Các dạng toán ôn thi vào 10 - 2010 theo định hướng của sở GD Thanh Hóa

Chuyên đề i

A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)

A = A

2)

AB =

3)

A
=
B

4)

A 2 B = A B (víi B ≥ 0 )

2

A. B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 )
A
B

( víi A ≥ 0 vµ B > 0 )

A 2 B ( víi A ≥ 0 vµ B ≥ 0 )
A B = − A 2 B ( víi A < 0 vµ B ≥ 0 )

5) A B =

6)
7)
8)
9)

A
=
B
A
B

AB
( víi AB ≥ 0 vµ B ≠ 0 )
B
A B
( víi B > 0 )
B

=

C
A±B

=

C
A± B

C ( A B )
( Víi A ≥ 0 vµ A ≠ B2 )
A − B2
=

C( A  B )
( víi A ≥ 0, B ≥ 0 vµ A ≠ B
A− B
B. Bài tập cơ bản:

Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biÓu thøc sau:
a)

3
− 2x + 1

b)

2x + 3

2

c)

x −1

x ≥ 0
3
1

b) x <
c)
2
2
x 1
Bài 2: Phân tích thành nh©n tư ( víi x ≥ 0 )
a) 2 + 3 + 6 + 8
b) x2 – 5
c) x - 4
HD: a) x ≥ −

(

)(

)

(

)(

)

(

HD: a) 2 + 3 2 + 1
b) x + 5 x − 5
c) x + 2
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình ph¬ng.
a) 3 + 2 2

b) 3 − 8
c) 9 + 4 5

(

)

(

)

2
b) 2 − 1 2
2 +1
Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau:

HD: a)
a)

(4 −

17

)

2

b)

6 + 14

2 3 + 28

c)
c)

(

x2 − 5
x+ 5

5+2

1
2x 2

d)

)

2

(víi x ≠ 5)

d) x ≠ 0

)(

x −2

)

d) x x − 1
d) x − 1 x + x + 1

(

)(

d) 23 − 8 7

(

d) 4 − 7
d)

x x −1
x −1

)

2

( víi x ≥ 0, x ≠ 1 )

2 c)
d) x + x + 1
x− 5
2
Bµi 5: Tìm giá trị của x Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
3

x +5
x +2
a)
( với x ≥ 0)
b)
( víi x ≥ 0)
c)
( víi x ≥ 0 vµ x ≠ 4)
x +2
x +1
x −2
HD: a) x = {1}
b) x = { 0;1;9}
c) x = { 0;1;9;16;36}
Bµi 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
3
x +3
>1
a) x − 5 = 3
b) 3 − 2 x ≤ 5
c)
d)
=2
x −1
x −3
HD: a) 17 − 4

b)

1

)


HD: a) x = 14 b) − 1 ≤ x ≤

3
2

d) 1 < x < 16

c) x = 81

C. Bµi tập tổng hợp:
x x +1 x 1

x 1
x +1
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
9
b) Tính giá trị biểu thức A khi x = .
4
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
x 0
HD: a) ĐKXĐ lµ: 
, rót gän biĨu thøc ta cã: A =
x 1
Bài 1: Cho biểu thức: A =

x

x 1

.

9
thì A = 3
4
c) 0 ≤ x < 1 .
b) x =

2+5 x
x4
x 2
x +2
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.
b) Tìm x để B = 2.
x ≥ 0
3 x
HD: a) §iỊu kiƯn: 
, rót gän biĨu thøc ta cã: B =
.
x +2
x ≠ 4
c) B = 2 ⇒ x = 16.
 1
1   a +1
a + 2

Bµi 3: Cho biĨu thøc: C = 
−

:
−

 
a a 2
a 1
a 1

a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
a > 0

a 2
HD: a) §iỊu kiƯn: a ≠ 4 , rót gän biĨu thøc ta cã: C =
3 a
a ≠ 1

b) C d¬ng khi a > 4.

x
x  x−4

Bµi 4: Cho biĨu thøc D = 
 x − 2 + x + 2 . 4 x


a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức D.
b) Tính giá trị của D khi x = 6 − 2 5 .
x > 0
HD: a) §iỊu kiƯn: 

, rót gän biĨu thøc ta cã: D = x .
x ≠ 4
Bµi 2: Cho biĨu thøc: B =

b) D =

x +1

+

2 x

−

5 −1

3− x
x −1
x +1
x −1
a) T×m điều kiện xác định và rút gọn biểu thức E.
b) Tìm x để E = -1.
3
x > 0
HD: a) Điều kiƯn: 
,rót gän biĨu thøc ta cã: E =
.
1+ x
x ≠ 1
c) x = 4.

 2
2  x+4 x +4
−
.
Bµi 6: Cho biÓu thøc: F = 


8
x + 2
 x −2
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =

x

−

x

+

2


a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trị của biểu thức F khi x=3 + 8 ;
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức F có giá trị nguyên ?
x ≥ 0
x +2
HD: a) §KX§: 
,rót gän biĨu thøc ta cã: F =

x −2
x ≠ 4
b) x = 3+ 8 = 3 + 2 2 =
⇒ A = 2 2 −1
c) BiÓu thøc A nguyªn khi:

(

)

2 +1

2

x − 2 = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp lun tËp:

Bµi1: Cho biĨu thøc :

1
a +2
5
−
+
a +3 a+ a −6 2 a
a) Tìn ĐKXĐ và rút gọn P.
b) Tính giá trÞ cđa P khi: a = 7 − 4 3 .
c) Tìm giá trị của a để P < 1.
1
1   a +1

a + 2

−
:
−
Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q= 

 
a   a −2
a −1 
 a 1

a. Rút gọn Q.
b. Tìm giá trị của a để Q dơng.
P=

Bài3: Cho biểu thức: A =

2 x 9



x +3

−

2 x +1

x−5 x +6
x − 2 3− x

a, T×m ĐKXĐ và rút gọn biểu thức A.
b, Tìm các giá trị của x để A > 1.
c, Tìm các giá trị của x Z để A Z.
1
3
2

+
Bài4 : Cho biểu thøc: C =
x +1 x x +1 x − x +1
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1.
x −2
x + 2  (1 − x) 2
⋅
Bµi5: Cho biĨu thøc: M = 
−
.
 x −1
2
x + 2 x + 1


a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M dơng.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.

x
1   1
2 

 
Bµi6: Cho biĨu thøc: P = 
−

 x −1 x − x  :  x + 1 + x 1



a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.

