200 đề vào trường Chuyên

Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI THPT
CHUYÊN ĐỀ 1: BIỂU THỨC ĐẠI SỐ
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP THƯỜNG GẶP:
1/ LOẠI 1: TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ BIỂU THỨC CÓ
NGHĨA:
Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa là tìm điều
kiện cho sự tồn tại của các biểu thức có trong bài toán
và xuất hiện trong quá trình biến đổi.
Khi làm câu hỏi này cần chú ý:
+ Đối với phân thức
B
A
có nghĩa
⇔
B
≠
0
+ Đối với căn thức
A
có nghĩa
⇔
A
≥
0
2/ LOAI 2: RÚT GỌN BIỂU THỨC ĐẠI SỐ:
Khi rút gọn biểu thức đại số ta cần đặt điều kiện cho
sự tồn tại của biểu thức
Sử dụng thành thạo, linh hoạt các phép biến đổi
Chú ý một số phương pháp :
* Thông thường một biểu thức cần rút gọn ở dạng

M = (
F
E
D
C
B
A
:)+
- Trước hết cần rút gọn từng phân thức
F
E
D
C
B
A
;;
(nếu
có thể)
- Biến đổi, quy đồng, thực hiện phép tính.
* Nếu a x
2
+ b x + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thì
a x
2
+ b x + c = a ( x – x
1

)( x- x
2
)
Ví dụ : CMR giá trị của biểu thức
2 5 1 10
( 0)
3 2 4 3 5 6
x x x
M x
x x x x x x
+ +
= + + ≥
+ + + + + +
không phụ thuộc vào biến số x
* Biến đổi biểu thức bên trong căn về dạng bình
phương để khai phương.
Ví dụ: Rút gọn biểu thức :
2 2A a b c ac bc a b c ac bc= + + + + + + + − +

(a;b;c
≥
0 )
* Trong quá trình biến đổi biểu thức ta hay sử
dụng các hằng đẳng thức sau:
a - b = (
a
-
b
) (
a

+
b
)

a
3

±

b
3
= (
a

±

b
) ( a +
ab
+ b)
(
a

±

b
)
2
= a
±

2
ab
+ b
3/ LOẠI 3: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI
SỐ.
Dạng 1: Tính giá trị của biểu thức số:
Chú ý: Nếu biểu thức có dạng A
±
2
B
Trong đó A
= a+b và B = a.b Thì A
±
2
B
= (
a

±

b
)
2
Ví dụ :
324 −
=
13)13(
2
−=−

245 +
=
23)23(625
2
+=+=+
Dạng 2: Tính giá trị của biểu thức đại số tại giá trị
cho trước của biến (tính A(x) tại x = a)
+) Bước 1: Rút gọn A(x) nếu có thể
+) Bước 2: Thay giá trị của biến vào biểu thức đã rút
gọn rồi thực hiện phép tính.
+) Bước 3: Kết luận.
4/ LOẠI 4: TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA BIẾN SỐ x ĐỂ
BIỂU THỨC A(x) THOẢ MÃN MỘT ĐIỀU KIỆN
NÀO ĐÓ.
VD: +) Tìm x để A(x) = m (m
R∈
) (1)
+) Tìm a để A(x) > m hoặc A(x)< m… (2)
Việc tìm x chính là tìm nghiệm của (1); (2)
Mở rộng: A(x) = B(x); A(x) > B(x); A(x) < B(x)….
+) Tìm x để A(x) thoả mãn một số điều kiện khác như:
Biểu thức A(x) nhận giá trị nguyên.
Biểu thức A(x) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
Chú ý: +) Khi tìm được giá trị của biến số ta cần kết
hợp với điều kiện xác định của biểu thức để kết luận.
+ Sử dụng tính chất chia hết để tìm giá trị
nguyên của biểu thức:
VD: Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức
A =
3

2
2
−
−
x
x
đạt giá trị nguyên.
5/ LOẠI 5: CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG
PHỤ THUỘC VÀO GIÁ TRỊ CỦA BIẾN SỐ X
C/m giá trị của biểu thức A(x) không phục thuộc vào
biến số x nghĩa là ta đi rút gọn A(x) để kết quả sau
khi rút gọn không chứa biến.
6/ LOẠI 6: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC
A(X)= B(X)
Thông thường ta biến đổi từ vế phức tạp về vế đơn giản.
B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM:
Một số các câu hỏi trắc nghiệm về chương căn
Câu 1: Căn bậc hai của (a-b)
2
là:
A. a- b B. b- a C.
ba −
D. a- b
và b –a
Câu 2: Căn bậc hai số học của (a+ b)
2
là:
A. a + b B. – (a + b)
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 1
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3

C.
ba +
D. (a + b) và - (a+ b)
Câu 3: a/ Giá trị của x để
x
<
3
là
A. x < 3 B. 0
3
<≤
x
C. x > 3 D. x = 3
b/ Giá trị của x để -
105 −<x
là
A. x < 20 B. x > 20 C. 0 < x < 20 D. x > 4
Câu 4: Điền hệ thức hoặc cụm từ thích hợp vào chỗ
trống.
a/
2
a
có nghĩa khi …
b/
a3−
có nghĩa khi …
c/
144
2
+− aa

có nghĩa …
d/
b−2
3
có nghĩa khi…
e/
x35 −
có nghĩa khi…
f/
4
2
−a
xác định khi…
g/
1
2
+a
xác định…
h/
2
4 a−
xác định khi…
Câu 5: Kết quả của phép khai căn :
2
)5( −a
là
A. a-5 B. 5-a C.
a−5
D. cả 3 điều sai
Câu 6: Kết quả của phép tính

549 −
là
A. 3-
52
B.
52 −
C.
25 −
D. cả 3 điều sai
Câu 7: Kết quả của phép tính : x – 3 +
96
2
+− xx

với x < 3
A. 2x – 6 B. 0 C. 2x – 6 hoặc 0 D. Cả 3 đều sai
Câu 8: Giá trị của x để
xx −=− 4)4(
2
là:
A. x = 4 B. x < 4 C. x
4≤
D. x
4≥
Câu 9: Điền số thích hợp vào ô trống :
a/
+
2
12
 =

2
15
b/  +
2)32(
2
=−
c/
1528 −
=  - 
Câu 10.Điền dấu (>, <, =) vào 
a/
1625 −

1625 −
b/
916
+

916 +

c/
20062004
+
 2
2005
d/
2
ba +

ab

(a
0;0 ≥≥ b
)
e/
2
ba +

2
ba +
(a
0;0 ≥≥ b
)
g/
3
2
2
1

2
1
3
2
h/ -
27
3
1
 -
12
2
1

f/ 5
10
 6
9
i/
3
3
20.2
 2
3
5
k/
3
3
2
200
 3
3
3
Câu 11. Giá trị của biểu thức
223
2
223
2
−
+
+
là:
A. - 8
2

B. 8
2
C. 12 D. -12
Câu 12: Giá trị của biểu thức
32
−
-
32
+
là
A. -
2
B.
2
C.
±
2
D. kết quả khác.
Câu 13: Giá trị của x để
4459
3
1
9
5
3204 =−−
−
+− x
x
x
là:

A. 5 B. 9 C. 6 D. Cả A,B,C đều sai
Câu 14: Giá trị của biểu thức:
+
−
+
57
57
57
57
+
−
A. 1 B. 12 C. 2 D.
12
Câu 15: Giá trị của biểu thức:
66156615 ++−
bằng:
A.
30
B.12
6
C.6 D.3
C. BÀI TẬP TỰ LUẬN:
Bài 1: Thực hiện phép tính:
a/
53
2
53
2
−
+

+
b/
15
55
53
1
53
1
−
−
÷








+
−
−
c/
( )
610154)154( −−+
d/
26
324
−
−

e/
( )
336623 −+
g/
( ) ( )
53535353 −+++−
h)
3232
3232
−−+
−++
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 2
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 2 : Thực hiên phép tính
) 14 6 5 14 6 5
) 13 30 2 5 4 2
2 3 2 3
)
2 2 3 2 2 3
2 3 2 3
)
2 3 2 3
) 6 2 2 3 2 12 18 128
a
b
c
d
e
+ + −
+ + +

+ −
+
+ + − −
− +
+
+ −
+ − + + −
Bài 3 : Rút gọn biểu thức .
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1

1 5 5 9 9 13 2001 2005
2 3 6 8 4
2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
2 3 3 4 4 5 2002 2003
A
B
C
= + + + +
+ + + +
+ + + +
=
+ +
= + + + + + + + + + + + +
Bài 4: Rút gọn biểu thức:
A =
a
x

xa
a
x
xa
22
22
+
+
+−
+
(x > 0; a > 0)
Bài 5: Cho biểu thức
B = (
4
4
2
2
2
2
−
−
+
−
−
−
+
x
x
x
x

x
x
) :
42
3
−
−
x
x
a/ Tìm điều kiện xác định của A
b/ Rút gọn biểu thức A
Bài 6: Cho biểu thức
A = (1 -
1
2
+x
x
) : (
1
2
1
1
+++
−
+ xxxx
x
x
)
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tính giá trị của A biết x = 2000 - 2

1999
Bài 7: Cho biểu thức
P =
x
x
xxyxx
x
yxy
x
−
−
×
−−+
−
− 1
1
22
2
2
a/ Rút gọn P với x > 0; y > 0; x
≠
1; x
≠
4y
b/ Tính giá trị của biểu thức P biết:
2x
2
+ y
2
– 4x – 2xy + 4 = 0

Bài 8: Cho biểu thức
A = (
x
x
2
1
2
−
).(
11 −
+
−
+
−
x
xx
x
xx
)
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để A > - 6
Bài 9: Cho biểu thức:
3
1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
−
= + +

− − − + −
(đk: x > 1)
a/ Rút gọn biểu thức
A
b/ Tìm x để
1A
=
Bài 10 : Cho biểu thức:
2 1 1
1 1 1
x x
A
x x x x x
+ +
= + +
− + + −
a/ Rút gọn biểu thức
A
b/ C/m
0; 1x x
∀ ≥ ≠
thì
0A
≥
Bài 11: Cho biểu thức:
5 25 3 5
1 :
25
2 15 5 3
x x x x x

A
x
x x x x
   
− − + −
= − − +
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ − + −
   
a) C/m
5
3
A
x
=
+

0; 9; 25x x x
≥ ≠ ≠
b) Tìm
x Z
∈
để biểu thức
A
nhận giá trị nguyên
Bài 12: Cho biểu thức :
2
3

1 1 2
1
2(1 ) 2(1 )
x
A
x
x x
+
= + −
−
+ −
a) Rút gọn biểu thức A.
b)Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị đó.
Bài 13: C/m biểu thức sau không phụ thuộc vào a và b
2
: ( )
a a b b b
A ab a b
a b a b
 
+
= − − +
 ÷
 ÷
+ +
 
Bài 14: Cho biểu thức:
: ( 0; 0; )
a a b b a a b b a b
A a b a b

a b a b a b
 
+ − −
= − ≥ ≥ ≠
 ÷
 ÷
+ − +
 
a) Rút gọn A

b) Tính giá trị của A khi
2 3; 2 3a b= − = +
Bài 15 : Cho biểu thức:
2 1 5 12
9
3 3
x x x x
B
x
x x
− + − −
= + +
−
− +
a) Tìm điều kiện của x để B xác định
b) Rút gọn B .
c) Tìm
x Z
∈
để biểu thức

B
nhận giá trị nguyên.
Bài 16 : Cho biểu thức:
1 1 ( 0; 1)
1 1
a a a a
P a a
a a
  
+ −
= + − ≥ ≠
 ÷ ÷
 ÷ ÷
+ − +
  
a. Rút gọn P b. Tìm a để P >
2
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 3
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 17: Cho
2 1 1
1 1 1
x x
Q
x x x x x
+ +
= + −
− + + −
a. Rút gọnQ
b. Tính giá trị của Q khi

33 8 2x = −
c. CMR
1
3
Q <
.
Bài 18: Cho
2 1 1
:
2
1 1 1
x x x
A
x x x x x
 
+ −
= + −
 ÷
 ÷
− + + −
 
a) CMR
0; 1x x≥ ≠
thì
0 2A< ≤
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Bài 19 : Cho
2
:
y y xy

C
x y
x xy x xy
 
= +
 ÷
 ÷
−
+ −
 
a. Tìm x , y để C có nghĩa
b. Rút gọn C.
c. Tìm x , y để C = 1
Bài 20 : Cho
3 9 3 1 1 1
2 :
1
2 1 2
x x
P
x
x x x x
 
+ −
= + + −
 ÷
 ÷
−
+ − − +
 

a. Rút gọn P.
b. Tìm số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên .
c. Tính P khi
4 2 3x = −
Bài 21: Cho
4 8 1 2
:
4
2 2
x x x
P
x
x x x x
   
−
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
+ −
   
a. Rút gọn P.
b. Tìm x để P = -1
Tìm m để mọi x > 9 ta có
( 3) 1m x P x− > +
Bài 22: Cho
a b a b

N
ab b ab a ab
+
= + −
+ −
a. Rút gọn N .
b. CMR nếu
1
5
a a
b b
+
=
+
thì N có giá trị không đổi .
Bài 23 Cho biểu thức:
2
4 4 4 4
8 16
1
x x x x
A
x x
+ − + − −
=
− +
a. Rút gọn A .
b. Tìm giá trị nguyên lớn nhất của x để A có giá trị
nguyên.
D. BÀI TẬP TỰ LÀM

Bài 1: Cho biểu thức :
1 1
1 1
A
x y
= −
+ +
Tính giá trị của A khi
1 1
;
7 4 3 7 4 3
x y
= =
+ −
.
Bài 2 : Cho biểu thức :
1
:
1
1 1 1 2
x x x
A
x
x x x
 
= − +
 ÷
 ÷
−
+ − +

 
a. Tìm ĐKXĐ của A.
b. Rút gọn A.
c. Tính giá trị của A khi
3 1
2
x
−
=
Bài 3 : Cho biểu thức :
1 1
2 2 2 2
A
x x
= −
− + − −
a. Tìm ĐKXĐ của A.
b. Rút gọn biểu thức A.
c. Tính giá trị của A biết
2
9 18 0x x
− + =
Bài 4 : Cho biểu thức :
1 2 2 7 6 2A x x x x
= − − − − + − −
a. Tìm ĐKXĐ của A.
b. Tính giá trị của A khi
2 3x
≤ ≤
Bài 5 : Cho

1 1 8 3 2
: 1
9 1
3 1 1 3 3 1
x x x
A
x
x x x
   
− −
= − + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
−
− + +
   
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để
6
5
A =
.
Bài 6: Cho biểu thức :
1 2
1 :
1
1 1
x x
A
x

x x x x x
   
= + −
 ÷  ÷
 ÷  ÷
+
− + − −
   
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ Tìm x để
0A
<
.
Bài 7: Cho biểu thức :
1 3 2
1 1 1
A
x x x x x
= − +
+ + − +
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ C/m
0 1A
< ≤
.
Bài 8:Cho:
2
2 2 1
.
1

2 1 2
x x x
A
x
x x
 
− + −
 
= −
 ÷
 ÷
 ÷
−
+ +
 
 
a/ Rút gọn biểu thức A.
b/ C/m nếu
0 1x
< <
thì
0A
>
c/ Tìm giá trị lớn nhất của A .
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 4
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
CÁC BÀI TOÁN VỀ BIẾN ĐỔI CĂN THỨC,
PHÂN THỨC
Phần 1: Biến đổi các biểu thức chứa số.
1) Rút gọn các biểu thức sau:

A 6 2 5 29 12 5= + − −
.

