Giáo trình lý thuyết kỹ thuật điều khiển tự động 16 doc

CHƯƠNG 7

282

- Thay
z a jb
= + (điều kiện: a b
)
+ =
2 2
1
vào phương trình đặc
tính (8.6), cân bằng phần thực và phần ảo sẽ tìm được giao điểm
với đường tròn đơn vò và giá trò K
gh
.
Qui tắc 9:
Góc xuất phát của quỹ đạo nghiệm số tại cực phức
p
j
được xác đònh bởi

m n
j j i j i
i i
i j
p z p p
arg( ) arg( )
= =
≠
θ = ° + − − −

∑ ∑
1 1
180 (8.11)
Dạng hình học của công thức trên là
θ
j
= 180
o
+ (
∑
góc từ các zero đến cực p
j

)
– (
∑
góc từ các cực còn lại đến cực p
j
) (8.12)
Qui tắc 10. Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 → +∞
Qui tắc 11: Hệ số khuếch đại dọc theo quỹ đạo nghiệm số có
thể xác đònh từ điều kiện biên độ
( )
( )
N z
K
D z
=
1

(8.13)


Ví dụ 8.3. Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình
vẽ, trong đó



- Hàm truyền khâu liên tục
5
5
( )
( )
=
+
K
G s
s s

- Chu kỳ lấy mẫu
T
, sec
=
0 1

Hãy vẽ QĐNS của hệ thống trên khi K thay đổi từ 0 đến +∞.
Tính K
gh
.
Giải. Phương trình đặc tính của hệ có sơ đồ khối như trên là

G z
( )
+ =
1 0

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


283

trong đó

{
}
( ) ( ) ( )
ZOH
G z G s G s
=
Z
1 5
5
( )
−
 
−
 
=
 
+
 

 
Ts
e K
s s s
Z


1
2
5
1
5
( )
( )
−
 
 
= −
 
+
 
 
K z
s s
Z


z z e z e e
K
z

z z e
. , ,
,
[( , ) ( , )]
( ) ( )
− − −
−
 
− − + + − −
 
=
 
 
 
− −
 
 
0 5 0 5 0 5
2 0 5
1 0 5 1 1 0 5
5 1

⇒

z
G z K
z z
, ,
( )
( )( , )

+
=
− −
0 021 0 018
1 0 607

⇒
Phương trình đặc tính là
z
K
z z
, ,
( )( , )
+
+ =
− −
0 021 0 018
1 0
1 0 607
(8.14)
- Các cực:
p
=
1
1
,
p
,=
2
0 607

(n = 2)
- Các zero:
z
,= −
1
0 857
(m = 1)
- Góc tạo bởi tiệm cận và trục thực
l l
n m
( ) ( )+ π + π
α = = = π
− −
2 1 2 1
2 1
(l = 0)
- Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực
( , ) ( , )
,
1 0 607 0 857
2 464
2 1
cực zero
OA
n m
−
+ − −
= = =
− −
∑ ∑

- Điểm tách nhập là nghiệm của phương trình
dK
dz
=
0
.
Ta có
(8.14)
⇒

z z z z
K
z z
( )( , ) , ,
, , , ,
− − − +
= − = −
+ +
2
1 0 607 1 607 0 607
0 021 0 018 0 021 0 018


⇒

dK z z
dz z
, ,
, ,

− +
= −
+
2
1 607 0 607
0 021 0 018


z z z z
z
( , )( , , ) ( , , )( , )
( , , )
− + − − +
= −
+
2
2
2 1 607 0 021 0 018 1 607 0 607 0 021
0 021 0 018


z z
z
, , ,
( , , )
+ −
= −
+
2
2

0 021 0 036 0 042
0 021 0 018

CHƯƠNG 7

284

⇒

dK
dz
=
0
⇔
z
z
,
,
= −


=

1
2
2 506
0 792

Cả hai nghiệm trên đều thuộc QĐNS
⇒

có hai điểm tách nhập.
- Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vò
(8.14) ⇔
z z K z
( )( , ) ( , , )
− − + + =
1 0 607 0 021 0 018 0

