không gian vectơ

Chương 3
KHÔNG GIAN VECTƠ R
n
$1. Các khái niệm cơ bản
$2. Độc lập tuyến tính–Phụ thuộc tuyến tính
$3. Không gian con
$4. Cơ sở của không gian con
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.1 Đònh nghóa 1 :
1). Một bộ n số thực có thứ tự x
1
, x
2
, . . .,
x
n
, được gọi là một vectơ n chiều :
u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) là vectơ dòng
hoặc là vectơ cột















=
n
x
x
x
u

2
1
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
trong đó x
1
được gọi là thành phần thứ nhất
x
2
được gọi là thành phần thứ hai
. . .
x
n
được gọi là thành phần thứ n
Ví dụ :
u = (1, 3, 0) là vectơ 3 chiều

v = (2, 0, 1, 4) là vectơ 4 chiều
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
2). Một vectơ có tất cả các thành phần
đều bằng 0, gọi là vectơ không, ký hiệu θ.
Ví dụ :
θ = (0, 0, 0) là vectơ không 3 chiều
θ = (0, 0, 0, 0) là vectơ không 4 chiều
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.2 Đònh nghóa 2 :
1). Tổng của hai vectơ n chiều :

Là một vectơ n chiều

Có các thành phần bằng tổng các thành
phần tương ứng của hai vectơ đã cho.
Với u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
)
và v = (y
1
, y
2
, . . . , y
n
)
thì u + v = (x

1
+ y
1
, x
2
+ y
2
, . . . , x
n
+ y
n
)
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
2). Tích của một số thực với một vectơ n
chiều :

Là một vectơ n chiều

Có các thành phần bằng tích của số
thực đó với các thành phần tương ứng
của vectơ đã cho.
Với u = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) và λ ∈ R thì :
λu = (λx
1

, λx
2
, . . . , λx
n
)
$1. CÁC KHÁI NI M C B N :Ệ Ơ Ả
1.3 Đònh nghóa 3 :
Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, với
hai phép toán trên, được gọi là không gian
vectơ n chiều và được ký hiệu là R
n
.
$2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ
THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế
2.1 Ñònh nghóa :
Cho heä vectô n chieàu u
1
, u
2
, . . ., u
m
.
Xeùt phöông trình :
x
1
u
1
+ x
2
u

2
+ . . . + x
m
u
m
= θ (1)
$2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ
THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế
1). Nếu (1) chỉ có nghiệm tầm thường :
x
1
= x
2
= . . . = x
m
= 0
thì ta nói u
1
, u
2
, . . ., u
m
độc lập tuyến tính.
2). Ngược lại, nếu (1) có nghiệm
không tầm thường thì ta nói u
1
, u
2
, . . ., u
m

phụ thuộc tuyến tính.
$2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ
THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế
2.2 Các ví dụ :
Ví dụ 1 :
Trong không gian R
3
, cho các vectơ :
u
1
= (2, 1, 1);
u
2
= (1, –1, 0);
u
3
= (7, –1, 2)
Xét xem các vectơ u
1
, u
2
, u
3
có độc lập
tuyến tính hay không?
$2. C L P TUY N TÍNH – PH ĐỘ Ậ Ế Ụ
THU C TUY N TÍNH :Ộ Ế
Ví dụ 2 :
Trong không gian R

3
, cho các vectơ :
u
1
= (m, 1, 1);
u
2
= (1, m, 1);
u
3
= (1, 1, m); với m ∈ R
Hãy xác đònh m sao cho u
1
, u
2
, u
3
độc lập
tuyến tính.
BÀI T P : Khơng gian vectẬ ơ
Bài 3.1 : Hệ vectơ sau độc lập tuyến
tính hay phụ thuộc tuyến tính :
1). u
1
= (1, 2, 1);
u
2
= (4, 7, 2);
u
3

= (–2, 1, 1)
2). u
1
= (1, –2, 1);
u
2
= (2, 0, 4);
u
3
= (2, –2, 3)
BÀI T P : Không gian vectẬ ơ
3). u
1
= (1, 3, –1, 0);
u
2
= (2, 1, 1, –1);
u
3
= (–1, –8, 4, –1)
4). u
1
= (2, 1, 1, 2);
u
2
= (1, –1, 0, 1);
u
3
= (7, –1, 2, 7)
$3. KHƠNG GIAN CON :