B 8 8 20 40= + + +
.

15 4 12
C ( 6 11)
6 1 6 2 3 6
 
= + − +
 ÷
+ − −
 
.
2) C/m đẳng thức:
3 3
1 1
2 2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+ −
+ =
+ + − −
.
3) C/m số
0

x 2 2 3 6 3 2 3= + + − − +
là
một nghiệm của phương trình:
4 2
x 16x 32 0− + =
.
4) Thu gọn
2 3 6 8 4
P
2 3 4
+ + + +
=
+ +
.
5) Tính giá trị của biểu thức
3 3
P x y 3(x y) 2004= + − + +
, trong đó
3 3 3 3
x 3 2 2 3 2 2 , y 17 12 2 17 12 2= + + − = + + −
6) Rút gọn
1 1 1 1
P
1 5 5 9 9 14 2001 2005
= + + + +
+ + + +
7) Rút gọn biểu thức
1 1 1
A
2 1 1 2 3 2 2 3 2005 2004 2004 2005

= + + +
+ + +
8) Tính giá trị của biểu thức
1 1
A
a 1 b 1
= +
+ +
với
1 1
a ,b
2 3 2 3
= =
+ −
.
9) C/m
3 3
84 84
1 1
9 9
+ + −
là một số nguyên.
10) Rút gọn biểu thức
3 5 3 5
A
10 3 5 10 3 5
+ −
= −
+ + + −
.

11) Rút gọn biểu thức
A a b c 2 ac bc a b c 2 ac bc= + + + + + + + − +
12) Rút gọn các biểu thức:
2 3 2 3
A
2 2 3 2 2 3
+ −
= +
+ + − −
2 3 2 3 3 2 3
B 2 (24 8 6)
3 2
4 2 2 3 2 3 2 3
    
+
= + + − + +
 ÷ ÷  ÷
 ÷ ÷  ÷
+ + −
    
1 1 1 1 1 1
C 1 1 1
2 2 2 2 2 2
2 3 3 4 2002 2003
= + + + + + + + + +
13) Rút gọn các biểu thức:
A 4 7 4 7 2= + − − −
B 6 2 2 3 2 12 18 128= + − + + −
.
14) C/m

2 3 5 3 48
A
6 2
+ − +
=
+
là số nguyên.
15) Rút gọn biểu thức
3 6
A 2 3 4 2. 44 16 6= − +
.
16) Cho
3
10 6 3( 3 1)
x
6 2 5 5
+ −
=
+ −
.
Tính
3 1997
P (x 4x 1)= − +
.
17) So sánh hai số
10 13+
và
7 17+
.
18) C/m

4 4
4
2
4 3 5 2 5 125
1 5
− + − =
+
.
19) Rút gọn biểu thức
2 3 4 5
A
2 3 5 6 8 10 16
+ + +
=
+ + + + + +
.
20) Rút gọn các biểu thức sau:
a)
4 4
A 49 20 6 49 20 6= + + −
b)
B 4 10 2 5 4 10 2 5= + + + − +
c)
C 4 15 4 15 2 3 5= + + − − −
21) C/m các số sau đây đều là các số nguyên:
a)
(5 2 6)(49 20 6) 5 2 6
M
9 3 11 2
+ − −

=
−
b)
N 4 5 3 5 48 10 7 4 3= + + − +
.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 5
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
22) Trục căn thức ở mẫu số:
a)
3 3
2
A
2 2 4 2
=
+ +
b)
3 3
6
B
2 2 2 4
=
− +
c)
3 3
2
C
2 4 2
=
+ +
.

23) Tính giá trị của biểu thức
3 2 2008
A (3x 8x 2)= + +
với
3
( 5 2) 17 5 38
x
5 14 6 5
+ −
=
+ −
.
24) C/m
3 3
x 9 4 5 9 4 5= + + −
là nghiệm của
phương trình
3
x 3x 18 0− − =
.
25) Rút gọn các biểu thức sau:
2
A ( 6 2 16 2 15 3)= − − +
.
B (3 10) 19 3 40= − +
2 10 30 2 2 6 2
C :
2 10 2 2 3 1
+ − −
=

− −
D 13 30 2 9 4 2= + + +
E m 2 m 1 m 2 m 1= + − + − −
F 8 2 10 2 5 8 2 10 2 5 ( 2 10) 2008
= + + + − + − + +
Phần 2: Biến đổi các biểu thức chứa biến.
1) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
A 1:
x 1
x x 1 x x 1
 
+ − −
= + −
 ÷
−
+ − +
 
a) Với điều kiện nào của x thì A xác định.
b) Rút gọn biểu thức A.
c) C/m A > 1 với mọi x > 0 và x ≠ 1.
2) Cho biểu thức
2
4a 10a 2 2a 20
A
(a 1)(a 2) (a 1)(a 3) (a 2)(a 3)
+ +
= + +
+ + + + + +
.

a) Tìm điều kiện của a để A có nghĩa.
b) Rút gọn biểu thức A.
3) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 x 1
A
4
4 x x 1 x 1
   
− +
= − −
 ÷  ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn A. b) Tìm x để
5
2A x
4
+ =
.
4) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 x 1
+ − + −
= − −
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P khi
x 3 2 2= +
.
5) Cho biểu thức
3x 9x 3 x 1 x 2
P
x x 2 x 2 1 x
+ − + −
= − +
+ − + −
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho giá trị tương
ứng của biểu thức A nguyên.
6) Cho biểu thức
1 x 2
M x 1
x 1 x x 1
 
+
 
= + −
 ÷
 ÷
+ + +
 
 
.
Tìm x để biểu thức M có nghĩa và rút gọn M.
7) Cho biểu thức

x x 1 x x 1 x 1
P
x x x x x
− + +
= − +
− +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
9
P
2
=
.
8) Cho biểu thức
x x
A 1 x
x
+
= − −
.
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức A có nghĩa.
Với điều kiện đó, hãy rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x để A + x - 8 = 0.
9) Cho biểu thức
x 2 x 1 x 1
P
x 1
x x 1 x x 1
+ + +

= + −
−
− + +
.
a) Rút gọn biểu thức P.
b) C/m
1
P
3
<
với x ≥ 0 và x ≠ 1.
10) Cho biểu thức
2x 1 x 2x x x x (x x )(1 x )
M 1 .
1 x
1 x x 2 x 1
− + + − − −
= − +
−
+ −
   
 ÷ ÷
   
a) Tìm các giá trị của x để M có nghĩa, khi đó hãy rút
gọn M.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2010 - M khi x ≥ 4.
c) Tìm các số nguyên x để giá trị của M cũng là số
nguyên.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 6
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3

11) Cho biểu thức
2x 2 x x 1 x x 1
P
x x x x x
+ − +
= + −
− +
.
a) Rút gọn P.
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, C/m biểu
thức
8
P
chỉ nhận đúng 1 giá trị nguyên.
12) Cho biểu thức
2
x 4 x 4 x 4 x 4
A
16 8
1
x
x
+ − + − −
=
− +
.
a) Với giá trị nào của x thì biểu thức A xác định.
b) Tìm giá trị của x để A đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên.

13) Cho biểu thức
3x 9x 3 1 1 1
P 2 :
x 1
x x 2 x 1 x 2
 
+ −
= + + −
 ÷
−
+ − − +
 
.
a) Tìm điều kiện của để P có nghĩa, khi đó hãy rút
gọn P.
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên.
c) Tính giá trị của P với
x 4 2 3= −
.
14) Cho biểu thức
x 2 x 3 x 2 x
P : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1
   
+ + +
= − − −
 ÷  ÷

− + − − +
   
a) Rút gọn P. b) Tìm x để
1 5
P 2
≤ −
.
15) Cho các biểu thức
2 2
5x 1 2 x 1
A :
1 2x 1 2x
4x 1 1 4x 4x
−
 
= + −
 ÷
− +
− + +
 

B 4 2 3 19 8 3= − + −
.
a) Với những giá trị nào của x thì A có nghĩa.
b) Rút gọn A và B.
c) Tìm những giá trị của x để A = B.
16) Cho biểu thức
x 1 x 2 x 1
P
x 1

x x 1 x x 1
+ + +
= − −
−
− + +
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2
Q x
P
= +
.
17) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
A
x x 1 x x 1 x 1
+ +
= + −
− + + −
.
a) Tìm x để A có nghĩa. Hãy rút gọn A.
b) Tính A với
x 33 8 2= −
.
c) C/m
1
A
3
<

.
18) Cho biểu thức
2
x x 2x x 2(x 1)
P
x x 1 x x 1
− + −
= − +
+ + −
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của P.
c) Tìm x để biểu thức
2 x
Q
P
=
nhận giá trị là số
nguyên.
19) C/m biểu thức sau có giá trị không phụ thuộc vào x
3 6
4
2 3. 7 4 3 x
A x
9 4 5. 2 5 x
− + −
= +
− + +
.
20) Cho biểu thức

1 2 x 2 x
P : 1
x 1
x 1 x x x x 1
   
= − −
 ÷  ÷
+
− − + −
   
,
với x ≥0; x ≠ 1.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x sao cho P < 0.
21) Cho biểu thức
2x x x x x x x 1 x
M .
x 1
x x 1 2x x 1 2 x 1
+ − + −
= − +
−
− + − −
 
 ÷
 
a) Hãy tìm điều kiện của x để biểu thức M có nghĩa,
sau đó rút gọn M.
b) Với giá trị nào của x thì biểu thức M đạt giá trị nhỏ
nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó của M.

22) Cho biểu thức
2
2
2x x 1
P(x)
3x 4x 1
− −
=
− +
.
a) Tìm điều kiện để P(x) xác định, rút gọn P(x).
b) C/m nếu x > 1 thì P(x). P(-x) <0.
23) Rút gọn biểu thức
2 2
x x x x
M x 1
x x 1 x x 1
− +
= − + +
+ + − +
với 0≤ x ≤ 1.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 7
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
24) Cho biểu thức
2
x 1 x 1 1 x
P .
2
x 1 x 1 2 x
   

− +
= − −
 ÷ ÷
+ −
   
.
a) Rút gọn P.
b) Tìm x để
P
2
x
>
.
25) Cho biểu thức
x 2 x 1 1
M
x x 1 x x 1 1 x
+ +
= + +
− + + −
, với 0 ≤ x ≠ 1.
a) Rút gọn M.
b) C/m với 0 ≤ x ≠ 1, ta có M < 1/3.
26) Cho biểu thức
2 2 2 2
x y x y
P
(x y)(1 y) (x y)(1 x) (1 x)(1 y)
= − −
+ − + + + −

.
a) Tìm điều kiện để P xác định, rút gọn P.
b) Tìm x, y nguyên thỏa mãn phương trình P = 2.
27) Cho x, y là hai số thay đổi luôn thỏa mãn điều
kiện x > 0, y < 0, x + y =1.
a) Rút gọn biểu thức
2 2 2
2 2 2 2 2 2
y x y 2x y x
M :
xy
(x y) (x y ) y x
 
−
= − +
 ÷
− − −
 
.
b) C/m A < -4.
28) Cho biểu thức
a 3 a 2 a a a a
P :
a 1
( a 2)( a 1) a 1 a 1
 
+ + +
 
= − +
 ÷

 ÷
−
+ − + −
 
 
a) Rút gọn biểu thức P.
b) Tìm a để
1 a 1
1
P 8
+
− ≥
.
29) Cho a, b, c là ba số phân biệt khác không và thỏa
mãn điều kiện a + b + c = 0. Đơn giản biểu thức:
a b c b c c a a b
P
b c c a a b a b c
− − −
  
= + + + +
 ÷ ÷
− − −
  
.
30) Cho biểu thức
x 1 2 x
P 1 : 1
x 1
x 1 x x x x 1

   
= + − −
 ÷  ÷
+
− + − −
   
.
a) Tìm điều kiện của x để P có nghĩa và rút gọn P.
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức
Q P x= −
nhận giá trị nguyên.
31) Cho biểu thức
2 x 9 x 3 2 x 1
A
x 5 x 6 x 2 3 x
− + +
= − −
− + − −
.
a) Rút gọn biểu thức A.
b) Tìm giá trị của x để A < 1.
c) Tính giá trị của biểu thức A với
x 29 12 5 29 12 5= + − −
.
d) Tìm các giá trị nguyên của x sao cho A cũng là số
nguyên.
CHUY£N §Ò: Tø GI¸C NéI TIÕP
I) Các kiến thức cần nhớ
1) Khái niệm:
O

