mot ung dung cua mat cau

MỘT VÀI ỨNG DỤNG CỦA MẶT CẦU TRONG ĐẠI SỐ
Nhận xét:
1.Phương trình tổng quát của mặt cầu (S):
+++
222
zyx
2ax+2by+2cz+d=0(
)0
222
>−++ dcba
Tâm của mặt cầu I(-a;-b;-c),bán kính R=
dcba −++
222
2.
+++
222
zyx
2ax+2by+2cz+d<0(
)0
222
>−++ dcba
là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm
trong mặt cầu (S).
3.
+++
222
zyx
2ax+2by+2cz+d>0(
)0
222
>−++ dcba

là tập hợp các điểm M(x;y;z) trong không gian nằm
ngoài mặt cầu (S).
Ứng dụng 1:Giải hệ phương trình
VD1:Giải hệ phương trình sau
2 2 2
1(1)
2 2 3 0(2)
x y z
x y z

+ + =

− + + =

Lời giải
Trong hệ trục toạ độ Oxyz,ta có: Pt(1) là pt của mặt cầu
1
( )S
,tâm O(0;0;0),bán kính R=1
Pt(2) là pt của mp(P):2x-y+2z+3=0
d(O;(P))=1=R nên (P) tiếp xúc với mặt cầu
1
( )S
⇒
hệ trên có nghiệm duy nhất,nghiệm của hệ là toạ độ tiếp
điểm của (P) và
1
( )S
.
Gọi (d) là đường thẳng qua O(0;0;0) và

⊥
(P).Phương trình của (d):
2
,
2
x t
y t t R
z t
=


= − ∈


=

Xét hệ
2
2 2 3 0
3
2
1
3
2
2
3
x
x y z
x t
y

y t
z t
z

= −

− + + =



=
 
⇒ =
 
= −
 
 
=

= −


.Toạ độ tiếp điểm là
2 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 

.
Vậy,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)=
2 1 2
; ;
3 3 3
 
− −
 ÷
 
VD2:Giải hệ phương trình sau
2008 2009 2010
2 2 2
2007 2008 2009 2008(3)
2 4 6 7 0(4)
2 4 5 0(5)
x y z
x y z x y z
x y z

+ + =

+ + + + + − =


+ + − =

Lời giải
Trong hệ toạ độ Oxyz,ta có: Pt(4) là pt mặt cầu
2
( )S

,tâm
( 1; 2; 3)I − − −
,bán kính R=
21
Pt(5) là pt mp(Q):2x+y+4z-5=0
d(I,(Q))=
21
=R,nên (Q) tiếp xúc với mặt cầu
2
( )S
,do đó từ pt(4) và pt(5) của hệ,giải tương tự VD1 ta có
`1
1
1
x
y
z
=


= −


=

.Thay
`1
1
1
x

y
z
=


= −


=

vào pt(3) thấy thoả mãn.
Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(1;-1;1).

VD3:Tìm m để hệ phương trình sau
2 2 2 2
2 1 0
2 2 0
x y z mx m m
x y z m

+ + − + + − =

+ + + − =

có nghiệm thực
Lời giải
1
Hệ
2 2 2
( ) 1 (6)

2 2 0(7)
x m y z m
x y z m

− + + = −
⇔

+ + + − =

+)Nếu 1-m<0
⇔
m>1.từ pt(6)
⇒
hệ vô nghiệm
⇒
m>1 không thoả mãn
+)Nếu 1-m=0
⇔
m=1,thay vào hệ ta có
2 2 2
1
( 1) 0
0
2 1 0
0
x
x y z
y
x y z
z

=


− + + =

⇔ ⇔ =
 
+ + − =


=

,
Hệ có nghiệm
⇒
m=1 thoả mãn
+)N ếu 1-m>0
⇔
m<1 khi đó,trong hệ toạ độ Oxyz
Pt(6) là pt của mặt cầu
( )
m
S
tâm I(m;0;0),bán kính R=
1 m−
Pt(7) là pt của mặt phẳng (P’):x+y+2z+m-2=0
Hệ có nghiệm
⇔
( )
m

