )( )
bT aT
aT bT
z e e
G G z
b a z e z e
− −
− −
−
=
− − −
1 2

Rõ ràng kết quả tính hàm truyền tương đương của hai hệ
thống ở ví dụ 7.6 và 7.7 hoàn toàn khác nhau.
g

3- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số


Hình 7.8
Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số
( )
(
)
( )

(
)
( )
k
C z G z
G z
R z GH z
= =
+
1
(7.22)
trong đó:
(
)
(
)
{
}
G z G s
=
Z
ZZ
Z
;
(
)
(
)
(
)

{
}
GH z G s H s
.=
Z
ZZ
Z

Trường hợp H(s) = 1 (hệ thống hồi tiếp âm đơn vò) ta có:
( )
(
)
( )
(
)
( )
k
C z G z
G z
R z G z
= =
+
1
(7.23)
Ví dụ 7.8.
Cho
( ) ( )
G s và H s
s a s b
= =

+ +
1 1
. Tìm hàm truyền tương
đương của hai hệ thống có sơ đồ khối ở hình 7.7.
Giải.
Thực hiện phép biến đổi Z tương tự như đã làm ở ví dụ 7.6
và 7.7, ta dễ dàng tính được:

( ) ( )
{ }
{
}
aT
z
G z G s
s a
z e
−
= = =
+
−
1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


253

( ) ( ) ( )
{ }
{
}
(
)
( )
( )( )
bT aT
aT bT
z e e
GH z G s H s
s a s b
b a z e z e
− −
− −
−
= = =
+ +
− − −
1 1
Z Z
Z ZZ Z
Z Z

Thay vào công thức (7.22) ta được:

( )
( )

( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )( )
aT
k
bT aT
aT bT
z
C z G z
z e
G z
R z GH z
z e e
b a z e z e
−
− −
− −
−
= = =
+
−
+
− − −
1
1

⇒

( )
( )
(
)
( )
( )( ) ( )
bT
k
aT bT bT aT
b a z e z
G z
b a z e z e z e e
−
− − − −
− −
=
− − − + −

g

4- Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp


Hình 7.9
Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp
Trường hợp này không tìm được biểu thức hàm truyền, quan
hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra như sau:
( )

(
)
( )
1
RG z
C z
GH z
=
+
(7.24)
trong đó:
(
)
(
)
(
)
{
}
RG z R s G s
=
Z
ZZ
Z
;
(
)
(
)
(

)
{ }
GH z G s H s
=
Z
ZZ
Z

5- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong
nhánh thuận

Hình 7.10
Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ
trong nhánh thuận
( )
(
)
( )
(
)
( ) ( )
k
C z G z
G z
R z G z H z
= =
+
1
(7.25)
trong đó:

(
)
(
)
{
}
G z G s
=
Z
ZZ
Z
;
(
)
(
)
{
}
H z H s
=
Z
ZZ
Z

CHƯƠNG 7

254

6- Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các
khâu nối tiếp ở nhánh thuận

Hình 7.11
Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu
nối tiếp ở nhánh thuận
( )
(
)
( )
(
)
(
)
( ) ( )
k
G z G z
C z
G z
R z G z G H z
= =
+
1 2
1 2
1

trong đó:
(
)
(
)
{

}
G z G s
=
1 1
Z
ZZ
Z
;
(
)
(
)
{
}
G z G s
=
2 2
Z
ZZ
Z


(
)
(
)
(
)
{
}

G H z G s H s
=
2 2
Z
ZZ
Z

7- Sơ đồ dòng tín hiệu - Công thức Mason cho hệ rời rạc
Có thể mở rộng khái niệm sơ đồ dòng tín hiệu đã trình bày
trong chương 2 cho hệ liên tục để áp dụng vào hệ rời rạc với một
vài thay đổi nhỏ. Để sử dụng công thức Mason cho hệ rời rạc cần
để ý các nguyên tắc sau đây:

Nếu không có bộ lấy mẫu giữa đầu vào R(s) và khâu đầu
tiên trong vòng thuận (ví dụ G(s)) thì không thể tách biệt biến
đổi Z của đầu vào và khâu đầu tiên và ta luôn có số hạng
(
)
RG
Z
ZZ
Z
.
Do đó trong trường hợp này không thể tính được hàm truyền
bằng tỉ lệ giữa biến đổi Z tín hiệu ra và tín hiệu vào của hệ
thống.

