SKKN Đại số 8

A.đặt vấn đề
i. lời mở đầu.
Phân tích đa thức thành nhân tử là một trong những kiến thức cơ bản trong chơng
trình toán học là công cụ để giải quyết nhiều bài toán nh :
- Rút gọn phân thức.
- Giải phơng trình, giải bất phơng trình.
- Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức.
- Biến đổi đồng nhất các biểu thức hữu tỉ.
- Tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên.
- Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Việc phân tích đa thức thành nhân tử đòi hỏi ngời học phải t duy, có kiến thức
tổng quát, sáng tạo, nhanh trí, vận dụng kiến thức toán học một cách nhuần nhuyễn,
hợp lý. Để làm đợc việc này ít nhất là ngời học sử dụng thành thạo các tính chất, quy
tắc phép tính, thành thạo trong việc nhân chia đa thức. Đặc biệt phải thuộc lòng 7
hằng đẳng thức đáng nhớ từ đó phát triển đợc các hằng đẳng thức tổng quát.
Để phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp . Ngoài 3 phơng pháp
cơ bản :
- Đặt nhân tử chung.
- Nhóm nhiều hạng tử.
- Dùng hằng đẳng thức.
Sách giáo khoa còn giới thiệu thêm hai phơng pháp :
- Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử.
- Thêm bớt cùng một hạng tử.
Ngoài ra có thể sử dụng những phơng pháp khác :
- Đặt ẩn phụ (biến đổi).
- Hệ số bất định.
Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi
giảng dạy ngời giáo viên giúp đỡ học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để giải
quyết một cách nhanh chóng. Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử ,
1
giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh các phơng pháp khác ngoài sách giáo khoa.

Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi .Giúp các em lựa chọn phơng pháp thích hợp để
giải quyết các bài toán khó.
Vì vậy tôi xin nêu ra phơng pháp tôi đã sử dụng trong giảng dạy, đó là Rèn
luyện kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8.
II . THựC TRạNG VấN Đề NGHIÊN CứU.
1. THựC TRạNG
Qua những năm giảng dạy môn toán ở lớp 8,tôi thấy nhiều học sinh còn lúng
túng khi gặp các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử .Cũng có nhiều nguyên
nhân dẫn đến điều này, nhng theo tôi nguyên nhân chính là :
+Kiến thức cơ bản cần sử dụng vào bài toán phân tích đa thức thành nhân tử
các em nắm cha vững
+Gặp một số dạng toán mà sách giáo khoa cha giải quyết đợc
Chẳng hạn khi nói đến các dạng toán : Phân tích đa thức thành nhân tử ở lớp
8 nhiều em còn vớng mắc khi sử dụng ở một số phơng pháp tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử,thêm bớt cùng một hạng tử, phơng pháp đặt ẩn phụ (biến đổi), hệ số bất
định Vì thế mà các em còn ngại , chán nạn khi ch a tìm ra hớng giải và khi giải các
em còn không biết cách phân tích dẫn đến mắc một số sai lầm không đáng có cụ thể:
Ví dụ1 : Phân tích đa thức thành nhân tử:
3x
2
8x + 4
-Học sinh rất lúng túng khi gặp dạng toán này cha biết nên tách hạng tử
nào,nhiều em còn sai lầm đi nhóm nhân tử chung : 3x
2
8x + 4 = x (3x - 8) +
4 đến đây các em mất phơng hớng giải .
Ví dụ 2: Phân tích đa thức thành nhân tử:
4x
4
+ 81

- Nhìn bài toán này học sinh khá, giỏi vẫn còn vớng mắc, cha nói đến học sinh trung
bình ,yếu các em thật sự chán nạn,sợ sệt hoặc không đủ tự tin là bản thân làm sẽ đúng
vì học sinh cha hiểu đợc 4x
4
+ 81 khi thêm, bớt 36x
2
thì bài toán sẽ có dạng hằng
2
đẳng thức hiệu hai bình phơng.Nên khi ra một dạng toán nào học sinh cần xem áp
dụng đợc pháp nào?
2 . kết quả điều tra khảo sát.
Khi cha thực hiện đề tài ,tôi đã khảo sát ở 2 lớp 8A,8B với đề bài nh sau :
Phân tích đa thức thành nhân tử
a , 4xy + 3x
2
y b, x
2
- 4
c, x
2
+x -2x
3
-2 d , 2x
2
4xy + 2y
2
e, (x
2
+ x)
2

