SKKN Toán thpt

A. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
I - Cơ sở thưc tiễn
Bất kể một lĩnh vực nào trong cuộc sống cũng có những yếu tố vượt trội, những
cá nhân điển hình hay những thành tích cao nhất hay một kỷ lục nào đó mà không ai
vượt qua đó là cái "nhất".Trong toán học cũng vậy trong mỗi lĩnh vực lại có những
đại lượng "lớn nhất" hay "nhỏ nhất" người ta thường gọi là các bài toán cực trị, các
bài toán này rất phổ biến trong các đề thi vào lớp 10 THPT, hay thi vào các trường
Cao đẳng, Đại học cũng như các đề thi học sinh giỏi ở nhiều năm… Nội dung các
bài toán cực trị rất phong phú đòi hỏi phải vận dụng kiến thức một cách hợp lý,
nhiều khi khá độc đáo và bất ngờ.
Ở bậc THCS cũng như THPT (chủ yếu học sinh khá, giỏi) đã được làm quen với
loại toán này. Tuy nhiên, khi tìm hiểu thêm thì thấy nó cũng không dễ dàng với học
sinh.
Với những lí do như vậy tôi đã tìm hiểu xây dựng đề tài “Một số phương pháp giải
toán cực trị”. Với mong muốn được trình bày một vài kinh nghiệm giảng dạy của mình
để các đồng nghiệp tham khảo, rất mong được sự đóng góp chân thành để đề tài được
phát huy hiệu quả.
B. NỘI DUNG
Chương I: KIẾN THỨC CƠ BẢN
I - Định nghĩa:
1/ Định nghĩa 1:
Cho biểu thức
, ),( yxf
xác định trên miền
D
, ta nói
M
là giá trị lớn nhất của
, ),( yxf
trên
D

nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:
i) Với
, yx
thuộc
D
thì
Myxf ≤, ),(
với
M
là hằng số.
ii) Tồn tại
,
00
yx
thuộc
D
sao cho
Myxf =, ),(
2/ Định nghĩa 2:
Cho biểu thức
, ),( yxf
xác định trên miền
D
, ta nói
m
là giá trị nhỏ nhất của
, ),( yxf
trên
D
nếu 2 điều kiện sau được thoả mãn:

i) Với mọi
, yx
thuộc
D
thì
myxf ≥, ),(
với
m
là hằng số.
ii) Tồn tại
,
00
yx
thuộc
D
sao cho
myxf =, ),(
.
Chú ý: Để tranh sai lầm thường mắc phải khi làm loại bài toán này, ta cần nhấn
mạnh và khắc sâu 2 điều kiện của định nghĩa: Rèn những phản xạ sau:
+ Chứng tỏ
Myxf ≤, ),(
hoặc
myxf ≥, ),(
) với mọi
, , yx
thuộc
D
+ Chỉ ra sự tồn tại
,

00
yx
thuộc
D
để
, ),( yxf
đạt cực trị.
Chú y đến miền giá trị của biến.
Ta ký hiệu
MaxA
là giá trị lớn nhất của
MinAA,
là giá trị nhỏ nhất của
A
II - Một số tính chất của giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
1/ Tính chất 1: Giả sử
BA ⊂
khi đó ta có:
a/
)(max)( xfxfMax
BxAx
∈∈
≤
b/
)(min)( xfxfMin
Bx
Ax
∈
∈
≥

2/ Tính chất 2: Nếu
0),( ≥yxf
với mọi
x
thuộc
D
, ta có:
a/
)(max)(
2
xfxfMax
DxDx ∈∈
=

)(min)(
2
xfxfMin
Dx
Dx
∈
∈
=
3/ Tính chất 3:
)()())()(/
21
xfMaxxfMaxxgxfMaxa
DxDxDx ∈∈∈
+≤+

)1(

)()())()(/
21
xfMinxfMinxgxfMinb
DxDxDx ∈∈∈
+≤+

)2(
Dấu bằng trong
)1(
xẩy ra khi có ít nhất một điểm
0
x
mà tại đó
)(xf
và
)(xg
cùng
đạt giá trị lớn nhất. Tương tự nếu tồn tại
0
x
thuộc
D
mà tại đó
gf ,
cùng đạt giá trị
nhỏ nhất thì
)2(
có dấu bằng.
4/ Tính chất 4:
))((min)(

