Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (126.47 KB, 6 trang )
PHÂN TÍCH HỆ THANH BÊ TÔNG CỐT THÉP
CÓ XÉT ĐẾN ĐẶC TRƯNG BIẾN DẠNG CỦA BÊ TÔNG
ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAME STRUCTURE
CONSIDERING THE DEFORMATION CHARACTERISTIC OF CONCRETE
TRỊNH QUANG THỊNH
Trường Đại học Bách khoa, Đại học Đà Nẵng
TÓM TẮT
Phân tích hệ thanh bê tông cốt thép có xét đến đặc trưng biến dạng của bê tông: biến dạng
dẻo, khe nứt... nhằm đánh giá sự phân bố lại nội lực, để kết quả phân tích chính xác hơn và
sử dụng vật liệu hiệu quả hơn.
Lập thuật toán xây dựng ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút của phần tử thanh bê tông cốt
thép. Kết hợp với phương pháp phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu bê tông cốt thép trên
máy tính điện tử.
ABSTRACT
Analysis of reinforced – concrete frame structure with consideration to deformation
characteristic of concrete: plastic strain, cracks, and others is used to determine the
redistribution of stress, to achieve more accurate analysis results and to use materials more
effectively. The paper also presents the establishment of algorithm to build matrix of stiffness
and node stress vector of reinforced – concrete frame elements, and in combination with the
Finite Element Method to analyze reinforced-concrete structures on computer.
1. Mở đầu
Biến dạng dẻo và sự có mặt của các khe nứt trong bê tông làm cho sự phân bố nội lực
trong các kết cấu bê tông cốt thép khá phức tạp.
Các phần mềm để phân tích kết cấu công trình phần nhiều là sử dụng phương pháp
phần tử hữu hạn. Tuy nhiên việc xem xét một cách đầy đủ và chính xác ảnh hưởng của biến
dạng phức tạp của bê tông trong việc xác định độ cứng và ứng lực nút của các phần tử mẫu
cho phương pháp phần tử hữu hạn còn hạn
chế.
Bài viết này muốn đề xuất một biện
pháp kết hợp các qui tắc tính toán hiện có
để giải quyết khó khăn này.
2. Cơ sở lý thuyết
Xét dầm chịu uốn với tải trọng tăng
dần: lúc đầu chưa bị nứt, toàn bộ tiết diện
bê tông chịu ứng suất, dầm có độ cứng lớn.
Tải trọng tăng, bê tông có biến dạng dẻo,
vết nứt xuất hiện, tại tiết diện nứt mô men
b
c
’
F
a
’
h
c
’
h
c
F
a
b
c
h
b
x
a
h
0
Hình 1: Tiết diện dầm tại vị trí khe nứt
quán tính giảm làm giảm rõ rệt độ cứng của dầm.
2.1. Các đặc trưng hình học và biến dạng của cấu kiện bằng bê tông cốt thép
thường sau khi xuất hiện khe nứt
* Diện tích miền BT chịu nén qui đổi:
F
bqđ
=(b
c
’ - b).h
c
’ +
n
ν
.F
a
’ + b.x. (1 - 1)
* Độ cứng chống uốn của TD: B =
+
bqdb
b
aa
a
FEFE
Zh
.
10
ν
ψψ
(1 - 2)
Trong đó:
ν là hệ số đàn hồi của bê tông.
Ζ
1
khoảng cách từ hợp lực vùng nén đến trọng tâm cốt thép chịu kéo.
ψ
b
: Hệ số xét đến biến dạng không đều của thớ bê tông chịu nén ngoài cùng, (lấy = 0.9
trong các trường hợp bình thường, khi chịu tải trọng rung động lấy = 1).
ψ
a
: Hệ số xét sự làm việc chịu kéo của bê tông; (ψ
a
≤ 1)
* Độ cứng của thanh khi chịu kéo (nén): EF
Cấu kiện chịu kéo lệch tâm có lực dọc N
c
nằm trong phạm vi giữa các trọng tâm cốt
thép F
a
và F
a
’: ;
).(
'
a
aaa
FFE
EF
ψ
+
= (1 - 3)
Cấu kiện chịu nén lệch tâm: ;
)...(
a
bqdbaa
FEFE
EF
ψ
ν+
= (1 - 4)
2.2. Ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử trong phương
pháp phàn tử hữu hạn
Tổng quát với phần tử thanh lăng
trụ trong bài toán phẳng (hệ thanh
phẳng):
Gọi q
1
, q
2
là tải trọng phân bố
theo phương trục 1, trục 2, m là mô men
phân bố.
