Biến đổi wavelet và ứng dụng trong các thiết bi ghi sóng tim công nghệ mới

BIếN Đổi WAVELET Và ứNG DụNG TRONG CáC THIếT Bi
GHI SóNG TIM CÔNG NGHệ Mới
(Xử lý tín hiệu trong đo lường)
Tóm tắt: Bài viết này giới thiệu phép biến đổi Wavelet và ứng dụng của nó trong các thiết bị y tế
hiện đại, như máy đo nhịp tim, điện tim thông minh, máy theo dõi loạn nhịp và máy đặt nhịp có
thể cấy ghép. Chất lượng của chúng phụ thuộc chính vào hệ phân tích. Hệ này chịu ảnh hưởng
rất nhiều vào độ chính xác và độ tin cậy của phép tách phức hợp QRS, sóng P và T. Biến đổi
Wavelet có thể mô tả đặc trưng cục bộ của tín hiệu. Tính chất đa thang của biến đổi Wavelet có
thể nhận biết được phức hợp QRS từ các sóng P, T có biên độ cao, từ các hiện tượng giả, trôi
đường đẳng trị và nhiễu.
Do hiệu quả của kỹ thuật này trong phép xử lý các tín hiệu không dừng và do đặc tính bền vững
với nhiễu, phép biến đổi Wavelet đã nổi lên như là một công cụ rất mạnh trong kỹ thuật phân tích
tín hiệu điện tim.
I. ĐặT VấN Đề :
Điện tim (Electrocardiograph - ECG) là một thiết bị đo thuộc nhóm thiết bị ghi. Vì vậy, cũng như
các thiết bị đo lường khác, hệ xử lý tín hiệu là cốt lõi và quyết định độ tin cậy, độ chính xác của
thiết bị. Với sự ra đời các loại vi mạch cỡ lớn (LSI) và cực lớn (VLSI) như m P, DSP hay vi mạch
hệ những Neural..., cùng công nghệ phần mềm có giải bước đi nhảy vọt, chúng ta đã có khả
nǎng được nhiều bài toán mà trước đây mới chỉ là những ý tưởng. ở các thiết bị ghi sóng tim
công nghệ mới, vấn đề cơ bản là tách chính xác các điểm đặc trưng như phức hợp QRS, sóng P
và T. Một đặc thù của tín hiệu y sinh là chúng thường chìm trong môi trường nhiễu và các hiện
tượng giả (artifact). Thông thường các bộ tách phức hợp QRS được thiết kế ở môi trường nhiễu
vừa phải và nó phải chứa ít nhất một bộ lọc thông dải để loại bỏ các sóng P, T và nhiễu. Sau đó
tín hiệu được đẩy qua phép biến đổi không tuyến tính như đạo hàm, bình phương... Cuối cùng
để làm rõ phức hợp QRS người ta phải dùng luật quyết định để xem phức hợp này có trong tín
hiệu hay không.
Kỹ thuật này bắt gặp một số trở ngại:
- Dải thông tín hiệu của phức hợp QRS là khác nhau đối với các đối tượng khác nhau, thậm chí
đối với các nhịp khác nhau của cùng một đối tượng.
- Dải thông của phức hợp QRS và nhiễu phủ đè lên nhau.
- Hiện tượng giả và trôi đường đẳng trị là thường trực và đôi khi khá trầm trọng trong các tín hiệu