1
xfxfMax
Dx
Dx
−−=
∈
∈
5/ Tính chất 5:
Nếu đặt
)(xfMaxM
Dx∈
=
,
)(min xfm
Dx∈
=
thì
{ }
mMMaxxfMax
DxDx
,)(
∈∈
=
.
6/ Tính chất 6:
Giả sử
{ }
0)(;
1
≤∈= xfDxD

và
{ }
0)(;
2
≥∈= xfDxD
thì
{ }
)(min);(max)(
2
1
xfxfMinxfMin
Dx
DxDx
∈
∈∈
−=
Khi dạy phần này, giáo viên nên hướng dẫn học sinh chứng minh các tính chất
(dựa vào định nghĩa), tránh áp đặt để học sinh nắm vững kiến thức và tránh đợc sai
lầm khi vận dụng giải bài tập.
Chú ý: Khi nói đến giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của một hàm số, bao giờ cũng
phải tìm TXĐ. Cùng một hàm số
)(xf
nhưng xét trên hai TXĐ khác nhau thì nói
chung giá trị lớn nhất tương ứng khác nhau. Để cho phù hợp với chương trình các
lớp phổ thông cơ sở, ta giả thiết là các bài toán đang xét đều tồn tại giá trị cực trị
trên một tập hợp nào đó.
III - Những sai lầm thường gặp khi giải toán cực trị:
1/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1:
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
544

3
2
+−
=
xx
A
Lời giải sai: Phân thức
A
có tử số là số không đổi nên
A
có giá trị lớn nhất khi
mẫu nhỏ nhất.
Ta có:
xxxx ∀≥+−=+− ,44)12(544
22
x
xx
∀≤
+−
⇒ ,
4
3
544
3
2
2
1
4
3
=⇔=⇒ xAMax

Phân tích sai lầm: Tuy đáp số không sai nhưng khi khẳng định “
A
có tử số là
số không đổi nên
A
có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ nhất” mà chưa đưa ra nhận xét
tử mẫu là các số dương.
Ta đưa ra một ví dụ:
Xét biểu thức
4
1
2
−
=
x
B
Với lập luận “phân thức
B
có tử không đổi nên có giá trị lớn nhất khi mẫu nhỏ
nhất” do mẫu nhỏ nhất bằng
4−
khi
0
=
x
, ta sẽ đi đến:
4
1
max −=B
không

phải là giá trị lớn nhất của
B
, chẳng hạn với
3
=
x
thì
4
1
5
1
−≥
.
Mắc sai lầm trên là do không nắm vững tính chất của bất đẳng thức: Đã máy móc
áp dụng quy tắc so sánh 2 phân số có tử số và mẫu số là số tự nhiên sang hai phân
số có tử và mẫu là số nguyên.
Lời giải đúng: Bổ sung thêm nhận xét:
44)12(544
22
≥+−=+− xxx
nên tử và
mẫu của A là các số dương. Hoặc từ nhận xét trên suy ra
0
>
A
, do đó
A
lớn nhất
khi và chỉ khi
A

1
nhỏ nhất
544
2
+−⇔ xx
nhỏ nhất.
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
22
yxA +=
biết
4=+ yx
Lời giải sai:
Ta có:
xyyxA 2
22
≥+=
Do đó
A
nhỏ nhất
xyyx 2
22
=+⇔

2==⇔ yx
Khi đó
822
22
=+=MinA
Phân tích sai lầm: Đáp số tuy không sai nhưng lập luận mắc sai lầm. Ta mới
chứng minh được

),(),( yxgyxf ≥
, chứ chưa chứng minh được
myxf ≥),(
với
m
là
hằng số.
Ta đưa ra một vị dụ: Với lập luận như trên, từ bất đẳng thức đúng
44
2
−≥ xx
sẽ
suy ra:
2
x
nhỏ nhất
20)2(44
22
=⇔=−⇔−=⇔ xxxx
.
Dẫn đến:
24
2
=⇔= xMinx
Dễ thấy kết quả đúng phải là: min
00
2
=⇔= xx
Cách giải đúng:
Ta có:

1624)(
2222
=++⇔=+ yxyxyx
)1(
Ta lại có:
020)(
222
≥+−⇒≥− yxyxyx
)2(
Từ
)1(
,
)2(
:
816)(2
2222
≥+⇒≥+ yxyx
Vậy
28 ==⇔= yxMinA
2/ Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
xxA +=
Lời giải sai:
4
1
2
1
4
1
4

1
2
−






+=−






++=+= xxxxxA
Vậy
4
1
−=MinA
Phân tích sai lầm: Sau khi chứng minh
,
4
1
)( −≥xf
chưa chỉ ra trường hợp
xẩy ra dấu đẳng thức
.
4