+ 3( x
2
+ x) + 2
Qua bài khảo sát cho thấy một số học sinh còn đang mơ hồ về các phơng pháp đã
học ,quá trình làm bài cha tự tin hoặc đi sai vấn đề,cha hợp lí.
Kết quả đạt đợc nh sau:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %
b. giải quyết vấn đề :
i. giải pháp thực hiện:
- Ôn lại cho học sinh một số kiến thức cơ bản cần sử dụng để phân tích đa thức
thành nhân tử .
- Dựa vào các phơng pháp đã học ta có thể phân loại các bài toán để học sinh
phát hiện , nhận dạng và có hớng giải quyết ,không đi sai lệch với đề bài đa ra , học
sinh nhận dạng đợc bài toán yêu cầu là tìm nhân tử chung ,đặt ẩn phụ , thêm bớt hạng
tử hay tách hạng tử đó là cơ sở để học sinh tháo gỡ vấn đề.
- Dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử có thể áp dụng ngay các tiết học
ở trên lớp ,ngoài ra có thể hớng dẫn các em một số phơng pháp mới ở các buổi học
phụ đạo vào buổi chiều giúp học sinh nắm vững, hiểu sâu hơn.
Ii . biện pháp tổ chức thực hiện
pHN 1:C C PH NG PH P PHN TCH A THC THNH NHN T
1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp thông thờng.
1.1 Phơng pháp đặt nhân tử chung.
a . Phơng pháp :
3
Tìm nhân tử chung là đơn , đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử. Xem các số
hạng của đa thức có thừa số chung hay không? Nếu có ta đặt nó làm một thừa số của
đa thức bằng cách đặt nó ra ngoài dấu ngoặc,viết các nhân tử còn lại vào trong dấu
ngoặc (kể cả dấu của chúng).Phơng pháp này dựa trên tính chất :
A.B + A.C + + A.F = A (B + C + + F)

Học sinh phải nắm chắc kiến thức phép nhân phân phối đối với phép cộng.
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử .
A = 15a
2
b
2
- 9a
3
b + a
2
b
3

Với định hớng câu hỏi nh trên , học sinh tìm ra thừa số chung của các hạng tử là 3a
2
b
Đặt 3a
2
b làm thừa số chung ta đợc: A = 3a
2
b (5b 3a b
2
)
1.2 Phơng pháp dùng hằng đẳng thức :

a. Phơng pháp :
Để sử dụng các hằng đẳng thức đa các đa thức về dạng một tích các đa thức hoặc
luỹ thừa của một đa thức học sinh cần phải thuộc lòng 7 hằng đẳng thúc đáng nhớ và
các hằng đẳng thức tổng quát.
1, a

2
+ 2ab + b
2
= (a + b)
2
2, a
2
- 2ab + b
2
= (a - b)
2
Mở rộng : a
2
+ b
2
+ c
2
+2ab + 2bc + 2ac = (a + b + c)
2

3, a
2
- b
2
= (a + b)(a - b)
4, a
3
+ b
3
= (a + b)(a

2
- ab + b
2
)
5, a
3
- b
3
= (a - b)(a
2
+ ab + b
2
)
6, (a + b)
3
= a
3
+ 3a
2
b +3ab
2
+ b
3
7, (a - b)
3
= a
3
- 3a
2
b +3ab

2
- b
3

Sau đó xét xem có thể phân tích đa thức thành thừa số bằng cách sử dụng một
trong các hằng đẳng thức trên hay không ?
b. Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
ở ví dụ này các số hạng có nhân tử chung không? Các số hạng có lập thành hằng
đẳng thức nào không ? Đa thức này có 4 hạng tử,nhận xét xem các hạng tử có đặc
4
điểm gì, từ đó suy ra nó thuộc hằng đẳng thức nào?
8x
3
+ 12x
2
y + 6xy
2
+ y
3
= (2x)
3
+ 3.(2x)