Chuyên đề iii

Hàm số và đồ thị

i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mÃn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R

3

Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hµm sè bËc nhÊt
- Hµm sè bËc nhÊt lµ hµm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc vµ a ≠ 0
b. TÝnh chÊt
Hµm sè bËc nhÊt y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
Đồng biến trên R khi a > 0
Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a 0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a ≠ 0) lµ mét đờng thẳng
Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0)
Bíc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thc trơc tung Oy.
Cho y = 0 th× x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0). Khi ®ã
a = a '
+ d // d ' ⇔ 
b ≠ b '
-

+ d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a '

a = a '
+ d ≡d'⇔ 
b = b '
+ d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1

e. HƯ sè gãc cđa đờng thẳng y = ax + b (a 0)
ã Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao ®iĨm
cđa ®êng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
ã Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
Đờng thẳng đi qua ®iĨm M0(x0;y0)cã hƯ sè gãc k: y = k(x x0) + y0
x
y
+ =1
Đờng thẳng đi qua điểm A(x0, 0) vµ B(0; y0) víi x0.y0 ≠ 0 lµ
x0 y0
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax2 (a ≠ 0)
b. TÝnh chÊt
- Hµm sè y = ax2 (a 0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, ®ång biÕn khi x > 0
+ NÕu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax2 (a 0)
- Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) và B(x2, y2). Khi đó
Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bëi c«ng thøc
AB = ( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2
Täa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thøc

x + xB
y + yB
xM = A
; yM = A
2
2
2.2 Quan hƯ gi÷a Parabol y = ax2 (a ≠ 0) và đờng thẳng y = mx + n (m 0)
Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) vµ ®êng th¼ng (d): y = mx + n. Khi ®ã
Täa ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa hệ phơng trình
-

4


 y = ax 2

 y = mx + n
Hoµnh ®é giao ®iĨm cđa (P) vµ (d) lµ nghiƯm cđa phơng trình
ax2= mx + n (*)
Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiÕp xóc nhau
+ NÕu (*) cã hai nghiƯm ph©n biƯt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biƯt
II. Bµi tËp mÉu:
Bµi 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với
giá trị tìm đợc của m.
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cã tung ®é b»ng 2.

e. Chøng minh r»ng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k – 3)x – 3k + 3 (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + 5 (d2).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d1) và (d2) cắt nhau.
b. (d1) và (d2) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.
c. (d1) và (d2) song song với nhau.
d. (d1) và (d2) vuông góc với nhau.
e. (d1) và (d2) trïng nhau.
Bµi 3: Cho hµm sè: y = (2m-5)x+3 víi m

có đồ thị là đờng thẳng d .

Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x2 và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt
b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hàm số: y = −

1 2
x có đồ thị (P).
2

a) Tìm các điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt bằng –1 và 2.
b) Viết phương trình đường thẳng AB.
c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB và tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P).
a) Tìm m để hàm số đồng biến khi x > 0.
b) Với m = – 2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) với đường thẳng (d): y = 2x – 3.
c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – 3. Tìm tọa độ tiếp điểm.
Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) luôn tiếp xúc với Parabol (P) biết:
a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2.
b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2.
Bài 8:
8.1)Chứng tỏ rằng đường thẳng (d) luôn cắt Parabol (P) tại 2 điểm phân biệt:
a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2.
b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2.
8.2)Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) trong các trường hợp trên.
Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 và hai đường thẳng sau:

5


(d1): y =
a)
b)
c)
d)

4
x −1
3

(d2): 4x + 5y – 11 = 0

Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy.
Vẽ (P), (d1), (d2) trên cùng hệ trục tọa độ với a vừa tìm được.
Tìm tọa độ giao điểm cịn lại của (P) và (d2).
Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) và vng góc với (d1).

Bài 10: Cho Parabol (P): y =

1 2
x và đường thẳng (d): y = 2x + m + 1.
2

a) Tìm m để (d) đi qua điểm A thuộc (P) có hồnh độ bằng – 2.
b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P). Tìm tọa độ tiếp điểm
c) Tìm m để (d) cắt (P) tại hai điểm có hồnh độ cùng dương.
d) Tìm m sao cho (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm có hồnh độ x1 ≠ x2 thỏa mãn: 1 + 1 = 1
2
2

x1

x2

2

2

Bài 11: Cho hàm số: y = ax có đồ thị (P) và hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d).

a) Chứng minh (d) ln đi qua một điểm M cố định.
b) Tìm a để (P) đi qua điểm cố định đó.
c) Viết phương trình đường thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).

Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai
PHN II. KIN THC CN NM VỮNG
1. Cơng thức nghiệm:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆ = b2- 4ac
+Nếu ∆ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
+Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =

−b
2a

+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
−b+ ∆
−b− ∆
; x2 =
2a
2a
2. Cơng thức nghiệm thu gọn:
Phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có ∆’=b’ 2- ac ( b =2b’ )
+Nếu ∆’ < 0 thì phương trình vơ nghiệm
−b
+Nếu ∆’= 0 thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
a
’
+Nếu ∆ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =

x1 =

− b + ∆'
;
a

x2 =

− b − ∆'
a

3. Hệ thức Vi-ét
a) Định lí Vi-ét:
Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+bx+c = 0 (a≠0)
−b
c
thì : S = x1+x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
b) Ứng dụng:
+Hệ quả 1:
Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
+Hệ quả 2:

6

c
a

Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =

−c
a

c) Định lí: (đảo Vi-ét)
Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P thì x1; x2 là nghiệm của phương trình : x2- S x+P = 0
(x1 ; x2 tồn tại khi S2 – 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình ln có 2 nghiệm trái dấu

PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. TỐN TRẮC NGHIỆM
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ ..... để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx2+nx+p = 0 (m ≠ 0) có ∆ = .....
Nếu ∆ ..... thì phương trình vơ nghiệm
Nếu ∆ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu ∆ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
2
b) Phương trình px +qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆’= .....(với q = 2q’ )
Nếu ∆’ ..... thì phương trình vơ nghiệm
Nếu ∆’ ..... thì phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = .....
Nếu ∆’ ..... thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x1 =..... ; x2 = .....
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0)

−b
c
thì: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 =
a
a
B. Nếu x1; x2 là nghiệm của phương trình ax2+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
c
b
thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 =
a
a
c
a
c
D. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =
a
−c
E. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
−c
F. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
2
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x - S x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x2- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
c
A.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = 1; x2 =
a

−c
B.Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x1 = -1; x2 =
a
C. Nếu phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 =

7


−b
c
và tích hai nghiệm là
a
a
1
3
D.Phương trình 2x2-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là và tích hai nghiệm là
2
2
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng cịn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a ≠ 0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK: ∆ ≥ 0)
II. TỐN TỰ LUẬN
C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là

LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN
Bài 1:

Giải phương trình

a) x2 - 49x - 50 = 0
b) (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0

Giải:
a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
− (−49) − 51
− (−49) + 51
x1 =
= −1 ; x2 =
= 50
2
2
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
− 50
= 50
Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = −
1
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :
 x1 + x2 = 49 = (−1) + 50
 x = −1
⇒ 1

 x1.x2 = 49 = −50 = (−1).50  x2 = 50
− 50

= 50
Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = −
1
b) Giải phương trình (2- 3 )x2 + 2 3 x – 2 – 3 = 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2- 3 ; b = 2 3 ; c = – 2 – 3 )
∆ = (2 3 )2- 4(2- 3 )(– 2 – 3 ) = 16;

∆ =4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
−2 3+4
−2 3−4
= 1 ; x2 =
= −( 7 + 4 3 )
2(2 − 3 )
2(2 − 3 )
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2- 3 ; b’ = 3 ; c = – 2 – 3 )
x1 =

∆’ = ( 3 )2- (2- 3 )(– 2 – 3 ) = 4;

∆ =2
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
’

8

− 3+2
− 3−2
= 1 ; x2 =
= −(7 + 4 3 )
2− 3
2− 3
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2- 3 + 2 3 + (- 2 - 3 ) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x1 =

x1 = 1; x1 = −

−2− 3
= −(7 + 4 3 )
2− 3

*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (khơng nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng cơng thức và tính tốn
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x2 – 7x - 10 = 0
5. x2 – (1+ 2 )x + 2 = 0
2
2. x – 3x + 2 = 0
6. 3 x2 – (1- 3 )x – 1 = 0
3. x2 – 4x – 5 = 0
7.(2+ 3 )x2 - 2 3 x – 2 + 3 = 0
4. 3x2 – 2 3 x – 3 = 0

Bài 2:
Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x2 – 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆’ = (- 21)2- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400
b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8
d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m 2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0
2x
x2 − x + 8
=
b)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)
c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2
d) 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x + 2 )(x -

2 )(x + 3) = 0

⇔x=- 2;x= 2;x=-3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - 2 ; x =
b) Giải phương trình

2;x=-3

2x
x2 − x + 8
=
(2)
x + 1 ( x + 1)( x − 4)

Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + 8 ⇔ x2 – 7x – 8 = 0 (*)
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(khơng thoả mãn ĐK) ; x2 = 8
(thoả mãn ĐK)

9


Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3)
Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = 0
Đặt x2 = t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529. ⇒ ∆ = 23
− (−3) + 23 13
= (thoả mãn t ≥ 0) ;
Nên: t1 =
2.5

5
− (−3) − 23
= −2 (loại)
t2 =
2.5
13
13
13
Với t =
⇔ x2 =
⇔x= ±
5
5
5
13
; x2 =
5
d) Giải phương trình 3(x2+x) – 2 (x2+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x2+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t2 – 2t – 1 = 0
Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = −

13
5

Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t1 = 1; t2 = −

1
3

t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – 1 = 0

∆1 = 12 - 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x1 =

−1− 5
− 1+ 5
; x2 =
2
2

1
1
t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + 1 = 0 (*)
3
3
2
∆2 = 3 - 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vơ nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 =
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x3+3x2+3x+2 = 0
2. (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2
3. x4 – 5x2 + 4 = 0
4. 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = 0
5. x3 + 2 x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2
x
x +1
− 10.
=3
6.
x +1
x
Bài 4:

A=

− 1− 5
−1+ 5
; x2 =
2
2
7. (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0
2
1
1


8.  x +  − 4 x +  + 3 = 0
x
x


x+2
6
+3 =
9.
x−5
2− x

Cho phương trình x2 + 3 x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
1
1

+ ;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

C=

1
1
+ 2;
2
x2
x2

D = x13 + x23

Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x1 và x2 nên theo định lí Viet ta có:
x1 + x2 = − 3 ;
x1.x2 = − 5
A=

x + x2
1
1
− 3 1
+
= 1
=
=

15 ;
x2
x2
x1 .x 2
− 5 5

B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− 3 ) 2 − 2(− 5 ) = 3 + 2 5

10


C=

2
x12 + x 2 3 + 2 5 1
=
= (3 + 2 5 ) ;
2
x12 .x 2
(− 5 ) 2 5

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− 3 )[3 + 2 5 − (− 5 )] = −(3 3 + 3 15 )
* Bài tương tự:
Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2 .
Khơng giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A=
E=

1
1

+ ;
x2 x2

B = x12 + x22 ;

C=

1
1
+ 2;
2
x2
x2

D = x13 + x23

2
2
6 x12 + 10 x1 x 2 + 6 x 2
3 x12 + 5 x1 x 2 + 3 x 2
; F=
3
2
5 x1 x 2 + 5 x13 x 2
4 x1 x 2 + 4 x12 x 2

LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN
(Phương trình bậc hai chứa tham số)
Bài 1: (Bài tốn tổng quát)
Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) có:

1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ 0
2. Vô nghiệm ⇔ ∆ < 0
3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ ∆ = 0
4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > 0
5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔ ∆≥ 0 và P > 0
6. Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0
7. Hai nghiệm dương(lớn hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > 0 và P > 0
8. Hai nghiệm âm(nhỏ hơn 0) ⇔ ∆≥ 0; S < 0 và P > 0
9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ ∆≥ 0 và S = 0
10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ ∆≥ 0 và P = 1
11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S < 0
12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn
⇔ a.c < 0 và S > 0
−b
c
(ở đó: S = x1+ x2 =
; P = x1.x2 = )
a
a
* Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm ra điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động khi giải loại
tốn này
Bài 2: Giải phương trình (giải và biện luận): x2- 2x+k = 0 ( tham số k)
Giải
∆’ = (-1)2- 1.k = 1 – k
Nếu ∆’< 0 ⇔ 1- k < 0 ⇔ k > 1 ⇒ phương trình vơ nghiệm
Nếu ∆’= 0 ⇔ 1- k = 0 ⇔ k = 1 ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1
Nếu ∆’> 0 ⇔ 1- k > 0 ⇔ k < 1 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt
x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Kết luận:
Nếu k > 1 thì phương trình vơ nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1 − k ; x2 = 1+ 1 − k
Bài 3:

Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

11


a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm cịn lại(nếu có)?
Giải
3
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2
2
(1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
thì phương trình có nghiệm
3
3
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
(là nghiệm)
2
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆’ = 3m-2 = 0 ⇔ m = (thoả mãn m ≠ 1)
3
1
1
−
=−
=3
2
Khi đó x = m − 1
−1
3
3
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
2
với m =
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
3
c) Do phương trình có nghiệm x1 = 2 nên ta có:
3
(m-1)22 + 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
1
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0)
4
4
−3
−3

=
= 12 ⇒ x 2 = 6
1
Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − 1
−
4
3
Vậy m =
và nghiệm còn lại là x2 = 6
4
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài tốn trở nên phức tạp vàhọc
sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10.
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x1 qua x2
Giải
2

1  15

a) Ta có: ∆’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) =  m −  +
2
4


12

2

15
1

> 0 ⇒ ∆ > 0 với mọi m
Do  m −  ≥ 0 với mọi m;
4
2

⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0
2( m − 1) < 0
m < 1
⇔
⇔
⇔ m < −3
− (m + 3) > 0
m < −3
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)
Khi đó A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10

Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0
 m ≥ 0

 m ≥ 0
 m ≥ 3

3


m≥
2
 2 m − 3 ≥ 0 ⇔  
⇔
⇔
2

 m ≤ 0

m ≤ 0


m ≤ 0

3
 2 m − 3 ≤ 0

 m ≤
2

3

hoặc m ≤ 0
2
e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm
 x1 + x 2 = 2(m − 1)
 x + x 2 = 2m − 2
⇔ . 1
Theo định lí Viet ta có: 
 x1 .x 2 = −(m + 3)
2 x1 .x 2 = −2m − 6
Vậy m ≥

⇒ x1 + x2+2x1x2 = - 8
Vậy x1+x2+2x1x2+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m
8 + x2
f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - 8 ⇔ x1(1+2x2) = - ( 8 +x2) ⇔ x1 = −
1 + 2 x2
8 + x2
1 + 2 x2

1
( x2 ≠ − )
2
2
Bài 5: Cho phương trình: x + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1
1
1
c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 +
; y 2 = x2 +

với x1; x2 là nghiệm của phương trình ở
x2
x1
Vậy x1 = −

trên
Giải
a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
∆' ≥ 0
2 − m ≥ 0
m ≤ 2
⇔
⇔
⇔
⇔m=2
m − 1 = 1
m = 2
P = 1

13


Vậy m = 2
b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – 1 (2)
Theo bài: 3x1+2x2 = 1 (3)
 x1 + x2 = −2
 2 x1 + 2 x2 = −4  x1 = 5

 x1 = 5
⇔
⇔
⇔
Từ (1) và (3) ta có: 
3 x1 + 2 x2 = 1 3 x1 + 2 x2 = 1
 x1 + x2 = −2  x2 = −7
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – 1 (2)
+ y 2 = x1 + x2 +

Khi đó: y

1

y y = (x +
1

2

1

1
x

)( x +
2

2

1
x1
1
x

1

+

1
x2

= x1 + x2 +

)= xx +
1

2

1
xx
1

x1 + x2
x1 x2

+ 2 = m −1+
2

−2

= −2 +

m −1

1
m −1

+2=

=

2m
1− m

m

(m≠1)

2

m −1

(m≠1)

2m
m2
⇒ y1; y2 là nghiệm của phương trình: y .y +

= 0 (m≠1)
1− m
m −1
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính tốn và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10
3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0
a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn: 1 < x1 < x2 <6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x2 – 2mx + 2m – 1 = 0
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m.
b) Đặt A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
a) C/m A= 8m2 – 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x2 -2(m + 4)x + m2 – 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn:
a) A = x1 + x2 – 3x1x2 đạt giá trị lớn nhất.

b) B = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x1 , x2 khơng phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x2 – 4x – (m2 + 3m) = 0
2

14


a) C/m phương trình lng có 2 nghiệm x1, x2 với mọi m
b) Xác định m để: x12 + x22 = 4(x1 + x2)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y1 và y2 thoả mãn:
y1
y2
+
=3
y1 + y2 = x1 + x2 và
1 − y 2 1 − y1
7) Cho phương trình : x2 + ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn :
2

2

 x1 
x 
  + 2  >7
x 
x 
 2
 1
8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (1)

a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2:
* Tìm một hệ thức giữa x1, x2 độc lập đối với m
* Tìm m sao cho x1 − x 2 ≥ 2

Dạng 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thoả mãn

đẳng thức cho

trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m − 1 ) x + m 2 − 3 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình : x 2 − ( 2 m − 1 ) x − 4 m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình : ( 2 m − 1 ) x 2 − 2( m + 4 ) x + 5 m + 2 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
2
2
x 1 + x 2 = 2 x 1 x 2 + 16.

Bài 4: Tìm m để phương trình : ( m − 1 ) x 2 − 2 mx + m + 1 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
x1 x2 5
+
+ = 0.
x2 x1 2
Bài 5: Tìm m để phương trình : mx 2 − ( m − 4 ) x + 2 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn
2
2
2( x 1 + x 2 ) − 5 x 1 x 2 = 0.
2
2
Bài 6: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m − 2 ) x + m + 5 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 1 + x 2 = 10.