1
)( −≥xf
Xẩy ra dấu đẳng thức khi và chỉ khi
2
1
−=x
vô
lý.
Lời giải đúng:
Để tồn tại
x
phải có
0
≥
x
Do đó
0≥+= xxA
Min
00
=⇔=
xA
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
))(()( xzxyyxxyzA +++=
, với
0,, ≥zyx
và
1=++ zyx
Lời giải sai: áp dụng bất đẳng thức:
2
)(4 baab +≤

1)()(4
2
=++≤+ zyxzyx
1)()(4
2
=++≤+ xzyxzx
1)()(4
2
=++≤+ yxzyxx
Nhân từng vế (do hai vế đều không âm)
1)))((64 ≤+++ xzxyyxxyz
64
1
=MaxA
Phân tích sai lầm: Sai lầm cũng ở chỗ chưa chỉ ra được trường hợp xảy ra dấu
đẳng thức. Điều kiện để
64
1
=A
là:
Cách giải đúng:
áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số không âm:
3
.31 xyzzyx ≥++=
)1(
3
))()((.3)()()(2 xzzyyxxzzyyx +++≥+++++=

)2(
Nhân từng vế

)1(
với
)2(
do 2 vế đều không âm)









≥
=++
=+
=+
=+
0,,
1
zyx
zyx
yxz
xzy
zyx






≥
=++
===
0,,
1
0
zyx
zyx
zyx
⇔
mâu thuẩn
3
3
9
2
.92






≤⇒≥ AA
3
1
9
2
3
===⇔







= zyxMaxA
Chương II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ
I/ Phương pháp tam thức bậc hai
1 - Nội dung
Sử dụng trực tiếp định nghĩa cực trị thông qua việc biến đổi tam thức bậc hai về
dạng bình phương một biểu thức chứa biến và một số hạng tự do.
2 - Các ví dụ
Dạng 1: Tìm cực trị của tam thức bậc hai
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất của
18
2
+−= xxA
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của
142
2
+−= xxB
3/ Tìm giá trị nếu có của
143
2
+−−= xxC
4/ Cho tam thức bậc hai
cbxaxP =+=
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của
P

nếu
0
>
a
Tìm giá trị lớn nhất của
P
nếu
0
<
a
HD giải:
Nhận xét: Các biểu thức đều ở dạng tam thức bậc hai.
1/
1515)4(18
22
−≥−−=+−= xxxA
415min
=⇔−=⇒
xA
2/
11)1(2142
22
−≥−−=+−= xxxB
11min
=⇔−=⇒
xB
3/
3
7
3

7
3
2
3143
2
2
≤+






−−=+−−= xxxC
3
2
3
7
max =⇔=⇒ xC
4/
c
acb
a
b
xa
a
c
x
a
b

xacbxaxP
4
4
2
2
2
22
−
−






−=






++=++=
+ Nếu
a
b
x
a
acb
Pa

24
4
min:0
2
=⇔
−
−=>
+ Nếu
a
b
x
a
acb
Pa
24
4
max:0
2
=⇔
−
−=<
Dạng 2: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của đa thức bậc cao:
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của
22
)1( ++= xxA
HD:
)1(
2
++⇔ xxMinMinA
Bài toán trên là dạng đặc biệt của bài toán sau:

[ ]
)()(
2
NkxfB
k
∈=
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của
)7)(4)(3( −−−= xxxxC
HD: Dùng phương pháp đổi biến.
Dạng 3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức mà có tử là hằng số, có
mẫu là tam thức bậc hai.
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của
544
3
2
+−
=
xx
M
Dạng này phải chú ý đến dấu của tử thức.
Dạng 4: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của phân thức có mẫu là bình phương
nhị thức:
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của
2
2
)1(
1
+
++
=

x
xx
P
HD:
2
)1(
1
1
1
1
+
+
+
−=
x
x
P
Đặt
,
1
1
+
=
x
y
có
4
3
4
3

2
1
1
2
2
≥+






−=+−= yyyP
1
2
1
4
3
=⇔=⇔= xyMinP
Cách 2: Viết
N
dưới dạng tổng của một số với một biểu thức không âm:
4
3
1(2
1
4
3
)1(4
444

2
2
2
≥








+
−
+=
+
+−
=
x
x
x
xx
P
1
4
3
=⇔= xMinP
Dạng 5: Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của một biểu thức quan hệ giữa các
biến:
Ví dụ: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