2
y + 3.2x.y
2
+ y
3
= (2x - y)
3
Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử :
a. Phơng pháp :
Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm.
Tiếp tục áp dụng các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức.
Đối với phơng pháp này học sinh cần sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp để nhóm
các hạng tử một cách thích hợp rồi phân tích thành nhân tử đối với từng nhóm,từ đó
viết đợc đa thức đã cho thành nhân tử .
b. Ví dụ: Phân tích đa thức thành nhân tử :
2x
2
+ 2y
2
x
2
z + z zy
2
2
ở đa thức này các hạng tử không có nhân tử chung , không lập thành hằng đẳng
thức.Vậy nên nhóm các số hạng nh thế nào để xuất hiện nhân tử chung mới?
2x
2
+ 2y
2

x
2
z + z zy
2
2 = (2x
2
x
2
z ) + (2y
2
y
2
z) + (z - 2)
= x
2
(2 - z) + y
2
(2 - z) 2 z = (x
2
+ y
2
- 1) (2 -
z)
Ngoài ba phơng pháp trên có thể phối hợp đồng thời cả ba phơng pháp để giải.
1.4.Phối hợp nhiều phơng pháp:
a. Phơng pháp :
Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên : -Đặt nhân tử chung
Dùng hằng đẳng thức
Nhóm nhiều hạng tử.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:

3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy
ở đa thức này xét xem có thể nhóm các số hạng thích hợp nào nhằm làm xuất
hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức .
3x
3
y - 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy = 3x

y(x
2
- 2x y
2
2ay a

2
+ 1)
= 3xy (x
2
- 2x +1) (y
2
2ay a
2
) = 3xy(x -1)
2
(y- a)
2
= 3xy (x -1)

(y+ a) . (x -1)

+ (y+ a)

= 3xy (x -1

y - a).(x -1

+ y+ a)
5
1.5 . Phơng pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử :
a.Phơng pháp: Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn
rồi áp dụng phơng pháp nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức hoặc đặt nhân
tử chung:
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử: x
2

6x + 8
Đa thức trên không chứa nhân tử chung , không có dạng một hằng đẳng thức đáng
nhớ nào , cũng không thể nhóm các hạng tử . Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có
nhiều hạng tử hơn.
Cách 1: (Tách hạng tử thứ hai).
x
2
- 6x + 8 = x
2
- 2x - 4x + 8 = (x
2
- 2x ) - (4x - 8) = x(x - 2) - 4(x- 2) = (x -2)(x -4)
Cách 2: (Tách hạng tử thứ ba)
x
2
6x + 8 = x
2
6x + 9 1 = (x
2
6x + 9) 1 = (x 3)
2
1
= (x 3 1)( x 3 + 1) = (x 4)(x -2)
1.6 . Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử :
a. Phơng pháp :
Thêm bớt cùng một hạng tử thích hợp để làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng
hoặc nhân tử chung .
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử : x
4
+ 4

Giáo viên có thể gợi ý : Bằng phơng pháp đã học không thể giải quyết đợc thì ta
nghĩ đến phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử 4x
2

x
4
+ 4 = x
4
+ 4 + 4x
2
4x
2
= (x
4
+ 4x
2 + 4
) - 4x
2
= (x
2
+ 2)
2
- 4x
2

=( x
2
+ 2 -2x)( x
2
+ 2 + 2x)

Nhiều khi với những phơng pháp thông thờng trên vẫn cha đáp ứng đợc yêu cầu
phân tích đa thức thành nhân tử .Sau đây là một số phơng pháp đặc biệt .
2. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phơng pháp đặc biệt :
2.1. Phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ).
a. Phơng pháp :
Một số bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà trong đa thức đã cho có biểu
thức xuất hiện nhiều lần, ta đặt biểu thức ấy làm biến phụ từ đó đa đợc về đa thức
6
đơn giản hơn.
b.Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử :
A = (x
2
+ 3x + 1) (x
2
+ 3x - 3) 5
Đặt (x
2
+ 3x + 1) = y
A = y(y - 4) 5 = y
2
+ y - 5y - 5 = y (y + 1) - 5(y + 1) = (y +1)(y - 5)
Thay (x
2
+ 3x + 1) = y vào ta có : A = (x
2
+ 3x + 2) (x
2
+ 3x - 4)
= (x +1)(x + 2)(x -1)(x + 4)
2.2. Phơng pháp xét giá trị riêng:

a. Phơng pháp : Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức rồi gán cho các
biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại.
b.Ví dụ : P = x
2
(y - z) + y
2
(z - x) + z
2
(x -y)
Thay x bởi y thì : P = y
2
(y - z) + y
2
(z -y) = 0
Nh vậy P cha thừa số (x - y)
Ta thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi, đa thức P có
thể thay đổi vòng quanh .
Do đó nếu P đa chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z)(z -x)
Vậy P có dạng :k(x - y)(y - z)(z -x)
Ta thấy k là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x,y,z vì đẳng thức :
x
2
(y - z) + y
2
(z - c) + z
2
(x -y) = k(x - y)(y - z)(z -x)
đúng với mọi x,y,z .Nên ta gán cho các biến x,y,z các giá trị riêng .
Chẳng hạn : x = 2, y = 1, z= 0 ta đợc: 4.1 + 1(-2) + 0 = k.1.1.(-2) => k = 1
Vậy P = -(x - y)(y - z)(z -x) = (x - y)(y - z)(z -x)

