SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÁI BÌNH
TRƯỜNG THPT BẮC ĐÔNG QUAN
ĐỀ THI THỬ - LẦN 2
MÔN TOÁN 12 - NĂM HỌC 2009-2010
Thời gian 150’, không kể giao đề
Câu I : (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
- 3x
2
+2 có đồ thị (C) trong hệ tọa độ Oxy
1. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
2. Gọi E là tâm đối xứng của đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E và cắt (C) tại
ba điểm E, A, B phân biệt sao cho diện tích tam giác OAB bằng
2
Câu II : (2,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2. Tính tích phân
( ) ( )
3
2
2 2
0
1 1 2 1
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
Câu III : (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết khoảng cách giữa AB và mặt phẳng
(SCD) bằng 2. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
.Tính thể tích hình chóp
S.ABCD
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
4 3 2 2 3 2
1 1 4 2 2 2
2
x x y x y x y x xy
e e x x y xy x
− + − − + +
+ = + + − +
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng
1
1
:
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
2
1 4
:
1 2 5
x y z
d
− −
= =
1. Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d
1
và d
2
cùng nằm trên một mặt
phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó
2. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz . Viết phương
trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ∆ cắt đường thẳng
(d
2
) đồng thời ∆ vuông góc với (d
1
)
Câu VI : (1,0 điểm)
Giải phương trình sau trên tập các số phức biết nó có một nghiệm thực:
3 2
(5 ) 4( 1) 12 12 0z i z i z i
− + + − − + =
HẾT
Họ và tên thí sinh……………………………………… Số báo danh…………………
së gd&®t th¸i b×nh
trêng thpt b¾c ®«ng quan
ĐỀ THI THỬ - lÇn II
môn : Toán 12 Năm học 2009-2010
hớng dẫn chấm và biểu điểm
Nội dung Điểm
Cõu I : (3,0 im)
Cho hm s y = x
3
- 3x
2
+2 cú th (C) trong h ta Oxy
1. Kho sỏt v v th hm s
2. Gi E l tõm i xng ca th (C).Vit phng trỡnh ng thng qua E v ct (C) ti
ba im E, A, B phõn bit sao cho din tớch tam giỏc OAB bng
2
a) Tập xác định : R 0,25
b) Sự biến thiên
* Giới hạn
x -
, limy
x
Limy
+
= + =
0,25
1.
(2,0)
* Bảng biến thiên
y = 3x
2
-6x , y= 0
0
2
x
x
=
=
x
- 0 2 +
y + 0 - 0 +
y
2 +
- -2
Hàm số ng biến trên các khoảng (- ;0) và ( 2 ; +)
Nghch bin trờn (0; 2)
Hm s t cc i ti x = 0, y
c
= 2
t cc tiu ti x =2, y
ct
= -2
0,25
0,5
0,25
c. Đồ thị
+ im cc i, cc tiu :(0;2), (2;-2)
+ Giao với Oy : (0;2)
+ Giao với Ox :
NX :
0,5
+E (1;0)
0,25
+ PT ng thng qua E, tha món yờu cu bi toỏn phi cú dng y = k(x-1)
( Do trng hp x =1 khụng tha món)
1
2
E
O
x
y
2
(1,0)
Hoàng độ giao điểm của (C ) và ∆ là nghiệm của PT: (x-1)(x
2
-2x-2-k)=0
+ Để ∆ cắt (C ) tại 3 điểm phân biệt thì PT x
2
-2x-2-k = 0 phải có hai nghiệm phân
biệt khác 1 ⇔ k>-3
0,25
+ Tính được dt∆OAB =
1
( , ).
2
d O AB∆
=
3k k +
0,25
+ Từ giả thiết suy ra k có 3 giá trị -1; -1
3±
.
KL : Có 3 đường thẳng thỏa mãn yêu cầu là y = -x +1 ; y =
( )
( )
1 3 1x− ± −
0,25
Câu II : (2,0 điểm)
1. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số y = 2cosx + sin2x trên [0; 2π]
2. Tính tích phân
( ) ( )
3
2
2 2
0
1 1 2 1
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
+ Hàm số liên tục trên [0;2π]
+ Tính y’ = 2cos2x - 2sinx,
[ ]
0;2x
π
∈
y’= 0 ⇔
5 3
; ;
6 6 2
x
π π π
∈
0,5
1.
(1,0)
+) y(0)=2,
3 3 5 3 3 3
( ) ; ( ) ; ( ) 0; (2 ) 2
6 2 6 2 2
y y y y
π π π
π
= = − = =
0,25
Suy ra
[ ]
[ ]
0;2
0;2
3 3 3 3
ax , min
2 2
m y y
π
π
= = −
0,25
+ Đặt
2 1 x t+ + =
⇒ x =(t-2)
2
-1, dx = 2(t-2)dt ; x =0⇒ t =3, x = 3⇒ t = 4
0,25
2.