A
B
C
D
Một tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đường tròn
được gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn (Gọi tắt là tứ
giác nội tiếp)
2) Định lí
- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối
diện bằng 180
0
-Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng
180
0
thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
3) Dấu hiệu nhận biết (các cách C/m) tứ giác nội tiếp
- Tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 180
0
.
- Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong
của đỉnh đối diện.
- Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm (mà ta có
thể xác định được). Điểm đó là tâm đường tròn ngoại
tiếp tứ giác.
- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa
hai đỉnh còn lại dưới một góc a.
II) Bài tập
Bài 1: Cho
∆
ABC vuông ở A. Trên AC lấy diểm M

và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ BM cắt đường
tròn tại D. Đường thẳng DA cắt Đường tròn tại S. C/m:
a) Tứ giác ABCD nội tiếp.
b)
·
·
ABD ACD=
c) CA là phân giác của
·
SCB
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 8
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 2: Cho tứ giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn
đường kính AD. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau
tại E. Vẽ EF vuông góc với AD. C/m :
a) Tứ giác ABEF, tứ giác DCEF nội tiếp .
b) CA là phân giác của góc BCF.
c) Gọi M là trung điểm của DE. C/m tứ giác BCMF
nội tiếp.
Bài 3:Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính
AD . Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E. Hình
chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường thẳng
CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao điểm
của BD và CF là N. C/m :
a. CEFD là tứ giác nội tiếp .
b. Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c. BE . DN = EN . BD
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm D
nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt BC
tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt đường

tròn tại các điểm thứ hai F, G. C/m :
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một
đường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy .
Bài 5: Cho tam giác vuông ABC (
0
90A∠ =
; AB >
AC) và một điểm M nằm trên đoạn AC (M không
trùng với A và C). Gọi N và D lần lượt là giao điểm
thứ hai của BC và MB với đường tròn đường kính
MC; gọi S là giao điểm thứ hai giữa AD với đường
tròn đường kính MC; T là giao điểm của MN và AB.
C/m :
a. Bốn điểm A, M, N và B cùng thuộc một đường tròn.
b. CM là phân giác của góc
BCS
∠
.
c.
TA TC
TD TB
=
.
Bài 6: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài
đường tròn. Qua A dựng hai tiếp tuyến AM và AN
với đường tròn (M, N là các tiếp điểm) và một cát
tuyến bất kì cắt đường tròn tại P, Q. Gọi L là trung

điểm của PQ.
a/ C/m: 5 điểm: O; L; M; A; N cùng thuộc một đường
tròn.
b/ C/m: LA là phân giác của góc MLN.
c/ Gọi I là giao điểm của MN và LA. C/m MA
2
=
AI.AL
d/ Gọi K là giao điểm của ML với (O). C/m: KN // AQ.
e/ C/m: ∆KLN cân.
Bài 7:Cho đường tròn (O; R) tiếp xúc với đường
thẳng d tại A. Trên d lấy điểm H không trùng với
điểm A và AH < R. Qua H kẻ đường thẳng vuông
góc với d, đường thẳng này cắt đường tròn tại hai
điểm E và B (E nằm giữa B và H).
a. C/m góc ABE bằng góc EAH và ∆ABH đồng
dạng với ∆EAH.
b. Lấy điểm C trên d sao cho H là trung điểm của
đoạn AC, đường thẳng CE cắt AB tại K. C/m AHEK
là tứ giác nội tiếp.
c. Xác định vị trí điểm H để AB= R .
Bài 8: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp
đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau
tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P. C/m:
a. Các tứ giác AEHF, BCEF, ACDF, ABDE, CDHE,
BDHF nội tiếp .
b. AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC.
c. H và M đối xứng nhau qua BC.
d. Xác định tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF
Bài 9: Cho ∆ABC không cân, đường cao AH, nội

tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi E, F thứ tự là hình
chiếu của B, C lên đường kính AD của đường tròn
(O) và M, N thứ tự là trung điểm của BC, AB. C/m :
a. Bốn điểm A,B, H, E cùng nằm trên đường tròn tâm
N và HE// CD.
b. M là tâm đường tròn ngoại tiếp DHEF.
Bài 10: Cho đường tròn tâm O và điểm A ở bên
ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB, AC và cát
tuyến ADE với đường tròn (B và C là các tiếp điểm).
Gọi H là trung điểm của DE.
a. C/m A,B, H, O, C cùng thuộc một đường tròn.
Xác định tâm của đường tròn này.
b. C/m : HA là tia phân giác góc BHC.
c. Gọi I là giao điểm của BC và DE. C/m : AB
2
=
AI.AH
c. BH cắt (O) tại K. C/m : AE // CK.
Bài 11: Từ một điểm S ở ngoài đường tròn (O) vẽ
hai tiếp tuyến SA, SB và cát tuyến SCD của đường
tròn đó.
a.Gọi E là trung điểm của dây CD. C/m 5 điểm S, A,
E, O, B cùng thuộc một đường tròn
b.Nếu SA = AO thì SAOB là hình gì? tại sao?
c. Chứmg minh rằng:
.
. .
2
AB CD
AC BD BC DA

= =
Bài 12:Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB.
Kẻ tiếp tuyến Bx và lấy hai điểm C và D thuộc nửa
đường tròn. Các tia AC và AD cắt Bx lần lượt ở E, F
(F ở giữa B và E).
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 9
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
a. C/m AC. AE không đổi.
b. C/m góc ABD = góc DFB.
c.C/m CEFD là tứ giác nội tiếp.
Bài 13: Trên đường thẳng d lấy ba điểm A, B, C theo
thứ tự đó. Trên nửa mặt phẳng bờ d kẻ hai tia Ax, By
cùng vuông góc với d. Trên tia Ax lấy I. Tia vuông
góc với CI tại C cắt By tại K. Đường tròn đường kính
IC cắt IK tại P.
a) C/m tứ giác CBPK nội tiếp được đường tròn .
b) C/m AI. BK = AC. CB
c) Giả sử A, B, I cố định hãy xác định vị trí điểm C
sao cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn nhất.
Bài 14: Cho ∆ABC vuông tại A. Kẻ đường cao AH,
vẽ đường tròn đường kính AH, đường tròn này cắt
AB tại E, cắt AC tại F.
a) C/m AEHF là hình chữ nhật.
b) C/m : BEFC là tứ giác nội tiếp .
c) C/m : AB.AE = AC.AF
d) Gọi M là là giao điểm của CE và BF. Hãy so sánh
diện tích của tứ giác AEMF và diện tích của tam giác
BMC.
Bài 15: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các
đường cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác AHE.
a. C/m tứ giác CEHD nội tiếp .
b. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đường
tròn.
c. C/m ED =
2
1
BC.
d. C/m DE là tiếp tuyến của đường tròn (O).
e. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 cm.
Bài 16: Từ điểm M ngoài đường tròn (O) vẽ 2 tiếp
tuyến MA và MB. Trên cung nhỏ AB lấy một điểm
C. Vẽ CD
⊥
AB; CE
⊥
MA; CF
⊥
MB. Gọi I là giao
điểm của AC và DE; K là giao điểm của BC và DF.
C/m :
a) Tứ giác AECD; BFCD nội tiếp được.
b) CD
2
= CE.CF
c) IK
⊥
CD
Bài 17: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn
(O). M là điểm di động trên cung nhỏ BC. Trên đoạn

thẳng MA lấy điểm D sao cho MD = MC.
a) C/m
DMC∆
đều.
b) C/m MB + MC = MA.
c) C/m tứ giác ADOC nội tiếp được.
d) Khi M Di động trên cung nhỏ BC thì D di động
trên đường cố định nào ?
Bài 18: Cho đường tròn (O; R), từ một điểm A trên
(O) kẻ tiếp tuyến d với (O). Trên đường thẳng d lấy
điểm M bất kì (M khác A) kẻ cát tuyến MNP và gọi
K là trung điểm của NP, kẻ tiếp tuyến MB (B là tiếp
điểm). Kẻ AC
⊥
MB, BD
⊥
MA, gọi H là giao
điểm của AC và BD, I là giao điểm của OM và AB.
a. C/m tứ giác AMBO nội tiếp.
b. C/m năm điểm O, K, A, M, B cùng nằm trên một
đường tròn .
c. C/m OI.OM = R
2
; OI. IM = IA
2
.
d. C/m OAHB là hình thoi.
e. C/m ba điểm O, H, M thẳng hàng.
f. Tìm quỹ tích của điểm H khi M di chuyển trên
đường thẳng d.

Bài 19:Cho 3 điểm A; B; C cố định thẳng hàng theo
thứ tự. Vẽ đường tròn (O) bất kỳ đi qua B và C (BC
không là đường kính của (O). Kẻ các tiếp tuyến AE
và AF đến (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi I là trung
điểm của BC; K là trung điểm của EF, giao điểm của
FI với (O) là D. C/m :
a. AE
2
= AB.AC
b. Tứ giác AEOF nội tiếp.
c. Năm điểm A; E; O; I; F cùng nằm trên một đường
tròn.
d. ED // AC.
e. Khi (O) thay đổi tâm đường tròn ngoại tiếp tam
giác OIK luôn thuộc một đường thẳng cố định.
Bài 20:Cho ∆ABC có các góc đều nhọn và
µ
0
45A =
. Vẽ đường cao BD và CE của DABC. Gọi
H là giao điểm của BD và CE.
a. C/m tứ giác ADHE nội tiếp.
b. Tính tỉ số
DE
BC
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp DABC. C/m
OA
⊥
DE
Bài 21: Cho tam giác nhọn PBC. Gọi A là chân

đường cao kẻ từ P xuống cạnh BC. Đường tròn
đường kính BC cắt PB, PC lần lượt ở M và N. Nối N
với A cắt đường tròn đường kính BC ở điểm thứ hai E
a/ C/m : 4 điểm A, B, N, P cùng nằm trên một đường
tròn. Hãy xác định tâm và bán kính đường tròn ấy.
b/ C/m : EM vuông góc với BC
c/ Gọi F là điểm đối xứng của N qua BC. C/m
AM.AF = AN.AE
Bài 22: Cho tam giác vuông ABC (
0
90A∠ =
); trên
đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với các điểm A
và C). Đường tròn đường kính DC cắt BC tại các
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 10
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
điểm thứ hai E; đường thẳng BD cắt đường tròn
đường kính DC tại điểm F (F không trùng với D).
C/m :
a. Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC.
b. Tứ giác ABCF nội tiếp đường tròn.
c. AC là tia phân giác của góc EAF.
Bài 23: Cho hình thang cân ABCD (AB>CD;
AB//CD) nội tiếp trong đường tròn (O). Tiếp tuyến
với đường tròn (O) tại A và D cắt nhau tại E. Gọi I là
giao điểm của hai đường chéo AC và BD
a/ C/m : Tứ giác AEDI nội tiếp
b/ C/m: AB//EI
c/ Đường thẳng EI cắt cạnh bên AD và BC của hình
thang tương ứng ở R và S. C/m :

* I là trung điểm của RS
*
RSCDAB
211
=+
Bài 24: Cho đường tròn (O; R) có hai đường kính
AOB và COD vuông góc với nhau. Lấy điểm E bất kì
trên OA, nối CE cắt đường tròn tại F. Qua F dựng
tiếp tuyến Fx với đường tròn, qua E dựng Ey vuông
góc với OA. Gọi I là giao điểm của Fx và Ey
a/ C/m I; E; O; F cùng nằm trên một đường tròn.
b/ Tứ giác CEIO là hình gì? Vì sao?
c/ Khi E chuyển động trên AB thì I chuyển động trên
đường nào?
Bài 25: Cho nửa đường tròn đường kính BC bán kính
R và điểm A trên nửa đường tròn (A khác B và C).
Từ A hạ AH vuông góc với BC. Trên nửa mặt phẳng
bờ BC chứa điểm A vẽ nửa đường tròn đường kính
BH cắt AB tại E, nửa đường tròn đường kính HC cắt
AC tại F.
a. Tứ giác AFHE là hình gì? Tại sao?
b. C/m BEFC là tứ giác nội tiếp.
c. Hãy xác định vị trí của điểm A sao cho tứ giác
AFHE có diện tích lớn nhất. Tính diện tích lớn nhất
đó theo R.
Bài 26: Cho 3 điểm M, N, P thẳng hàng theo thứ tự
đó. Một đường tròn (O) thay đổi đi qua hai điểm M,
N. Từ P kẻ các tiếp tuyến PT, PT’ với đường tròn (O)
a. C/m : PT
2

