Một số bài toán về quỹ tích

1) Trên đoạn AB lấy điểm M tùy ý. Trên AM và Bm dựng về một phía
đối với AB các hình vuông. Đường tròn ngọai tiếp các hình vuông cắt
nhau tại N.
a) Chứng minh AN đi qua đỉnh hình vuông thứ hai.
b) Tìm quỹ tích điểm N khi M di chuyển trên AB.
2) Một điểm A chuyển động trên nửa đường tròn đường kính BC. Tìm
tập hợp tâm I của đường tròn nội tiếp ∆ABC.
3) Cho đường tròn tâm O và một điểm A cố định bên ngoài đường tròn.
Vẽ tiếp tuyến AB và cát tuyến ACD với đường tròn. Tìm tập hợp
trọng tâm G của ∆ BCD khi cát tuyến qua A di động
4) Cho đường tròn tâm O đường kính AB, Một điểm M di chuyển trên
(O). Kẻ MH ⊥ AB. Tìm tập hợp các tâm đường tròn nội tiếp ∆ OMH.
5) Trên đường tròn cho trước lấy hai điểm A,B cố định và M di động.
Trên tia AM lấy N sao cho MN=NB (Nnằm ngoài đường tròn). Tìm
quỹ tích điểm N.
6) Trong đường tròn cho trước lấy điểm A cố định không trùng với tâm
của đường tròn. Qua A dựng một dây cung tuỳ ý. Tìm quỹ tích giao
điểm M của các tiếp tuyến với đường tròn dựng tại hai đầu mút của
dây.
7) Cho tứ giác lồi ABCD. Tìm trong tứ giác đó tập hợp các điểm O sao
cho diện tích các tứ giác OBCD và OBAD bằng nhau.
8) Cho ∆ ABC, tìm quỹ tích các điểm M sao cho chân các đường vuông
góc vẽ từ m đến 3 cạch AB;BC;CA thẳng hàng.
9) Cho góc nhọn xAy với tia phân giác Az, một điểm B cố điịnh trên Az
(B ≠ A ) Người ta kẻ một đường tròn tâm O đi qua A và B cắt Ã; Ay
lần lượt tại các điểm M,N. Gọi I là trung điểm của MN, Dựng hình
vuông ACID. Tìm tập hợp điểm C khi đường tròn (O) thay đổi luôn
luôn đi qua A;B.
10) Cho ∆ ABC nội tiếp đường tròn O, trong đó B và C cố định. Ax là
phân giác trong của góc A. Gọi M, N là hình chiếu vuông góc của B và C
lên Ax. Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.

11) Cho hai điểm A và B cố định. Tìm quỹ tích tâm các đường tròn sao
cho các tiếp tuyến từ A và B đến các đường tròn đó có độ dài bằng nhau.
12) Cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp các điểm M sao cho khoảng
cách từ M đến điểm xa nhất của ∆ ABC bằng tổng các khoảng cách từ M
đến hai đỉnh kia.
13) Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 1 đơn vị. Tìm tập hợp những
điểm M sao cho khoảng cách từ M đến các đỉnh của hình vuông ABCD
nhỏ hơn 1.
14) Tìm quỹ tích điểm M sao cho tổng các khoảng cách từ điểm đó đến
hai đường thẳng cắt nhau cho trước bằng một đoạn thẳng cho trước.
Nếu trong giả thiết thay đổi tổng các khoảng cách baèng hiệu các khoảng
cách thì tập hợp điểm phải tìm sẽ là đường nào.
15) Cho đường tròn O và một dây cung AB. Tìm quỹ tích các trung điểm
của đường gấp khúc AMB trong đó M là điểm bất kỳ trên đường tròn.
16) Cho hình vuông ABCD; M là điểm di động trên đường chéo BD. Kẻ
ME ⊥ AB; MF ⊥ AD. Tìm quỹ tích giao điểm I của CF và DE.
17) Trong một mặt phẳng cho hai đoạn thẳng AB và CD nằm trên hai
đường thẳng cắt nhau. Tìm quỹ tích những điểm M sao cho tổng các diện
tích các tam giác AMB; CMD bằng a
2
( a là số cho trước).
18) Cho ∆ ABC và một hình chữ nhật thay đổi MNPQ sao cho M∈AB; N
∈ AC; P và Q thuộc BC. Tìm tập hợp tâm O của hình chữ nhật MNPQ.
19) Cho ∆ ABC, M là điểm trong tam giác. Gọi MP; MQ; MR theo thứ
tự là khoảng cách từ M đến các cạnh BC; CA; AB. Tìm quỹ tích các
điểm M sao cho MP; MQ; MR là ba cạnh của một tam giác.
20) Cho hai đường thẳng song song và điểm O nằm trong phần mặt
phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng đó. Qua O dựng một cát tuyến tùy ý
cắt hai đường thẳng song song tại A và A’. Tìm quỹ tích của đầu mút
những đoạn vuông góc với cát tuyến trên tại A’ và có độ dài bằng OA.

21) Cho đường tròn tâm (O) và một dây cung AB thuộc đường tròn đó.
Tìm quỹ tích trực tâm của tất cả các tam giác nội tiếp trong hình tròn và
có một cạnh là AB.
22) Cho đường tròn tâm O đường kính AB cố định. dựng dây cung AC
tùy ý và kéo dài. Trên AC đặt về hai phía của điểm C các đoạn
CM=CM’=CB. Tìm quỹ tích các điểm M và M’.
23) Cho ∆ ABC với đáy BC cố định. Tìm quỹ tích tâm đường tròn bàng
tiếp chứa trong góc A.
24) Cho bốn điểm A;B;C;D theo thứ ỵư đó nằm trên đường thẳng d. Xét
hai đường tròn (O) đi qua A và B, đường tròn (O’) đi qua C và D và tiếp
xúc với nhau. Tìm quỹ tích của tiếp điểm.
25) Cho ba điểm A;B;C trên cùng một đường thẳng. Vẽ hai đường tròn
có bán kính bằng nhau. Một đường tròn đi qua A và B, đường tròn kia đi
qua B và C. Tìm quỹ tích giao điểm thứ hai của hai đường tròn trên.
26) Cho hình chữ nhật cạnh a;b (a>b). Tìm quỹ tích các điểm của mặt
phẳng chứa hình chữ nhật sao cho tổng khoảng cách từ đó đến các cặp
cạnh đối bằng nhau.
27) Từ một điểm A kẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn tâm O.
Tại điểm M tùy ý của đường tròn vẽ tiếp tuyến thứ ba cắt hai tiếp tuyến
AB và AC tại D và E. Tìm quỹ tích tâm của đường tròn ngoại tiếp
∆DOE.
28) Cho đoạn thẳng AB, trên cùng một nữa mặt phẳng bờ là AB vẽ hai
tia Ax và By vuông góc với AB. Một cát tuyến thay đổi cắt hai tia này
lần lượt tại M và N tạo thành hình thang có diện tích không đổi. Tìm quỹ
tích chân đường vuông góc kẻ từ trung điểm của AB xuống MN
29) Cho hình vuông ABCD cạnh a; trên AB; AD lấy điểm M và N sao
cho chu vi ∆ AMN bằng 2a. Gọi H là hình chiếu vuông góc của C trên
MN. Tìm quỹ tích điểm M.
30) Cho hai điểm A; B trên đường thẳng xy. Hai đường tròn bất kỳ tiếp
xúc ngoài với nhau tại M và cũng tiếp xúc với đường thẳng đã cho tại A

và B. Tìm quỹ tích điểm M.