SKKN - Dai so 8 - Phat huy su sang tao cua HS qua bai toan phan tich da thuc thanh nhan tu

SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.
A. lời nói đầu
Các phơng pháp phân tích một đa thức thành nhân tử có vai trò quan trọng
trong việc hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là cơ sở để giải quyết nhiều
bài toán trong chơng trình THCS. Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho
học sinh biết áp dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử để giải toán
mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy đợc hết khả năng của mình để tìm tòi ,
khám phá những kiến thức, bài toán liên quan .
Trong chơng trình Toán 8 có 3 phơng pháp đa vào dạy cho học sinh trong giờ
học là các phơng pháp: Đặt nhân tử chung, Hằng đẳng thức, Nhóm các hạng tử.
Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều phơng pháp khác để phân tích
một đa thức thành nhân tử mà trong lí thuyết không đề cập đến nhng lại có rất nhiều
trong bài tập từ Toán 8 đến Toán 9 ( đặc biệt là khi học sinh lớp 9 cha học CT
nghiệm của phơng trình bậc 2, hoặc giải những phơng trình bậc cao đa đợc về dạng
phơng trình tích ) .
Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh qua các buổi
dạy thực tế trên lớp, đặc biệt là học sinh lớp 8 . Tôi mạnh dạn đợc ra một số ý kiến
cũng nh kinh nghiệm rút ra đợc từ thực tế giảng dạy của bản thân.
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-1-
SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.
B. nội dung
Phần I : các phơng pháp phân tích
I/ Phơng pháp cơ bản
1/ Ph ơng pháp đặt nhân tử chung
( Dùng khi hạng tử của đa thức có nhân tử chung )
a. Các b ớc tiến hành :
B ớc 1 : Phát hiện nhân tử chung và đặt nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc .
B ớc 2 : Viết các hạng tử trong ngoặc bằng cách chia từng hạng tử của đa thức
phải phân tích cho nhân tử chung .

B ớc 3 : Trờng hợp nếu không có nhân tử chung mà có nhân tử đối thì phải tiến
hành đổi dấu để xuất hiện nhân tử chung .
b.Các ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử
P= -17x
3
y-34x
2
y
2
+51xy
3
Q= 16x
2
(x-y)-10y(y-x)
2. Ph ơng pháp dùng hằng đẳng thức :
(Dùng khi các hạng tử của đa thức cần phân tích có dạng hằng đẳng thức )
a. Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ .
Lu ý thêm các hằng đẳng thức :
a. (A+B+C)
2
= A
2
+B
2
+C
2
+2AB +2BC +2CA).
b. A
n

-B
n
=(A-B)(A
n-1
+ A
n-2
.B +...+B
n-1
).
c. 1-x
n
= (1-x)(1+x+x
2
+... +x
n-1
)
..........
b. Các ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử:
P=(a
2
+4)
2
-16a
2
Q=(x+y)
2
-2(x+y)+1
R= a
3
+6a

2
+12a+8
3. Ph ơng pháp nhóm nhiều hạng tử :
a. Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức cần phân tích khi đa thức có
nhân tử chung, hoặc cha áp dụng đợc hằng đẳng thức, ta tiến hành theo các
bớc sau :
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-2-
SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.
B ớc 1 : Phát hiện nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức đáng nhớ ở từng
nhóm .
B ớc 2 : Nhóm để áp dụng phơng pháp hằng đẳng thức và nhân tử chung từng
nhóm .
B ớc 3 : Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức .
b. Các ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử :
P= ax-bx + ab-x
2
Q= x
2
-2xy+y
2
-2x+2y
4. Trình tự suy nghĩ khi phân tích đa thức thành nhân tử
a. Thờng suy nghĩ theo trình tự sau :
B ớc 1 : Nghĩ đến đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng đẳng thức .
B ớc 2: Nghĩ đến nhóm các hạng tử .
B ớc 3 : Nghĩ đến các phơng pháp đặc biệt .
b. Các ví dụ :

Phân tích đa thức thành nhân tử
P=3x
3
y-6x
2
y-3xy
3
-6axy
2
-3a
2
xy+3xy
Q=x
3
+x
2
-2x-8.
II/ Các phơng pháp khác
1. Ph ơng pháp tách hạng tử :
a/ Trờng hợp đa thức dạng : ax
2
+bx+c (a,b,c

Z ; a,b,c

0)
*Nội dung :
+> Kiểm tra : b
2
-4ac :

Nếu b
2
-4ac < 0 : Đa thức không phân tích đợc
Nếu b
2
-4ac = 0 : Đa thức chuyển về dạng bình phơng của một nhị thức
Nếu b
2
- 4ac > 0 : Đặt b
2
- 4ac = k
2
(k

Q ), đa thức phân tích đợc trong tập
hợp Q .
Khi b
2
- 4ac

k
2
: đa thức phân tích đợc trong tập hợp R .
Cách 1 :
- Tìm tích ac
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-3-
SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.
- Xem tích ac bằng tích hai số b

1
và b
2
nào mà b
1
+b
2
= b .
Tách bx = b
1
x+ b
2
x
- Nhóm phân tích theo cách thông thờng
Cách2:
Biến đổi đa thức phải phân tích thành dạng : A
2
B
2
bằng cách giữ nguyên 2
hạng tử đầu , tách 2 hạng tử tự do .
*Ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử :
P = x
2
-6x + 8 = x
2
-2x-4x+8 = x( x-2)-4( x-2)= (x-2) ( x-4)
Q = 3x
2

