hàm số - giới hạn - liên tục

Chương 4
HÀM SỐ – GIỚI HẠN – LIÊN TỤC
$1. Các hàm số sơ cấp cơ bản
$2. Giới hạn của hàm số
$3. Hàm số liên tục
$1. CC HM S S C P C B N :
1). Haứm soỏ luừy thửứa y = x

,



R
2). Haứm soỏ muừ y = a
x
, a > 0 vaứ a

1
( a goùi laứ cụ soỏ )
$1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả
3). Hàm số logarit y = log
a
x , a > 0 và a
≠
1 :
( a gọi là cơ số )

Là hàm ngược của hàm số mũ y = a
x
.


y = log
a
x ⇔ x = a
y
, với x > 0 và y ∈ R.

, ∀x > 0.
x
a
ax
log
=
$1. CC HM S S C P C B N :
4). Caực haứm lửụùng giaực :
a). Haứm soỏ y = sinx
b). Haứm soỏ y = cosx
c). Haứm soỏ y = tgx
d). Haứm soỏ y = cotgx
$1. CC HM S S C P C B N :
5). Caực haứm lửụùng giaực ngửụùc :
a). Haứm soỏ y = arcsinx :
Ta coự :
b). Haứm soỏ y = arccosx :
Ta coự :

=

22
sin

y
yx




=
11
arccos
x
xy




=
11
arcsin
x
xy




=

y
yx
0
cos
$1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả
c). Haøm soá y = arctgx :
Ta coù :
d). Haøm soá y = arccotgx :
Ta coù :
gxarcy cot=
arctgxy =





<<−
=
⇔
22
ππ
y
tgyx



<<
=

⇔
π
y
gyx
0
cot
$1. CÁC HÀM S S C P C B N :Ố Ơ Ấ Ơ Ả
* Ghi nhớ :
Hàm số có được từ các hàm số sơ cấp
cơ bản, bằng cách thực hiện một số hữu
hạn các phép toán cộng, trừ, nhân, chia
và phép lấy hàm hợp là hàm số sơ cấp.
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
2.1 Giới hạn của hàm số tại 1 điểm :
1). Đònh nghóa 1 :
Cho hàm số f(x) xác đònh trong 1 lân
cận của x
0
(có thể trừ điểm x
0
).
Số thực a được gọi là giới hạn của hàm
số f(x) khi x
→
x
0
, nếu :

∀ε
> 0,

∃δ
> 0 : 0 <
|
x – x
0

|
<
δ

⇒

|
f(x) – a
|
<
ε
Ký hiệu :
axf
xx
=
→
)(lim
0
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
2). Đònh nghóa 2 :

Nếu khi x
→
x

0
từ bên trái (tức x < x
0
),
ta có giới hạn trái :
Ký hiệu :

Nếu khi x
→
x
0
từ bên phải (tức x > x
0
),
ta có giới hạn phải :
Ký hiệu :
axf
xx
=
−
→
)(lim
0
axf
xx
=
+
→
)(lim
0

$2. GI I H N C A HM S :
3). ẹũnh lyự :
Vớ duù :
Cho haứm soỏ :
Tỡm



<
+
=
0 x neỏu ,
0 x neỏu ,
3
12
)(
x
x
xf
)(lim
0
xf
x
axf
xx
=

)(lim
0
)(lim

0
xf
xx
+


axf
xx
==


)(lim
0
$2. GI I H N C A HM S :
2.2 Caực giụựi haùn cụ baỷn :
1
sin
lim
0
=

x
x
x
1).
1lim
0
=

x

tgx
x
2
1cos1
lim
2
0
=


x
x
x
1
arcsin
lim
0
=

x
x
x
2).
1lim
0
=

x
arctgx
x

$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố

1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
4).
ln
1
lim
0
a
x
a
x
x
=
−
→
1a0 vôùi , ≠<=
+
→
ax

x
a
x
ln
1
)1(log
lim
0
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
3).
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố

e
x
x
x
=







+
∞→
1
1lim 5).
( )
R∈=
−+
→
αα
α
vôùi ; 6).
x
x
x
11
lim
0
( )
ex
x
x
=+
→
1
1lim
0
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
* Ghi nhớ :