S
và mặt phẳng (P’) c ó điểm chung
⇔
d(I,(P’)
≤
R

2
2 2
1
6
2 1 0
1
1( 1)
2
m
m
m m
m m
−
⇔ ≤ −
⇔ − − ≤
⇔ − ≤ < <
Kết hợp lại,ta có m
1
;1
2
 
∈ −
 

 
thì hệ có nghiệm
VD4:Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm thực duy nhất:
1 2 3
6 0
x y z m
x y z m

− + − + − =


+ + − − =


Lời giải
Đặt
2
2
2
1
1
2 2
3
3
X x
x X
Y y y Y
z Z
Z z


= −

= +



= − ⇒ = +
 
 
= +
= −



,điều kiện
, , 0X Y Z ≥
.Khi đó hệ (I) trở th ành
2 2 2
0(8)
(9)
X Y Z m
X Y Z m
+ + − =


+ + =

T ừ pt(9)
⇒
m

≥
0
+)Nếu m=0,thay vào hệ ta có
2 2 2
0
0
0
X Y Z
X Y Z
X Y Z
+ + =

⇔ = = =

+ + =

,hệ ban đầu có nghiệm duy nhất
1
2
3
x
y
z
=


=


=


Nên m=0 thoả mãn
+)Nếu m>0,khi đó,trong hệ toạ độ OXYZ:Pt(8) là ptmp(Q’):X+Y+Z-m=0
Pt(9) là pt mặt cầu
3
( )S
,tâm O(0;0;0),bán kính R=
m
Hệ ban đầu có nghiệm duy nhất
⇔
hệ sau có đúng một nghiệm (X;Y;Z) mà
, , 0X Y Z ≥
⇔
Mặt phẳng (Q’) có
đúng một điểm chung với mặt cầu
3
( )S
ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ

3
( )S
cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A(
m
;0;0),B(0;
m
;0),C(0;0;
m
).
Phương trình mặt phẳng(ABC):X+Y+Z-
m

=0
Mặt phẳng (Q’)//(ABC) nên mặt phẳng (Q’) có đúng một điểm
chung với mặt cầu
3
( )S
ở g óc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ
OXYZ
⇔
(Q’) tiếp xúc với
3
( )S
ở góc phần tám thứ nhất của
2
hệ toạ độ
0
( ;( ')
m
d O Q R
>

⇔

=

0
3
m
m
m
>



⇔
−

=



3m
⇔ =
Vậy m=0 và m=3 thì hệ có nghiệm duy nhất.
Ứng dụng2:Biện luận hệ bất phương trình
VD1:Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm thực duy nhất
2 2 2
2 2 2
2 4 1 0
2 2 0
x y z x y
x y z y z m

+ + − − + ≤


+ + − + − ≤


Lời giải
Hệ
⇔

2 2 2
2 2 2
( 1) ( 2) 4(10)
( 1) ( 1) 2(11)
x y z
x y z m

− + − + ≤


+ − + + ≤ +


+)Nếu m+2<0
⇔
m<-2,từ bpt(11) suy ra hệ vô nghiệm,nên m<-2 không thoả mãn.
+)Nếu m+2=0,ta có hệ
2 2 2
2 2 2
0
( 1) ( 2) 4
1
( 1) ( 1) 0
1
x
x y z
y
x y z
z
=



− + − + ≤
 
⇔ =
 
+ − + + ≤



= −

,hệ có nghiệm duy nhất (x;y;z)=(0;1;-1)
Nên m=-2 thoả mãn.
+)Nếu m+2>0 khi đó trong hệ toạ độ Oxyz:
Tập nghiệm của(10) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu
4
( )S
tâm I(1;2;0),bán kính R=2
Tập nghiệm của(11) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu
5
( )S
tâm I’(0;1;-1),bán kính R’=
2m +
Để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất
⇔
4
( )S
và
5

( )S
tiếp xúc ngoài với nhau

⇔
II’=R+R’

3 2 2m⇔ = + +
,phương trình vô nghiệm
Vậy m=-2 là giá trị cấn tìm
VD2:Tìm m để hệ sau có nghiệm thực duy nhất
2 2 2
6 2 2 2 0
2 2 0
x y z x y z
x y z m

