luyện thi vào 10 cực hay có hướng dẫn bài mẫu

Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Chơng trình ôn thi vào lớp 10
Năm học: 2010-2011
Chuyên đề i: căn thức bậc hai- bậc ba
Các phép biến đổi căn thức bậc hai- bậc ba
A. Những công thức biến đổi căn thức:
1)
AA
=
2
2)
BAAB .=
( với A

0 và B

0 )
3)
B
A
B
A
=
( với A

0 và B > 0 )
4)
BABA
=
2
(với B

0 )
5)
BABA
2
=
( với A

0 và B

0 )

BABA
2
=
( với A < 0 và B

0 )
6)
B
AB
B
A
=
( với AB

0 và B

0 )
7)

B
BA
B
A
=
( với B > 0 )
8)
2
)(
BA
BAC
BA
C

=


( Với A

0 và A

B
2
)
9)
BA
BAC
BA
C

=

)(
( với A

0, B

0 và A

B
B. Bài tập cơ bản:
Bài 1: Tìm ĐKXĐ của các biểu thức sau:
a)
32
+
x
b)
12
3
+
x
c)
1
2

x
d)
2
2
1

x
HD: a)
2
3

x
b)
2
1
<
x
c)





1
0
x
x
d)
0

x
Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x

0 )
a)
8632

+++
b) x
2
5 c) x - 4 d)
1

xx
HD: a)
( )( )
1232 ++
b)
( )( )
55 + xx
c)
( )( )
22 + xx
d)
( )( )
11 ++ xxx
Bài 3: Đa các biểu thức sau về dạng bình phơng.
a)
223 +
b)
83

c)
549
+
d)
7823

HD: a)
( )
2
12
+
b)
( )
2
12

c)
( )
2
25
+
d)
( )
2
74

Bài 4: Rút gọn các biểu thức sau:
a)
( )
2
174

b)
2832
146

+
+
c)
5
5
2
+

x
x
(với x

5) d)
1
1


x
xx
( với
1,0

xx
)
1
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
HD: a)
417

b)

2
2
c)
5

x
d)
1
++
xx
Bài 5: Tìm giá trị của x

Z để các biểu thức sau có giá trị nguyên.
a)
2
3
+
x
( với x

0) b)
1
5
+
+
x
x
( với x

0) c)

2
2

+
x
x
( với x

0 và x

4)
HD: a)
{ }
1=x
b)
{ }
9;1;0=x
c)
{ }
36;16;9;1;0=x
Bài 6: Giải các phơng trình, bất phơng trình sau:
a)
35
=
x
b)
523

x
c)

2
3
3
=

+
x
x
d)
1
1
3
>

x
HD: a) x = 14 b)
2
3
1

x
c) x = 81 d)
161
<<
x
C. Bài tập tổng hợp:
Bài 1: Cho biểu thức: A =
1
1
1

1
+



+
x
x
x
xx
a)Tìm ĐKXĐ và rút gọn A.
b) Tính giá trị biểu thức A khi x =
4
9
.
c) Tìm tất cả các giá trị của x để A < 1.
HD: a) ĐKXĐ là:





1
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: A =
1x
x
.

b) x =
4
9
thì A = 3
c)
10
<
x
.
Bài 2: Cho biểu thức: B =
4
52
2
2
2
1

+

+
+

+
x
x
x
x
x
x
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức B.

b) Tìm x để B = 2.
HD: a) Điều kiện:





4
0
x
x
, rút gọn biểu thức ta có: B =
2
3
+x
x
.
c) B = 2

x = 16.
Bài 3: Cho biểu thức: C =

+


+









1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Tìm điều kiện xác định và rút gọn biểu thức C.
b) Tìm giá trị a để C dơng.
HD: a) Điều kiện:

>
1
4
0
a
a
a
, rút gọn biểu thức ta có: C =
a
a
3
2
b) C dơng khi a > 4.
Bài 4: Cho biểu thức D =
x
x
x
x
x
x
4
4
.
22

+
+

2
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc D.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa D khi x =
526
−
.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
4
0
x
x
, rót gän biĨu thøc ta cã: D =

x
.
b) D =
15
−
Bµi 5: Cho biĨu thøc E =
1
3
11
−
−
+
−
−
+
x
x
x
x
x
x
a) T×m ®iỊu kiƯn x¸c ®Þnh vµ rót gän biĨu thøc E.
b) T×m x ®Ĩ E = -1.
HD: a) §iỊu kiƯn:



≠
>
1

0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: E =
x
+
−
1
3
.
c) x = 4.
Bµi 6: Cho biĨu thøc:F =
8
44
.
2
2
2
2
++








+
−

−
xx
xx
a) Tìm TXĐ rồi rút gọn biểu thức F.
b) Tính giá trò của biểu thức F khi x=3 +
8
;
c) Tìm giá trò nguyên của x để biểu thức F có giá trò nguyên ?
HD: a) §KX§:



≠
≥
4
0
x
x
,rót gän biĨu thøc ta cã: F =
2
2
−
+
x
x
b) x = 3+
( )
2
122238
+=+=

⇒
A =
122 −
c) BiĨu thøc A nguyªn khi:
{ }
1;2;42 ±±±=−x

⇒
x = {0; 1; 9; 16; 36}
D. Bµi tËp lun tËp:
Bµi1: Cho biĨu thøc :