+5x+2 = ( x + 1 )( x + 2/3 )
b/ Trờng hợp đa thức từ bậc 3 trở lên :
*Nội dung:
+ Nhẩm nghiệm của đa thức
- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bằng 0 thì đa thức có nghiệm bằng 1 .
- Nếu tổng hệ số của các hạng tử bậc chẵn với hệ số đối của các hạng tử bậc lẻ
bằng 0 thì đa thức có nghiệm bằng -1 .
+ Lu ý định lý : Nếu đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó phải là ớc
của hạng tử tự do .Nếu đa thức có nghiệm hữu tỷ P/Q thì P là ớc của hạng tử tự
do, Q là ớc dơng của hệ số hạng tử có bậc cao nhất .
Ví dụ 1 :
Phân tích đa thức : x
3
+3x
2
-4 thành nhân tử
Giải
Cách 1 : x
3
+3x
2
-4 =x
3
-x
2
+4x
2
-4x+4x-4
=x
2

(x-1)+4x(x-1)+4(x-1)
= (x-1) ( x
2
+4x+4)
= (x-1) (x+2)
2
Cách 2 : x
3
+3x
2
-4 = x
3
-x
2
+4x
2
-4
Cách 3: x
3
+3x
2
-4 = x
3
-1 + 3x
2
- 3
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-4-
SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức 3x
3
+2x
2
+2x-1 thành nhân tử .
Giải
Nhẩm đợc nghiệm x=
3
1
Ta có 3x
3
+2x
2
+2x-1 = 3x
3
-x
2
+3x
2
+3x-x-1
= x
2
(3x-1) + 3x(x+1)-(x+1)
= x
2
(3x-1)+(x+1)(3x-1)
= (3x-1) (x
2
+x+1)
2. Ph ơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử

* Nội dung :
Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đa thức chuyển dạng hiệu hai bình
phơng , hoặc áp dụng đợc phơng pháp nhóm .
*Các ví dụ :
Phân tích đa thức thành nhân tử
P = x
4
+4 = x
4
+4+ 4x
2
-4x
2
= (x
2
+2)
2
- (2x)
2
= (x
2
+2-2x) ( x
2
+2+2x)
Q= x
2
-6x+8 = x
2
-6x+8+1-1 = (x-3)
2

- 1
2
= (x-3-1) (x-3+1) = (x-4)(x-2)
3. Ph ơng pháp đặt ẩn phụ
*Nội dung :
Phát hiện sự giống nhau của các biểu thức trong đa thức phân tích để chọn và
đặt ẩn phụ thích hợp.
* Ví dụ : Phân tích đa thức thành nhân tử
A= (x
2
+ x
2
)
2
+4x
2
+4x-12 = (x
2
+x)
2
+ 4 (x
2
+ x )- 12
Đặt x
2
+x=X ta có A = X
2
+4X -12 =X
2
+4X+4 -16 = (X +2)

2
-4
2
A = (X+6) (X-2)
Thay X =x
2
+x vào ta có A = (x
2
+x +6) (x
2
+x - 2)
A = (x
2
+ x+6) (x-1) (x+2)
4. Ph ơng pháp hệ số bất định .
*Nội dung:
Trên cơ sở bậc của đa thức phải phân tích xác định các dạng kết quả,phá ngoặc
rồi đồng nhất hệ số và giải hệ.
Ví dụ:
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-5-
SKKN - Phát huy sự sáng tạo của HS qua bài toán phân tich đa thức thành nhân tử.
Phân tích đa thức B=2x
3
-5x
2
+ 8x -3 (1) thành nhân tử
+Nếu đa thức B phân tích thành nhân tử thì B có dạng:
B = ( ax +b)(cx

2
+dx +m)
B = acx
3
+(ad +bc)x
2
+(am+bd)x+bm (2)
Đồng nhất hệ số của (1) và (2) ta có hệ sau:
Vậy B = 2x
3
5x
2
+8x 3 = (2x 1)(x
2
2x +3)
5. Ph ơng pháp giá trị riêng .
*Nội dung : Phát hiện tính đối xứng của đa thức
-Lần lợt chọn các chữ làm biến ,tìm ngiệm tính chia hết của đa thức
-Xác định kết quả
-Bằng phơng pháp giá trị riêng để tìm kết quả
*Ví dụ:Phân tích đa thức P = ab(a-b)+ bc(b-c) + ca(c-a)
thành nhân tử.
Giải
P = ab (a-b) +bc (b-c) +ca (c-a)
Thay a = b ; p = 0 ; p = (a-b)
Vì vai trò của a và b nh nhau

P = (a-b)(b-c)(c-a)
P = k (a-b)(b-c)(c-a)
Cho a = 2,b =1, c = 0 , k = -1

P = -(a-b)(b-c)(c-a)
6.Ph ơng pháp vận dụng định lí về tìm nghiệm của tam thức bậc 2
*Nội dung : Nhẩm nghiệm của đa thức
-áp dụng định lý để phân tích : Nếu đa thức P = ax
2
+bx+c có nghiệm x
1
,x
2
thì
P = a(x-x
1
)( x-x
2
).
Ví dụ : Phân tích đa thức P= 2a
2
b
2
+ab-5a +b+2
Thành nhân tử. (Với P là tam thức bậc 2 biến a .)
Tổ Toán - Trờng THCS Nam Hng - Nam Sách - Hải Dơng Thực hiện năm 2004
-
-6-

=
=
=
=
2
1
1
2
d
c
b
a