⇔ z K z K( , , ) ( , , )
+ − + + =
2
0 021 1 607 0 018 0 607 0

Cách 1: Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng
Đổi biến
w
z
w
+
=
−
1
1
, ta được

w w
K K
w w
( , , ) ( , , )
+ +

   
+ − + + =
   
− −
   
2
1 1
0 021 1 607 0 018 0 607 0
1 1

⇔ Kw K w K, ( , , ) ( , , )
+ − + − =
2
0 039 0 786 0 036 3 214 0 003 0

Điều kiện để hệ thống ổn đònh là

K
K
K
, ,
, ,
>


− >


− >


0
0 786 0 036 0
3 214 0 003 0
⇔
K
K
K
,
>


<


<

0
21 83
1071

21 83
,
⇒
=
gh
K

Thay
gh
K

,
=
21 83
vào phương trình đặc tính, ta được
z z,
− + =
2
1 1485 1 0
⇔
z j
, ,
= ±
0 5742 0 8187

Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vò là
0 5742 0 8187
, ,
= ±
z j

Cách 2: Thay
z a jb
= +
vào phương trình trên, ta được
a jb K a jb K( ) ( , , )( ) ( , , )
+ + − + + + =
2
0 021 1 607 0 018 0 607 0

⇔

a j ab b K a j K b
( , , ) ( , , )
+ − + − + − +
2 2
2 0 021 1 607 0 021 1 607
+
K
( , , )
+ =
0 018 0 607 0

⇔
a b K a K
j ab j K b
( , , ) ( , , )
( , , )

− + − + + =


+ − =


2 2
0 021 1 607 0 018 0 607 0
2 0 021 1 607 0

Kết hợp với điều kiện
a b
+ =

2 2
1
ta được hệ phương trình

2 2
2 2
0 021 1 607 0 018 0 607 0
2 0 021 1 607 0
1
( , , ) ( , , )
( , , )

− + − + + =

+ − =


+ =

a b K a K
j ab j K b
a b

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


285

Giải hệ phương trình trên, ta được bốn giao điểm là

z
=
1
, tương ứng với
K
=
0


z
= −
1
, tương ứng với
K
=
1071


z j
, ,
= ±
0 5742 0 8187
, tương ứng với
K
,
=
21 8381

Vậy
21 83

,
=
gh
K



8.5 CHẤT LƯNG HỆ THỐNG RỜI RẠC
1- Đáp ứng quá độ:
có thể xác đònh được đáp ứng của hệ
thống rời rạc bằng một trong hai cách sau đây:
- Cách 1: tính
( )
C z
, sau đó dùng phép biến đổi Z ngược để
tìm
( )
c k
.

- Cách 2: tính nghiệm
( )
x k
của phương trình trạng thái của hệ
rời rạc, từ đó suy ra
( )
c k
.

Cặp cực quyết đònh: hệ bậc cao có thể xấp xỉ gần đúng về hệ

bậc hai với hai cực là cặp cực quyết đònh.
Đối với hệ liên tục, cặp cực quyết đònh là cặp cực nằm gần
trục ảo nhất. Do
Ts
z e
= , nên đối với hệ rời rạc, cặp cực quyết
đònh là cặp cực nằm gần vòng tròn đơn vò nhất.
2- Độ vọt lố:

đối với hệ rời rạc, cách thường sử dụng để tính
độ vọt lố là dùng biểu thức đònh nghóa:

xl
xl
c c
POT
c
max
%
−
=
100
(8.15)
trong đó:
max
c
là giá trò cực đại của c(k);
xl
c
là giá trò cực đại của

CHƯƠNG 7

286

c(k).
Cách thứ hai cũng được sử dụng khi biết cặp cực quyết đònh
j
z re
*
± ϕ
= của hệ rời rạc là dựa vào quan hệ
Ts
z e
= để suy ra
nghiệm
s
*
, từ đó tính được
ξ
và
n
ω
.