Gọi t
1
, t
2
là nhiệt độ tăng lên ở mặt dưới và mặt trên của phần tử.
Các thành phần chuyển vị {V} = {u, v, ϕ} (u: chuyển vị
thắng dọc trục 1, v: chuyển vị thắng theo trục 2, ϕ: chuyển vị
xoay quanh trục 3)
Và nội lực {F} = {N, Q, M.} (qui ước dấu theo hình vẽ
bên)
- Vectơ chuyển vị nút {δ} ≡ [δ
1
δ
2
.. δ
6
]
T
≡ [u
1
v
1
ϕ
1
u
2
v
2
ϕ
2
]
T
;
- Vectơ ứng lực nút {F} ≡ [F
1
F
2
.. F
6
]
T
≡ [N
1
Q
1
M
1
N
2
Q
2
M
2
]
T
;
- Các quan hệ vi phân giữa chuyển vị và nội lực:
2
1
3
Hình 2: Phần tử thanh phẳng
u
1
- N
1
v
1
- Q
1
ϕ
1
- M
1
v
2
- Q
2
ϕ
2
- M
2
u
2
- N
2
N
Q
M
dx
dM
dx
dQ
dx
dN
dx
d
dx
dv
dx
du
ϕ
=
− 010000
000000
000000
.
1
00000
000100
00
.
1
000
JE
FE
x
M
Q
N
v
u
ϕ
+
−
−
−
−
+
m
q
q
l
tt
tt
2
1
12
21
.2
.
0
2
.
α
α
; (2 - 1)
Hay
dx
dZ
= [A]. {Z} + {B}; (2 - 2)
Theo phương pháp phần tử hữu hạn - Mô hình chuyển vị, có được phương trình cơ
bản của phần tử hữu hạn: [K] {δ} = {F};
[K] -Ma trận độ cứng của phần tử.
{δ} -Vectơ các chuyển vị nút.
{F} -Vectơ các lực nút tương đương của phần tử.
Với phần tử thanh có các đặc trưng tiết diện không thay đổi, có thể với các phép khai
triển tích phân thông thường, hoặc với các tiết diện quen thuộc có thể sử dụng các bảng tra lập
sẵn để xác định các phần tử của ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần
tử.
3. Phương pháp giải với cấu kiện bê tông cốt thép
Với cấu kiện bê tông cốt thép, do các đặc trưng của tiết diện: độ cứng dọc trục EF, độ
cứng chống uốn B (tương đương với EJ) xác định theo (1-3), (1-12) là thay đổi nên chưa thể
giải được nghiệm đúng của hệ phương trình trên. Trong trường hợp này, có thể giải theo
phương pháp gần đúng Runge-Kutta (bậc 4):
Phương trình (2 - 2) được viết lại:
)(
..
..
)(
)(
2
1
xZ
xZ
xZ
dx
d
n
=
)(..)()(
........
........
)(..)()(
)(..)()(
21
22221
11211
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnn
n
n
x
)(
..
..
)(
)(
2
1
xZ
xZ
xZ
n
+
)(
..
..
)(
)(
2
1
xb
xb
xb
n
; (2 - 3)
Nghiệm của hệ phương trình tại x: Z(x) = α(x).Z(0) + β(x); (2 - 4)
Với khoảng chia h, tại x+h có: Z(x+h) = α(x+h).Z(0) + β(x+h); (2 - 5)
Với các công thức truy hồi, có được sự liên hệ của các giá trị α và β ở 2 bước tích
phân x và x+h như sau:
( )
IV
iiiiiji
KKKKxhx ++++=+ )(2
6
1
)()(
''''''
αβ ;
( )
IV
ijijijijijij
KKKKxhx ++++=+ )(2
6
1
)()(
''''''
αα ;
Với:
()
+=
∑
=
n
p
ippii
xaxxbhK
1
'
)().()(. β ;
+
+++=
∑
=
n
p
ipppii
h
xaKx
h
xbhK
1
'''
)
2
(.
2
1
)()
2
(. β ;
+
+++=
∑
=
n
p
ipppii
h
xaKx
h
xbhK
1
'''''
)
2
(.
2
1
)()
2
(. β ;
()()
++++=
∑
=
n
p
ipppi
IV
i
hxaKxhxbhK
1
'''
)(.)()(. β ;
Và:
()
∑
=
=
n
p
pjipij
xxahK
1
'
)().(. α ;
∑
=
++=
n
p
pjpjipij
Kx
h
xahK
1
'''
2
1
)().