+ + − + − + ≤

+ + + =

Lời giải
Hệ
2 2 2
( 3) ( 1) ( 1) 9(12)
2 2 0(13)
x y z
x y z m

− + + + − ≤
⇔


+ + + =

Tập nghiệm của(12) là toạ độ các điểm nằm trong và trên mặt cầu
6
( )S
tâm I(3;-1;1),bán kính R=3
Tập nghiệm của(13) là toạ độ các điểm nằm trên mp(P’):x+2y+2z+m=0
Để hệ trên có nghiệm duy nhất
⇔
mp(P’) tiếp xúc với
6
( )S


⇔
d(I;(P’))=R

3
3
3
6
12
m
m
m
+
⇔ =
=


⇔

= −

Vậy m=6 và m=-12 là các giá trị cần tìm.
Ứng dụng 3:Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của biểu thức ba biến
VD:Cho
1, 2, 3. , ,x y z x y z R≥ − ≥ − ≥ − ∈
thoả mãn
1 2 3x y z x y z+ + + + + = + +
Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số:f(x,y,z)=x+y+z.
Lời giải
Gỉa sử m là giá trị bất kỳ thuộc tập giá trị của hàm f(x,y,z),khi đó
3
hệ sau có nghiệm :
1 2 3 1 2 3x y z x y z x y z m
x y z m x y z m
 
+ + + + + = + + + + + + + =
 
⇔
 
+ + = + + =
 
 
(I)
Đặt
2
2
2

1
1
2 2
3
3
X x
x X
Y y y Y
z Z
Z z

= +

= −



= + ⇒ = −
 
 
= −
= +



,điều kiện
, , 0X Y Z ≥
.
Khi đó hệ (I) trở thành
2 2 2

0(14)
6(15)
X Y Z m
X Y Z m
+ + − =


+ + = +

(II).
Hệ (I) có nghiệm
⇔
hệ(II) có nghiệm(X;Y;Z) mà
, , 0X Y Z ≥
.Vì
, , 0X Y Z ≥
nên từ (14) suy ra m
0
≥
.Khi
đó,trong hệ toạ độ OXYZ: pt(14) là phương trình mp(R):X+Y+Z-m=0
pt(15) là phương trình mặt cầu (S) tâm O(0;0;0),bán kính R=
6m +
Mặt cầu (S)cắt các tia OX,OY,OZ lần lượt tại A(
6m +
;0;0),B(0;
6m +
;0),C(0;0;
6m +
)

Phương trình mặt phẳng qua A,B,C là:
1
( ): 6 0P X Y Z m+ + − + =

Mp(R) tiếp xúc với (S) khi và chỉ khi:d(O,(R))=R

2
6
3
3 18 0
6( )
3( )
m
m
m m
m tm
m loai
⇔ = +
⇔ − − =
=

⇔

= −


Khi m=6 ta có mp
2
( ) : 6 0P X Y Z+ + − =
tiếp xúc với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất của hệ toạ độ.

Hệ (II) có nghiệm (X;Y;Z) mà
, , 0X Y Z ≥
⇔
mp(R) có diểm chung với mặt cầu (S) ở góc phần tám thứ nhất
của hệ toạ độ
⇔
mp(R) di chuyển trong phần không gian giới hạn bởi mp(P1) và mp(P2)
⇔
6 6 3 6m m m+ ≤ ≤ ⇔ ≤ ≤
.Vậy tập giá trị của hàm f(x;y;z) là
[ ]
3;6
Do đó Maxf(x,y,z)=6
Minf(x,y,z)=3
Bài tập áp dụng
1.Tìm m để các hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất: a)
2 2 2
2 2 2
4 3 0
4 0
x y z x
x y z y m

+ + − + ≤


+ + − + ≤


b)

2 2 2
4 6 4 0
2 2 1 0
x y z x y
x y z m

+ + − − + ≤

− + + + =

2.Giải hệ phương trình
2 2 2
3 3 3
6
12
24
x y z
x y z
x y z
+ + =


+ + =


+ + =

3.Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm
2 2 2
4 2 0

2 2 5 0
x y z x y m
x y z m

+ + − + + =

+ − + − =

Phan Quang Sơn –GV Trường THPT Nam Khoái Châu,huyện Khoái Châu,tỉnh Hưng
Yên
4