Nếu một khâu trong vòng thuận hay trong vòng hồi tiếp
phân biệt với đầu vào, đầu ra của hệ thống và với các khâu khác
bởi các bộ lấy mẫu ở đầu vào và đầu ra của nó hoàn toàn độc lập

về biến đổi Z.

Nếu một khâu trong vòng thuận hay vòng hồi tiếp không
phân biệt với các khâu kế cận hay với đầu vào của hệ thống bởi
bộ lấy mẫu thì phải thực hiện phép biến đổi Z của hàm truyền
kết hợp của hai khâu hay giữa khâu đó với đầu vào.
Dùng lý thuyết Mason và ba nguyên tắc trên cho hệ rời rạc,
độc giả có thể kiểm chứng được các công thức tính hàm truyền đã
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


255

dẫn ra trong mục 7.3.2 này.
7.4 MÔ TẢ HỆ THỐNG RỜI RẠC BẰNG PHƯƠNG TRÌNH TRẠNG THÁI
7.4.1 Thành lập phương trình trạng thái từ phương trình
sai phân
1- Vế phải của phương trình sai phân không chứa sai phân
của tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu
ra mô tả bởi phương trình sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
1 1
1 1
−
+ + + − + + + + =
n n o
c k n a c k n a c k a c k b r k
K
(7.26)
Chú ý: Ở phương trình trên hệ số a
o
= 1. Nếu a
o

≠
1 ta chia
hai vế cho a
o
để được phương trình sai phân có dạng (7.26).
Tương tự như đã làm đối với hệ liên tục, ta đặt các biến
trạng thái để biến đổi tương đương phương trình sai phân bậc n ở
trên thành hệ n phương trình sai phân bậc một.
Đặt các biến trạng thái như sau:
(
)
(
)
x k c k
=
1

(
)
(
)
x k x k
= +
2 1
1

⇒

(
)
(
)
x k c k
= +
2
1

(
)
(
)
x k x k
= +
3 2
1

⇒

(
)
(
)
x k c k
= +
3
2


(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n n n n
x k x k x k c k n x k c k n
−
= +
⇒
= + −

⇒
+ = +
1
1 1 1

Thay vào phương trình (7.26) ta được:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n n n n o
x k a x k a x k a x k b r k
−
+ + + + + =
1 1 2 1
1
K

⇒

(
)
(
)

(
)
(
)
(
)
n n n n o
x k a x k a x k a x k b r k
−
+ = − − − − +
1 1 2 1
1
K

Kết hợp phương trình trên với các biểu thức đặt biến trạng
thái ta được hệ phương trình sau:
CHÖÔNG 7

256

(
)
(
)
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
n n
n n n n o
x k x k

x k x k
x k x k
x k a x k a x k a x k b r k
−
−

+ =

+ =




+ =


+ = − − − − +

1 2
2 3
1
1 1 2 1
1
1
1
1
M
K

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

257

Viết lại dưới dạng ma trận:
(
)
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
x k
x k
−
 
+
 
+
 
 
 
+
 
 
+
 
1

2
1
1
1
1
1
M
=
n n n
a a a a a
− −
 
 
 
 
 
 
 
− − − − −
 
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
K
K
M M M M M
K
K

(
)
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
x k
x k
−
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
M
+
o
b
 
 
 

 
 
 
 
 
0
0
0
M
r(k)
Đáp ứng của hệ thống:
( ) ( )
[ ]
(
)
( )
( )
( )
1
n
n
x k
x k
c k x k
x k
x k
−
 
 
 

 
= =
 
 
 
 
2
1
1
1 0 0 0
K
M

Đặt:
x
(k) =
(
)
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
x k
x k
−
 
 

 
 
 
 
 
 
1
2
1
M

d
n n n
a a a a a
− −
 
 
 
 
=
 
 
 
− − − − −
 
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
K

K
M M M M M
K
K
A
B
d
=
b
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
0
M
C
d
=
[
]
1 0 0 0
K