= PM.PN. Từ đó suy ra khi (O) thay đổi
vẫn qua M, N thì T, T’ thuộc một đường tròn cố định.
b. Gọi giao điểm của TT’ với PO, PM là I và J. K là
trung điểm của MN.
c. C/m : Các tứ giác OKTP, OKIJ nội tiếp.
d. C/m : Khi đường tròn (O) thay đổi vẫn đi qua M, N
thì TT’ luôn đi qua điểm cố định.
e. Cho MN = NP = a. Tìm vị trí của tâm O để góc
TPT’ = 60
0
.
Bài 27: Cho ∆ABC vuông ở A. Trên AC lấy điểm M
(M ≠ A và C). Vẽ đường tròn đường kính MC. Gọi T
là giao điểm thứ hai của cạnh BC với đường tròn. Nối
BM kéo dài cắt đường tròn tại điểm thứ hai là D.
Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai
S. C/m :
a. Tứ giác ABTM nội tiếp
b. Khi M chuyển động trên AC thì góc ADM có số
đo không đổi.
c. AB//ST.
Bài 28: Cho hai đường tròn bằng nhau (O) và (O') cắt
nhau tại A, B. Đường vuông góc với AB kẻ qua B cắt
(O) và (O') lần lượt tại các điểm C, D. Lấy M trên
cung nhỏ BC của đường tròn (O). Gọi giao điểm thứ
hai của đường thẳng MB với đường tròn (O') là N và
giao điểm của hai đường thẳng CM, DN là P.
a. Tam giác AMN là tam giác gì, tại sao?
b. C/m ACPD nội tiếp được đường tròn.
c. Gọi giao điểm thứ hai của AP với đường tròn (O')

là Q. C/m: BQ // CP.
Bài 29: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). H bất
kỳ nằm giữa A và C. Đường tròn (O) đường kính HC
cắt BC tại I. BH cắt (O) tại D.
a) C/m: tứ giác ABCD nội tiếp.
b) AB cắt CD tại M. C/m: 3 điểm H; I; M thẳng hàng
c) AD cắt (O) tại K. C/m: CA là tia phân giác của góc
KCB.
Bài 30: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố định,
điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3 AO. Kẻ
dây MN vuông góc với AB tại I, gọi C là điểm tuỳ ý
thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N
và B. Nối AC cắt MN tại E.
a. C/m: tứ giác IECB nội tiếp .
b. C/m: tam giác AME đồng dạng với tam giác ACM.
c. C/m: AM
2
= AE.AC.
d. C/m: AE. AC - AI.IB = AI
2
.
e. Hãy xác định vị trí của C sao cho khoảng cách từ N
đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME là nhỏ nhất
Bài 31: Cho nửa đường tròn (O;R) đường kính AB,
dây AC. Gọi E là điểm chính giữa cung AC bán kính
OE cắt AC tại H, vẽ CK song song với BE cắt AE tại K.
a. C/m: tứ giác CHEK nội tiếp.
b. C/m: KH
⊥
AB

c. Cho BC = R. Tính PK
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 11
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 32: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), I là tâm
đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng tiếp
góc A, O là trung điểm của IK.
a. C/m: B, C, I, K cùng nằm trên một đường tròn.
b. C/m: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c. Tính bán kính đường tròn (O), biết AB = AC = 20,
BC = 24
Bài 33: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R).
Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến ADE đến
đường tròn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) C/m năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một
đường tròn.
b) C/m HA là tia phân giác của góc BHC.
c) DE cắt BC tại I. C/m : AB
2
= AI. AH.
d) Cho
AB=R 3
và
R
OH=
2
. Tính HI theo R.
Bài 34: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB
và điểm M bất kì trên nửa đường tròn ( M khác A,
B). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn
kẻ tiếp tuyến Ax. Tia BM cắt Ax tại I; tia phân giác

của góc IAM cắt nửa đường tròn tại E, cắt tia BM tại
F; tia BE cắt Ax tại H, cắt AM tại K.
a) C/m : EFMK là tứ giác nội tiếp.
b) C/m : AI
2
= IM . IB.
c) C/m: BAF là tam giác cân.
d) C/m : Tứ giác AKFH là hình thoi.
e) Xác định vị trí của M để tứ giác AKFI nội tiếp đ-
ược một đường tròn.
Bài 35: Cho hai đường tròn (O
1
), (O
2
) có bán kính
bằng nhau và cắt nhau ở A và B. Vẽ cát tuyến qua B
không vuông góc với AB, nó cắt hai đường tròn ở E
và F. (E thuộc (O
1
); F thuộc (O
2
)).
a. C/m: AE = AF.
b. Vẽ cát tuyến CBD vuông góc với AB ( C thuộc
(O
1
); D thuộc (O
2
)). Gọi P là giao điểm của CE và
DF. C/m :

c. Các tứ giác AEPF và ACPD nội tiếp được đường
tròn.
d. Gọi I là trung điểm của EF. C/m: ba điểm A, I, P
thẳng hàng.
e. Khi EF quay quanh B thì I và P di chuyển trên
đường nào?
Bài 36: Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh BC, CD
lần lượt lấy điểm E, F sao cho góc EAF = 45
0
. Biết
BD cắt AE, AF theo thứ tự tại G, H. C/m :
a. ADFG, GHFE là các tứ giác nội tiếp
b. DCGH và tứ giác GHFE có diện tích bằng nhau
Bài 37: Cho đường tròn tâm O bán kính R, hai điểm
C và D thuộc đường tròn, B là trung điểm của cung
nhỏ CD. Kẻ đường kính BA; trên tia đối của tia AB
lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M; MD cắt AB tại
K; MB cắt AC tại H.
a. C/m : góc BMD = góc BAC, từ đó suy ra tứ giác
AMHK nội tiếp.
b. C/m : HK // CD.
c. C/m : OK.OS = R
2
.
Bài 38: Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố
định, một điểm I nằm giữa A và O sao cho AI = 2/3
AO. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là
điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN, sao cho C không
trùng với M, N và B. Nối AC cắt MN tại E.
a. C/m: tứ giác IECB nội tiếp đợc trong một đường

tròn.
b. C/m: ∆AME đồng dạng với ∆ACM và AM
2
=
AE.AC.
c. C/m: AE.AC
−
AI.IB = AI
2
.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng
cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CME là nhỏ nhất.
Bài 39: Cho ba điểm A, B, C trên một đường thẳng
theo thứ tự ấy và đường thẳng d vuông góc với AC
tại A. Vẽ đường tròn đường kính BC và trên đó lấy
điểm M bất kì. Tia CM cắt đường thẳng d tại D; Tia
AM cắt đường tròn tại điểm thứ hai N; Tia DB cắt
đường tròn tại điểm thứ hai P.
a/ C/m: Tứ giác ABMD nội tiếp được.
b/C/m: Tích CM. CD không phụ thuộc vào vị trí
điểm M.
c/ Tứ giác APND là hình gì? Tại sao?
d/ C/m: trọng tâm G của tam giác MAB chạy trên
một đường tròn cố định.
Bài 40: Cho đường tròn (O) và điểm A nằm ngoài
đường tròn. Các tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ A
tiếp xúc với đường tròn ở B và C. Gọi M là điểm tuỳ
ý trên đường tròn (M khác B và C). Gọi H; K; I lần
lượt là chân các đường vuông góc kẻ từ M xuống BC;

CA; AB.
a/ C/m : Tứ giác MHBI, MHCK nội tiếp.
b/ C/m :góc MHI = góc MKH.
c/ C/m : MH
2
= MI.MK.
Bài 41: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R.
Đường thẳng (d) tiếp xúc với đường tròn (O) tại A.
M và Q là hai điểm trên (d) sao cho M≠A, M≠Q,
Q≠A. Các đường thẳng BM và BQ lần lượt cắt đường
tròn (O) tại các điểm thứ hai là N và P. C/m :
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 12
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
a. Tích BN.BM không đổi.
b. Tứ giác MNPQ nội tiếp.
c. Bất đẳng thức: BN + BP + BM + BQ > 8R
Bài 42: Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn
tâm O và P là trung điểm của cung AB không chứa C
và D. Hai dây PC và PD lần lượt cắt dây AB tại E và
F. Các dây AD và PC kéo dài cắt nhau tại I, các dây
BC và PD kéo dài cắt nhau tại K. C/m :
a. Góc CID bằng góc CKD.
b. Tứ giác CDFE nội tiếp được một đường tròn.
c. IK // AB.
Bài 43: Trên đường tròn (O; R) đường kính AB, lấy
hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B (M, E khác hai
điểm A, B). AM cắt BE tại C; AE cắt BM tại D.
a. C/m: MCED là một tứ giác nội tiếp và CD
⊥
AB.

b. Gọi H là giao điểm của CD và AB. C/m: BE.BC =
BH.BA.
c. C/m: các tiếp tuyến tại M và E của đường tròn (O)
cắt nhau tại một điểm nằm trên đường thẳng CD.
d. Cho biết góc BAM = 45
0
và góc BAE 30
0
. Tính
diện tích tam giác ABC theo R.
Bài 44: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một cát
tuyến MN quay xung quanh trung điểm H của OB.
Giọi I là trung điểm của MN. Từ A kẻ Ax vuông góc
với MN tại K. Gọi C là giao điểm của Ax với tia BI.
a/ C/m : BN// MC
b/ C/m : Tứ giác OIKC là hình chữ nhật
c/ Tiếp tuyến Bt với đường tròn (O) cắt tia AM ở E,
cắt tia Ax ở F. Gọi D là giao điểm thứ hai của tia Ax
với (O). C/m : tứ giác DMEF nội tiếp
Bài 45: Cho D ABC cân (AB = AC) và góc A nhỏ
hơn 60
0
; trên tia đối của tia AC lấy điểm D sao cho
AD = AC.
a. Tam giác BCD là tam giác gì? Tại sao?
b. Kéo dài đường cao CH của ∆ ABC cắt BD tại E.
Vẽ đường tròn tâm E tiếp xúc với CD tại F. Qua C vẽ
tiếp tuyến CG của đường tròn này. C/m : Bốn điểm
B, E, C, G thuộc một đường tròn.
d. Các đường thẳng AB và CG cắt nhau tại M, tứ giác

AFGM là hình gì? Tại sao?
e. C/m : ∆MBG cân.
Bài 46: Cho đường tròn (O) bán kính R, đường thẳng
d không qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A, B .
Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn), kẻ
hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc
(O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH
cắt tia CN tại K.
a. C/m: bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một
đường tròn.
b. C/m: KN.KC = KH.KO.
c. Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. C/m: I
cách đều CM, CN và MN.
d. Một đường thẳng đi qua O và song song với MN
cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác định vị trí
của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất
Bài 47: Cho BC là dây cung cố định của đường tròn
(O; R) (0 < BC < 2R). A là một điểm di động trên
cung lớn BC sao cho ∆ABC nhọn. Các đường cao
AD; BE; CF cắt nhau tại H (D
∈
BC; E
∈
CA; F
∈
AB)
a. C/m : Tứ giác BCEF nội tiếp. Từ đó suy ra AE.AC
= AF.AB
b. Gọi A' là trung điểm của BC. C/m : AH = 2OA'
c. Kẻ đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại

A. Đặt S là diện tích ∆ABC, 2p là chu vi ∆DEF.C/m:
d // EF và S = p.R
Bài 48: Cho hình thang ABCD có đáy lớn AD và đáy
nhỏ BC nội tiếp trong đường tròn tâm O; AB và CD
kéo dài cắt nhau tại I. Các tiếp tuyến của đường tròn
tâm O tại B và D cắt nhau tại điểm K.
a. C/m: các tứ giác OBID, OBKD nội tiếp.
b. C/m: IK song song với BC.
c. Hình thang ABCD phải thoả mãn điều kiện gì để tứ
giác AIKD là hình bình hành.
Bài 49: Cho đường tròn (O;R) và một điểm A nằm
trên đường tròn. Một góc xAy = 90
0
quay quanh A
và luôn thoả mãn Ax, Ay cắt đường tròn (O). Gọi các
giao điểm thứ hai của Ax, Ay với (O) tơng ứng là B,
C. Đường tròn đường kính AO cắt AB, AC tại các
điểm thứ hai tơng ứng là M, N. Tia OM cắt đường
tròn tại P. Gọi H là trực tâm tam giác AOP. C/m:
a. AMON là hình chữ nhật
b. MN//BC
c. Tứ giác PHOB nội tiếp
d. Xác định vị trí của góc xAy sao cho tam giác
AMN có diện tích lớn nhất.
Bài 50: Cho đường tròn (O) đường kính AB. điểm I
nằm giữa A và O (I khác A và O). Kẻ dây MN vuông
góc với AB tại I. Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn
MN (C khác M, N khác B). Nối AC cắt MN tại E.
C/m :
a) Tứ giác IECB nội tiếp.

b) AM
2
= AE.AC
c) AE.AC – AI.IB = AI
2
Bài 51: Cho nửa đường tròn (O) đường kính AB và
hai điểm C, D thuộc nửa đường tròn sao cho cung
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 13
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
AC nhỏ hơn 90
0
và góc COD = 90
0
. Gọi M là một
điểm trên nửa đường tròn sao cho C là điểm chính
giữa cung AM. Các dây AM, BM cắt OC, OD lần
lượt tại E, F
a) Tứ giác OEMF là hình gì? Tại sao?
b) C/m : D là điểm chính giữa cung MB.
c) Một đường thẳng d tiếp xúc với nửa đườngtròn tại
M và cắt các tia OC, OD lần lượt tại I, K. C/m các tứ
giác OBKM và OAIM nội tiếp được.
d) Giả sử tia AM cắt tia BD tại S. Hãy xác định vị trí
của C và D sao cho 5 điểm M, O, B, K, S cùng thuộc
một đường tròn.
Bài 52: Cho đường tròn (O) và hai điểm A, B phân
biệt thuộc (O) sao cho đường thẳng AB không đi qua
tâm O. Trên tia đối của tia AB lấy điểm lấy điểm M
khác A, từ M kẻ hai tiếp tuyến phân biệt ME, MF với
đường tròn (O) (E, F là các tiếp điểm). Gọi H là trung

điểm của dây cung AB. Các điểm K và I theo thứ tự
là giao điểm của đường thẳng EF với các đường
thẳng OM và OH.
a) C/m: 5 điểm M, O, H, E, F cùng nằm trên một
đường tròn.
b) C/m : OH.OI = OK. OM
c) C/m : IA, IB là các tiếp tuyến của đường tròn (O)
Bài 53: Cho đường tròn (O) đường kính AC. Trên
bán kính OC lấy điểm B tuỳ ý (B khác O, C ). Gọi M
là trung điểm của đoạn AB. Qua M kẻ dây cung DE
vuông góc với AB. CD cắt đường tròn đường kính
BC tại I.
a/ C/m: tứ giác BMDI nội tiếp .
b/ C/m: tứ giác ADBE là hình thoi.
c/ C/m: BI // AD.
d/C/m: I, B, E thẳng hàng.
e/C/m: MI là tiếp tuyến của đường tròn đường kính BC.
Bài 54: Cho đường tròn (0) và một điểm A nằm
ngoài đường tròn. Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và
cát tuyến AMN với đường tròn (B, C, M, N thuộc
đường tròn và AM < AN). Gọi E là trung điểm của
dây MN, I là giao điểm thứ hai của đường thẳng CE
với đường tròn.
a. C/m: Bốn điểm A, 0, E, C cùng thuộc một đường tròn.
b. C/m : góc AOC bằng góc BIC
c. C/m : BI // MN
d. Xác định vị trí cát tuyến AMN để diện tích tam
giác AIN lớn nhất.
Bài 55: Cho đường tròn (O) có tâm O, đường kính
AB. Trên tiếp tuyến của đường tròn O tại A lấy điểm