2
2
Bài 7: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m − 2 ) x − 2 m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 1 + x 2 = 8.
2
2
Bài 8: Tìm m để phương trình : x 2 − ( m + 3 ) x + 3m = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x 1 + x 2 = 10.

Bài 9: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m − 2 ) x − 4 m + 5 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn

x1 x2
+
= 1.
x2 x1

Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m + 2 ) x 2 − ( 2 m − 1 ) x + m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 =
2x2.
Bài 11: Tìm m để phương trình : x 2 − 2( m + 1 ) x + 4 m − 3 = 0. có 2 nghiệm x1,x2 thoả mãn 2x1 + x2 = 5.
DẠNG 6: lập

hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

Bài 1: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m + 2 ) x 2 − 2( m − 1 ) x + 3 − m = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2 − 2( m − 1 ) x + m − 3 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1,
x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m − 3 ) x 2 − 2( m − 1 ) x + m − 5 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.

15

Bài 4: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( 4 m − 3 ) x 2 − 3( m + 1 ) x + 2 m + 2 = 0.
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: x 2 − ( 2 m + 1 ) x + m 2 + m − 1 = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x1, x2 không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x1, x2 là nghiệm của phương trình: ( m − 1 ) x 2 − 2( m + 1 ) x + m = 0. Hãy lập hệ thức liên hệ giữa
x1, x2 không phụ thuộc vào m.

16


Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
A. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
Bớc 1 : Lập hệ phơng trình(phơng trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đà biết.
3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
Bớc 2 : Giải hệ phơng trình, (phơng trình)
Bớc 3 : Kết luận bài toán.
b. Bài toán:
Dạng toán qui về đơn vị
Bài tập 1:
Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy
trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trớc 4 h .
Giải
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1
1 giờ vòi đầu chảy đợc ( bể )
x

1
1 giờ vòi sau chảy đợc
( bể )
y
1
1
1 giờ hai vòi chảy đợc
+ ( bể )
(1)
y
x
15
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =
h
4
15 4
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:
=
( bể ) ( 2)
4 15
1
1
4
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
+ =
y 15
x
Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4 giờ tức là y x = 4
Vậy ta có hệ phơng tr×nh
1

1
4
+ =
y 15
x
y–x=4
 x = 6
(a)
 x = 6

1
4
1
4 x 2 − 14 x − 60 = 0
2 x 2 − 7 x − 30 = 0
=
 +

 y = 10
⇔ x x + 4 5 ⇔ 
⇔
⇔  x = −2,5 ⇔ 
 x = −2,5
y = x+4
y = x+4


y = x + 4
y = x + 4


(b )


 y = 1,5

Hệ (a) thoả mÃn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
Bài tập 2:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là
12h 30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả
công việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gäi thêi gian ngêi thø hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
1
Ta cã pt : x + y = 12
(1)
2

17


1
công
2x

thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc
việc

Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm đợc

1
công
2y

việc
1 giờ cả hai ngời làm đợc

1
1
1
1
công viƯc nªn ta cã pt :
+
=
6
2x 2 y 6

(2)

1

15
x = 5

 x + y = 12 2


x =

Tõ (1) vµ (2) ta cã hÖ pt : 
⇔
2
15 ∨ 
1 + 1 =1
y = 2 y = 5



 2x 2 y 6
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ
Bài tập 3:
Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ
1 làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x ≥ 4 )
Thêi gian mét m×nh tỉ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
1
Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc ( con ®êng )
x
1
Trong 1 giê tỉ 2 sưa ®ỵc
(con ®êng )
x+6
1
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc
(con đờng )
4
1
1

1
Vậy ta cã pt: +
=
⇔ 4( x + 6) + 4 x = x ( x + 6) ⇔ x 2 − 2 x − 24 = 0 ⇔ x1= 6; x2 = -4
x
x+6
4
X2 = - 4 < 4 , không thoả mÃn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài tập 4:
Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa
còn lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đà đà làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72
ngày xong cả đoạn đờng .Hỏi mỗi đội đà làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?
Giải
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )
1
Mỗi ngày đội 1 làm đợc
( đoạn đờng )
2x
1
Mỗi ngày đội 2 làm đợc
( đoạn đờng )
2( x + 30)
1
Mỗi ngày cả hai đội làm đợc
( đoạn đờng )
72
1
1

1
Vậy ta có pt :
+
=
2 x 2( x + 30) 72
Hay
x2 -42x – 1080 = 0
/ = 212 + 1080 = 1521 =>
/ = 39
x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mÃn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5:
Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40
ha , đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn
thành muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong mét thêi gian b»ng thêi gian

18


đội 2 đà làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đà làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng
nhau . Tính thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đà làm là x 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đà làm là x + 2 ( ngày )
40
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
(ha)
x2
90

Mỗi ngày đội 2 trồng đợc
(ha)
x+2
40
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc
(x + 2) (ha)
x2
90
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc
(x - 2) (ha)
x+2
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta có pt:
40
90
(x + 2) =
(x - 2)
x−2
x+2
Hay
5x2 – 52x + 20 = 0
/ = 262 – 5.20 = 576 ,
/ = 24
26 + 24
26 − 24 2
= 10 ; x2 =
=
5
5
5
x2 < 2 , kh«ng thoả mÃn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .

Bài 6:(197/24 500 BT chọn lọc )
Hai ngời thợ cùng làm một công viƯc trong 16 giê th× xong . NÕu ngêi thø nhÊt lµm trong 3 giê vµ ngêi
thø hai lµm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì
xong .
Giải:
Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 , y > 0 )
1 1 1
 x + y = 16
 x = 24

Ta cã hÖ pt 
⇔
 y = 28
3 + 6 = 1
x y 4

Bµi 7 : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc )
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2
x1 =

giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc

2
bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?
5

Giải :
Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )
1 1 1
3 3 1

x + y = 6
x + y = 2
 x = 10


Ta cã hÖ pt 
⇔
⇔
 y = 15
2 + 3 = 2
2 + 3 = 2
x y 5
x y 5


x = 10 , y = 15 thoả mÃn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một
mình mất 15 giờ .
Bài tËp 8 ( 199/24 – 500 BT chän läc )
Hai ngời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau đợc 8 giờ thì ngời thứ nhất
nghỉ , còn ngời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đà làm
xong công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi ngời thợ làm một mình với năng suất dự định
ban đầu thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?
( Đề thi chuyên toán vòng 1 tỉnh Khánh hoà năm 2000 2001 )
Giải:
Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự
định ban đầu .