Trong một số giới hạn trên, ta có thể
thay x bởi
α
(x) sao cho
α
(x)
→
0 khi x
→
x
0
.
Chẳng hạn :
với
α
(x)
→
0 khi x
→
x
0
( )
1
)(
)(sin
lim
0
=
→
x

x
xx
α
α
$2. GI I H N C A HÀM S :Ớ Ạ Ủ Ố
Ví duï 1 : Tìm
Ví duï 2 : Tìm
)41ln(
1
lim
2
0
x
e
x
x
−
−
→
2
0
cos
lim
2
x
xe
x
x
−
→

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
* Một số phương pháp khử dạng vô đònh :
Ta thường gặp các dạng vô đònh như
sau :
Khi g p một gi i h n có d ng vô đ nh,ặ ớ ạ ạ ị
ta cần biến đổi để khử dạng vô đònh.
,
∞
∞
,
0
0
, ∞−∞
, ∞.0
,
0
∞
∞
1
,
0
0
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
1). Tìm trong đó P(x) và Q(x) là
hai đa thức theo x :
Ta chia P(x) và Q(x) cho x
k
, với k là
bậc của Q(x).
Cũng có thể áp dụng cho trường hợp

trong phân thức có chứa dấu căn.
)(
)(
lim
xQ
xP
x ∞→
) dạng (
∞
∞
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
Baøi 2.1 : Tìm giôùi haïn :
12
1
lim).1
23
23
+−
+++
∞→
xx
xxx
x

18
1
lim).2
23
4
+++

++
∞→
xxx
xx
x

2
110
lim).3
45
4
+++
++
∞→
xxx
xx
x

1
lim).4
+
++
+∞→
x
xxx
x

BI T P : Gi i h n c a hm s
2). Tỡm trong ủoự P(a) = Q(a) =
0 :

Ta phaõn tớch P(x) vaứ Q(x) thaứnh nhaõn
tửỷ, trong ủoự coự nhaõn tửỷ chung laứ x a.
)(
)(
lim
xQ
xP
ax
) daùng (
0
0
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
Baøi 2.2 : Tìm giôùi haïn :
6
23
lim).3
2
23
2
−−
++
−→
xx
xxx
x

34
1
lim).1
2

2
1
+−
−
→
xx
x
x

12
1
lim).2
2
2
1
−−
−
→
xx
x
x

103
202
2
)1612(
)2(
lim).4
+−
−−

→
xx
xx
x

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
3). Khi gặp biểu thức có chứa dấu căn,
ta có thể nhân với lượng liên hợp để khử
căn, đồng thời cũng khử được dạng vô
đònh hoặc có thể sử dụng công thức (6) :
) hoặc dạng ( ∞−∞
0
0
Baøi 2.3 : Tìm giôùi haïn :
1
1
lim).1
2
1
−
−
→
x
x
x

1
1
lim).2
2

3
1
−
−
→
x
x
x

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
2
0
cos1
lim).3
x
x
x
−
→

2
321
lim).4
4
−
−+
→
x
x
x

Baøi 2.4 : Tìm giôùi haïn :






−−+
+∞→
xxxx
x
22
lim).1






−−
+∞→
xxx
x
2lim).2
2

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố







+−−
+∞→
3
23
43lim).3 xxx
x







−++
+∞→
xxxx
x
lim).4
BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
4). Khi gặp giới hạn có dạng vô đònh 1
∞
thì ta biến đổi để đưa về dạng công thức
(5) hoặc sử dụng công thức sau :
(7)
trong đó, khi x
→

x
0
thì u(x)
→
1
và v(x)
→

∞
[ ]
)(.1)(lim
)(
0
0
)(lim
xvxu
xv
xx
xx
exu
−
→
→
=
Baøi 2.5 : Tìm giôùi haïn :
( )
xg
x
x
π

π
cot
1
sin1lim).1 +
→

( )
x
x
x
1
coslim).2
0→

BÀI T P : Gi i h n c a hàm sẬ ớ ạ ủ ố
1
1
2
2
2
1
1
lim).3
−
+
±∞→









+
−
x
x
x
x
x

x
x
x
tgx
sin
1
0
sin1
1
lim).4






+
+

→