M (M không trùng với A). Từ M kẻ cát tuyến MCD
(C nằm giữa M và D; tia MC nằm giữa tia MA và tia
MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với
đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường
thẳng OM lần lượt tại E và F. C/m :
a. Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn.
b.
IAB AMO
∠ = ∠
.
c. O là trung điểm của FE
Bài 56:Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M
thuộc cung AB, C thuộc OA. Trên nửa mặt phẳng bờ
AB có chứa M kẻ tia Ax,By vuông góc với AB
.Đường thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By
tại P và Q .AM cắt CP tại E, BM cắt CQ tại F.
a/ C/m : Tứ giác APMC, EMFC nội tiếp
b/ C/m : EF//AB
c/ Tìm vị trí của điểm C để tứ giác AEFC là hình
bình hành
Bài 57: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy ngoài
đường tròn. Đường thẳng đi qua O vuông góc với xy
tại H cắt đường tròn (O) tại A và B. M là điểm trên
(O), đường thẳng AM cắt xy tại E, đường thẳng BM
cắt xy tại F, tiếp tuyến tại M cắt xy tại I, đường thẳng
AF cắt (O) tại K. Nối E với K.
a. C/m : IM = IF
b. C/m: 4 điểm E, M, K, F cùng thuộc một đường tròn.
c. C/m : IK là tiếp tuyến của (O).
d. Tìm hợp tâm đường tròn ngoại tiếp

∆
AMH khi M
di động trên (O)
Bài 58: Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB;
điểm I nằm giữa hai điểm A và O. Kẻ đường thẳng
vuông góc với AB tại I, đường thẳng này cắt đường
tròn (O; R) tại M và N. Gọi S là giao điểm BM và
AN. Qua S kẻ đường thẳng song song với MN,
đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AM lần
lượt ở K và H. Hãy C/m :
a) Tứ giác SKAM là tứ giác nội tiếp và
HS.HK=HA.HM.
b) KM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
c) Ba điểm H; N; B thẳng hàng
Bài 59: Cho đường tròn (0; R), một dây CD có trung
điểm M. Trên tia đối của tia DC lấy điểm S, qua S kẻ
các tiếp tuyến SA, SB với đường tròn. Đường thẳng
AB cắt các đường thẳng SO ; OM tại P và Q.
a. C/m: tứ giác SPMQ, tứ giác ABOM nội tiếp.
b. C/m: SA
2
= SD. SC.
c. C/m: OM. OQ không phụ thuộc vào vị trí điểm S.
d. Khi BC // SA. C/m tam giác ABC cân tại A
e. Xác định vị điểm S trên tia đối của tia DC để C, O,
B thẳng hàng và BC // SA.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 14
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 60: Cho nửa đường tròn (0) đường kính AB, M
là một điểm chính giữa cung AB. K thuộc cung BM

(K khác M và B). AK cắt MO tại I.
a. C/m: Tứ giác OIKB nội tiếp đợc trong một đường
tròn.
b. Gọi H là hình chiếu của M lên AK. C/m : Tứ giác
AMHO nội tiếp .
c. Tam giác HMK là tam giác gì ?
d. C/m : OH là phân giác của góc MOK.
e. Xác định vị trí của điểm K để chu vi tam giác OPK
lớn nhất (P là hình chiếu của K lên AB)
Bài 61: Cho tam giác ABC với ba góc nhọn nội tiếp
đường tròn (0). Tia phân giác trong của góc B, góc C
cắt đường tròn này thứ tự tại D và E, hai tia phân giác
này cắt nhau tại F. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm
của dây DE với các cạnh AB, AC.
a) C/m : các tam giác EBF, DAF cân.
b) C/m: tứ giác DKFC nội tiếp và FK // AB
c) Tứ giác AIFK là hình gì ? Tại sao ?
d) Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEFD
là hình thoi đồng thời có diện tích gấp 3 lần diện tích
tứ giác AIFK.
Bài 62:Cho đường tròn (O), một đường kính AB cố
định, trên đoạn OA lấy điểm I sao cho
AI =2/3 OA. Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I.
Gọi C là điểm tuỳ ý thuộc cung lớn MN ( C không
trùng với M, N, B). Nối AC cắt MN tại E.
a.C/m : Tứ giác IECB nội tiếp.
b. C/m : Các tam giác AME, ACM đồng dạng và
AM
2
= AE . AC

c. C/m : AE .AC - AI .IB = AI
2
.
d. Hãy xác định vị trí của điểm C sao cho khoảng
cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
CME là nhỏ nhất.
Bài 63: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O;R)
(AB < CD). Gọi P là điểm chính giữa của cung nhỏ
AB ; DP cắt AB tại E và cắt CB tại K ; CP cắt AB tại
F và cắt DA tại I.
a. C/m : Tứ giác CKID nội tiếp đợc
b. C/m : IK // AB.
c. C/m : Tứ giác CDFE nội tiếp đợc
d. C/m : AP
2
= PE .PD = PF . PC
e. C/m : AP là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp
tam giác AED.
f. Gọi R
1
, R
2
là các bán kính đường tròn ngoại tiếp
các tam giác AED và BED.C/m :
R
1
+ R
2
=
2 2

PA4R −
Bài 54:Cho hình vuông ABCD cố định , có độ dài
cạnh là a. E là điểm đi chuyển trên đoạn CD (E khác
D), đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường
thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD
tại K.
a. C/m: ∆ABF = ∆ADK từ đó suy ra ∆AFK vuông
cân .
b. Gọi I là trung điểm của FK, C/m I là tâm đường
tròn đi qua A , C, F , K.
c. Tính số đo góc AIF, suy ra 4 điểm A, B, F, I cùng
nằm trên một đường tròn .
Bài 65:Cho góc vuông xOy , trên Ox, Oy lần lượt lấy
hai điểm A và B sao cho OA = OB . M là một điểm
bất kỳ trên AB. Dựng đường tròn tâm O
1
đi qua M
và tiếp xúc với Ox tại A, đường tròn tâm O
2
đi qua
M và tiếp xúc với Oy tại B , (O
1
) cắt (O
2
) tại điểm thứ
hai N .
a. C/m tứ giác OANB là tứ giác nội tiếp và ON là
phân giác của góc ANB .
b. C/m M nằm trên một cung tròn cố định khi M
thay đổi .

c. Xác định vị trí của M để khoảng cách O
1
O
2
là ngắn
nhất .
Bài 66: Cho điểm A bên ngoài đường tròn (O ; R).
Từ A vẽ tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ADE đến
đường trũn (O). Gọi H là trung điểm của DE.
a) C/m năm điểm : A, B, H, O, C cùng nằm trên một
đường tròn.
b) C/m HA là tia phân giác của góc BHC.
c) DE cắt BC tại I. C/m :
2
AB AI.AH=
.
Bài 67: Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn
tâm O . Đường phân giác trong của góc A , B cắt
đường tròn tâm O tại D và E , gọi giao điểm hai
đường phân giác là I , đường thẳng DE cắt CA, CB
lần lượt tại M , N .
a. C/m: tam giác AIE và tam giác BID là tam giác cân.
b. C/m: tứ giác AEMI là tứ giác nội tiếp và MI // BC
c. Tứ giác CMIN là hình gì ?
Bài 68: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn (AB <
AC). Đường tròn đường kính BC cắt AB, AC theo
thứ tự tại E và F. Biết BF cắt CE tại H và AH cắt BC
tại D.
a) Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp và AH vuông
góc với BC.

b) Chứng minh AE.AB = AF.AC.
c) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
và K là trung điểm của BC. Tính tỉ số OK/BC khi tứ
giác BHOC nội tiếp.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 15
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
d) Cho HF = 3cm, HB = 4cm, CE = 8cm và HC >
HE. Tính HC.
Bài 69: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C
là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA
tại C. Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là
giao điểm của AK và MM .
a. CMR: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b. Tính AH.AK theo R.
c. Xác định vị trí của điểm K để (KM+KN+KB) đạt
giá trị lớn nhất và tính giá trị lớn nhất đó
Bài 70: Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại
A và B . Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn
(O
1
, (O
2
) lần lượt tại C, D. Gọi I, J là trung điểm của
AC và AD .
a. C/m: tứ giác O
1

IJO
2
là hình thang vuông .
b. Gọi M là giao diểm của CO
1
và DO
2
. C/m: O
1
, O
2
,
M, B nằm trên một đường tròn.
c. E là trung điểm của IJ, đường thẳng CD quay
quanh A. Tìm hợp điểm E.
d. Xác định vị trí của dây CD để dây CD có độ dài
lớn nhất .
Bài 71: Cho tam giác ABC, góc B và góc C nhọn .
Các đường tròn đường kính AB, AC cắt nhau tại D.
Một đường thẳng qua A cắt đường tròn đường kính
AB, AC lần lượt tại E và F.
a. C/m: B, C, D thẳng hàng .
b. C/m: B, C, E, F nằm trên một đường tròn .
c. Xác định vị trí của đường thẳng qua A để EF có độ
dài lớn nhất .
Bài 72: Cho đường tròn tâm O và cát tuyến CAB (C
ở ngoài đường tròn). Từ điểm chính giữa của cung
lớn AB kẻ đường kính MN cắt AB tại I, CM cắt
đường tròn tại E, EN cắt đường thẳng AB tại F
a. C/m: tứ giác MEFI là tứ giác nội tiếp .

b. C/m: góc CAE bằng góc MEB .
c. C/m: : CE . CM = CF . CI = CA . CB
Bài 73: Cho D ABC có 3 góc nhọn AC > BC nội tiếp
(O). Vẽ các tiếp tuyến với (O) tại A và B, các tiếp
tuyến này cắt nhau tại M. Gọi H là hình chiếu vuông
góc của O trên MC. CMR:
a/ MAOH là tứ giác nội tiếp
b/ Tia HM là phân giác của góc AHB
c/ Qua C kẻ đường thẳng song song với AB cắt MA,
MB lần lượt tại E, F. Nối EH cắt AC tại P, HF cắt BC
tại Q. C/m: QP // EF.
Bài 74: Cho tam giác ABC vuông ở A và một điểm
D nằm giữa A và B. Đường tròn đường kính BD cắt
BC tại E. Các đường thẳng CD, AE lần lượt cắt
đường tròn tại các điểm thứ hai F, G . C/m:
a) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EBD .
b) Tứ giác ADEC và AFBC nội tiếp được trong một
đường tròn .
c) AC song song với FG .
d) Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy .
Bài 75: Cho đường tròn tâm O. Từ một điểm P ở
ngoài đường tròn kẻ hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC
(A, C là tiếp điểm) với đường tròn (O).
a. C/m: PAOC là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b. Tia AO cắt đường tròn (O) tại B; đường thẳng qua
P song song với AB cắt BC tại D. Tứ giác AODP là
hình gì?
c. Gọi I là giao điểm của OC và PD; J là giao điểm
của PC và DO; K là trung điểm của AD. Chứng tỏ
rằng các điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 76: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm
O. M là một điểm trên cung AC (không chứa B) kẻ
MH vuông góc với AC; MK vuông góc với BC.
a) C/m: tứ giác MHKC là tứ giác nội tiếp .
b) C/m:
·
·
AMB HMK=
c) C/m: ∆ AMB đồng dạng với ∆HMK .
Bài 77:Cho nửa đường tròn đường kính AB. Kẻ tiếp
tuyến Bx với nửa đường tròn. Gọi C là điểm trên nửa
đường tròn sao cho cung AC bằng cung CB. Trên
cung CB lấy điểm D khác C và B. Các tia AC, AD
cắt Bx lần lượt tại E và F.
a, C/m: ∆ABE vuông cân
b, C/m: ∆ ABF ~ ∆BDF
c, C/m: tứ giác CEFD nội tiếp
d, C/m: AC.AE = AD.AF
Bài 78: Cho tứ giác ABCD có hai đỉnh B và C ở trên
nửa đường tròn đường kính AD, tâm O. Hai đường
chéo AC và BD cắt nhau tại E. Gọi H là hình chiếu
vuông góc của E xuống AD và I là trung điểm của
DE. C/m :
a. Các tứ giác ABEH, DCEH nội tiếp được;
b. E là tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCH;
c. Năm điểm B, C, I, O, H nằm trên một đường tròn
Bài 79: Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường
kính AD. Hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại E.
Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F. Đường
thẳng CF cắt đường tròn tại điểm thứ hai là M. Giao

điểm của BD và CF là N. C/m:
a) CEFD là tứ giác nội tiếp .
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM .
c) BE . DN = EN . BD
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 16
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 80: Cho tam giác cân ABC (AB = AC; góc B <
45
0
), một đường tròn (O) tiếp xúc với AB và AC lần
lượt tại B và C. Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M
(M không trùng với B và C) rồi hạ các đường vuông
góc MI, MH, MK xuống các cạnh tương ứng BC,
CA, AB.
a. Chỉ ra cách dựng đường tròn (O).
b. C/m: tứ giác BIMK nội tiếp.
c. Gọi P là giao điểm của MB và IK; Q là giao điểm
của MC và IH. C/m: PQ
⊥
MI.
Bài 81: Cho DABC có ba góc nhọn nội tiếp trong
đường tròn tâm O, bán kính R. Hạ các đường cao
AD, BE của tam giác. Các tia AD, BE lần lượt cắt
(O) tại các điểm thứ hai là M, N. C/m :
a. Bốn điểm A,E,D,B nằm trên một đường tròn. Tìm
tâm I của đường tròn đó.
b. MN// DE.
c. Cho (O) và dây AB cố định, điểm C di chuyển trên
cung lớn AB. C/m độ dài bán kính đường tròn ngoại
tiếp DCDE không đổi.