r
r
ln
(ln )
−
ξ =

+ ϕ
2 2
(8.16)
n
r
T
(ln )
ω = + ϕ
2 2
1
(8.17)
Sau đó áp dụng các công thức đã trình bày trong chương 4 để
tính POT, t
xl
,
3- Sai số xác lập
Theo đònh lý giá trò cuối:
xl
k z
e e k z E z
lim ( ) lim( ) ( )
−
→∞ →
= = −
1
1
1
(8.18)
Các công thức tính sai số xác lập

Sai số xác lập của hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ như
trên là:

xl
z z
R z
e z E z z
GH z
( )
lim( ) ( ) lim( )
( )
− −
→ →
= − = −
+
1 1
1 1
1 1
1
(8.19)

Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò R z
z
( )
−
=
−
1

1
1

⇒

xl
z
z
e
GH z GH z
lim
( ) lim ( )
→
→
= =
+ +
1
1
1 1
1 1
(8.20)
Đặt
P
z
K GH z
lim ( )
→
=
1
: Hệ số vò trí

⇒

xl
P
e
K
=
+
1
1
(8.21)
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


287


Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vò:
Tz
R z
z
( )
( )
−
−
=
−
1
1 2

1

⇒
xl
z
z
Tz T
e
GH z
z z GH z
lim
( )
lim( ) ( )
−
− −
→
→
= =
+
− −
1
1 1
1
1
1
1
1 1
(8.22)
Đặt
V

z
K z GH z
T
lim( ) ( )
−
→
= −
1
1
1
1 :
Hệ số vận tốc
⇒
xl
V
e
K
=
1
(8.23)
Ví dụ 8.4.

Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình
vẽ, trong đó



- Hàm truyền khâu liên tục
K
G s

s a s b
( )
( )( )
=
+ +

(
K
=
10
,
a
=
2
,
b
=
3
)
- Chu kỳ lấy mẫu:
, sec
T
=
0 1

1- Tìm hàm truyền kín
( )
k
G z

2- Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn
vò, độ vọt lố, sai số xác lập.
Giải.
1-

Hàm truyền của hệ rời rạc:
k
G z
G z
G z
( )
( )
( )
=
+1

trong đó:
{
}
( ) ( ) ( )
ZOH
G z G s G s
=
Z
1
( )( )
Ts
e K
s s a s b
−

 
−
=
 
+ +
 
Z


1
1
1( )
( )( )
K z
s s a s b
−
 
= −
 
+ +
 
Z


( )
( )( )( )
aT bT
z z Az B
K
z

z z e z e
− −
 
− +
 
=
 
 
 
− − −
 
 
1
1

với
aT bT
b e a e
A
ab b a
( ) ( )
( )
− −
− − −
=
−
1 1

CHƯƠNG 7

288


aT bT bT aT
ae e be e
B
ab b a
( ) ( )
( )
− − − −
− − −
=
−
1 1

Thay
K
=
10
,
a
=
2
,
b
=
3
,
T
,

=
0 1
ta được
⇒
z
G z
z z
, ,
( )
( , )( , )
+
=
− −
0 042 0 036
0 819 0 741

Do đó
k
z
z z
G z
z
z z
, ,
( , )( , )
( )
, ,
( , )( , )
+
− −

=
+
+
− −
0 042 0 036
0 819 0 741
0 042 0 036
1
0 819 0 741

k
z
G z
z z
, ,
( )
, ,
+
=
− +
2
0 042 0 036
1 518 0 643

2-

Đáp ứng của hệ

k
C z G z R z

( ) ( ) ( )
=


z z z
R z R z
z z z z
, , , ,
( ) ( )
, , , ,
− −
− −
+ +
= =
− + − +
1 2
2 1 2
0 042 0 036 0 042 0 036
1 518 0 643 1 1 518 0 643

⇒
z z C z z z R z
( , , ) ( ) ( , , ) ( )
− − − −
− + = +
1 2 1 2
1 1 518 0 643 0 042 0 036
⇒
c k c k c k r k r k
( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )

− − + − = − + −
1 518 1 0 643 2 0 042 1 0 036 2

⇒
c k c k c k r k r k
( ) , ( ) , ( ) , ( ) , ( )
= − − − + − + −
1 518 1 0 643 2 0 042 1 0 036 2

Với điều kiện đầu
c c
( ) ( )
− = − =
1 2 0


r r
( ) ( )
− = − =
1 2 0

Thay vào công thức đệ qui trên, ta tính được
{
0 0 042 0 106 0 212 0 332 0 446 0 542 0 614
( ) ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;
c k
=

0 662 0 706 0 743 0 772 0 94 0 809 0 819 0 825
, ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ;

}
0 828 0 828 0 827 0 825
, ; , ; , ; , ;


Giá trò xác lập của đáp ứng quá độ là
xl
z
z
c z R z
z z
, ,
lim( ) ( )
, ,
−
→
+
= −
− +
1
2
1
0 042 0 036
1
1 518 0 643

z
z
z
z z z
, ,
lim( )
, ,
−
−
→
 
+
 
= −
 
 
− + −
 
 
1
2 1
1
0 042 0 036 1
1
1 518 0 643 1


z
z
z z

, ,
lim
, ,
→
 
+
=
 
− +
 
2
1
0 042 0 036
1 518 0 643

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


289

⇒
xl
c
,=
0 624

CHƯƠNG 7

290

- Độ vọt lố

xl
xl
c c
POT
c
max
, ,
% %
,
−
−
= =
0 828 0 624
100 100
0 624

⇒
POT
, %
=
32 69

- Sai số xác lập
xl xl xl
e r c
,= − = −
1 0 624

⇒
xl
e
,=
0 376

g

Ví dụ 8.5.

Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình
vẽ, trong đó



- Hàm truyền khâu liên tục
K
G s
s a s b
( )
( )( )
=
+ +

(
K
=
10
,
a

=
2
,
b
=
3
)
- Chu kỳ lấy mẫu
T
, sec
=
0 1

1- Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống trên.
2- Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn
vò (điều kiện đầu bằng 0).
Giải.
1- Thành lập hệ phương trình trạng thái mô tả hệ thống
Bước 1: Hệ phương trình trạng thái của khâu liên tục



Ta có
R R
C s G s E s E s
s s
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
= =
+ +

10
2 3

⇒
R
s s C s E s
( )( ) ( ) ( )
+ + =
2 3 10

⇒
R
s s C s E s
( ) ( ) ( )
+ + =
2
5 6 10
⇒
R
c t c t e t
( ) ( ) ( )
+ + =
5 6 10
&&

Đặt
x t c t
( ) ( )
=
1

;
x t x t
( ) ( )
=
2 1
&

Hệ phương trình trạng thái mô tả khối liên tục là
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


291

( ) ( ) ( )
( ) ( )
= +


=

R
t t e t
c t t
&
x Ax B
Cx

trong đó
 
=

 
− −
 
0 1
6 5
A

 
=
 
 
0
10
B

[
]
1 0
=C
Bước 2: Tính ma trận quá độ


( )
s
s s s
s
( )
− −
−
   

−
     
Φ = − = − =
   
     
− − +
     
   
1 1
1
1 0 0 1 1
0 1 6 5 6 5
I A

s
s
s s s s
s ss s
s s s s
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( )
+
 
 
+
 
+ + + +
 
= =

 
− −+ −
 
 
 
+ + + +
 
5 1
5 1
1
2 3 2 3
6 65 6
2 3 2 3



s
s s s s
t s
s
s s s s
( )( ) ( )( )
( ) [ ( )]
( )( ) ( )( )
− −
 
+
 
 
 

 
+ + + +
 
Φ = Φ =
 
 
 
 
 
+ + + +
 
 
1 1
5 1
2 3 2 3
6
2 3 2 3
L L


s s s s
s s s s
− −
− −
 
   
− −
   
 
+ + + +

   
 
=
 
   
− + − +
 
   
+ + + +
 
   
 