Ta được hệ phương trình biến thái:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
d d
d
k k r k
c k k

+ = +

=

x A x B
C x

g

Ví dụ 7.9.
Cho hệ thống điều khiển rời rạc mô tả bởi phương trình
sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
c k c k c k c k r k
+ = + + + + =
2 3 2 5 1 4 3

Hãy viết hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống.
Giải.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k
+ = + + + + =
2 3 2 5 1 4 3


⇔

(
)
(
)
(

)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k
, , ,+ + + + + + =
3 0 5 2 2 5 1 2 1 5

CHƯƠNG 7

258

Đặt biến trạng thái như sau:
(
)
(
)
x k c k
=
1

(
)
(
)
x k x k
= +
2 1
1

(
)
(
)
x k x k
= +
3 2
1

Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống đã cho là:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
d d
d
k k r k
c k k

+ = +

=

x A x B
C x

trong đó:

x(k) =
(

)
( )
( )
x k
x k
x k
 
 
 
 
 
1
2
3



A
d
=
a a a
, ,
   
   
=
   
   
− − − − − −
 
 

3 2 1
0 1 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
2 2 5 0 5



B
d
=
o
b
,
   
   
=
   
   
 
 
0 0
0 0
1 5



C
d
=
[

]
1 0 0

2- Vế phải của phương trình sai phân có chứa sai phân của
tín hiệu vào
Xét hệ thống rời rạc có quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu
ra mô tả bởi phương trình sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
n n
c k n a c k n a c k a c k
−
+ + + − + + + + =
1 1
1 1
K

=
(
)
(
)
(
)

(
)
o n n
b r k n b r k n b r k b r k
−
+ + + − + + + +
1 1
1 1
K
(7.27)
Chú ý: Ở phương trình trên hệ số a
o
= 1. Nếu a
o

≠
1 ta chia
hai vế cho a
o
để được phương trình sai phân có dạng (7.27)
Đặt các biến trạng thái như sau:
(
)
(
)
(
)
o
x k c k r k
= −β

1

(
)
(
)
(
)
x k x k r k
= + − β
2 1 1
1

(
)
(
)
(
)
x k x k r k
= + − β
3 2 2
1


(
)
(
)
(

)
n n n
x k x k r k
− −
= + − β
1 1
1

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


259

Từ cách đặt biến trạng thái trên ta rút ra phương trình sau:
⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n n n n n
x k a x k a x k a x k r k
−
+ = − − − − + β

1 1 2 1
1
K

trong đó:
o o
b
β =

o
b a
β = − β
1 1 1

b a a
β = − β − β
2 2 1 1 2 0

o
b a a a
β = − β − β − β
3 3 1 2 2 1 3

o
b a a a a
β = − β − β − β − β
4 4 1 3 2 2 3 1 4


n n n n n n n n o

b a a a a a a
− − − − −
β = − β − β − β − β − − β − β
1 1 2 2 3 3 4 4 1 1
K

Do đó hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống có dạng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
d d
d d
k k r k
c k k r k

+ = +

= +

x A x B
C x D

trong đó:
x(k) =
(
)
( )
( )
( )
n

n
x k
x k
x k
x k
−
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
M

A
d
=
n n n
a a a a a
− −
 
 
 
 
 

 
 
− − − − −
 
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
K
K
M M M M M
K
K

B
d
=
n
n
−
β
 
 
β
 
 
 
β
 
 

β
 
1
2
1
M
C
d
=
[
]
1 0 0 0
K
D
d
=
β
o
.
Ví dụ 7.10.
Cho hệ thống rời rạc mô tả bởi phương trình sai phân:
(
)
(
)
(
)
(
)
(

)
(
)
c k c k c k c k r k r k
+ + + + + + = + +
2 3 2 5 1 4 2 3

Hãy viết hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.
Giải.
Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k r k
+ + + + + + = + +
2 3 2 5 1 4 2 3

⇔

(
)

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k r k
, , , ,+ + + + + + = + +
3 0 5 2 2 5 1 2 0 5 2 1 5