Bài 82: Cho điểm A ở ngoài đường tròn tâm O. Kẻ
hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp
điểm). M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC (M khác
B; M khác C). Gọi D, E, F tương ứng là hình chiếu
vuông góc của M trên các đường thẳng AB, AC, BC;
H là giao điểm của MB và DF; K là giao điểm của
MC và EF .
1) C/m: a) MECF là tứ giác nội tiếp .
b) MF vuông góc với HK .
2) Tìm vị trí của M trên cung nhỏ BC để tích MD. ME
lớn nhất.
Bài 83: Cho
∆
ABC vuông cân tại A. AD là trung
tuyến thuộc cạnh BC. Lấy M bất kỳ thuộc đoạn AD
(M không trùng A, D). Gọi I, K lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M trên AB, AC. H là hình chiếu
vuông góc của I trên đoạn DK
a/Tứ giác AIMK là hình gì?
b/ A, I, M, H, K thuộc một đường tròn. Tìm tâm
đường tròn đó.
c/ C/m: B, M, H thẳng hàng.
Bài 84: Cho tam giác ABC (có ba góc nhọn). Hai
đường cao AD và BF gặp nhau tại H
a/ C/m: tứ giác DHFC nội tiếp đợc đường tròn. Xác
định tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác
b/ Gọi CK là đường cao còn lại của tam giác ABC;
KD cắt đường tròn ngoại tiếp tứ giác DHCF tại E.
C/m: góc EFH = góc KBH
c/ Giả sử CH = AB. Tính số đo của góc ACB

Bài 85: Cho tứ giác ABCD (AB // CD) nội tiếp trong
đường tròn (O). Tiếp tuyến tại A và tiếp tuyến tại D
của đường tròn (O) cắt nhau tại E. Gọi I là giao điểm
của AC và BD. C/m :
a.
1
2
CAB AOD∠ = ∠
.
b. Tứ giác AEDO nội tiếp.
c. EI // AB.
Bài 86: Cho đường tròn tâm O đường kính AC. Trên
AC lấy điểm B , vẽ đường tròn tâm O’ đường kính
BC. Gọi M là trung điểm của AB. Từ M kẻ đường
thẳng vuông góc với AB cắt đường tròn tâm O tại D
và E. Nối DC cắt đường tròn tâm O’ tại I. C/m :
a/ AD // BI.
b/ BE // AD; I, B, E thẳng hàng.
c/ MD = MI.
d/ DM
2
= AM.MC.
e/ Tứ giácc DMBI nội tiếp.
Bài 87: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy
một điểm D, dựng CE vuông góc với BD.
a. C/m: tứ giác ABCE nội tiếp đường tròn.
b. C/m: AD.CD = ED.BD.
c. Từ D kẻ DK vuông góc với BC. C/m: AB, DK,
EC đồng quy tại một điểm và góc DKE = góc BAE.
Bài 88: Từ một điểm A ở ngoài đường tròn(O), ta kẻ

các tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (O) (B, C là
các tiếp điểm). M là một điểm trên cung nhỏ BC,
( )
;M B M C≠ ≠
. Từ M hạ các đường vuông góc MI,
MH, MK tương ứng xuống BC, AC, AB. Gọi P là
giao của MB và IK; Q là giao của MC và IH.
a. C/m: các tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc đường
tròn.
b. C/m: tia đối của tia MI là phân giác của góc KMH.
c. C/m: PQ // BC
Bài 89: Cho đường tròn tâm O, bán kính R và hai
đường kính vuông góc AB và CD. Trên AO lấy điểm
E mà OE = 1/3 AO, CE cắt (O) ở M.
a. Tính CE theo R.
b. C/m: tứ giác MEOD nội tiếp đựơc. Xác định tâm
và bán kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác.
c. C/m: hai tam giác CEO và CDM đồng dạng. Tính
độ dài đường cao MH của tam giác CDM.
Bài 90: Cho hai đường tròn (O
1
) và (O
2
) cắt nhau tại
A và B, tiếp tuyến chung với hai đường tròn (O
1
) và
(O
2
) về phía nửa mặt phẳng bờ O

1
O
2
chứa điểm B, có
tiếp điểm thứ tự là E và F. Qua A kẻ cát tuyến song
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 17
Giáo viên: Nguyn Vn Thoi THPT GIA BèNH S 3
song vi EF ct ng trũn (O
1
), (O
2
) th t ti C, D.
ng thng CE v ng thng DF ct nhau ti I.
a. C/m: IA vuụng gúc vi CD.
b. C/m: t giỏc IEBF l t giỏc ni tip.
c. C/m: ng thng AB i qua trung im ca EF
Bi 91: Cho ng trũn tõm O v cỏt tuyn CAB (C
ngoi ng trũn). T im chớnh gia ca cung
ln AB k ng kớnh MN ct AB ti I, CM ct
ng trũn ti E, EN ct ng thng AB ti F.
a. C/m: t giỏc MEFI l t giỏc ni tip.
b. C/m: gúc CAE bng gúc MEB.
c. C/m: CE.CM = CF.CI = CA.CB
Bi 92: Cho tam giỏc ABC vuụng A v cú AB >
AC, ng cao AH. Trờn na mt phng b BC cha
im A, v na ng trũn ng kớnh BH ct AB
ti E, v na ng trũn ng kớnh HC ct AC ti F.
a. C/m: t giỏc AEHF l hỡnh ch nht.
b. C/m: AE.AB = AF.AC
c. C/m: BEFC l t giỏc ni tip.

Bi 93: Cho ng trũn (O) ng kớnh BC. im A
thuc on OB (A khụng trựng vi O v B), v
ng trũn (O') ng kớnh AC. ng trũn i qua
trung im M ca on thng AB v vuụng gúc vi
AB ct ng trũn (O) ti D v E. Gi F l giao im
th hai ca CD vi ng trũn (O'), K l giao im
th hai ca CE vi ng trũn (O'). C/m :
a. T giỏc ADBE l hỡnh thoi.
b. AF // BD.
c. Ba im E, A, F thng hng.
d. Bn im M, F, C, E cựng thuc mt ng trũn.
e. Ba ng thng CM, DK, EF ng quy
Bi 94:Cho hai ng trũn (O) v (O') ct nhau ti A
v B. ng tip tuyn vi (O') v t A ct (O) ti
im M; ng tip tuyn vi (O) v t A ct (O') ti
N. ng trũn tõm I ngoi tip tam giỏc MAN ct
AB kộo di ti P. C/m:
a. T giỏc OAO'I l hỡnh bỡnh hnh.
b. Bn im O, B, I, O' nm trờn mt ng trũn.
c. BP = BA.
Bi 95: T im P nm ngoi ng trũn (O), k hai
tip tuyn PM v PN vi ng trũn (O) (M, N l
tip im). ng thng i qua im P ct ng
trũn (O) ti hai im E v F. ng thng qua O
song song vi PM ct PN ti Q. Gi H l trung im
ca on EF. C/m :
a. T giỏc PMON ni tip ng trũn.
b. Cỏc im P, N, O, H cựng nm trờn mt ng trũn.
c. Tam giỏc PQO cõn.
d. PM

2
= PE.PF.
e.
PHM PHN
=
.
Chuyờn 5
: h m số và đồ thị
BI 1: HM S
A. KIN THC CN NM VNG
1. Khỏi nim hm s:
Nu i lng y ph thuc vo i lng x thay
i sao cho: vi mi giỏ tr ca x ta luụn xỏc nh
c ch mt giỏ tr tng ng ca y thỡ y c gi
l hm s ca x v x c gi l bin s. Kớ hiu:
y = f(x)
Chỳ ý: Khi x thay i m y ch nhn mt giỏ tr
khụng i thỡ y c gi l hm hng.
2. TX ca hm s:
L cỏc giỏ tr ca bin x lm cho hm s xỏc nh
(tc l biu thc f(x) ca hm s cú ngha)
3. Hm s ng bin, nghch bin:
Vi x
1
, x
2
(a;b) v x
1
< x
2

ta cú :
Hm s y = f(x) ng bin trong khong (a;b)
f(x
1
) < f(x
2
)
Hm s y = f(x) nghch bin trong khong (a;b)
f(x
1
) > f(x
2
)
Chỳ ý: Khi v th t trỏi sang phi, nu th i
lờn thỡ hm s ng bin, nu th i xung thỡ hm
s nghch bin
4. th ca hm s:
+ Khỏi nim: L tp hp cỏc im biu din cỏc cp
giỏ tr tng ng (x;y) trờn mt phng to .
+ V th: L vic biu din cỏc cp giỏ tr tng
ng (x;y) trờn mt phng to .
+ im thuc th: im M(x
0
;y
0
) thuc th ca
hm s f(x) y
0
= f(x
0

)
BI 2: HM S BC NHT
1. Dng tng quỏt : y = ax + b (a 0); a, b R
2. Tớnh cht:
TX: x R
Tớnh bin thiờn:
+ Nu a > 0 thỡ hm s luụn ng bin trờn xỏc
nh R
+ Nu a < 0 thỡ hm s luụn nghch bin trờn xỏc
nh R
3. th :
- L ng thng d ct trc tung ti im cú tung
b v song song vi ng thng y = ax
- d ct Ox ti
( ;0)
b
a

; Oy ti (0;b)
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 18
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Cách vẽ: Ta cần xác định hai điểm thuộc đồ thị
hàm số và vẽ đường thẳng đi qua hai điểm đó.
Chú ý: Điểm (x
0
;y
0
) ∈ d ⇔ y
0
= ax

0
+ b
4. Quan hệ tương giao của hai đường thẳng:
y = ax + b (d) và y = a
/
x + b
/
(d
/
)
- Toạ độ giao điểm của (d) và (d
’
) là nghiệm của hệ
phưong trình:
/ /
y ax b
y a x b
= +


= +

(I)
- Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (d
/
) là :
ax + b = a
/
x + b
/

(*)
- (d) × (d
/
) ⇔ a ≠ a
/
⇔ hệ (I) và (*) có nghiệm duy
nhất
- (d)//(d
/
) ⇔ a = a
/
và b ≠ b
/
⇔ hệ (I) và (*) vô nghiệm
- (d) ≡ (d
/
) ⇔ a = a
/
và b = b
/
⇔ hệ (I) và (*) có vô số
nghiệm
Bài 1: Cho hàm số y =
2
1
2
x−

1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ

là -2 và 1. Viết phương trình đường thẳng MN
3) Xác định hàm số y = a.x +b biết rằng đồ thị (d) của
nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P) tại 1
điểm.
4) Lập phương trình đường thẳng (D) đi qua A(-2;-2)
và tiếp xúc với (P)
Bài 2 : Cho hàm số: y =
2
2
1
x−
1) Vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2) Trên (P) lấy hai điểm M và N lần lượt có hoành độ
là -2; 1 Viết phương trình đường thẳng MN
3) Xác định hàm số y = ax + b biết rằng đồ thị (D)
của nó song song với đường thẳng MN và chỉ cắt (P)
tại 1 điểm.
Bài 3: Cho hàm số: y =
2
2
1
x−
1) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2) Lập phương trình đường thẳng (D) qua A(-2; -2)
và tiếp xúc với (P)
Bài 4: Cho hàm số: y = f(x) = 2 -
12
2
+− xx
a) Vẽ đồ thị của hàm số trên

b) Tìm tất cả các giá trị của x sao cho f(x)
≤
1
Bài 5: Cho hàm số: y = x
2
và y = x + m ( m tham số)
1) Tìm m sao cho đồ thị (P) của y = x
2
và đồ thị (D)
của y = x + m có hai giao điểm phân biệt A và B
2) Tìm phương trình của đường thẳng (d) vuông góc
với (D) và (d) tiếp xúc với (P).
3) a) Thiết lập công thức tính khoảng cách giữa hai
điểm theo tọa độ của hai điểm ấy.
b) Áp dụng:Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai
điểm A, B (ở câu 1) là 3
3
Bài 6 : Trong cùng hệ trục tọa độ gọi (P) là đồ thị
hàm số y = ax
2
và (D) là đồ thị hàm số y = -x + m
1) Tìm a biết rằng (P) đi qua A(2; -1) và vẽ (P) với a
tìm được
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P) ( ở câu 1) và
tìm tọa độ tiếp điểm.
3) Gọi B là giao điểm của (D) ( ở câu 2) với trục
tung. C là điểm đối xứng của A qua trục tung. Chứng
tỏ rằng C nằm trên (P) và tam giám ABC vuông cân.
Bài 7: Trong cùng một mặt phẳng tọa độ cho hai
đường thẳng:(D

1
): y = x + 1, (D
2
): x + 2y + 4 = 0
1) Tìm tọa độ giao điểm A của (D
1
) và (D
2
) bằng đồ
thị và kiểm tra lại bằng phép toán
2) Tìm a trong hàm số y = ax
2
có đồ thị (P) qua A.
Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
3) Tìm phương trình của đường thẳng tiếp xúc với (P)
tại A
Bài 8: Cho (P) là đồ thị của hàm số y = ax
2
và điểm
A(-2; -1) trong cùng hệ trục.
1) Tìm a sao cho A thuộc (P). Vẽ (P) với a tìm được
2) Gọi B là điểm thuộc (P) có hoành độ là 4. Viết
phương trình đường thẳng AB
3) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và
song song với AB
Bài 9: Cho Parabol (P): y =
2
4
1
x

và đường thẳng (D)
qua 2 điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lượt là -2
và 4
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
trên.
2) Viết phương trình của (D)
3) Tìm điểm M trên cung AB của (P) (tương ứng
hoành độ) x
∈
[-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện
tích lớn nhất
Bài 10: Trong cùng hệ trục vuông góc, cho Parabol
(P): y = -1/4x
2
và vẽ đường thẳng (D): y = mx – 2m -1
1) Vẽ (P)
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
3) Chứng tỏ rằng (D) luôn luôn đi qua một điểm cố
định A thuộc (P)
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 19
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 11: Trong cùng hệ trục vuông góc có Parabol
(P): y =
4
2
x
và đường thẳng (D) qua điểm I