3.1 Đònh nghóa 1 :
Cho W ⊂ R
n
và W ≠ ∅.
Tập hợp W được gọi là không gian
con của R
n
, nếu :
∀u, v ∈ W và ∀λ ∈ R



∈
∈+
⇒
Wu
Wvu
λ
$3. KHƠNG GIAN CON :
Ví dụ :
Cho tập hợp :
W = {u = (x
1
, x
2
, 0) / x
1
, x
2
∈ R}

Chứng minh rằng W là không gian con
của R
3
.
3.2 Đònh nghóa 2 :
Cho hệ vectơ n chiều u
1
, u
2
, . . . , u
m
.
Mỗi vectơ u có dạng :
u = λ
1
u
1
+ λ
2
u
2
+ . . . + λ
m
u
m
với λ
1
,

λ

2
, . . . ,λ
m
∈ R
được gọi là một tổ hợp tuyến tính của các
vectơ u
1
, u
2
, . . . , u
m
.
$3. KHƠNG GIAN CON :
* Ghi nhớ :
Vectơ u là tổ hợp tuyến tính của các
vectơ :
u
1
, u
2
, . . ., u
m
khi và chỉ khi phương trình sau có nghiệm :
x
1
u
1
+ x
2
u

2
+ . . . + x
m
u
m
= u
$3. KHƠNG GIAN CON :
Ví duï :
Trong khoâng gian R
4
cho caùc vectô :
u
1
= (1, 1, 1, 1)
u
2
= (2, 3, –1, 0)
u
3
= (–1, –1, 1, 1)
$3. KHÔNG GIAN CON :
1). Xét xem u = (3, 1, 3, 2) có là tổ
hợp tuyến tính của u
1
, u
2
, u
3
hay không?
2). Tìm điều kiện để vectơ

v = (α
1
, α
2
, α
3
, α
4
) là một tổ hợp tuyến tính
của u
1
, u
2
, u
3
.
$3. KHƠNG GIAN CON :
$3. KHƠNG GIAN CON :
3.3 Đònh lý :
Cho hệ vectơ n chiều u
1
, u
2
, . . ., u
m
∈ R
n
.
Gọi W là tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến
tính của u

1
, u
2
, . . ., u
m
, tức là :
W = {u = λ
1
u
1
+λ
2
u
2
+ +λ
m
u
m
,
với λ
1
,λ
2
, ,λ
m
∈R}
$3. KHƠNG GIAN CON :
Khi đó W là một không gian con của R
n
,

gọi là không gian con sinh bởi u
1
, u
2
, . . ., u
m
.
Ký hiệu :
W = <u
1
, u
2
, . . ., u
m
>
Ta cũng nói S = {u
1
, u
2
, . . ., u
m
} là tập
hợp sinh của W.
$3. KHƠNG GIAN CON :
Ví dụ :
Trong không gian R
4
cho các vectơ :
u
1

= (1, 2, 1, 1);
u
2
= (2, 1, 3, 1);
u
3
= (–1, 1, –2, 0);
u = (3, 3, 4, m).
Gọi V = <u
1
, u
2
, u
3
>.
Với giá trò nào của m thì u ∈ V?
BÀI TẬP : Không gian con
Baøi 3.2 : Cho u
1
= (1, 2, –1);
u
2
= (1, 1, 2);
u = (1, –1, 1)
vaø v = (3, 4, 3).
1). Chöùng minh : u ∉ <u
1
, u
2
>.

2). Chöùng minh : v ∈ <u
1
, u
2
>.
$4. C S C A KHƠNG GIAN CON :Ơ Ở Ủ
4.1 Đònh nghóa :
Cho W là không gian con của R
n
.
Hệ vectơ { u
1
, u
2
, . . ., u
m
} trong W
được gọi là một cơ sở của W, nếu :
1). Hệ vectơ { u
1
, u
2
, . . ., u
m
} độc lập
tuyến tính.
2). Mọi vectơ của W đều là tổ hợp
tuyến tính của u
1
, u

2
, . . ., u
m
.
$4. C S C A KHƠNG GIAN CON :Ơ Ở Ủ
4.2 Đònh lý 1 :
Mọi cơ sở của không gian con đều có
cùng một số vectơ.
Số vectơ trong 1 cơ sở của không gian
con W, được gọi là số chiều của W.
Ký hiệu : dimW.