CHƯƠNG 7

260

Đặt các biến trạng thái:
(
)
(
)
(
)
o
x k c k r k
= −β
1

(
)
(
)
(
)
x k x k r k
= + − β
2 1 1
1

(
)
(
)
(
)
x k x k r k
= + − β
3 2 2
1

⇒

(
)
(
)
(
)

(
)
(
)
x k a x k a x k a x k r k
+ = − − − + β
3 3 1 2 2 1 3 3
1

trong đó:
o o
b
β = =
0

o
b a
, ,
β = − β = × =
1 1 1
0 5 0 0 5

o
b a a
, , , ,
β = − β − β = − × − × = −
2 2 1 1 2
0 0 5 0 5 2 5 0 0 25

(

)
o
b a a a
, , , , , ,β = − β − β − β = = × − − × =
3 3 1 2 2 1 3
1 5 0 5 0 25 2 5 0 5 0 375
Hệ phương trình biến trạng thái có dạng:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1
d d
d d
k k r k
c k k r k

+ = +

= +

x A x B
C x D

trong đó:
x(k) =
(
)
( )
( )
x k
x k

x k
 
 
 
 
 
1
2
3
A
d
=
, ,
 
 
 
 
− − −
 
0 1 0
0 0 1
2 2 5 0 5

B
d
=
,
,
,
 

 
−
 
 
 
0 5
0 25
0 375
C
d
=
[
]
1 0 0
D
d
= 0
g

7.4.2 Thành lập phương trình trạng thái từ hàm truyền
hệ rời rạc
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

( )
( )
( )
m m
o m m
n n
n n

b z b z b z b
C z
G z
R z
z a z a z a
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
1
1 1
1
1 1
K
K
(7.28)
Chú ý: Ở hàm truyền trên hệ số a
o
= 1. Nếu a
0

≠
1 ta chia tử
số và mẫu số cho a
o
để được hàm truyền có dạng (7.28).
Cách 1: Biến đổi tương đương hàm truyền về dạng phương

trình sai phân:
MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


261

(7.28)
⇔

(
)
( )
n n
n n
z a z a z a C z
−
−
+ + + +
1
1 1
K

=
(
)
( )
m m
o m m
b z b z b z b R z
−

−
+ + + +
1
1 1
K

⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
n n
c k n a c k n a c k a c k
−
+ + + − + + + + =
1 1
1 1
K

=
(
)
(
)
(

)
(
)
1 1
1 1
−
+ + + − + + + +
o m m
b r k m b r k m b r k b r k
K

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.2 ta rút ra
được hệ phương trình biến trạng thái.
Ví dụ 7.11.
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống có hàm truyền là:
( )
( )
( )
C z z
G z
R z
z z z
+
= =
+ + +
2
3 2
3
2 5 4

Giải.
Cách 1: Hàm truyền đã cho tương đương với:
( )
( )
( )
C z z
G z
R z
z z z
, ,
, ,
+
= =
+ + +
2
3 2
0 5 1 5
0 5 2 5 2

⇔

(
)
( )
(
)
( )
z c c C z z R z
, , , ,+ + + = +

3 2 2
0 5 2 5 2 0 5 1 5
⇔

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
c k c k c k c k r k r k
, , , ,+ + + + + + = + +
3 0 5 2 2 5 1 2 0 5 2 1 5

xem tiếp lời giải đã trình bày ở ví dụ 7.10.
Cách 2: Do
( )
( )
( )
m m
o m m
n n
n n
b z b z b z b

C z
G z
R z
z a z a z a
−
−
−
−
+ + + +
= =
+ + + +
1
1 1
1
1 1
K
K

nên ta có thể đặt biến phụ E(z) sao cho:
(
)
( )
m m
o m m
C z b z b z b z b E z
( )
−
−
= + + + +
1

1 1
K
(7.29)
( )
(
)
( )
n n
n n
R z z a z a z a E z
−
−
= + + + +
1
1 1
K
(7.30)
(7.30)
⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)

n n
e k n a e k n a e k a e k r k
−
+ + + − + + + + =
1 1
1 1
K

Áp dụng phương pháp đã trình bày ở mục 7.4.1.1, đặt các
biến trạng thái:
(
)
(
)
x k e k
=
1