19

1
(công việc )
x
1
Một giờ ngời thứ hai làm đợc (công việc )
y
1
Một giờ cả hai ngời làm đợc
(công việc )
12
1
1
1
Nên ta cã pt :
+ =
(1)
y 12
x
1 2
trong 8 giê hai ngời làm đợc 8.
= (công việc )
12 3
2 1
Công việc còn lại là 1 - = ( công việc )
3 3
1 2
Năng suất của ngời thứ hai khi làm một mình là 2. = (Công việc )
y y
10
Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc còn lại là

(giờ) nªn ta cã pt
3
1 2 10
y 10
: =
hay =
(2)
3 y
3
6
3
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt :
Mét giê ngêi thứ nhất làm đợc

1
1
1
+ =
y 12
x



x = 30

y = 20

y 10
=
6

3
Vậy theo dự định ngời thứ nhất làm xong công việc hết 30giờ và ngời thứ hai hết 20 giờ .
Bài tập 9: ( 400 bai tập toán 9 )
Hai ngời A và B làm xong công việc trông 72 giờ , còn ngời A và C làm xong công việc trong đó trong
63 giờ và ngơoì B và C làm xong công việc ấy trong 56 giờ . Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì trong
bao lâu thì trong bao lâu sẽ làm xong công việc >Nếu ba ngời cùng làm sẽ hoàn thành công việc trong
mấy giờ ?
Giải :
Gọi ngời A một mình làm xong công việc trong x (giờ ), x > 0 thì mỗi giờ làm đợc
B một mình làm xong công việc trong y (giờ ), y > 0 thì mỗi giờ làm đợc
mình làm xong công việc trong z (giờ ), z > 0 thì mỗi giờ làm đợc

1
( công việc)Ngời C mét
y

1
( c«ng viƯc)
z

1 1 1
504

 x + y = 72
 x = 3 = 168


504
1 1 1


Ta cã hpt :  + =
⇔ y =
= 126
4
 x z 63

504
5
1 1 1

 y + z = 56
 z = 5 = 100 4


1 1 1
12
+ + =
( c«ng viƯc )
x y z 504
504
Vậy cả ba ngòi cùng làm sẽ hoàn thµnh cong viƯc trong
= 42 (giê )
12
Bµi tËp 10: ( 258 /96 nâng cao và chuyên đề )
Nếu cả ba ngời cùng làm yhì mỗi giờ làm đợc

20

1
( công viÖc).Ngêi

x


Hai đội công nhân cùng làm chung một công việc . Thời gian để đội I làm một mình xong công việc ít
hơn thời gian để đội II làm một mình xong công việc đó là 4 giờ . Tổng thời gian này gấp 4,5 lần thời
gian hai đội cùng làm chung để xong công việc đó . Hỏi mỗi đội làm một mình thì phải bao lâu mới
xong .
Giải :
Gọi thời gian đội I làm một mình xong công viƯc lµ x giê ( x > 0 )
Suy ra thời gian đội II làm một mình xong công việc lµ x + 4 giê
1
1
2x + 4
=
Trong 1 giê hai đội làm chung đợc : +
( công việc )
x x + 4 x ( x + 4)
x( x + 4)
Thêi gian để hai đội làm chung xong công việc là
(giờ)
2x + 4
x( x + 4)
VËy ta cã pt : 2x + 4 = 4,5 .
hay x2 + 4x – 32 = 0  x1 = - 8 ( lo¹i ) x2 = 4 ( thoả mÃn điều
2x + 4
kiện của ẩn ).
Vậy Đội I làm một mình xong công việc hết 4 giờ , đội hai hết 8 giờ .
Bài 2 : Một ô tô và một xe đạp chuyển ®éng ®i tõ hai ®Çu mét qu·ng ®êng, sau 3 giờ thì hai xe gặp
nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một địa điểm, sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc
xe đạp và ô tô.

HD : Gọi vận tốc xe đạp là x (km/h), vận tốc của ô tô là y (km/h).
3 x + 3 y = 156
 x = 12
⇔
ta cã hÖ phơng trình :
y x = 28
y = 40
Vậy vận tốc xe đạp là 12 (km/h), vận tốc của ô tô là 40 (km/h).
Bài 3 : Một ô tô dự định đi từ A đến B trong một thời gian nhất định. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h
thì sẽ đến chậm 2 giờ so với dự định. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B sớm hơn 1 giờ so với
dự định. Tính quÃng đờng AB và thời gian dự định ®i tõ A ®Õn B.
HD : Gäi qu·ng ®êng AB là x(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là y (giờ).
(x > 0 ; y > 1).
x
 35 − 2 = y
 x = 350

⇒
Ta có hệ phơng trình :
y = 8
y x = 1

50

Vậy quÃng đờng AB là 350(km), thời gian ô tô dự định đi từ A đến B là 8 (giờ).
Bài 4 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85 km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút
thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô, biết rằng vận tốc ca nô đi xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô
đi ngợc dòng là 9 km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
HD : Gọi vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là x(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là y (km/h) (x,y >
3)

x + 3 − ( y − 3) = 9
 x = 27


Theo bài ra ta có phơng trình : 5
5
 3 ( x + 3) + 3 ( y − 3) = 85  y = 24

VËy vËn tèc thật của ca nô đi xuôi dòng là 27(km/h), vận tốc ca nô đi ngợc dòng là 24 (km/h)

21


Bài 5 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc trong 16 ngày thì xong. Nếu đội thứ nhất làm 3 ngày,
đội thứ hai làm trong 6 ngày thì hoàn thành đợc

1
công việc. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi đội hoàn
4

thành công việc đó trong bao lâu ?
HD : Gọi thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là x ( ngày). Thời gian đội thứ hai hoàn
thành công việc một mình là y ( ngµy).
1 1 1
 x + y = 16
 x = 24

. Vậy thời gian đội thứ nhất hoàn thành công việc một mình là 24 ( ngày).

y = 48
3 + 6 = 1
x y 4

Thêi gian ®éi thø hai hoàn thành công việc một mình là 48 ( ngày).
Bài 6 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 1 giờ 20 phút đầy bể. NÕu më vßi thø nhÊt trong
10 phót, vßi thø hai trong 12 phút thì đợc

2
bể nớc. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi chảy trong bao
15

lâu đầy bể ?
HD : Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x (phút), thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là y
(phút).
80 80
x + y =1
x = 120

. Vậy thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là 120 (phút), thời gian vòi 2


10 12 2
y = 240

+
=
x
y 15

chảy một mình đầy bể là 240 (phút).