1 1
1 1
3 2 1 1
2 3 2 3
6 6 2 3
2 3 2 3
L L
L L

⇒
t t t t
t t t t
e e e e
t
e e e e
( ) ( )
( )
( ) ( )

− − − −
− − − −
 
− −
Φ =
 
 
− + − +
 
2 3 2 3
2 3 2 3
3 2
6 6 2 3

Bước 3: Rời rạc hóa các phương trình trạng thái của hệ liên tục,
ta được
1
[( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
d d R
d
k T kT e kT
c kT kT
 + = +

=

x A x B
C x

trong đó


t t t t
d
t t t t
t T
e e e e
T
e e e e
,
( ) ( )
( )
( ) ( )
− − − −
− − − −
= =
 
− −
= Φ =
 
 
− + − +
 
2 3 2 3
2 3 2 3
0 1
3 2
6 6 2 3
A

⇒
d
, ,
, ,
 
=
 
−
 
0 975 0 078
0 468 0 585
A

CHƯƠNG 7

292



T T
d
e e e e
d d
e e e e
( ) ( )
( )
( ) ( )
− τ − τ − τ − τ
− τ − τ − τ − τ
 

 
− −
 
 
= Φ τ τ = τ
 
 
 
  
− + − +
 
 
 
∫ ∫
2 3 2 3
2 3 2 3
0 0
3 2 0
10
6 6 2 3
B B

T
e e
d
e e
( )
( )
− τ − τ
− τ − τ

 
 
−
 
= τ
 
 
 
− +
 
 
 
∫
2 3
2 3
0
10
10 2 3

e e
e e
,
( )
( )
− τ − τ
− τ − τ
 
− +
 
=

 
 
−
 
0 1
2 3
2 3
0
10
2 3
10

⇒
d
,
,
 
=
 
 
0 042
0 779
B



[
]
1 0
d

= =C C


Bước 4: Hệ phương trình biến trạng thái mô tả hệ thống rời
rạc với tín hiệu vào
( )
r kT
là
[
]
1
[( ) ] ( ) ( )
( ) ( )
d d d d
d
k T kT r kT
c kT kT

+ = − +


=


x A B C x B
C x

trong đó
[ ]
[ ]

0 975 0 078 0 042
1 0
0 468 0 585 0 779
, , ,
, , ,
d d d
   
− = −
   
−
   
A B C


⇒
[ ]
0 933 0 078
1 247 0 585
, ,
, ,
d d d
 
− =
 
−
 
A B C

Vậy phương trình trạng thái cần tìm là

x k x k
r kT
x k x k
, , ,( ) ( )
( )
, , ,
( ) ( )
+
   
   
= +
   
   
−
+
   
   
1 1
2 2
0 933 0 078 0 042
1
1 247 0 585 0 779
1


[ ]
x k
c k
x k
( )

( )
( )
 
=
 
 
1
2
1 0

2- Đáp ứng của hệ thống
Với điều kiện đầu
( ) ( )
x x
− = − =
1 2
1 1 0
, thay vào phương trình
trạng thái ta tính được
{
}
x k ; ;
( ) , ; , ; , ; , , ; , ; , ; , ; ,=
1
0 0 042 0 142 0 268 0 392 0 502 0 587 0 648 0 682 0 699
}
{
x k ;
( ) , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; . ; ,
=

2
0 0 779 1 182 1 293 1 203 0 994 0 735 0 476 0 294 0 072

Đáp ứng của hệ thống:
[ ]
x k
c k x k
x k
( )
( ) ( )
( )
 
= =
 
 
1
1
2
1 0

⇒
{
}
c k
( ) ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; , ; ,=
0 0 042 0 142 0 268 0 392 0 502 0 587 0 648 0 682 0 699


g
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC

293

B. THIẾT KẾ HỆ THỐNG
ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
8.6 KHÁI NIỆM
Có nhiều sơ đồ điều khiển khác nhau có thể áp dụng cho hệ
rời rạc, trong đó sơ đồ điều khiển thông dụng nhất là hiệu chỉnh
nối tiếp với bộ điều khiển
( )
C
G z
là bộ điều khiển sớm trễ pha số,
PID số,


