Một khac thác ứng dụng của BĐT Cosi trong Giảng dạy toan 9

Bất đẳng thức CÔ-SI- một kiến thức thú vị
trong chơng trình
*********************
Với những ai đã trải qua một thời học và dạy Toán thì chắc chắn chúng ta sẽ
không thể nào không biết tới và quên đợc Bất đẳng thức CÔ- SI -Đó là một kiến
thức vô cùng thú vị của chơng trình Toán học phổ thông, nó đã đợc các tác giả
giới thiệu và đề cập tới rất sớm và khá nhiều trong trong SBT Toán lớp 9.Vì thế,
tôi viết bài này xin đợc nêu vài cách giải cho một trờng hợp đặc biệt rất phổ
biến của Bất đẳng thức Cô- Si cùng với những vận dụng rất cơ bản ban đầu
bất đẳng thức đó .
Cho a,b

0.Chứng minh :
ab
ba

+
2
(Bất đẳng thức CÔ-SI cho 2 số không âm)
(Bài 44-Trang 9-SBTToán 9-NXBGD-2005).
Lời giải:
Cách 1: Xét hiệu(A-B=> A-B
0

A
B

)

a;b

0 Tacó
ab
ba

+
2
=
2
2 abba
+
=
2
2)()(
22
abba
+
=
=
0
2
)(
2


ba

ab
ba

+
2

0. Do đó
ab
ba

+
2


a;b

0.
Dấu = sảy ra

a = b.
Cách 2: Biến đổi tơng đơng
Ta có:
ab
ba

+
2


a+b

2
ab

(
a
)
2
+(
b
)
2
-2
ab

0


(
a
-
b
)
2


0 luôn đúng

a;b

0.Do vậy
ab
ba

+
2

a;b

0
Dấu = sảy ra

a = b.
Cách 3:Sử dụng bất đẳng thức có sẳn luôn đúng


a;b

0,ta luôn có: (
a
-
b
)
2


0

(
a
)
2
+(

b
)
2
-2
ab

0
(
a
)
2
+(
b
)
2

2
ab


a+b

2
ab

ab
ba

+
2

Dấu = sảy ra

a = b.
Cách 4 (Sử dụng t/c
BABA

0
)
Tacó: (a-b)
2

0

a
2
+b
2

2ab

a
2
+b
2
+2ab

4ab

(a+b)
2

4ab lấy căn
bậc hai , hai vế không âm ta đợc:

a+b

2
ab

a;b

0

ab
ba

+
2

a;b

0.
Dấu = sảy ra

a = b.
Bất đẳng thức CÔ_-SI cho 2 số không âm chỉ đơn giản là thế nhng nó
lại rất thú vị bởi sự linh hoạt và sáng tạo khi cho avà b nhận những giá
trị cụ thể và thích hợp nào đó.Chẳng hạn nh:
1
Khi cho a

0và b = 1 thì ta có
1.
2
1
a
a

+
.
Khi đó suy ra đợc bất đẳng thức: a +1

2
a
.

a

0
Hoặc cho a = x-1 với x

1 và b =1 thì ta có
1).1(
2
1)1(

+
x
x
Khi đó suy ra đợc bất đẳng thức x

2
1

x
.

x

1.
Hay khi cho a và b là hai kích thớc của một hình chữ nhật có diện tích
không đổi là S thì từ
ab
ba

+
2
ta có
s
ba

+
2
(vì diện tích của hình chữ nhật là ab)

2(a+b)

4
S
.

Chu vi của
hình chữ nhật đó nhỏ nhất là 4
S

a = b .Mà khi a = b thì hình chữ
nhật sẽ trở thành hình vuông .
Và nh thế ta đã chứng minh đợc kết luận sau: Trong các hình chữ
nhật có cùng diện tích thì hình vuông có chu vi nhỏ nhất
(Bài 67b trang 13-SBT-Toán 9-NXBGD-2005).
Tơng tự ta cũng có kết luận sau: Trong các hình chữ nhật có cùng chu
vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất
(Bài 67a trang 13-SBT-Toán 9-NXBGD-2005).
Không dừng lại ở đó,Bất đẳng thức CÔ- SI cho hai số không âm sẽ còn
thú vị hơn rất nhiều nếu ta áp dụng nhiều lần cho những trờng hợp
riêng-cụ thể nh trên, rồi bằng cách cộng hay nhân hai vế của các bất
đẳng thức vừa có đợc cùng với việc vận dụng các tính chất cơ bản của
bất đẳng thức thì khi đó rất nhiều bài toán Hay và Khó sẽ xuất hiện
.Chẳng hạn nh sau:
1/áp dụng 2 lần rồi cộng từng vế tơng ứng :
Ví dụ :

x,y

1.
Ta có :
1).1(
2
1)1
(

+
x
x


x

2
1

x
.

xy

2y
1

x
. (1)
Tơng tự thì có
1).1(
2
1)1
(

+
y
y

y

2
1

y
.