2
(. α ;
∑
=
++=
n
p
pjpjipij
Kx
h
xahK
1
'''''
2
1
)().
2
(. α ;
( )( )
∑
=
++=
n
p
pjpjip
IV
ij
KxhxahK
1
'''
)().(. α ;
Vậy hàm Z(x) được xác định với mọi điểm nếu biết Z(0) và với các giá trị [α(0)] = [I]
và {β(0)} = {0};
Với phần tử (ik), (2 – 4) sẽ là:
Z(k) = α(k).Z(i) + β(k);
Hay
{ }
{}
[ ] [ ]
[][]
{ }
{}
{ }
{}
K
i
i
K
k
k
F
V
F
V
+
=
2
1
43
21
.
β
β
αα
αα
⇒ {V
k
} = [α
1
]
k
.{V
i
} + [α
2
]
k
.{F
i
} + {β
1
}
k
; (2 - 6)
{F
k
} = [α
3
]
k
.{V
i
} + [α
4
]
k
.{F
i
} + {β
2
}
k
; (2 - 7)
(2 - 6) ⇒ {F
i
} =
[ ]
1
2
−
k
α .{V
k
} -
[ ]
1
2
−
k
α .[α
1
]
k
.{V
i
} -
[ ]
1
2
−
k
α .{β
1
}
k
;
(2 - 7) ⇒{F
k
}=([α
3
]
k
-[α
4
]
k
.
[ ]
1
2
−
k
α .[α
1
]
k
).{V
i
}+[α
4
]
k
.
[ ]
1
2
−
k
α .{V
k
}-[α
4
]
k
.
[ ]
1
2
−
k
α .{β
1
}
k
)+{β
2
}
k
;
Mặt khác: {F} = [K] {δ} + {F
0
};
u
1
- N
1
v
1
- Q
1
ϕ
1
- M
1
v
2
- Q
2
ϕ
2
- M
2
u
2
- N
2
i
k
Hay:
{}
{}
[ ][ ]
[]
[]
{}
{}
{ }
{}
;.
0
0
,
,,
+
=
−
k
i
F
F
V
V
KkK
KK
F
F
k
i
iki
kikiik
k
i
Vậy, ma trận độ cứng và vectơ ứng lực nút tương đương của phần tử đang xét:
[ ]
iik
K
,
=
[ ]
1
2
−
k
α .[α
1
]
k
;
[ ]
kik
K
,
= -
[ ]
1
2
−
k
α ;
{ }
0
i
F =
[ ]
1
2
−
k
α .{β
1
}
k
;
[ ]
iki
K
,
= [α
3
]
k
- [α
4
]
k
.
[ ]
1
2
−
k
α .[α
1
]
k
;
[ ]
kki
K
,
= [α
4
]
k
.(
[ ]
1
2
−
k
α ;
{ }
0
k
F = {β
2
}
k
- [α
4
]
k
.
[ ]
1
2
−
k
α .{β
1
}
k
;
4. Kết quả và thảo luận
Xét dầm có sơ đồ và tiết diện như hình vẽ,
Với tiết diện ban đầu xem bê
tông là vật liệu đàn hồi, độ cứng của
dầm là EJ= 5.10
3
T.m
2
; Nội lực xác
định được như sơ đồ.
Xác định độ cứng của dầm bê tông
cốt thép theo (1-3), có được sự phân bố lại
nội lực như sơ đồ sau:
- Theo kết quả phân tích, nếu có xét biến dạng dẻo và nứt trong bê tông thì độ cứng
của dầm thay đổi đáng kể. Tại tiết diện có nội lực xấp xỉ giới hạn chịu lực, độ cứng có thể
giảm 2-3 lần độ cứng ban đầu.
- Giá trị của hệ số đàn hồi của bê tông giảm nhiều khi ứng suất tăng, do đó độ cứng
của dầm không những thay đổi nhiều hơn, mà còn khác nhau nhiều giữa các tiết diện có nội
lực chênh lệch lớn. Nếu xét đến yếu tố này sự phân bố lại nội lực càng rõ rệt.
- Phân tích kết cấu bê tông cốt thép nếu không xét sự phân bố lại nội lực do độ cứng
của các cấu kiện thay đổi sẽ làm mất ý nghĩa của những cố gắng chính xác hóa khi tính toán
tiết diện bê tông cốt thép.
2φ18
500
200
2φ20
q=1.5T/m
6m
1 3 2