Bài 7 : Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn hơn chiều dài 45 m. TÝnh diƯn tÝch thưa rng,
biÕt r»ng nÕu chiỊu dµi giảm đi 2 lần và chiều rộng tăng lên 3 lần thì chu vi thửa ruộng không thay đổi.
HD : Gäi chiỊu réng cđa thưa rng lµ x (m), chiỊu dµi cđa thưa rng lµ y (m). ( x> 0, y > 0).
 y − x = 45
 x = 15

⇒
⇒ DiƯn tÝch cđa thưa rng lµ : 900 m2.
y ⇒
2( x + y ) = 2(3 x + 2 ) y = 60

Bài 8 : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng các chữ số của nó bằng 11, nếu đổi chỗ hai chữ số
hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó tăng thêm 27 đơn vị.
HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số là ab ( 0 < a ≤ 9,0 ≤ b ≤ 9 ).
a + b = 11
a = 4
. Vậy số cần tìm là 47.


ba ab = 27 b = 7
C. Bµi tËp lun tËp:
Bµi 1 : Một ô tô đi từ tỉnh A đến tỉnh B với một vận tốc đà định. nếu vận tốc tăng thêm 20 km/h thì thời
gian giảm đi 1 giờ, nếu vận tốc giảm bớt đi 10 km/h thì thời gian tăng lên 1 giờ. Tính vận tốc và thời
gian dự định của ô tô.

22

Bài 2 : Hai ngời ở hai địa điểm A và B cách nhau 3,6 km, khởi hành cùng một lúc , đi ngợc chiều nhau
và gặp nhau tại một địa điểm cách A 2 km. Nếu cả hai cùng giữ nguyên vận tốc, nhng ngời đi chậm hơn
xuất phát trớc ngời kia 6 phút thì họ sễ gặp nhau ở chính giữa quÃng đờng. Tính vận tốc của mỗi ngời.
Bài 3 : QuÃng đờng AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km và một đoạn xuống dốc dài 5km. Một ngời đi
xe đạp từ A đến B hết 40 phót, tõ B vỊ A hÕt 41 phót ( vËn tốc lên dốc và xuống dốc lúc đi và lúc về nh
nhau). Tính vận tốc lúc lên dốc và vận tốc lúc xuống dốc.
Bài 4 : Hai đội lao động nếu cùng làm chung thì sau 4 ngày sễ hoàn thành công việc. nhng lúc đầu, đội
một làm đợc 9 ngày thì đội hai mới tới và hai đội làm một ngày nữa thì công việc mới hoàn thành. Hỏi
mỗi đội làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc ?
Bài 5 : Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 30 phút sẽ đày bể. Nếu từng vòi chảy riêng
thì vòi I chảy trong 3 giờ băng nớc vòi II chảy vào bể trong 2 giờ. Hỏi nếu chảy một mình thì mỗi vòi
chảy trong bao lâu đầy bể ?
Bài 6 : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là 3 đơn vị. Nếu
đổi hai chữ số hàng chục và hàng đơn vị cho nhau thì nó giảm 27 đơn vị.
Bài 7: Cho một hình chữ nhật. Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên 5 m thì diện tích tăng
500 m2. Nếu giảm chiều dài 15 m và giảm chiều rộng 9 m thì diện tích giảm 600 m 2. Tính chiều dài,
chiều rộng ban đầu.
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1 : Hai ca nô cùng khởi hành từ A đến B cách nhau 85km và đi ngợc chiều nhau. Sau 1 giờ 40 phút
thì gặp nhau. Tính vận tốc thật của mỗi ca nô (vận tốc ca nô khi nớc yên lặng và không đổi) biết rằng
vận tốc ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc ca nô ngợc dòng là 9km/h và vận tốc dòng nớc là 3km/h.
HD : Gọi x (km/h) là vận tốc của ca nô đi xuôi dòng, x > 0.
5
5
x + (x – 9) = 85 ⇒ x = 30. Vậy vận tốc thật của ca nô đi xuôi dòng là : 27 km/h. Vận tốc thật
3
3
của ca nô đi ngợc dòng là 24km/h.

Bài 2 : Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 45 km. Một ca nô đi từ A đến B nghỉ ở B 30 phót råi
quay trë l¹i A. Thêi gian kĨ tõ lúc đi đến lúc trở về đến bến A là 4 giê 30 phót. TÝnh vËn tèc ca n« khi n ớc yên lặng, biết vận tốc của dòng nớc lµ 6 km/h.
HD : Gäi x(km/h) lµ vËn tèc cđa ca nô khi nớc yên lặng (x > 6).
45
45
1
1
+
+ = 4 ⇒ 2 x 2 − 45 x − 72 = 0 , phơng trình chỉ có nghiệm x = 24
x−6 x+6 2
2
(TM). VËy vËn tèc cđa ca n« khi dòng nớc yên lặng là 24 km/h.
Ta có phơng trình :

Bài 3 : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm trong một thời gian nhất định. Khi làm mối giờ thêm 2 sản
phẩm nên ngời đó đà làm xong trớc dự định 1 giờ mà còn làm thêm 6 sản phẩm nữa. Hỏi ngời đó dự
định mỗi giờ làm đợc bao nhiêu sản phẩm ?
HD : Gọi x là số sản phẩm ngời đó dự định làm trong một giê ( x > 0)
120 126
−
= 1 ⇒ x 2 + 8 x 240 = 0 , phơng trình chỉ có nghiệm x = 12 (TM). Vậy dự định mỗi giờ
x
x+2
làm đợc 12 sản phẩm.