xy

x
1

y
.
(2)

xy + xy

2y
1

x
+ x
1

y

xy

y
1

x
+ x
1

y
.
Khi đó ta sẽ chứng minh đợc bài toán :
Bài 1 : Chứng minh rằng: y
1

x
+ x
1

y
.

xy .

x,y

1
(Trích đề thi vào lớp 10 Lê Hồng Phong năm 1999)
2/ áp dụng2 lần rồi nhân từng vế tơng ứng

Ví dụ :

a;b

0 Ta có

2.
2
2
a
a

+
;
8.
2
8
b
b

+

.
2
2
+
a
8..2.
2
8

ba
b

+

(a+2)(b+8)

16
ab
.
Khi đó ta sẽ chứng minh đợc bài toán :
Bài 2 Chứng minh rằng : (a+2)(b+8)

16
ab
.

a;b

0
2
3/ áp dụng3 lần rồi cộng từng vế tơng ứng :
Ví dụ :

a;b

0 Ta có

ba
ba

.
2

+
;
1.
2
1
a
a

+
;
1.
2
1
b
b

+

baab
baba
++
+
+
+
+
+
2

1
2
1
2


a++b+1
baab
++

Khi đó ta chứng minh đợc bài toán sau:
Bài 3 :Chứng minh rằng: a+b+1
0

baab

a;b

0
4/ áp dụng 3 lần rồi nhân từng vế tơng ứng :
Ví dụ 1 :

a;b;c

0 Ta có

ba
ba
.
2

+
;
cb
cb
.
2

+
;
ac
ac
.
2

+

cabcab
accbba
..
2
.
2
.
2

+++
.

(a+b)(b+c)(c+a)

8abc
Khi đó ta sẽ dễ dàng giải đợc bài toán sau:
Bài 4 :Cho 3 số dơng a;b;c có tích bằng 1.Hãy tìm giá trị nhỏ nhất củaA
Với A=(a+b)(b+c)(c+a)
Ví dụ2 :

a;b

0 Ta có

ba
ba
.
2

+
;
cb
cb
.
2

+
;
ac
ac
.
2

+

2..2..
2
2
.
2
2
.
2
baab
baba

+++
.

(a+b)(a+2)(b+2)

16ab.
Khi đó ta chứng minh đợc bài toán sau:
Bài 5 :Chứng minh rằng:a
2
b+ab
2
+2a
2
+2b
2
+4a+4b

12ab.

a;b

0.
5/ áp dụng nhiều lần rồi cộng hay nhân từng vế tơng ứng :
Ví dụ1 : Ta có
2.1
2
21

+
;
3.2
2
32

+
;
4.3
2
43

+
;
5.4
2
54

+
;

6.5
2
65

+
;
7.6
2
76

+
;
8.7
2
87

+
;
9.8
2
98

+


+
+

+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
2
98
2
87
2
76
2
65
2
54
2
43
2
32
2
21

72564230201262
+++++++
.
Khi đó ta chứng minh đợc bài toán sau:
Bài 6 :Chứng minh rằng:
72564230201262
+++++++
< 40.
Tổng quát bài toán này ta còn chứng minh đợc bài toán sau:
Bài 7: Hãy chứng minh:
)1(...4.33.22.1
+++++
nn
<
2
)2(
+
nn
.


N
*
Ví dụ 2:

a;b;c

0 Ta có :
cb
cb

.
2

+

b+c

2
bc


a+a+ b+c

2
2
a
+2
bc
.
Mà theo bất đẳng thức CÔ-SI cho hai số không âm ta lại có : 2
2
a
+2
bc

2.
bca 2.2
2
=
4

2
4 bca


a+a+ b+c


4
2
4 bca

Tơng tự thì b+a+b+c



4
2
4 cba
; c+a+b+c

4
2
4 abc

( a+a+ b+c)( b+a+b+c)( b+a+b+c)


4
2
4 bca

.
4
2
4 cba
.
4
2
4 abc
.
Nếu thêm giả thiết a+b+c=1 th ìcó (a+1)(b+1)(c+1)

64abc.
Khi đó ta chứng minh đợc bài toán sau:
3
Bài 8:Cho a;b;c là 3 số dơng có tổng bằng 1.
Hãy chứng minh :(1+
a
1
) .(1+
b
1
).(1+
c
1
)

64.
Sau đây là vài bài tập chứng minh bất đẳng thức.Xin mời các bạn hãy vận
dụng Bất đẳng thức CÔ- SI cho hai số không âm để giải:
1/

2
1


x
x
.

x> 1
2/ (a+b+c)(
a
1
+
b
1
+
c
1
)

9 .

a;b;c>0.
3/
22
22


+
yx

yx
.

x>y thoả mãn x.y =1
4 /
a
bc
+
b
ca
+
c
ab

a+b+c .

a;b;c>0.
5/ ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)

6abc .

a;b;c>0.


Giáo viên Trờng T.H.C.S hảI vân (su Tâm)

4