(
)
(
)
x k x k
= +
2 1
1

⇒

(

)
(
)
x k e k
= +
2
1

(
)
(
)
x k x k
= +
3 2
1

⇒

(
)
(
)
x k e k
= +
3
2


(

)
(
)
n n
x k x k
−
= +
1
1

⇒

(
)
(
)
n
x k e k n
= + −
1

⇒

(
)
(
)
n
x k e k n
+ = +

1

CHƯƠNG 7

262

Ta được phương trình:
(
)
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
x k
x k
−
 
+
 
+
 
 
 
+
 
 
+

 
1
2
1
1
1
1
1
M
=
n n n
a a a a a
− −
 
 
 
 
 
 
 
− − − − −
 
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
K
K
M M M M M
K

K

(
)
( )
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
r k
x k
x k
−
 
 
 
 
 
 
 
 
+
 
 
 
 
 

 
 
 
1
2
1
0
0
0
1
M
M

(7.29)
⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
o m m
c k b e k m b e k m b e k b e k
−
= + = + − + + + +

1 1
1 1
K


⇒

(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
o m m m m
c k b x k b b k b x k b x k
+ −
= + + + +
1 1 1 2 1
K


⇒

(
)
[

]
m m o
c k b b b b
−
=
1 1
0 0
K K

(
)
( )
( )
( )
n
n
x k
x k
x k
x k
−
 
 
 
 
 
 
 
 
1

2
1
M

Tóm lại ta được hệ phương trình trạng thái:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
d d
d
k k k
c k k

+ = +

=

x A x B
C x

trong đó:
x(k) =
(
)
( )
( )
( )
n
n
x k

x k
x k
x k
−
 
 
 
 
 
 
 
 
1
2
1
M
A
d
=
n n n
a a a a a
− −
 
 
 
 
 
 
 
− − − − −

 
1 2 2 1
0 1 0 0 0
0 0 1 0 0
0 0 0 0 1
K
K
M M M M M
K
K

B
d
=
 
 
 
 
 
 
 
 
0
0
0
1
M
C
d
=

(
)
[
]
m m o
c k b b b b
−
=
1 1
0 0
K K

g

Ví dụ 7.12.
Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền:

( )
( )
( )
C z z
G z
R z
z z z
+
= =
+ + +
2
3 2
3

2 5 4

MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


263

Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái.
Giải.
Hàm truyền đã cho tương đương với:

( )
( )
( )
C z z
G z
R z
z z z
, ,
, ,
+
= =
+ + +
2
3 2
0 5 1 5
0 5 2 5 2

Đặt biến phụ
(

)
E z
sao cho:
( )
(
)
( )
( )
( )
( )
C z z E z
R z z z z E z
, ,
, ,

= +


= + + +


2
3 2
0 5 1 5
0 5 2 5 2

⇔

(
)

(
)
(
)
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
c k c k c k
r z e k e k e k e k
, ,
, ,

= + +

= + + + + + +

0 5 2 1 5
3 0 5 2 2 5 1 2

Đặt biến trạng thái:
(
)
(
)
x k e k
=
1

(
)
(
)

x k x k
= +
2 1
1

(
)
(
)
x k x k
= +
3 2
1

Ta được hệ phương trình:
(
)
(
)
(
)
( ) ( )
d d
d
k k r k
c k k

+ = +

=


1
x A x B
D x

trong đó:
x
(k) =
(
)
( )
( )
x k
x k
x k
 
 
 
 
 
1
2
3

A
d
=
0 1 0
= 0 0 1
a a a –2 –2.5 –0.5

   
   
   
   
− − −
 
 
3 2 1
0 1 0
0 0 1
B
d
=
 
 
 
 
 
0
0
1

D
d
=
[
]
[
]
b b b

. .
=
2 1 0
1 5 0 0 5

g

Ví dụ 7.13.
Hãy thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ
thống có hàm truyền là:

( )
(
)
( )
C z z
G z
R z
z z z z
+
= =
+ + + +
4 3 2
2 1
2 5 3

Giải.
Đặt biến phụ E(z) sao cho:
(
)

(
)
(
)
( )
( )
( )
C z z E z
R z z z z z E z

= +


= + + + +


4 3 2
2 1
2 5 3