2.3 Phơng pháp hệ số bất định
a. Phơng pháp :
Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc
nhất ,một đa thức bậc hai dạng: (a + b)(cx
2
+ dx + m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ
số của đa thức này với hệ số của đa thức kia.
b.Ví dụ :
1, x
3
+ 11x + 30
Kết quả cần tìm có dạng : (x + a)(x
2
+ bx + c)
7
Vì (x + a)(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Nên x
3
+ 11x + 30 = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Ta có a + b = 0

ab + c = 11
ac = 30
Có thể chọn: a =2, b = -2, c = 15 là bộ số thoã mãn (=> ac = 30)
Vậy x
3
+ 11x + 30 = (x + 2)(x
2
- 2x + 15)
2, x
3
- 19x 30
Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng :
x(x
2
+ bx + c) = x
3
+ (a + b) x
2
+ (ab + c)x + ac
Vì hai đa thức này đồng nhất nên :
a + b = 0
ab + c = -19
ac = -30
Chọn a = 2, c = -15 khi đó b = - 2 thoả mãn
Vậy x
3
- 19x - 30 = (x + 2)(x
2
- 2x - 15)
2.4 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức :

a. Phơng pháp :
Cho đa thức f(x),a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 .Nh vậy nếu đa thức
f(x) chứa nhân tử (x - a) thì a phải là nghiệm của đa thức .
Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do.
b. Ví dụ : x
3
+ 3x 4
Nếu đa thức có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử x - a) thì nhân tử còn lại có
dạng (x
2
+ bx + c) => - ac = 4 => a là ớc của 4.
Vậy trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử
không đổi Ư(- 4) =
{ }
4;4;2;2;1;1
Sau khi kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức => Đa thức chứa nhân tử (x 1)
Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung (x 1)
Cách 1: x
3
+ 3x
2
4 = x
3
- x
2
+ 4x
2
4 = x
2
(x - 1) + 4(x - 1)(x + 1)

= (x - 1)(x
2
+ 4x + 4) = (x - 1)(x

+ 2)
2
8
Cách 2: x
3
+ 3x
2
4 = x
3
- 1 + 3x
2
3 = (x
3
- 1) + 3(x
2
1)
= (x - 1)(x
2
+ x + 1) +3(x
2
1) = (x - 1)(x

+ 2)
2
Chú ý 1:
-Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử (x - 1)

- Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng tử bậc lẻ
thì đa thức chứa nhân tử (x + 1).
Ví dụ: x
2
- 5x + 8x 4 có : 1 5 + 8 4
Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số (x - 1)
x
3
- 5x
2
+ 3x + 9 có : -5 + 9 = 1 + 3
Đa thức có nghiệm là -1 hay đa thức chứa thừa số (x + 1)
Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong
đa thức với hệ số nguyên ,nghiệm hữu tỉ nếu có phải có dạng p/q .Trong đó p là ớc
của hạng tử không đổi ,q là ớc dơng của hạng tử cao nhất.
Ví dụ: 2x
3
- 5x
2
+ 8x 3
Nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên là :-1 ; 1 ;-1/2 ; 1/2 ; -3/2 ; 3/2 ;3 ; Sau khi
kiểm tra ta thấy x = -1/2 là nghiệm của đa thức nên đa thức chứa nhân tử (2x - 1). Do
đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung (2x - 1).
2x
3
- 5x
2
+ 8x 3 = 2x
3
- x

2
- 4x
2
+ 2x + 6x 3
= x
2
(2x - 1) 2x(2x - 1) + 3(2x - 1) = (2x - 1) (x
2
- 2x + 3)
Chú ý 2: Có thể nhận định đa thức :f(x) = a
n
x
n
+ a
(n 1)
x
n 1
+ + a
o

với a
1
> a
2
a
n


Z . Nếu f(x) có nghiệm hữu tỉ p/q thì p/a
0

> q/a
n

Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x) khi phân tích thành nhân tử có một hạng tử là
x a dựa vào hệ quả định lý Bezout
Nếu là nghiệm của f(x) thì f(x)

