Cac bai tap hinh hoc khong gian on DH

.
Bài tập về hình học không gian
Bài tập ôn tập chơng I
Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
Ph ơng pháp : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung
của hai mặt phẳng. Đờng thẳng đi qua hai điểm chung đó, là giao tuyến của
hai mặt phẳng.
á p dụng :
Bài 1 : Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng (

) và 4 điểm A, B, C, D nằm
trong (

); AB và CD không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng
(SAB) và (SCD).
HD: AB

CD = {I} ;

(SAB)

(SCD) = SI
Bài 2 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng,
M là một điểm trên AB, và N là một điểm trên CD. Tìm giao tuyến của hai
mặt phẳng (MCD) và (NAB).
HD: (MCD)

((NAB) = MN
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AC và BC, K là
một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng
(IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD).

HD: JK

CD = {H}

(IJK)

(ACD) = IH
IH

AD = {E}

(IJK)

(ABD) = KE
Bài 4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC.
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD).
b. M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC.
Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HD: a. (IBC)

(JDA) = IJ
b. BI

MD = {P}; CI

DN ={Q};

(DMN)

(IBC) = PQ

Bài 5 : Cho tứ diện ABCD và D, E, F là trung điểm của AB, BC, SA.
a. Tìm giao tuyến d
1
của 2 mặt phẳng (SDC) và (SAE).
b. Tìm giao tuyến d
2
của 2 mặt phẳng (SDC) và (BFC).
c. d
1
và d
2
có cắt nhau không ?
HD: a, (SDC)

(SAE) = SG = d
1
b, BF

SD = {K}

(SDC)

(BFC) = CK = d
2
c, d
1


d
2

={ I}

Trang 1
.
Bài 6 : Chứng minh rằng có vô số đờng thẳng cắt cả 3 đờng thẳng cho trớc
đôi một chéo nhau.
Bài 7 : Cho 2 đờng thẳng d
1
và d
2
không nằm trong một mặt phẳng. Lấy điểm
A trên d
1
và điểm B trên d
2
. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A,d
2
) và (B,
d
1
).
HD: (A, d
2
)

(B, d
1
) = AB
Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J
lần lợt là trung điểm của AD và BC.

a. Chứng minh IB và JA là 2 đờng thẳng chéo nhau.
b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD).
c. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm
giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN).
HD: Dùng phơng pháp phản chứng.
Giả sử IB và JA không chéo nhau, thì IB và JA nằm trong cùng 1 mp,
DCBA
ABIJCBJC
ABIJDAID
,,,
)(
)(






nằm trong 1 mp trái với giả thiết.
Vậy IB và JA chéo nhau.
Câu b,c tơng tự bài tập 3.
Bài 9 : Gọi

là mặt phẳng xác định bởi 2 đờng thẳng a, b cắt nhau tại O, và
c là một đờng thẳng cắt mp(

) tại I khác O.
a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và (

).

b. Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến của 2 mặt
phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn nằm trong một
mặt phẳng cố định khi M di động trên c.
HD: a, (O,c)

(

) = OI
b, (M, a)

(M, b) = OM, OM

(O, c).
Bài 10 : Cho 2 đờng thẳng a, b chéo nhau và một điểm M không thuộc 2 đ-
ờng thẳng đó. Hãy dựng một đờng thẳng đi qua M và cắt cả 2 đờng thẳng a,
b.
Vấn đề 2: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3
đờng thẳng đồng quy tại một điểm.
Ph ơng pháp :

Trang 2
.
+ Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó là các
điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Lúc đó chúng nằm trên giao tuyến
của 2 mặt phẳng.
+ Muốn chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của 2
đờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đờng
thẳng thứ ba.
á p dụng :
Bài 1 : Cho tam giác ABC và tam giác DEF không nằm trong cùng một mặt

phẳng, AB cắt DE tại M; BC cắt EF tại N; AC cắt DF tại L. Chứng minh: M,
N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (ABC) và (DEF).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD; E,F,G là 3 điểm lần lợt trên AB, AC, AD. Gọi M,
N , L là giao điểm lần lợt của BC và EF; CD và FG; BD và EG. Chứng minh:
M, N, L thẳng hàng.
HD: Cần chứng minh
M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (BCD) và (EFG).
Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lợt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC,
BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng
qui.
Bài 4 : Cho 2 mặt phẳng (

) và (

) cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy 2
điểm A, B thuộc mp(

), nhng không thuộc d và một điểm O không thuộc (

) và (

). Các đờng thẳng OA, OB lần lợt cắt (

) tại A, B. Giả sử đờng
thẳng AB cắt d tại C.
a. Chứng minh 3 điểm O, A, B không thẳng hàng.
b. Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, và từ đó suy ra 3 đờng thẳng
AB, AB và d đồng qui.

Bài 5 : Chứng minh rằng nếu 3 đờng thẳng không cùng nằm trên một mặt
phẳng và vắt nhau từng đôi một thi chúng đồng qui.
Bài 6 : Cho tam giác ABC nằm ngoài mặt phẳng (

); cho biết 3 cạnh của tam
giác kéo dài cắt (

) tại I, J, K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng.
Bài 7 : Cho tứ diện ABCD. Gọi A và B là trọng tâm của hai tam giác BCD
và ACD, I là trung điểm của CD.