−1;
2
3

có hệ số góc m
1) Vẽ (P) và viết phương trình của (D)
2) Tìm m sao cho (D) tiếp xúc với (P)
3) Tìm m sao cho (D) và (P) có hai điểm chung phân
biệt
Bài 12: Trong cùng hệ trục tọa độ cho Parabol (P): y
=
2
4
1
x
và đường thẳng (D): y =
2
2
1
+− x
.
1) Vẽ (P) và (D)
2) Bằng phép toán, tìm tọa độ giao điểm của (P) và (D)
3) Tìm tọa độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó
đường tiếp tuyến của (P) song song với (D).
Bài 13: Cho họ đường thẳng có phương trình:
mx + (2m – 1)y + 3 = 0 (1)

a) Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2; 1)
b) C/m: các đường thẳng trên luôn đi qua một điểm
cố định M với mọi m. Tìm tọa độ của M.
Bài 14: Cho hàm số ; y = f(x) =
4
8822
2
23
−
−−+
x
xxx
a) Tìm xác định của hàm số.
b) Vẽ đồ thị (D) của hàm số.
c) Qua điểm M(2;2) có thể vẽ được mấy đường thẳng
không cắt đồ thị (D) của hàm số ?
Bài 15: Cho Parabol (P): y = x
2
– 4x + 3
a) C/m: đường thẳng y = 2x – 6 tiếp xúc với Parabol
(P)
b) Giải bằng đồ thị bất phương trình :
x
2
– 4x + 3 > 2x – 4
Bài 16:
a) Cho đường thẳng (d
1
) : y = kx +5. Tìm k để đường
thẳng (d

1
) song song với đường thẳng (d
2
); biết rằng
(d
2
) qua hai điểm A(1; 2) và B(-3; -2)
b) Giải bằng đồ thị bất phương trình: x + 1
≥
x
2
– 1
Bài 17: Cho (P) y =
2
2
1
x
(P) điểm I(0; 2) và điểm
M(m, 0) với m # 0
1) Vẽ (P)
2) Viết phương trình đường thẳng (D) đi qua hai điểm
M, I.
3) C/m: đường thẳng (D) luôn luôn cắt (P) tại hai
điểm phân biệt A, B với mọi m # 0
4) Gọi H và K là hình chiếu của A và B lên trục
hoành. C/m: tam giác IHK là tam giác vuông.
5) Chứng tỏ rằng độ dài đoạn AB > 4 với m # 0
Bài 18: Cho đường thẳng d có phương trình :
32
2

3
−+
−
= mx
m
y
a, Xác định M để d đi qua điểm A (2,-1)
b, Với giá trị nào của m thì d song song với đường
thẳng d
3
21
)2(
m
xmy
−
++−=
c, Chứng tỏ d luôn đi qua một điểm cố định I. Xác
định toạ độ điểm I
Bài 19: Trong một mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam
giác ABC có phương trình cạnh AB là:
2
1
2
+=
x
y
,
phương trình cạnh AC là 3x – 4y +1= 0. Hãy tìm
phương trình cạnh BC biết trung điểm của BC là M
(4, 3)

Bài 20: Cho hàm số
xxy −++= 32

a, Vẽ đồ thị (T) của hàm số trên
b, Dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của
phương trình
mxx =−++ 32
c, Gọi d là đường thẳng có phương trình y = m cắt đồ
thi (T) tạo thành một hình thang. Tìm m để diện tích
hình thang bằng 28.
Bài 21: Cho hệ phương trình:



−=+
=+
)2(7332
)1(3
myx
myx
m là tham số
1. Giải hệ phương trình trên với m =2
2.Gọi (D
1
); (D
2
) là các đường thẳng có phương trình
(1) và (2).
a. Xác định toạ độ giao điểm M của (D
1

) và (D
2
) theo m.
b. C/m khi m thay đổi thì điểm M luôn di động trên
một đường cố định
c. Xác định giá trị của m để OM=
10
Bài 22: Cho hệ phương trình



=+
=++
myx
yx
2
21
a) Giải hệ phương trình trên với m=2.
b) Với m =3. Vẽ các đường thẳng có phương trình
(1) và 2). Xác định giao điểm của chúng.
c) Biện luận theo m số nghiệm của hệ pơhương trình
trên
III. Bài tập về hàm số:
1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 20
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
a.
1
1
23

2
+−−
+
=
xxx
x
y
b.
1
1
−
+
=
x
x
y
c.
xxy 34212 −+−=

d.
12
1
+
−
=
x
x
y
2. Tìm tập xác định và tìm tập giá trị của các hàm số
sau:

a.
12
2
−+= xxy
b.
xxy 4
2
+−=
c.
3
2
2
+
=
x
x
y
3. C/m các hàm số sau :
a.
2
1
−
=
x
y
nghịch biến khi x >2 b. y = x
2
– 6x+ 5
nghịch biến khi x < 3
c. y = x

x
đồng biến khi x > 0
d.
1−
=
x
x
y
nghịc biến trong khoảng xác định của nó.
4.Xác định hàm số f(x) biết:
a. 2f(x) +f (l-x) =2x+3
b. f(x) +2f
x
x
3
1
=






5.Tìm giá trị bé nhất hoặc lớn nhất của hàm số:
a. y= x
2
- 3x +2 b. y=
2
2
2 5x x− +

c.
2
1
+
+
=
x
x
y
với -1 ≤ x ≤2
6. Trong mặt phẳng trục toạ độ Oxy cho 3 điểm
A(1,2), B(-1,1) và C(3,0). Xác định toạ độ điểm D
sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
7. Cho hàm số y=
121
2
+−++ xxx
a. Vẽ đồ thị T của hàm số trên
b. Tìm giá trị bé nhất của hàm số trên
c. Dùng đồ thị T của hàm số, biên luận số nghiệm
phương trình sau theo m:
112
2
−=+−+− xxmx
8. Cho hàm số
m
x
y +=
2
có đồ thị là (d

m
) và
=y
44
2
+− xx
có đồ thị là D
a. Với m = -1. Vẽ D
-1
và D. Xác đimhk toạ độ giao
điểm của chúng
b. Với giá trị nào của m thì D
m
cắt D tại 1 điểm duy
nhất.
c. Biện luận theo m số nghiệm của phương trình:
04422
2
=+−−+ xxmx
9. Cho tam giác ABC có trung điểm các cạnh lần lượt
là M(2;1), N(-1;2), P(0;-2). Hãy lập phương trình các
cạnh của tam giác ABC.
11. Cho hệ phương trình:



=+−+−
=++
0)12)(2(
02

yxyx
myx
a. Với m = 1. Giải hệ phương trình trên
b. Biên luận theo m số nghiệm của hệ phương trinh
đã cho
13. Cho hệ phương trình :





=+
=+
myx
yx
2
1
a. Giải hệ phương trình với m=1
b. Tìm giá trị của m để hệ có nhiều nghiệm nhất
14. Cho góc vuông xOy. Một hình chữ nhật OABC
có chu vi không đổi là 4cm. Giả sử A, C là hai điểm
di động lần lượt trên Ox, Oy. CMR: đường vuông
góc kẻ từ B vuông góc với đường chéo AC luôn đi
qua một điểm cố định. Xác định toạ độ điểm đó.
15. Cho đường thẳng (D
m
) có phương trình là:
(m + 2)x + (m – 1)y – 1 = 0. Tìm giá trị của m để
(D
m

) đi qua điểm (-1; 2)
16. Trong mặt phẳng tọa độ vuông góc Oxy, cho
Parabol (P): y =
4
2
x
−
và điểm
I(0; -2). Gọi (D) là đường thẳng đi qua I và có hệ số
góc m.
1) Vẽ đồ thị (P)
2) Chứng tỏ rằng với mọi m, (D) luôn luôn cắt (P) tại
hai điểm phân biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm
M của AB
3) Với giá trị nào của m thì AB ngắn nhất? Tìm giá
trị nhỏ nhất đó.
17. Cho hàm số y = 2x
2
có đồ thị (P)
a) Vẽ đồ thị (P)
b) Tìm quỹ tích những điểm M qua đó có thể vẽ được
2 đường thẳng vuôn góc với nhau và cùng tiếp xúc
với (P)
18. Trong cùng hệ trục tọa độ,cho Parabol (P): y =
ax
2
( a # 0) và đường thẳng (D): y = kx + b.
1) Tìm k và b cho biết D đi qua hai điểm A(1; 0) và
B(0; -1)
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 21

Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
2) Tìm a biết rằng (P) tiếp xúc với (D) vừa tìm được
ở câu 1
3) Vẽ (D) và (P) vừa tìm được ở câu 1 và câu 2
4)Gọi (d) là đường thẳng đi qua C






−1;
2
3
và có hệ số
góc m
a) Viết phương trình của (d)
b) Chứng tỏ rằng qua điểm C có hai đường thẳng (d)
tiếp xúc với (P) ở câu 2 và vuông góc với nhau.
19. Cho hàm số y = x
2
có đồ thị (P) trong mặt phẳng
toạ độ 0xy
1) Vẽ (P)
2) Gọi A và B là hai điểm nằm trên (P) lần lượt có
hoành độ 1 và 2. C/m tam giác 0AB vuông.
3) Viết phương trình đường thẳng (D) song song với
AB và tiếp xúc với (P).
4) Cho đường thẳng (d): y = mx + 1 (với m là tham
số)

a) C/m: (d) luôn đi qua một điểm cố định với mọi m.
b) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có
hoành độ x
1
, x
2
thoả mãn :
11
11
2
2
2
1
=+
xx
vẽ (d) với
m tìm được.
20. Cho hàm số : y =
9612
22
+−++− xxxx
a) Vẽ đồ thị của hàm số
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của y và các giá trị tương ứng
c) Với giá trị nào của x thì y
4≥
?
21. Cho hàm số y =
4
4
2

xx −
có đồ thị (P)
1) Vẽ (P)
2) Viết phương trình các đường tiếp tuyến từ điểm
A(2; -2) đến (P)
3) Tìm hợp các điểm mà qua đó có hai tiếp tuyến
vuông góc đến (P)
22. Cho hàm số : y = 2x
2
: (P)
a) Vẽ đồ thị (P) của hàm số
b) Tìm quỹ tích các điểm M sao cho qua M có thể kẻ
được hai đường thẳng vuông góc và cùng tiếp xúc
với (P).
23. Trong cùng mặt phẳng toạ độ cho Parabol (P): y
= -x
2
+ 4x – 3 và đường thẳng (D) : 2y + 4x – 17 = 0
1) Vẽ (P) và (D)
2) Tìm vị trí của A thuộc (P) và B thuộc (D) sao cho
độ dài đoạn AB ngắn nhất.
24. Cho Parabol (P): y = -x
2
+ 6x – 5. Gọi (d) là
đường thẳng đi qua A(3; 2) và có hệ số góc là m.
a) C/m với mọi m, đường thẳng (d) luôn luôn cắt (P)
tại hai điểm phân biệt B, C.
b) Xác định đường thẳng (d) sao cho độ dài đoạn BC
đạt giá trị nhỏ nhất.
25. Cho Parabol (P): y =

2
2
x
và đường thẳng (d) có
phương trình : y = mx +
2
1
1. C/m: với mọi m, (d) luôn luôn đi qua một điểm cố
định.
2. C/m: với mọi m, (d) luôn luôn cắt (P) tại hai điểm
phân biệt M, N. Tìm quỹ tích trung điểm I của đoạn
thẳng MN
26. Cho hai đường thẳng (d
1
): y = (m
2
+ 2m )x
(d
2
): y = ax (a # 0)
a) Định a để (d
2
) đi qua A(3; -1),
b) Tìm các giá trị m để cho (d
1
) vuông góc (d
2
) ở câu a.
27. Cho hàm số: y = ax + b
a) Tìm a và b cho biết đồ thị hàm số đi qua hai điểm

M(-1; 1) và N(2; 4). Vẽ đồ thị (d
1
) của hàm số với a,
b tìm được.
b) Xác định m để đồ thị hàm số y = (2m
2
– m)x + m
2

+ m là một đường thẳng song song với (d
1
). Vẽ (d
2
)
với m vừa tìm được
c) Gọi A là điểm trên đường thẳng (d
1
) có hoành độ x
= 2. Tìm phương trình đường thẳng (d
3
) đi qua A
vuông góc với cả hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
). Tính
khoảng cách giữa (d
1
) và (d
2

).
28. Cho hàm số : y = mx – 2m – 1 (1) (m # 0)
a) Xác định m để đồ thị hàm số đi qua gốc toạ độ 0.
Vẽ đồ thị (d
1
) với m tìm được.
b) Tính theo m toạ độ các giao điểm A, B của đồ thị
hàm số (1) lần lượt với các trục 0x và 0y. Xác định m
để tam giác AOB có diện tích bằng 2 (đ.v.d.t)
c) C/m đồ thị hàm số (1) luôn luôn đi qua một điểm
cố định khi m thay đổi.
29. Cho Parabol (P): y = ax
2
và hai điểm A(2; 3), B(-
1; 0)
a)Tìm a biết rằng (P) đi qua điểm M(1; 2). Khảo sát
và vẽ (P) với a tìm được.
b) Tìm phương trình đường thẳng AB rồi tìm giao
điểm của đường thẳng này với (P) ( ở câu a).
c) Gọi C là giao điểm có hoành độ dương. Viết
phương trình đường thẳng qua C và có với (P) một
điểm chung duy nhất
30.
a) Cho Parabol (P): y = ax
2
; cho biết điểm A(1; -1)
∈
(P). Xác định a và vẽ (P) với a tìm được.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 22
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3

b) Biện luận số giao điểm của (P) với đường thẳng
(d) y = 2mx – m + 2
c) C/m , I(1/2; 2) thuộc (d) với mọi m. Tìm phương
trình các đường thẳng qua I và có với (P) điểm chung
duy nhất.
31.
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) của hàm số y =
2
2
x
và
đường thẳng (d) : y = x -
2
1
b) C/m (d) là một tiếp tuyến của (P)
c) Biện luận số giao điểm của (P) và (d’): y = x – m
bằng hai cách ( đồ thị và phép toán).
32. Cho Parabol (P) y =
4
2
x
và đường thẳng (d) qua
hai điểm A và B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là 2
và -4
a) Khảo sát và vẽ đồ thị (P)
b) Viết phương trình đường thẳng (d)
c) Tìm điểm M trên cung AB của (P) sao cho tam
giác ABC có diện tích lớn nhất.
d) Tìm trên trục 0x điểm N sao cho NA + NB nhỏ nhất.
33. Cho Parabol (P): y = ax