22
3 yxxyA −−=
Biết
yx,
là nghiệm của phương trình:
1025 =+ yx
Giải:
Ta có:
2
510
1025
x
yyx
−
=⇔=+

)10016059(
4
1
2
−+−=⇒ xxA
25
59
160
4
59
2
−







+−= x
25
3481
6400
59
80
4
59
2
−








+






−−= x

25
59
1600
59
80
4
59
2
−+






−−= x
59
125
59
80
4
59
59
125
2
≤







−−=⇔ xA
Vậy







=
=
⇔=
59
95
59
80
59
125
max
y
x
A
3 - Một số bài tập tự giải:
1/ Tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) của biểu thức sau:
a/
35204
2
+−= xxA

b/
132
2
++−= xxB
2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
a/
)5)(3(2)(1( −−−−= xxxxA
b/
542
22
+++−= yyxxB
4 - Tiểu kết
Loại toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất bằng phương pháp tam thức bậc hai là cơ
bản nhất, giúp học sinh dễ làm quen với toán cực trị. Rèn kỹ năng giải toán, đổi biến
một cách linh hoạt phù hợp với từng loại toán để biến đổi các bài toán dạng khác về
dạng tam thức bậc hai.
II/ Phương pháp miền giá trị của hàm số:
1 - Nội dung phương pháp
Xét bài toán sau: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
)(xf
với
.Dx
∈
Gọi
0
y
là một giá trị tuỳ ý của hàm số xét trên miền đã cho, tức là hệ phương trình (ẩn
x
) sau có nghiệm:
0

)( yxf =

)1(
Dx
∈
)2(
Tuỳ dạng của hệ
)1(
,
)2(
mà ta có các điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều
trường hợp, điều kiện ấy sẽ đưa về dạng
bya ≤≤
0

)3(
.
Vì
0
y
là một giá trị bất kỳ của
)(xf
nền từ
)3(
ta thu được:
axfMin =)(
và
bxfMax =)(
trong đó
.Dx

∈
Như vậy thực chât của phương pháp này là đưa về phương trình bậc hai và sử
dụng điều kiện
.0≥∆
2 - Các ví dụ
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của:
1
1
2
2
++
+−
=
xx
xx
A
Giải
Biểu thức
A
nhận giá trị
a
khi và chỉ khi phương trình ẩn
x
·
sau đây có nghiệm:
1
1
2
2
++

+−
=
xx
xx
a

)1(
Do
01
2
≠++ xx
nên
)1(

1
22
+−=++⇔ xxaaxax

)2(0)1()1()1)(
2
=−+++−⇔ axaxa
+ TH1: Nếu
1
=
a
thì
)2(
có nghiệm
0
=

x
+ TH2: Nếu
0
≠
a
thì để
)2(
có nghiệm, cần và đủ là
0
≥∆
, tức là:
0)1(4)1(
22
≥−−+ aa
0)2214)(221( ≥+−+−++⇔ aaa
0)3)(13( ≤−−⇔ aa
)1(3
3
1
≠≤≤⇔ aa
.
Với
3
1
=a
hoặc
3
=
a
thì nghiệm của

)2(
là:
)1(2
)1(
)1(2
)1(
a
a
a
a
x
−
+
=
−
+−
=
Với
3
1
=a
thì
,1=x
với
3
=
a
thì
1
−=

x
Gộp cả hai trường hợp 1 và 2 ta có:
1
3
1
=⇔= xMinA
13
−=⇔=
xMaxA
Cách khác:
3
1
)1(2
3
1
242333
2
2
2
22
≤
++
+
−=
++
−−−++
=
xx
x
xx

xxxx
A
13max
−=⇔=⇒
xA
3
1
)1(3
)1(2
3
1
)1(3
)12(2
)1(3
1
333
333
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
++
−
+=
++

+−
+
++
++
=
++
+−
=
xx
x
xx
xx
xx
xx
xx
xx
A
1
3
1
=⇔=⇒ xMinA
Mở rộng: Bài toán còn có thể cho dưới dạng khác, đó là:
1/ Chứng minh:
3
1
1
3
1
2
2

≤
++
+−
≤
xx
xx
2/ Tìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm (vô nghiệm):
0
1
1
2
2
=−
++
+−
m
xx
xx
3/ Cho phương trình: (
01)3102()123
222
=−++−++ xmmxmm
có 2 nghiệm
.,
21
xx
Tìm giá trị lớn nhất của tổng
.
21
xx +

3 - Bài tập tự giải
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số sau:
1
1
/
2
2
+
++
=
x
xx
ya
1
1
/
2
2
+
++
=
x
xx
yb
4 - Tiểu kết
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số hoặc những biểu thức có thể đưa
về hàm số bằng phương pháp miền giá trị thường được đưa về phương trình và tìm
điều kiện để phương trình có nghiệm. Phương pháp này có ưu điểm là tìm cực trị
thông qua việc tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, thông qua việc này giúp
cho học sinh rèn kỹ năng giải phương trình.