(1,0)
+ Đưa về
4
2
3
42 36
2 16I t dt
t t
= − + −
÷
∫
0,25
+ Tính ra được I = -12+ 42ln
4
3
0,5
Câu III : (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, biết khoảng cách giữa AB và mặt phẳng
(SCD) bằng 2. Góc giữa mặt bên và mặt đáy bằng 60
0
.Tính thể tích hình chóp
S.ABCD
+ Goij I, J lần lượt là trung điểm của
AB và CD, H là hình chiếu của I trên
SJ. Chứng tỏ được IH = 2 và góc
0
60SJI =
+ Gọi O là tâm đáy, chứng minh được
SO = 2,
4
IJ=
3
+ Tính được V
S.ABCD
=
32
9
( Đvtt)
0,5
0,25
0,25
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm các cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
4 3 2 2 3 2
1 1 4 2 2 2
2
x x y x y x y x xy
e e x x y xy x
− + − − + +
+ = + + − +
+ Đặt
4 3 2 2 3 2
1 , x 1x x y x y u y x xy v− + − = − + + =
PT trở thành
2
u v
e e u v+ = + +
(2)
+ Xét f(t)=e
t
- t - 1. Chứng tỏ được
( ) 0,
( ) 0 0
f t t
f t t
≥ ∀
= ⇔ =
Từ đó PT (2) ⇔ u = v = 0
0,25
0,25
+ Giải hệ
4 3 2 2
3 2
1 0
1 0
x x y x y
x y x xy
− + − =
− + + =
( )
2
2 3
2 3
1
1
x xy x y
x xy x y
− = −
⇔
− = +
.
Đặt
2
3
x xy a
x y b
− =
=
, giải ra ta được
1
0
a
b
=
=
hoặc
2
3
a
b
= −
= −
+ Thay trở lại tìm được hai cặp (x;y) là (1;0) và (-1;0) . Kết luận
0,25
0,25
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) và hai đường
thẳng
1
1
:
1 2 3
x y z
d
+
= =
− −
và
2
1 4
:
1 2 5
x y z
d
− −
= =
1. Chứng minh rằng điểm M và các đường thẳng d
1
và d
2
cùng nằm trên một mặt
phẳng. Viết phương trình mặt phẳng đó
2. Gọi A, B, C lần lượt là hình chiếu của điểm M trên Ox, Oy, Oz . Viết phương
trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (ABC) sao cho ∆ cắt đường thẳng
(d
2
) đồng thời ∆ vuông góc với (d
1
)
d
1
qua M
1
(0;-1;0), véc tơ chỉ phương
1
(1; 2; 3)u − −
uur
d
2
qua M
2
(0;1;-4),
2
(1;2;5)u
uur
0,25
1.
(1,0)
+ Chứng tỏ d
1
và d
2
đồng phẳng và viết được PT mp(d
1
,d
2
) : - x - 2y + z -2 = 0
+ Chứng tỏ M∈mp(d
1
,d
2
). Kết luận
0,5
0,25
+ A(1;0;0), B(0; -1;0), C(0;0;1); mp(ABC): x - y + z -1 = 0 0,25
S
A
B
C
D
I
J
60
0
O
H
2.
(1,0)
+ d
2
ct (ABC) ti H(
1 3
;0;
2 2
ữ
+ ng thng cn tỡm cú vộc t ch phng
( )
1
,
ABC
u u n
=
uur ur r
=(-5;-4;1) , ng
thi i qua H
Suy ra PT :
1
5
2
4
3
2
x t
y t
z t
=
=
= +
0,25
0,25
0,25
Cõu VI : (1,0 im)
Gii phng trỡnh sau trờn tp cỏc s phc bit nú cú mt nghim thc:
3 2
(5 ) 4( 1) 12 12 0z i z i z i
+ + + =
+ Gi nghim thc ú l a thay vo pt suy ra h
3 2
2
5 4 12 0
6
4 12 0
a a a
a
a a
=
=
+ + =
0,25
+ Khi ú PT ó cho tng ng vi
( )
( )
2
2
6 (1 ) 2 2 0
6
(1 ) 2 2 0
z z i z i
z
z i z i
+ + =
=
+ + =
0,25
+ Gii ra c cỏc nghim l 6, 2i v -1-i . Kt lun
0,5
- Trên đây chỉ là hớng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý mới cho điểm
- Những cách giải khác đúng vẫn đợc điểm tối đa
- Điểm toàn bài đợc làm tròn đến 0,5