2
và hai điểm A(-2; -5) và
B(3; 5)
a) Viết phương trình đường thẳng AB. Xác định a để
đường thẳng AB tiếp xúc với (P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
b) Khảo sát và vẽ đồ thị (P) với a vừa tìm được.
c) Một đường thẳng (D) di động luôn luôn vuông góc
với AB và cắt (P) tại hai điểm M và N. Xác định vị
trí của (D) để MN =
2
5
34. Cho hàm số : y = x
2
– 2x + m – 1 có đồ thị (P)
a) Vẽ đồ thị (P) khi m = 1
b) Xác định m để đồ thị (P) của hàm số tiếp xúc với
trục hoành
c) Xác định m để đồ thị (P) của hàm số cắt đường
thẳng (d) có phương trình :
y = x + 1 tại hai điểm phân biệt.
35. Cho đường thẳng (D
1
): y = mx – 3
(D
2
): y = 2mx + 1 – m
a) Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ 0xy các đường
thẳng (D
1
) và (D

2
) ứng với m = 1. Tìm toạ độ giao
điểm B của chúng.
Qua O viết phương trình đường thẳng vuông góc với
(D
1
) tại A. Xác định A và tính diện tích tam giác
AOB.
b) C/m: các đường thẳng (D
1
) và (D
2
) đều đi qua
những điểm cố định. Tìm toạ độ của điểm cố định.
37.
Cho hai đường thẳng (d
1
) và (d
2
) có phương trình
(d
1
) : y =
32
2
3
−+
−
mx
m

(d
2
): y = -(m + 2)x +
3
21 m−
a) C/m (d
1
) và (d
2
) đi qua các điểm cố định. Tìm toạ
độ điểm cố định .
b) Viết phương trình các đường thẳng (d
1
) và (d
2
); cho
biết (d
1
) thẳng góc với (d
2
).
c) Viết phương trình các đường thẳng (d1) và (d2); cho
biết (d1) song song với (d2).
38. Cho điểm A(1; 1) và hai đường thẳng:
(d
1
) : y = x- 1 và (d
2
) : y = 4x + 2
Hãy viết phương trình đường thẳng (d) đi qua A và

cắt các đường thẳng (d
1
), (d
2
) tạo thành tam giác
vuông.
39. Cho Parabol (P): y = 3x
2
– 6x + 1. Viết phương
trình tiếp tuyến với (P) và đi qua điểm M(0; 1).
40. Cho Parabol (P): y =
4
2
x
a) C/m: điểm A(-2; 1) nằm trên Parabol (P).
b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua điểm A
và có chung với (P0 tại 1 điểm duy nhất.
c) Vẽ (P) và tiếp tuyến (d) ở câu b).
41. Cho Parabol (P): y = x
2
và điểm A(3; 0). Điểm M
có hoành độ a thuộc (P).
a) Tính khoảng cách AM theo a. Xác định a để cho
AM có độ dài ngắn nhất.
b) C/m ; khi AM ngắn nhất thì đường thẳng AM
vuông góc với tiếp tuyến của (P) tại điểm M.
42. Cho Parabol (P): y =
2
2
x

a) Viết phương trình đường thẳng có hệ số góc m và
đi qua điểm A trên trục hoành có hoành độ là 1. Gọi
là (D)
b) Biện luận theo m số giao điểm của (P) và đường
thẳng (D)
c) Viết phương trình đường thẳng (D) tiếp xúc với
(P). Tìm toạ độ tiếp điểm.
d) Trong trường hợp (D) vắt (P) tại hai điểm phân
biệt A và B. Tìm quỹ tích trung điểm I của AB.
e) Tìm trên (P) các điểm mà đường thẳng (D) không
đi qua với mọi m.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 23
Giáo viên: Nguyn Vn Thoi THPT GIA BèNH S 3
43. Cho Parabol (P): y = x
2
4x + 3 v im A(2; 1).
Gi (d) l ng thng i qua A cú h s gúc m.
a) C/m ; (d) luụn luụn ct (P) ti hai im phõn bit
M v N.
b) Xỏc nh m MN ngn nht.
44.
Cho hm s : y = x
2
2mx + m
2
1 cú th l (P)
a) C/m ; vi mi m, th (P) luụn luụn ct trc
honh ti hai im phõn bit.
b) C/m ; khi m thay i, nh ca Parabol luụn luụn
chy trờn mt ng thng song song vi trc honh.

45.
Cho hm s y =
axxxxx +++++ 14444
22
a) Xỏc nh a hm s luụn luụn ng bin.
b) Xỏc nh a th hm s i qua im B(1; 6).
V th (C) vi a tỡm c.
c) Dựng th (C) bin lun theo m s nghim ca
phng trỡnh :
mxxxxx +=++++ 14444
22
46. Cho Parabol (P): y = ax
2
+ bx 1 (a
2
1

)
a) Xỏc nh a v b cho nh ca Parabol nm trờn
ng thng (d) cú phng trỡnh : y = 2x + 1
b) V (P) vi a,b va tỡm c v v (d) trong cựng
mt h trc to 0xy.
47.
a) V th ca hm s:
y =
2 2 2
4 4 2 6 9 3 2 1x x x x x x x + + + +
(C)
b) Dựng th (C) gii v bin lun s nghim ca
phng trỡnh:

12396244
222
+++=++ xxmxxxxx
tu theo giỏ tr ca m
48. Trong h trc to vuụng gúc xOy:
a) V hp cỏc im M(x; y) m to (x; y) tho
món:
121 =+ yx
b) Tỡm m sao cho h phng trỡnh sau õy cú nghim



=++
=+
)2(0)1()(
)1(121
2
yxyxmyx
yx
49.
a) V hp cỏc im M(x; y) m to (x; y) tho
món phng trỡnh:
1= yx
(C)
b) T (C) suy ra s nghim ca h phng trỡnh:



+=
+=

my
xy 1
( m l tham s)
50.
a) V th hm s
y =
196144
22
+++++ xxxxx
b) Dựng th trờn, bin lun theo m, s nghim ca
phng trỡnh:
196144
22
++=+++ xmxxxx
Chuyờn 4
: giải bài toán bằng cách
lập phơng trình hệ ph ơng trình
A. KIN THC CN NM VNG
Bi 1 : Mt ụ tụ i t A n B. Cựng mt lỳc ụ tụ th
hai i t B n A vi vn tc bng
3
2
vn tc ca ụ tụ
th nht. sau 5 gi chỳng gp nhau. Hi mi ụ tụ i
c quóng ng AB mt bao lõu?
Bi 2 : Mt ụ tụ du lch i t A n C. Cựng mt lỳc
t a im B nm trờn on ng AC, cú mt ụ tụ
vn ti cng i n C. Sau 5 gi hai ụ tụ gp nhau ti
C. Hi ụ tụ du lch i t A n B mt bao lõu, bit
rng vn tc ca ụ tụ vn ti bng

5
3
vn tc ca ụ tụ
du lch?
Bi 3 : ng sụng t thnh ph A n thnh ph B
ngn hn ng b 10 km. i t A n B, canụ i
ht 3 gi 20 phỳt, ụ tụ i ht 2 gi. Vn tc ca canụ
kộm vn tc ụ tụ 17 km/h. Tớnh vn tc ca canụ?
Bi 4 : Mt ngi i xe p t tnh A n tnh B cỏch
nhau 50km. Sau ú 1gi30phỳt, mt ngi i xe mỏy
cng i t A v n B sm hn 1gi. Tớnh vn tc
ca mi xe, bit rng vn tc xe mỏy gp 2.5 ln vn
tc xe p?
Bi 5 : Mt ngi i xe mỏy t A n B vi vn tc
trung bỡnh 30km/h. Khi n B, ngi ú nh 20phỳt
ri quay tr v Avi vn tc trung bỡnh 25km/h. Tớnh
quóng ng AB, bit rng thi gian c i ln v l
5gi30phỳt.
Bi 6 : Mt ụ tụ d nh i t tnh A n tnh B vi
vn tc trung bỡnh 40 km/ h. Lỳc u ụ tụ i vi vn
tc ú, khi cũn 60 km na thỡ c mt na quóng
ng AB, ngi lỏi xe tng thờm vn tc 10 km/ h
trờn quóng ng cũn li, do ú ụ tụ n tnh B sm
hn 1 gi so vi d nh. Tớnh quóng ng AB.
Chuyờn luyn thi Toỏn 9 Trang 24
Gi¸o viªn: Nguyễn Văn Thoại THPT GIA BÌNH SỐ 3
Bài 7 : Một đội máy kéo dự định mỗi ngày cày 40 ha.
Khi thực hiện, mỗi ngày đội máy kéo cày được 50 ha.
vì vậy,đội không những đã cày xong trước thời hạn 2
ngày mà còn cày thêm được 42 ha nữa. Tính diện tích

thửa ruộng mà đội phải cày theo kế hoạchđã định?
Bài 8 : Hai tổ công nhân làm chung trong 12 giờ sẽ
hoàn thành xong một công việc đã định. Họ làm
chung với nhau trong 4 giờ thì tổ thứ nhất được điều
đi làm việc khác, tổ thứ 2 làm nốt phần công việc còn
lại trong 10 giờ. Hỏi tổ thứ hai nếu làm một mình thì
sau bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 9 : Trong tháng đầu, hai tổ công nhân sản xuất
được 800 chi tiết máy. Sang tháng thứ hai, tổ một sản
xuất vượt 15%, tổ 2 sản xuất vượt mức 20%, do đó
cuối tháng cả hai tổ sản xuất được 945 chi tiết máy.
Hỏi rằng trong tháng đầu, mỗi tổ công nhấnản xuất
được bao nhiêu chi tiết máy?
Bài 10 : Một đội công nhân hoàn thành một công việc
với mức 420 công thợ. Hãy tinh số công nhân của
đội, biết rằng nếu đội tăng thêm 5 người thì số ngày
để hoàn thành công việc sẽ giảm đi 7 ngày.
Bài 11 : Hai vòi nước cùng chảy vào một bể thì sau
5
4
4
giờ bể đầy. Mỗi giờ lượng nước của vòi một
chảy được bằng
2
1
1
lượng nước chảy được cua vòi 2.
Hỏi mỗi vòi chảy riêng thì trong bao lâu đầy bể?
Bài 12 : Một máy bơm muốn bơm đầy nước vào một
bể chứa trong một thời gian quy định thì mỗi giờ phải

bơm được 10m
3.
. Sau khi bơm được
3
1
dung tích bể
chứa, người công nhân vận hành cho máy bơm với
công xuất lớn hơn, mỗi giờ bơm được 15m
3
. Do đó,
bể được bơm đầy trước 48phút so với thời gian quy
định. Tính dung tích của bể chứa?
Bài 13 : Năm ngoái tổng số dân của hai tỉnh A và B là
4 triệu. Dân số tỉnh A năm nay tăng 1.2%, còn tỉnh B
tăng 1.1%. Tổng số dan của hai tỉnh năm nay là
4045000 người. Tính số dân của mỗi tỉnh năm ngoái
và năm nay.
Bài 14 : Một phòng họp có 360 ghế ngồi được xếp
thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều bằng nhau.
Nếu số dãy tăng thêm một và số ghế của mỗi dãy
cũng tăng thêm một thì trong phòng có 400 ghế. Hỏi
trong phòng họp có bao nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có
bao nhiêu ghế?
Bài 15 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một
thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35km/h
thì đến chậm mất 2 giờ. Nếu xe chạy với vận tốc
50km/h thì đến sớm hơn một giờ. Tính quãng đường
AB và thời gian dự định đi lúc đầu?
Bài 16 : Hai canô cùng khởi hành từ hai bến A và B
cách nhau 85 km và đi ngược chiều nhau.Tính vận

tốc riêng của mỗi canô, biét rằng vận tốc của canô đi
xuôi dòng thì lớn hơn vận tốc của canô đi ngược
dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nước là 3 km/ h.
Bài 17 : Hai người thợ cùng làm một công việc trong
16giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm3giờ và người
thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 25% công việc.
Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong
bao lâu sẽ hoàn thành công việc?
Bài 18 : Hai đội xây dựng cùng làm chung một công
việc và dự định làm xong trong 12 ngày. Họ cùng làm
vởi nhau được 8 ngày thì đội một được điều động làm
việc khác , còn đội hai tiếp tục làm. Do cải tiến kĩ
thuật, năng xuất tăng gấp đôi nên đội 2 đã làm xong
phần công việc còn lại trong 3 ngày rưỡi. Hỏi nếu mỗi
đội làm một mình thì sau bao nhiêu ngày sẽ làm xong
công việc nói trên (với năng xuất bình thường)?
Bài 19 : Nếu hai vòi nước cùng chảy vào bể thì sau
1giờ 20 phút bể đầy. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong
10 phút và vòi thứ 2 trong 12 phút thì đầy
15
2
bể. Hỏi
nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy
bể?
Bài 20 : Hai vậi chuyển động trên một đường tròn có
đường kính 20m, xuất phát cùng một lúc từ cùng một
điểm. Nếu chúng chuyển động cùng chiều thì cứ sau 20
giây lại gặp nhau. Nếu chúng chuyển động ngược chiều
thì cứ sau 4 giây lại gặp nhau. Tính vận tốc của mỗi vật.
Bài 21 : Một chiếc thuyền khởi hành từ một bến sông A.

Sau 5 giờ 20 phút, một canô chạy từ bến A đuổi theo và
gặp thuyền cách bến A 20km. Hỏi vận tốc của thuyền,
biết rằng canô chạy nhanh hơn thuyền 12km/h ?
Bài 22 : Quãng đường AB dài 270km. Hai ô tô khởi
hành cùng một lúc đi từ A đếnB. Ô tô thứ nhất chỵ
nhanh hơn ô tô thứ hai 12km/h, nên đến trước ô tô
thứ hai 40phút. Tính vận tốc của mỗi xe.
Bài 23 : Người ta hoà lẫn 8 gam chất lỏng này với 6
gam chất lỏng khác có khối lượng riêng nhỏ hơn nó
20 kg/m
3
để được một hỗn hợp có khối lượng riêng là
700 kg/m
3
. Tìm khối lượng riêng của mỗi chất lỏng.
Bài 24 : Cho một số có hai chữ số. Tìm số đó, biết
rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số đó 6 lần, nếu
thêm 25 vào tích của hai chữ số đó, sẽ được một số
viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho.
Chuyên đề luyện thi Toán 9 Trang 25