III/ Phương pháp sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc
1 – Nội dung phương pháp
Dựa trực tiếp vào định nghĩa giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số



=∈∃
∈∀≤
⇔=
MxfDx
DxMxf
xMaxfM
00
(:
,)(
)(



=∈∃
∈∀≥
⇔=
mxfDx
DxMxf
xfMinm
00
(:
,)(
)(
Như vậy, khi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

)(xf
trên miền
D
nào đó, ta tiến hành theo hai bước:
+ Chứng minh một bất đẳng thức
+ Tìm
Dx ∈
0
sao cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức tìm được trở thành đẳng
thức.
Nếu sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như Côsi, Trêbưsep, Bunhia côpxki thì
các điểm như vậy thường được tìm thấy nhờ phần 2 trong cách phát hiện ra dấu
đẳng thức ấy, cần có một nhận xét thích hợp.
2 - Các bất đẳng thức thường dùng
1/
.0
2
≥a
Tổng quát
ka
k
,0
2
≥
nguyên dương
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
2/

.0
2
≤− a
Tổng quát
ka
k
,0)(
2
≤−
nguyên dương
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
3/
.0≥a
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
4/
aaa ≤≤−
Xẩy ra dấu đẳng thức
0
=⇔
a
5/
baba +≤+
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0≥⇔

cùng dấu)

baba +≥−
Xẩy ra dấu đẳng thức
baab ,(0≥⇔
cùng dấu)

cbacba ++≤++
Xẩy ra dấu đẳng thức
0;0;0 ≥≥≥⇔ acbcab
;
6/
.
11
0;
ba
abba ≤⇒≥≥
Xẩy ra dấu đẳng thức
ba
=⇔
7/
2≥+
a
b
b
a
với
ba,
cùng dấu. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba

=⇔
8/ Bất đẳng thức Côsi:
+ Đối với 2 số dương
ba,
bất kỳ.
ab
ba
≥
+
2
(hoặc
)2
22
abba ≥+
. Xẩy ra dấu đẳng thức
ba
=⇔
+ Đối với
:, ,1;0
1
nia =≥∀
n
n
aaa
n
aaa
221
21

≥
+++
9/ Bất đẳng thức Bunhia côpxki:
Nếu
), ,(
21 n
aaa
và
), ,(
21 n
bbb
là những số tuỳ ý, ta có:
), (
22
2
2
1 n
aaa +++
.
2
2211
22
2
2
1
) (), (
nnn
babababbb +++≥+++
Dấu bằng xẩy ra
j

j
i
i
b
a
b
a
=⇔
(với quy ước rằng nếu
0=
i
a
thì
0=
i
b
).
10/ Bất đẳng thức Trêbưsép.
+ Nếu
n
aaa ≥≥≥
21


n
bbb ≥≥≥
21
thì
) ).( () (
21212211 nnnn

bbbaaabababan ++++≥+
Dấu bằng xẩy ra
ji
aa =⇔
hoặc
jiji
babb ,;=
tuỳ ý
+ Nếu
n
aaa ≥≥≥
21


n
bbb ≥≥≥
21
thì
) ).( () (
21212211 nnnn
bbbaaabababan ++++≥+
Dấu bằng xẩy ra
ji
aa =⇔
hoặc
jiji
babb ,;=
tuỳ ý.
3 - Các ví dụ
Ví dụ 1: Cho biểu thức

1=++ zxyzxy
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
444
zyxP ++=
Giải
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia côpxki đối với
),,( zyx
và
),,( xzy
22222222222
)(1))(()(1 zyxxzyzyxzxyzxy ++≤⇒++++≤++=

)1(
Mặt khác, đối với
)1,1,1(
và
),,,
222
zyx
ta có:
).()111().1.1.1(
44422222222
xzyzyx ++++≤++
)2(
Từ
)1(
và
)2(
suy ra:
3