x a
Nh vậy đối với đa thức bậc 2, bậc 3 mà nhẩm nghiệm không có nghiệm hữu tỉ thì đa
thức đó sẽ không phân tích đợc thành nhân tử.
PHầN II : ứng dụng giải các bài toán phân tích
đa thức thành nhân tử .
1. Bài toán rút gọn biểu thức.
9
Đờng lối giải :
Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số . phân tích tử thức và mẫu thức
thành nhân tử chung rồi rút gọn đồng thời tìm TXĐ của biểu thức thông qua các
nhân tử nằm ở dới mẫu .
Với học sinh nhằm rèn luyện kĩ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử vào loại bài rút gọn , giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa
các kiến thức phát triển trí thông minh .
Ví dụ : Cho A = (
3
2
+

x
x
-
2

3
+

x
x
+
65
2
2
++

xx
x
)
a. Rút gọn
b. Tình giá trị của A với x = 998
Giải : a. Rút gọn với x

- 2; x

- 3
A = (
3
2
+

x
x
-
2

3
+

x
x
+
65
2
2
++

xx
x
)
A =
)3)(2(
)2()3)(3()2)(2(
++
+++
xx
xxxxx
A =
)3)(2(
294
22
++
++
xx
xxx
=

)3)(2(
)3(
++
+
xx
x
= -
2
1
+x
b. Tính A với x = 998 . A = -
2998
1
+
= -
100
1
2 . Bài toán giải phơng trình:
* Đờng lối giải.
Với các phơng trình bậc 2 trở lên việc áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức
thành nhân tử rất quan trọng ,vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng
trình tích : A.B = 0 khi và chỉ khi A = 0 hoặc B = 0
Ví dụ : Giải phơng trình: (4x + 3)
2
25 = 0
áp dụng phơng pháp phân tích vế trái thành nhân tử đa phơng trình về dạng
(4x + 3)
2
25 = 8(2x - 1)(x + 2)
8(2x - 1)(x + 2) = 0

x =1/2 hoặc x = -2
áp dụng phơng pháp phân tích tam thức bậc 2 ở vế trái thành nhân tử đa phơng
10
trình về dạng : (2x - 1)(x + 2) = 0
=> x = 1/2 hoặc x = -2
3 . Bài toán giải bất phơng trình :
* Đờng lối giải .
Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc
rút gọn biểu thức vào bất phơng trình thành đa thức và mẫu thành nhân tử đóng vai
trò rất quan trọng khi đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích
(A.B < 0) hoặc (A.B > 0) hay bất phơng trình thờng
Ví dụ : Giải bất phơng trình
a ,
1
2
+

x
x
- 1 >
1
23

+
x
x
- 3
Điều kiện : x

- 1 và x

1 ,bất phơng trình đã cho tơng đơng với :
2
12
+

x
xx
-
1
3323

++
x
xx
> 0

1
3
+

x
-
1
5
x
> 0
1
3
+x

+
1
5
x
< 0
)1)(1(
5533
+
++
xx
xx
< 0
)1)(1(
28
+
+
xx
x
< 0
Sử dụng phơng pháp bảng ta có x < -1 hoặc -1/4 < x < 1
b , x
2
2x + 1 < 9
Giải : Cách 1: x
2
2x + 1 < 9 (x - 1)
2
< 9
1x
< 3

- 3 < x 1 < 3 - 2 < x < 4
Cách 2: Biến đổi thành bất phơng trình dạng tích :
x
2
2x + 1 < 9 x
2
2x - 8 < 0 (x + 2)(x - 4) < 0
Sử dụng phơng pháp bảng ta có : - 2 < x < 4
4. Bài toán chứng minh về chia hết :
* Đờng lối giải .
Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất hiện thừa số có dạng chia hết
Ví dụ :
1 . Chứng minh rằng

x thuộc Z ta có biểu thức P = (4x - 3)
2
25 chia hết cho 8
Phân tích : P = 8(2x - 1)(x + 1) chia hết cho 8
2 . Chứng minh rằng với n