Một sơ đồ điều khiển khác cũng được sử dụng rất phổ biến là
điều khiển hồi tiếp trạng thái


- Thiết kế bộ điều khiển số là xác đònh hàm truyền
( )
C
G z

hoặc độ lợi hồi tiếp trạng thái K để hệ thống thỏa mãn yêu cầu
về độ ổn đònh, chất lượng quá độ, sai số xác lập.
- Thực tế trong đa số trường hợp bộ điều khiển số là các
thuật toán phần mềm chạy trên máy tính PC hoặc vi xử lý. Từ

hàm truyền
( )
C
G z
hoặc giá trò độ lợi K ta suy ra được phương
trình sai phân mô tả quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ điều
khiển. Quan hệ này được sử dụng để lập trình phần mềm điều
khiển chạy trên máy tính hoặc vi xử lý.
- Có nhiều phương pháp được sử dụng để thiết kế bộ điều
khiển số, trong nội dung quyển sách này chỉ đề cập phương pháp
thiết kế dùng quỹ đạo nghiệm số, phương pháp thiết kế bộ điều
khiển PID, phương pháp thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng
thái (phương pháp phân bố cực) và phương pháp giải tích.
CHƯƠNG 7

294

8.7 HÀM TRUYỀN CỦA CÁC KHÂU HIỆU CHỈNH RỜI RẠC
1- Khâu tỉ lệ
( )
P P
G z K
=
2- Khâu vi phân



Khâu vi phân liên tục
D
de t

u t K
dt
( )
( ) =

Khâu vi phân rời rạc: được tính bằng các công thức sai
phân, có ba cách tính
- Sai phân tới

D
e k e k
u k K
T
( ) ( )
( )
+ −
=
1

⇒
D
zE z E z
U z K
T
( ) ( )
( )
−
= ⇒
D
D

K
U z
G z z
E z T
( )
( ) ( )
( )
= = −
1

- Sai phân lùi
D
e k e k
u k K
T
( ) ( )
( )
− −
=
1

⇒
D
E z z E z
U z K
T
( ) ( )
( )
−
−

=
1
⇒
D D
D
K K
U z z
G z z
E z T T z
( )
( ) ( )
( )
−
−
= = − =
1
1
1

- Sai phân giữa

D
e k e k
u k K
T
( ) ( )
( )
+ − −
=
1 1

2
⇒
D
zE z z E z
U z K
T
( ) ( )
( )
−
−
=
1
2

⇒
( )
( ) ( )
( )
2
1
1
2 2
−
−
= = − =
D D
D
K K
U z z
G z z z

E z T T z

Công thức sai phân tới và sai phân giữa cần tín hiệu e(k+1)
là tín hiệu sai số trong tương lai, mà trong các bài toán điều
khiển thời gian thực ta không thể có được tín hiệu trong tương lai
(trừ khi sử dụng bộ dự báo) nên thực tế chỉ có công thức sai phân
lùi được sử dụng phổ biến nhất, do đó

D
D
K
z
G z
T z
( )
−
=
1
(8.25)
PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


295

3- Khâu tích phân


Khâu tích phân liên tục
t
I

u t K e t dt
( ) ( )
=
∫
0



Khâu tích phân rời rạc

kT k T kT
I I I
k T
u kT K e t dt K e t dt K e t dt
( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
−
−
= = +
∫ ∫ ∫
1
0 0 1

⇒
kT
I
k T
u kT u k T K e t dt
( )

( ) [( ) ] ( )
−
= − +
∫
1
1
Xét tích phân
kT
k T
e t dt
( )
( )
−
∫
1
: có ba cách tính
- Tích phân hình chữ nhật tới
kT
k T
e t dt Te kT
( )
( ) ( )
−
≈
∫
1