điện tim.
Nhờ tính đa thang (multiscale) của phép biến đổi Wavelet mà ta có thể khắc phục được những
trở ngại trên. Do hiệu quả của kỹ thuật này đối với phép xử lý tín hiệu không dừng và do tính bền
vững với nhiễu mà phép biến đổi Wavelet đang nổi lên như là những công cụ rất mạnh trong kỹ
thuật xử lý tín hiệu và giải các bài toán toán tử vi phân không gian.
Không chỉ ở các nước phát triển mà ở một số nước đang phát triển gần chúng ta như Trung
Quốc, Thái Lan, ấn Độ ... phép biến đổi Wavelet đang được nghiên cứu rất nghiêm túc.
Trong khuôn khổ bài viết này, chúng tôi xin phép được giới thiệu những vấn đề cơ bản của phép
biến đổi Wavelet và ứng dụng điển hình trong kỹ thuật tách các điểm đặc trưng của sóng điện
tim.
II. Phép biến đổi wavelet :
Như ta đã biết, phổ nǎng lượng là một đặc trưng cho tín hiệu trong miền tần số. Muốn đo hay
tính toán nó ta thường dùng:
- Phép biến đổi Fourier
- Qua hàm tương quan
- và các bộ lọc
Mỗi phương pháp đều có ưu nhược điểm riêng. Để có hệ thống và dễ dàng tiếp cận phép biến
đổi Wavelet, chúng ta hãy đi từ phép biến đổi Fourier
2.1. Phép biến đổi FOURIER :
Phép biên đổi Fourier (Fourier Transform - FT) được thể hiện bởi:
X (f) = e
-2p jft
.dt ( 1 )
Định nghĩa này bao trùm toàn miền không gian. Tần số f ở đây mang tính ý nghĩa toàn cục của
tín hiệu, vì vậy nó được gọi là tần số toàn cục (global frequency). Bất kỳ một đột biến nào trong
miền thời gian của tín hiệu x(t) được kéo theo và lan ra toàn trục tần số.
Từ phép biến đổi Fourier của hàm x(t), chúng ta phải đánh giá các đột biến. Nhưng những thông
tin này lại không được sắp xếp để định vị trong trường không gian, vì vậy chúng ta gặp khó khǎn
trong việc tìm vị trí của chúng. Để giải quyết vấn đề này, người ta đưa khái niệm tần cố cục bộ
(Local Frequency) và dẫn đến phép biến đổi Fourier thời gian ngắn (Short Time Fourier

Transform - STFT).
2.2. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn :
2.2.1. Định nghĩa:
Để vẫn dùng được phép biến đổi Fourier cho việc định vị thông tin, tác giả GABOR xây dựng một
phương pháp mới. Ông dùng hàm cửa sổ không gian g(t) trong tích phân Fourier. Hàm cửa sổ
này được truyền tịnh tiến dọc theo trục không gian nhằm phủ toàn bộ tín hiệu. ở vị trí t và tần số
f, phép biến đổi Fourier cửa sổ (hay còn gọi là phép biến đổi Fourier thời gian ngắn) được xác
định như sau:
STFT (t ,f) = . G(t-t ). e
-2p jft
.dt (2)
Trong đó x(t) là tín hiệu được quan sát qua cửa sổ g(t). STFT đã đưa tín hiệu x(t) vào hàm 2
chiều trong mặt phẳng thời gian và tần số (t, f). Như vậy, tần số ở đây là tần số cục bộ.
2.2.2. Phân tích tần số với Q thay đổi
Phép phân tích dùng STFT phụ thuộc trước hết vào việc chọn cửa sổ g(t). Dạng tổng quát của
nó thường là hàm chẵn, thực. Nó có thể được coi như là đáp ứng xung của bộ lọc thông thấp, và
để chuẩn hoá, nǎng lượng của g(t) được coi là bằng 1 .
|| g ||
2
= | g(t) |
2
. dt = 1 (3)
Phổ nǎng lượng của FT g(t) tập trung ở tần số thấp (xem hình 1). Đường cong (a), (b) và (c) có
các tần số khác nhau trong khoảng thời gian riêng. Đường cong (a'), (b') và (c') có độ rộng dải
giống nhau, nhưng khác nhau về vị trí trên trục tần số vì vậy phương pháp này mang tên "phân
tích tần số với Q thay đổi ".
Như vậy để làm rõ biến thời gian của tần số, người ta đã đưa ra khái niệm cửa sổ. Mục đích đầu
tiên của cửa sổ là giới hạn sự lan truyền của tín hiệu cần khảo sát sao cho các đặc tính phổ là
dừng trong toàn vùng cửa sổ. Độ rộng dải D f lúc đó sẽ là:

2
| G(f) |
2
.df | G(f) |
2
.df
Mẫu số của biểu thức chính là nǎng lượng của g(t).
Về mặt tần số, ta chỉ phân biệt được hai tín hiệu khi chúng cách xa nhau một lượng