Bi 4: Hai đội cùng đào một con mơng. Nếu mỗi đội làm một mình cả con mơng thì thời gian tổng cộng
hai đội phải làm là 25 giờ. Nếu hai đội cùng làm chung thì công việc hoàn thành trong 6 giờ. Tính xem
mỗi đội làm một mình xong cả con mơng trong bao l©u?

23


HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là x (giờ). 25 > x > 0. Thời gian đội hai hoàn
thành công việc một mình trong 25 – x ngµy.
1
1
1
+
= ⇒ x 2 − 25 x + 150 = 0 ⇒ x1 = 10; x 2 = 15 . Thời gian đội I hoàn thành công việc một
x 25 x 6
mình là 10 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ).


Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc một mình là 15 (giờ). Thời gian đội II hoàn thành công việc
một mình là 10 (giờ).
Bài 5: Nếu hai vòi nớc cùng chảy vào một bể cạn thì sau 2 giờ 55 phút đầy bể. Nếu mở riêng từng vòi
thì vòi thứ nhất làm đầy nhanh hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Nếu mở riêng từng vòi thì mỗi vòi chảy bao lâu
đầy bể?
HD: Gọi x ( giờ) là thời gian vòi I chảy một mình đầy bể thì x + 2 ( giờ) là thời gian vòi II chảy một
mình đầy bể. Ta có phơng trình:

1
1
12
+
=
6 x 2 − 23x − 35 = 0 .
x x + 2 35

Bài 6: Trong một phòng họp có 80 ngời, đợc sắp xếp ngồi đều trên các ghế. Nếu ta bớt đi 2 dÃy ghế thì
mỗi dÃy ghế còn lại phải xếp thêm 2 ngời mới đủ chỗ. Hỏi lúc đầu có mấy dÃy ghế và mỗi dÃy đợc xếp
bao nhiêu chỗ ngồi?
HD: Gọi x là số dÃy ghế trong phòng họp, x N*, thì chỗ ngồi trên một dÃy là

+ Nếu bớt đi hai ghế thì số chỗ ngồi trên mỗi dÃy là :

80
.
x

80
.
x2

80
80
= 2 x1 = 9; x2 = - 8. VËy sè d·y ghÕ trong phòng họp là
x2
x
10 dÃy, mỗi dÃy đợc xếp 8 chỗ ngồi.
+ Theo bài ra ta có phơng trình:

C. Bài tập luyện tập:
Bài 1 : QuÃng sông từ A đến B dài 36 km. Một ca nô xuôi dòng từ A đến B rồi ng ợc dòng từ B trở về A
hÕt tỉng céng 5 giê. TÝnh vËn tèc thùc cđa ca nô biết vận tốc dòng nớc là 3 km/h.
Bài 2 : Lúc 7 giờ một ô tô đi từ A ®Õn B. Lóc 7 giê 30 phót mét xe máy đi từ B đến A với vận tốc kém
hơn vận tốc ô tô là 24 km/h. Ô tô đến B đợc 1 giờ 20 phút thì xe máy mới đến A. Tính vận tốc của mỗi
xe, biết quÃng đờng AB dµi 120 km.
Bµi 3: Mét chiÕc thun khëi hµnh từ bến sông A . Sau đó 5 giờ 20 phút một chiếc ca nô chạy từ bến

sông A đuổi theo và gặp chiếc thuyền tại một điểm cách bến A 20 Km. Hái vËn tèc cđa thun , biÕt
r»ng ca nô chạy nhanh hơn thuyền 12 Km/h.
Bài 4 : Một ôtô chuyển động đều với vận tốc đà định ®Ĩ ®i hÕt qu·ng ®êng dµi 120 km trong mét thời
gian đà định . Đi đợc một nửa quÃng đờng xe nghỉ 3 phút nên để đến nơi đúng giờ , xe phải tăng vận tốc
thêm 2 Km/h trên nửa quÃng đờng còn lại . Tính thời gian xe lăn bánh trên đờng .
Bài 5 : Một ôtô dự định ®i tõ A ®Ðn B c¸ch nhau 120 Km trong một thời gian quy định . Sau khi đi đợc
1 giờ ôtô bị chắn đờng bởi xe hoả 10 phút . Do đó , để đến B đúng hạn , xe phải tăng vận tốc thêm 6
Km/h . Tính vận tốc lúc đầu của ôtô.
Bài 6 : Một đôi công nhân dự định hoàn thành công việc với 500 ngày công thợ. HÃy tín số ngời của
đội, biết rằng nếu bổ sung thêm 5 công nhân thì số ngày hoàn thành công việc giảm 5 ngày.
Bài 7 : Hai đội công nhân cùng làm một công việc thì làm xong trong 4 giờ . Nếu mỗi đội làm một mình
để làm xong công việc ấy , thì đội thứ nhất cần thời gian ít hơn so với đội thứ hai là 6 giờ . Hỏi mỗi đội
làm một mình xong công việc ấy trong bao lâu?

24


Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 tấn hàng . Trớc khi làm việc đội xe đó đợc bổ xung thêm 3 xe nữa
nên mỗi xe chở ít hơn 1 tấn so với dự định . Hỏi đội xe lúc đầu có bao nhiêu xe ? Biết rằng số hàng chở
trên tất cả các xe có khối lợng bằng nhau.
Bài 9: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không chứa nớc đà làm đầy bể trong 5 giờ 50 phút . Nếu
chảy riêng thì vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất là 4 giờ . Hỏi nếu chảy riêng thì mỗi vòi
chảy trong bao lâu sẽ đầy bể ?
Bài 10: Hai vòi nớc cùng chảy vào một cái bể không có nớc và chảy đầy bể mất 1 giờ 48 phút . Nếu
chảy riêng , vòi thứ nhất chảy đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai trong 1 giờ 30 phút . Hỏi nếu chảy riêng thì
mỗi vòi sẽ chảy đầy bể trong bao l©u ?

25