⇒
I
u kT u k T K Te kT

( ) [( ) ] ( )
= − +
1

⇒
I
U z z U z K TE z
( ) ( ) ( )
−
= +
1

⇒
I I
U z
G z K T
E z
z
( )
( )
( )
−
= =
−
1
1
1

- Tích phân hình chữ nhật lùi
kT

k T
e t dt Te k T
( )
( ) [( ) ]
−
≈ −
∫
1
1

⇒
I
u kT u k T K Te k T
( ) [( ) ] [( )]
= − + −
1 1

⇒
I
U z z U z K Tz E z
( ) ( ) ( )
− −
= +
1 1

⇒
I I
U z z
G z K T
E z

z
( )
( )
( )
−
−
= =
−
1
1
1

- Tích phân hình thang
(
)
kT
k T
T e k T e kT
e t dt
( )
[( ) ] ( )
( )
−
− +
≈
∫
1
1
2

CHƯƠNG 7

296

⇒
( )
I
K T
u kT u k T e k T e kT
( ) [( ) ] [( )] (= − + − +1 1
2

⇒
(
)
I
K T
U z z U z z E z E z
( ) ( ) ( ) ( )
− −
= + +
1 1
2

⇒
I I
I
K T K TU z z z
G z
E z z

z
( )
( )
( )
−
−
+ +
= = =
−
−
1
1
1 1
2 2 1
1

Trong ba cách tính tích phân trình bày ở trên, tích phân
hình thang cho kết quả chính xác nhất, do đo thực tế người ta
thường sử dụng công thức
I
I
K T
z
G z
z
( )
+
=
−
1

2 1
(8.26)

4- Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc
Từ các hàm truyền rời rạc cơ bản vừa phân tích ở trên, ta rút
ra được hàm truyền của bộ điều khiển PI, PD, PID số như sau
I
PI P
K T
z
G z K
z
( )
+
= +
−
1
2 1
(8.27)

D
PD P
K
z
G z K
T z
( )
−
= +
1

(8.28)

I D
PID P
K T K
z z
G z K
z T z
( )
+ −
= + +
−
1 1
2 1
(8.29)
5- Bộ điều khiển bù pha
(sớm pha, trễ pha)





Hàm truyền của bộ điều khiển bù pha liên tục có dạng
C
s a
G s K
s b
( )
+
=

+
(a>b: trễ pha; a<b: sớm pha)
Rời rạc hóa quan hệ giữa ngõ vào và ngõ ra của bộ bù pha
liên tục, sử dụng công thức tích phân hình thang, ta suy ra được
hàm truyền của bộ bù pha rời rạc có dạng
C
aT z aT
G z K
bT z bT
( ) ( )
( )
( ) ( )
+ + −
=
+ + −
2 2
2 2

PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


297

Hàm truyền trên có thể viết lại dưới dạng
C
C C
C
z z
G z K
z p

( )
+
=
+
(8.30)
trong đó
C
z
là zero và
C
p
là cực của khâu hiệu chỉnh.
C
aT
z
aT
( )
( )
−
=
+
2
2
⇒
C
C
z
aT
z
( )

( )
+
=
−
2 1
1

C
bT
p
bT
( )
( )
−
=
+
2
2
⇒
C
C
p
bT
p
( )
( )
+
=
−
2 1

1

Do aT, bT dương nên cực và zero của khâu hiệu chỉnh phải
thỏa mãn điều kiện
1
1
C
C
z
p

<


<



Các quan hệ ở trên ta cũng dễ dàng suy ra
- Khâu sớm pha
C C
z p
<

- Khâu trễ pha
C C
z p
>

8.8 THIẾT KẾ HỆ RỜI RẠC DÙNG PHƯƠNG PHÁP QĐNS

8.8.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha



Phương trình đặc tính của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là
GH z
( )
+ =
1 0

Phương trình đặc tính của hệ thống sau khi hiệu chỉnh là
C
G z GH z
( ) ( )
+ =
1 0