Trang 3
.
a. Chứng minh rằng 2 đờng thẳng AA và BB giao nhau tại G.
Suy ra 4 đờng thẳng nối từ mỗi đỉnh của tứ diện đến trọng tâm của mặt đối
đồng qui.
b. Chứng minh rằng AB song song với AB và tính
GA
GA'
.
Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là
điểm nằm trên đờng thẳng BD nhng không thuộc đoạn BD. Trong mặt phẳng
(ABD), ta vẽ một đờng thẳng qua I cắt 2 đoạn thẳng CB và CD lần lợt tại M
và N.
a. Chứng minh 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc mặt phẳng.
b. Gọi O
1
là giao điểm của 2 đờng thẳng BN và DM, O
2
là giao điểm của hai

đờng thẳng BL và DK và J là giao điểm của 2 đờng thẳng LM và KN. Trong
5 điểm A, C, J, O
1
, O
2
có ba bộ ba điểm nào thẳng hàng không ?
c. Giả sử 2 đờng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H thuộc
đờng thẳng AC.
HD: a, K, L, M, N

(IMK)
b, (ABN)

(ADM) = AJO
1

(BCL)

(CDK) = CJO
2
c, (ABC)

(ADC) = ACH
Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần
lợt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng
AC, BD và SI đồng qui.
HD: A C

B D = {K}
K

A C

(SAC), K

B D

(SBD)
mà (SAC)

(SBD) = SI

K

SI

A C , B D và SI đồng qui
Vấn đề 3: Cách tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng.
Ph ơng pháp : Cho đờng thẳng d và mp(

). Giả sử d cắt (

). Muốn tìm giao
điểm của d và (

), ta chọn mặt phẳng phụ

chứa d, cắt (

) theo giao tuyến

(d) dễ nhìn thấy. Trong mp phụ (

) , d cắt (

) tại I. Đí là giao điểm của d
và mp(

).
á p dụng :
Bài 1 : Cho tứ diện OABC. Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lần lợt lấy các
điểm A, B, C. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC.
a. Tìm giao điểm của đờng thẳng BC với mp(OAM).
b. Đờng thẳng OM với mp(ABC).

Trang 4
.
HD: a, có AM

BC = {K}, B C

OK = {H}

H là giao điểm của B C với (OAM)
b, OM

A H = {E}

E là giao điểm của OM với (A B C ).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC, K
là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao

điểm của CD và AD với mp(MNK).
HD: NK

CD = {I}
IM

AD = {J}

AD

(MNK) = {J}
Bài 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M
và N lần lợt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn thẳng BD, ta lấy điểm P
sao cho BP = 2PD.
Tìm giao điểm của:
a. Đờng thẳng CD với mp(MNP).
b. Đờng thẳng AD với mp(MNP).
Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD, dáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm
của SC.
a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM.
b. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD.
c. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD).

Vấn đề 4: Cách tìm tập hợp giao điểm của hai đờng thẳng di
động
Ph ơng pháp :
+ Gọi 2 đờng thẳng di động d và d, d

d = {M}. Muốn tìm tập hợp M ta
làm nh sau:

Tìm hai mặt phẳng cố định lần lợt chứa d và d, M di động trên giao tuyến cố
định của hai mặt phẳng đó.
+ Giới hạn (nếu có).
+ Phần đảo.
á p dụng:
Bài 1 : Cho một mặt phẳng (P) và 2 đờng thẳng d
1
và d
2
đồng qui tại O. Hai
điểm A và B cố định ở ngoài mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) lu động qua AB
cắt d
1
tại M và d
2
tại M. Tìm quỹ tích giao điểm I của Am và BN.

Trang 5
.
Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác, AB và CD không song
song, M là một điểm di động trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N.
Tìm tập hợp giao điểm của Am và DN.
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P)lu động qua AB cắt SC và
SD lần lợt tại E và F. Tìm tập hợp giao điểm M của AE và BF.
Bài 4 : Cho 2 đờng thẳng d
1
và d
2
cắt nhau tại O và một đờng thẳng

không
cùng nằm trong một mặt phẳng với d
1
và d
2
. M là một điểm trên

. Tìm giao
tuyến của 2 mặt phẳng (M,d
1
) và (M,d
2
). Tìm quỹ tích của giao tuyến khi M
lu động trên

.
Vấn đề 5: Cách xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng
Phơng pháp : Cho hình chóp S.A
1
,A
2
, A
3
, ,A
n
và mp(

). Nếu (

) cắt một

mặt nào đó của hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì (

) sẽ cắt mặt này theo
một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của (

) với mặt đó.
Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau, tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết
diện. Nh vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với (

), ta tìm các đoạn
giao tuyến (nếu có). Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần
tìm.
Vận dụng :
Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC.
Trên đờng thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm
thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM).
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lợt là trung điểm các cạnh AC và
BC trong tam giác BCD, ta lấy điểm M sao cho 2 đờng thẳng KM và CD cắt
nhau. Tìm thiết diện của tứ diện ABCDE với mp(HKM).
Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M.
a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SAC).
b .Tìm giao điểm của đờng thẳng BM với mp(SAC).
Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM).
Bài 4 : Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và
K lần lợt là trung điểm của các cạnh CB và CD là một điểm bất kỳ trên cạnh
SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK).

Trang 6
.
 Bµi 5 : Cho tø diÖn ®Òu ABCD, c¹nh b»ng a. KÐo dµi BC mét ®o¹n CE = a,

kÐo dµi BD mét ®o¹n EF = a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB.
a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF).
b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.

Trang 7