Hình 1 : Phân tích tần số bằng STFT
(a): Hàm cửa sổ g(t)
(b):Đồ thị g(t).cos (w
o
t)
(c): Đồ thị g(t).cos (2w
o
t)
(a’), (b’), (c’) biến đổi Fourier của (a), (b), (c)
D f. Vậy độ phân giải tần số của STFT được đặc trưng bằng ngay D f.
(Kỳ sau đǎng tiếp)
Tương tự ta cũng có chiều rộng thời gian D t :
2
.| g(t) |
2
.dt | g(t) |

2
.dt
Và ta cũng chỉ phân biệt được 2 xung trong miền thời gian khi chúng cách nhau một khoảng lớn
hơn D t. Như vậy độ phận giải thời gian và độ phân giải tần số không thể nhỏ tùy ý. Theo hai tác
giả O. Rionl và M. Vetterli thì:
D t. D f ? p (6)
Nghĩa là ta có thể hy sinh độ phân giải thời gian vì độ phân giải tần số hoặc ngược lại, chứ không
thể có được sự hoàn hảo cho cả hai. Đây là một nhược điểm cơ bản của STFT.
Để khắc phục nhược điểm này, tác giả Mallat đã đưa ra phương pháp phân tích trên cơ sở phép
giãn (dilation) và đưa đến một phép biến đổi mới đó là WAVELET TRANSFORM (WT). Phép
biến đổi này sẽ sử dụng Q không đổi, hay độ rộng dải tương đối không đổi.
2.3. Biến đổi WAVELET (WAVELET TRANSFORM) :
2.3.1. Định nghĩa :
Mallat thực hiện WT bằng phép khai triển tín hiệu thành các hàm họ, chúng là các hàm tịnh tiến
và giãn của hàm đơn trị y (t). WT của hàm x(t) ở vị trí t và thang s được xác định bằng công thức
sau:
Wx(s, t ) = x(t) * y
s
(t) = .Y
s
(t-t ) .dt (7)
[* là ký hiệu của tích chập]
Trong đó y
s
(t) là phép giãn của y (t) với hệ số s và được tính:
y
s
(t) = y ( ) (8)
Khi tín hiệu chứa các cấu trúc quan trọng, các cấu trúc này thuộc về các thang khác nhau, thì
thông tin tín hiệu phải được tổ chức lại thành các tập thành phần chi tiết của kích cỡ thay đổi.

Bằng các phép giãn (dilations) và co (contractions) ta có thể nhận được những thành phần này
từ hàm mẫu y (t). Hàm y (t) có thể được coi như bộ lọc thông dải (band pass filter - BDF) và tiếp
theo là đặc tính Q không đổi của các bộ BPF khác. Bởi lẽ, trong WT, khái niệm thang được đưa
vào như là phép luân phiên tần số dẫn đến việc biểu diễn thang thời gian. Điều này có nghĩa là
tín hiệu đã được biểu diễn trong mặt phẳng thời gian - thang (t - s).
2.3.2. Phân tích tần số với Q không đổi
Trái ngược với STFT có độ phân giải cố định trong miền tần số và không gian, còn độ phân giải
của WT lại thay đổi theo thông số thang s. WT tách tín hiệu thành tập dải tần có kích thước
không đổi trên thang logarith (xem hình 2). Các đường cong a’, b’, c’ có độ rộng dải giống nhau
trên thang logarith.
Hình 2 : Phân tích tần số bằng WT