Khâu hiệu chỉnh sớm pha có dạng
C
C C
C
z z
G z K
z p
( )
+
=
+
(8.31)
CHƯƠNG 7

298

Bài toán đặt ra là chọn giá trò K
C
,

C
z
và
C
p
để đáp ứng của
hệ thống thỏa mãn yêu cầu về chất lượng quá độ (chất lượng quá
độ thể hiện qua vò trí của cặp cực quyết đònh).
Trình tự thiết kế
Bước 1: Xác đònh cặp cực quyết đònh

từ yêu cầu thiết kế về
chất lượng của hệ thống trong quá trình quá độ

Độ vọt lố POT
Thời gian quá độ,



⇒
n
ξ



ω

⇒
n n
s j
*
,
= −ξω ± ω − ξ
2
1 2
1
⇒
Ts
z e
*
*
,
=
1 2

n
T
r z e
*
− ξω
= =
n
z T
*

ϕ = ∠ = ω − ξ
2
1 (8.32)
Bước 2: Xác đònh góc pha cần bù để cặp cực quyết đònh
*
,
z
1 2

nằm trên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức
* * *
arg( ) arg( )
n m
i i
i i
z p z z
= =
Φ = − °+ − − −
∑ ∑
1 1
180
(8.33)
Dạng hình học của công thức trên là
*
*
góc từ các cực của GH(z) đến cực
z
Φ = − ° +
∑
180

*
( )
góc từ các zero của GH z đến cực z
−
∑
(8.34)
Bước 3: Xác đònh vò trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh
Vẽ hai nửa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết đònh
*
z
sao cho hai nửa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng
*
Φ
. Giao điểm của hai nửa đường thẳng này với trục thực là vò trí
cực và zero của khâu hiệu chỉnh.
Đối với hệ rời rạc, người ta thường áp dụng phương pháp
triệt tiêu nghiệm cực của hệ thống để chọn cực và zero của khâu
hiệu chỉnh.
Bước 4: Tính K
C

bằng cách áp dụng công thức
C
z z
G z GH z
*
( ) ( )
=

=
1
(8.35)
Ví dụ 8.6.

Cho hệ thống điều khiển rời rạc có sơ đồ khối như hình
vẽ, trong đó


PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC


299

- Hàm truyền khâu liên tục G s
s s
( )
( )
=
+
10
5

- Chu kỳ lấy mẫu
T
, sec
=
0 1

Hãy thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha sao cho hệ thống sau

khi hiệu chỉnh có cặp cực quyết đònh với ,
ξ =
0 707
,
n
ω =
10

(rad/sec).
Giải. Phương trình đặc tính của hệ trước khi hiệu chỉnh
G z
( )
+ =
1 0

trong đó


{
}
ZOH
G z G s G s
( ) ( ) ( )
=
Z
Ts
e K
s s s
( )
−

 
−
 
=
 
+
 
 
1
5
Z


K z
s s
( )
( )
−
 
 
= −
 
+
 
 
1
2
1
1
5

Z


z z e z e e
K
z
z z e
, , ,
,
[( , ) ( , )]
( ) ( )
− − −
−
 
− − + + − −
 
=
 
 
 
− −
 
 
0 5 0 5 0 5
2 0 5
1 0 5 1 1 0 5
5 1

⇒
z

G z
z z
, ,
( )
( )( , )
+
=
− −
0 21 0 18
1 0 607


Cặp cực quyết đònh mong muốn
j
z re
,
*
± ϕ
=
1 2

trong đó
n
T
r e e
. ,
,
− ξω
− × ×
= = =

0 1 0 707 10
0 493


n
T , , ,ϕ = ω − ξ = × − =
2 2
1 0 1 10 1 0 707 0 707

⇒
j
z e j
,
* ,
, , [cos( , ) sin( , )]
±
= = ±
1 2
0 707
0 493 0 493 0 707 0 707

⇒
j
z e j
,
* ,
, , ,
±
= = ±
1 2

0 707
0 493 0 375 0 320


Góc pha cần bù
*
( )
Φ = − + β + β − β
1 2 3
180
Dễ dàng tính được
,
β = °
1
152 9
;
,
β = °
2
125 9
;
,
β = °
3
14 6

⇒
*
( , , ) ,
Φ = − + + − = °

180 152 9 125 9 14 6 84