Z thì biểu thức
3
n
+
2
2
n
+
6
6

n
là số nguyên
11
Biến đổi đa biểu thức về dạng :
6
32
32
nnn ++
Và chứng minh : (2n + 3n
2
+ n
3
) chia hết cho 6
2n + 3n
2
+ n
3
= n(n + 1)(n + 2) là tích của 3 số nguyên liên tiếp vì vậy ít nhất một
thừa số chia hết cho 2,một thừa số choa hết cho 3. Mà (2;3) = 1 nên tích này chia
hết cho 6.
Vậy

n

Z thì
3
n
+
2
2

n
+
6
6
n
là số nguyên .
C . kết luận .
Trên đây tôi đã hệ thống lại các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
thờng hay sử dụng ở bậc trung học cơ sở và bốn loại bài toán áp dụng kỹ năng phân
tích đa thức thành nhân tử .Tuy nhiên có một số bài tập khác (không điển hình)có
vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử .Với phơng pháp và bài tập vận dụng tôi
nêu ở trên đã giúp học sinh phát triển t duy, sáng tạo tìm tòi phơng pháp giải nhanh
hơn , thông minh hơn .Từ các phơng pháp và bài tập tôi mong các em không chỉ giải
từng bài một cách máy móc mà phải biết phân tích đặc điểm của từng bài để xem
xét nên vận dụng phơng pháp nào vào phân tích.
Trong quá trình giảng dạy tôi cũng đã và đang vận dụng cách làm trên đây
.Tuy nhiên vì đối tợng học sinh là học sinh đại trà nên chủ yếu chỉ đi sâu vào phơng
pháp thông thờng và một số phơng pháp đặc biệt vào các buổi phụ đạo buổi
chiều .Khi sử dung các phơng pháp đặc biệt giáo viên cần tác động đén từng đối t-
ợng sao cho phù hợp, nh học sinh trung bình cần gợi ý tỉ mỉ ,học sinh khá ,giỏi nêu
ra nét cơ bản hớng dẫn theo con đờng ngắn nhất.có nh vậy học sinh sẽ tích cực tìm
tòi và phát huy trí lực của mình .Với định hớng phân tích nh vậy tôi thấy số lợng
học sinh làm đợc bài tập có tăng hơn và các em cảm thấy tự tin hơn khi bắt gặp các
bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử .Cụ thể khi làm phiếu điều tra ở hai lớp
8, 8 với đề bài :
Phân tích đa thức thành nhân tử
a , 2x(y - z) + 5y(y - z) b , 9x
2
4
12

c , 2x
3
+ 2x 3x
2
-3 d , 4x
2
+ 4x 3
e , B = 6x
4
11x
2
+ 3
Kết quả cho thấy :
- Học sinh không còn nhầm lẫn giữa các phơng pháp
- Biết lựa chọn và trình bày phơng pháp hợp lí, chặt chẽ.
- Tự tin ,sáng tạo hơn khi làm bài.
Cụ thể:
Lớp Sĩ số Giỏi Khá TB Yếu Kém
SL % SL % SL % SL % SL %

Qua quá trình viết đề tài, qua hc hi kinh nghim ca nhiu anh, ch i trc tụi
mnh dn vit li nhng gỡ mỡnh ó lm, tuy tuổi ngh s phm cha c nhiều v
thu ỏo.Trong quỏ trỡnh dy, i vi tng i tng m tụi iu chnh sao cho phự
hp vi cỏc em, ụi lỳc giỏo viờn phi theo s tip thu ca hc sinh m t cõu hi
sao cho d hiu, cú th giỳp gi m cỏc em t duy. Nhng bi a ra khụng nờn
quỏ d, phi cú d, phi cú khú dn, hc sinh s khụng nn m s tỡm cỏch gii
quyt bi toỏn tt hn.
Mc ớch ca tụi l lm nh th no rỳt ra c kinh nghim cho bn thõn, giỳp
cho kh nng dy hc ca mỡnh nõng cao hn, gim thiu hc sinh chỏn hc.
ng thi cng rt mong s úng gúp chõn thnh t cỏc bn, anh, ch ng

nghip, ca hi ng khoa hc cỏc cp tụi cú thờm nhng kinh nghim quý bỏu
trong dạy hc. Bi theo tụi ngh bt kỡ õu, lm bt kỡ mt vic gỡ mun hon thnh
tt cụng vic thỡ ũi hi phi cú phng phỏp ỳng, cú s rốn luyn, s n lc t
phn u vơn lên ca mi cỏ nhõn mỡnh .
Khi dạy dạng toán này tôi rút ra cho bản thân một số kinh nghiệm sau :
+ Cần cũng cố một số kiến thức cơ bản khi dạy dạng toán này để hộ trở lúc làm bài
cho học sinh.
+ Hệ thống các phơng pháp cơ bản để giải loại toán đó .
13
+ Hớng dẫn học sinh cách suy nghĩ để tìm tòi, lựa chọn phơng pháp phù hợp giải
quyết bài toán một cách nhanh chóng .




14