Điểm ngược nhau thứ 2 là STFT sử dụng cửa sổ phân tích đơn, còn WT sử dụng các cửa sổ bội
theo những mục đích thích hợp: dùng cửa sổ hẹp ở tần số cao, cửa sổ rộng ở tần số thấp, nhằm
đảm bảo là Q không đổi, hay độ rộng tương đối của bǎng không đổi.
Để đảm bảo được điều kiện này, độ phân giải D f và D t (công thức 4 và 5) phải thay đổi trong
mặt phẳng tần số - thời gian để nhận được phép phân tích đa phân giải (Multiresolution). Độ
phân giải thời gian trở nên tùy ý ở tần số cao trong khi đó độ phân giải tần số cũng tùy ý ở tần
thấp. Hay nói cách khác D f tỷ lệ với f :
= C = constant (hằng số)
Điều này rất có ý nghĩa, bởi vì trong thực tế phần lớn tín hiệu là tổng hợp của các thành phần tần
cao trong khoảng thời gian ngắn và các thành phần tần thấp trong khoảng thời gian dài. Sóng
điện tim là thí dụ điển hình về ý nghĩa này.
III. WT và kỹ thuật tách đỉnh sóng điện tim :
3.1. Cơ sở của kỹ thuật tách điểm đặc trưng :
Sóng điện tim bao gồm tập hợp các đỉnh đặc trưng, đó là : P, Q, R, S, T. Việc xác định vị trí của
các đỉnh này là vô cùng quan trọng. WT được đánh giá là kỹ thuật thích hợp nhất, lý tưởng nhất
trong việc phân tích các điểm đặc trưng của sóng ECG. Giá trị cực đại modul cục bộ của WT
cung cấp thông tin để phân tích các đặc trưng quan trọng của tín hiệu ECG. Từ đó ta có thể phân
biệt được các sóng ECG chìm trong nhiễu, tín hiệu giả và trôi đường đẳng trị.

Hình 2 : Phân tích tần số bằng WT

(a): Đồ thị wavelet y (t)
(b): Đồ thị của y
s1
(t) với s
1
>1
(c): Đồ thị của y
s2
(t) với s
2
>1
(a’), (b’), (c’) biến đổi Fourier của (a), (b), (c)
Tín hiệu ECG trước hết được làm trơn ở các thang khác nhau, sau đó các điểm đột biến được
tách ra từ đường đạo hàm bậc 1 của chúng.
Giả sử ta có q (x) là hàm làm trơn. Hàm này phải có tích phân bằng 1 và hội tụ tại O ở vô cùng.
Ta ký hiệu y
(a)

(x)
và y
(b)

(x)
là đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của hàm q (x) :
y
(a)

(x)

= (9)
và y
(a)

(x)
= (10)
Theo định nghĩa, y
(a)

(x)
và y
(b)

(x)
có thể được coi như là Wavelet vì tích phân của chúng bằng O.
y
(a)

(x)
. dx = 0 (11)
và y
(b)

(x)
. dx = 0 (12)
Phép giãn hàm y (x) sẽ là :
y
s
(x) = y ( ) (13)
WT được tính bởi phép nhân chập giữa tín hiệu và Wavelet đã được làm giãn. WT của f(x) ở

thang s và vị trí x được tính với quan hệ Wavelet y
(a)

(x)
và y
(b)

(x)
được xác định bởi :
W
s
a
. f(x) = f(x) * y
s
(a)

(x)
(14)
và
W
s
b
. f(x) = f(x) * y
s
(b)

(x)
(15)
Hai hàm trên chính là đạo hàm bậc 1 và bậc 2 của tín hiệu đã được làm trơn ở thang s.

Vị trí cực trị của W
s
a
. f(x) tương ứng với các điểm cắt O của hàm y
s
(b)
.f(x) và các điểm uốn của
f*q
s
(x), nghĩa là chúng tương ứng với các điểm đột biến của sóng điện tim (xem hình 3).

Hình 3 : Quan hệ giữa các biến thiên tín hiệu và WT của nó

Điểm uốn của f * q (x) có thể là giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của giá trị tuyệt đối đạo hàm bậc 1.
Giá trị cực đại là các điểm đột biến của f * q (x), còn giá trị cực tiểu tương ứng với những biến đổi
chậm. Với toán tử đạo hàm bậc 2 sẽ khó phân biệt được hai loại cắt O này. Cần nói thêm rằng,
các điểm cắt O cho chúng ta về thông tin vị trí, nhưng không phân biệt được các dao động biên
độ nhỏ từ các điểm gián đoạn quan trọng.

Khi tách giá trị cực đại cục bộ, các giá trị của | W
s
a
f(x) | được ghi ở các vị trí lớn nhất, chúng thể
hiện đạo hàm ở các điểm uốn. Các giá trị này rất cần thiết cho các luật ra quyết định các thông
số quan trọng của sóng điện tim.