1
3)(31
444
≥⇒=++≤ PPxzy
Vậy
zyx
==⇒

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của:
a/
21 −+−= yxA
biết
4=+ yx
b/
y
y
x
x
B
2
1
−
+
−
=
Giải:
a/ Điều kiện:
;1≥x

2≥y

Bất đẳng thức Côsi cho phép làm giảm một tổng:
ab
ba
≥
+
2
Ở đây lại muốn làm tăng một tổng. Ta dùng bất đẳng thức:
)(2
22
baba +≤+
2)21(221 =−+−≤−+−= yxyxA







==
==
⇔=
222
111
3
1
zxy
x
z
x
y

y
x
MinP



=
=
⇔



=+
−=−
⇔=
5,2
5,1
4
21
2
y
x
yx
yx
MaxA
Cách khác: Xét
2
A
rồi dùng bất đẳng thức Côsi
b/ Điều kiện:

2;1 ≥≥ yx
Bất đẳng thức Côsi cho phép làm trội một tích:
2
ba
ab
+
≤
Ta xem các biểu thức:
2,1 −− yx
là các tích:
)1.(11 −=− xx
2
)2.(2
2
−
=−
y
y
Theo bất đẳng thức Côsi:
2
1
2
11
)1.(1
1
=
−+
≤
−
=

−
x
x
x
x
x
x
4
2
22
2
.
22
22
2
)2(22
==
−+
≤
−
=
−
y
y
y
y
y
y




=
=
⇔



=−
=−
⇔
+
=+=
4
2
22
11
4
22
4
2
2
1
y
x
x
x
MaxB
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
32 −+−= xxA

Giải
Ta có:
13232 =−+−≥−+−= xxxxA
30)3()2(1 ≤⇔≤≥−−⇔=⇒ xxxMinA
Chú ý: Giải bài toán linh hoạt khi biến đổi
xx −=− 33
để áp dụng bất đẳng
thức giá trị tuyệt đối.
Cách khác: Xét khoảng giá trị của x.
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2000 21 −++−+−= xxxy

Dạng hàm số khiến ta nghĩ đến áp dụng bất đẳng thức:
baba +≤+
đối với
1000 cặp giá trị tuyệt đối.
Ta có:
)1000999( )19992()20001( −+−++−+−+−+−= xxxxxxy
[ ]
2000;11999min1999)20001(
11
∈⇔=⇒≥−+−= xyxxy
[ ]
2000;21997min1997)19992(
22
∈⇔=⇒≥−+−= xyxxy
[ ]
1000,9991min1)1000999(
10001000
∈⇔=⇒≥−+−= xYxxY

Vậy
100000010001999 531
2
==++++=yMin
Mở rộng: Từ bài toán trên ta có thể ra các bài toán sau:
1/ Tìm miền giá trị của hàm số:
2004 21 −+++−+−= xxxy
2/ Chứng minh bất đẳng thức:
6
102004 21 ≥−++−+−= xxxy
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2002 21 −++−+−= xxxy
4 - Bài tập tự giải
1/ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
32
)1()1( xxA −−=
với
1≤x
HD: áp dụng bất đẳng thức Côsi với 5 số không âm:
3
1
;
3
1
;
3
1
;
2
1

;
2
1 xxxxx +++−−

2/ Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
2
923 xxy −+=
HD: áp dụng bất đẳng thức Bunhia với
)92;3();1;1(
2
xx −
3/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1415 −−= xM
4/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1−+= xxN
5/ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a/
9612
22
+−++−= xxxxA
b/
xxxxB 2169 −++−+=
5 - Tiểu kết
Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản đối với mỗi bài đòi hỏi tính linh hoạt cao, mỗi
bài có một nét riêng biệt, không có quy tắc chung để vận dụng. Vì vậy cần cho học
sinh làm quen với nhiều loại bài tập này.
KẾT QUẢ ÁP DỤNG
Quá trình nghiên cứu, trực tiếp giảng dạy và bồi dưỡng học sinh giỏi, phần chuyên
đề “Toán cực trị” đã phát huy tính tích cực sáng tạo của học sinh - học sinh không
còn cảm thấy ngại mà ngược lại còn rất hứng thú khi gặp những bài toán về cực trị.

Các đồng nghiệp trong trường cũng coi nó như một kinh nghiệm quý trong quá trình
giảng dạy về “toán cực trị”. Từ đó giúp nâng cao chất lượng giảng dạy của giáo
viên cũng như học tập của học sinh. Kết quả thi học sinh giỏi được nâng cao rõ rệt.