+
−+
−
+
+
=
6
5
3
2
aaa
a
P
a
−
2
1

a) T×n §KX§ vµ rót gän P.
b) TÝnh gi¸ trÞ cđa P khi: a =
347
−
.
c) T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ P < 1.
Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q=








−
+
−
−
+








−
− 1

2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a. Rót gän Q.
b. T×m gi¸ trÞ cđa a ®Ĩ Q d¬ng.
Bµi3: Cho biĨu thøc: A =
x
x
x
x
xx
x
−
+
−
−
+
−
+−
−
3

12
2
3
65
92
a, T×m §KX§ vµ rót gän biĨu thøc A.
b, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x ®Ĩ A > 1.
c, T×m c¸c gi¸ trÞ cđa x
∈
Z ®Ĩ A
∈
Z.
Bµi4 : Cho biĨu thøc: C =
1
2
1
3
1
1
+−
+
+
−
+
xxxxx
3
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
a, Tìm ĐKXĐ và rút gọn biểu thức C.
b, Tìm các giá trị của x để C = 1.
Bài5: Cho biểu thức: M =

.
2
x)(1
1x2x
2x
1x
2x
2










++
+



a) Rút gọn M.
b) Tìm các giá trị của x để M dơng.
c) Tìm giá trị lớn nhất của M.
Bài6: Cho biểu thức: P =

+
+











1
2
1
1
:
1
1
x
xxxx
x
a) Tìm ĐKXĐ và rút gọn P

b) Tìm các giá trị của x để P > 0
c) Tìm x để P = 6.
Chuyên đề II
PHNG TRèNH - H PHNG TRèNH - BT PHNG TRèNH
(Bc nht)
A.KIN THC C BN
1.Phng trỡnh bc nht mt n
-Quy ng kh mu.
-a v dng ax + b = 0 (a 0)
-Nghim duy nht l
b
x
a

=
2.Phng trỡnh cha n mu
-Tỡm KX ca phng trỡnh.
-Quy ng v kh mu.
-Gii phng trỡnh va tỡm c.
-So sỏnh giỏ tr va tỡm c vi KX ri kt lun.
3.Phng trỡnh tớch
giỏi phng trỡnh tớch ta ch cn gii cỏc phng trỡnh thnh phn ca nú. Chng hn: Vi
phng trỡnh A(x).B(x).C(x) = 0
( )
( )
( )
A x 0
B x 0
C x 0
=

=


=

4.Phng trỡnh cú cha h s ch (Gii v bin lun phng trỡnh)
Dng phng trỡnh ny sau khi bin i cng cú dng ax + b = 0. Song giỏ tr c th ca a, b ta
khụng bit nờn cn t iu kin xỏc nh s nghim ca phng trỡnh.
-Nu a 0 thỡ phng trỡnh cú nghim duy nht
b
x
a

=
.
-Nu a = 0 v b = 0 thỡ phng trỡnh cú vụ s nghim.
-Nu a = 0 v b 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim.
5.Phng trỡnh cú cha du giỏ tr tuyt i
Cn chỳ ý khỏi nim giỏ tr tuyt i ca mt biu thc
A khi A 0
A
A khi A 0


=

<

4

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
6.Hệ phương trình bậc nhất
Cách giải chủ yếu dựa vào hai phương pháp cộng đại số và thế. Chú ý phương pháp đặt ẩn phụ trong
một số trường hợp xuất hiện các biểu thức giống nhau ở cả hai phương trình.
7.Bất phương trình bậc nhất
Với bất phương trình bậc nhất thì việc biến đổi tương tự như với phương trình bậc nhất. Tuy nhiên
cần chú ý khi nhân và cả hai vế với cùng một số âm thì phải đổi chiều bất phương trình.
B.MỘT SỐ VÍ DỤ
VD1.Giải các phương trình sau
a)
( ) ( )
2 x 3 1 2 x 1 9− + = + −
b)
( )
7x 20x 1,5
5 x 9
8 6
+
− − =
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
d)
x 3 3 x 7 10− + − =
(*)
Giải
( ) ( )

a) 2 x 3 1 2 x 1 9 2x 5 2x 7 5 7− + = + − ⇔ − = − ⇔ − = −
(Vô lý)
Vậy phương trình vô nghệm.
( )
7x 20x 1,5
b) 5 x 9 21x 120x 1080 80x 6 179x 1074 x 6
8 6
+
− − = ⇔ − + = + ⇔ − = − ⇔ =
Vậy
phương trình có nghiệm x = 6.
c)
2 2
13 1 6
2x x 21 2x 7 x 9
+ =
+ − + −
( ) ( ) ( ) ( )
13 1 6
x 3 2x 7 2x 7 x 3 x 3
⇔ + =
− + + − +
ĐKXĐ:
7
x 3; x
2
≠ ± ≠ −
( ) ( ) ( ) ( )
2
13 x 3 x 3 x 3 6 2x 7 13x 39 x 9 12x 42

⇒ + + − + = + ⇔ + + − = +
( ) ( )
2
x 3 DKXD
x x 12 0 x 3 x 4 0
x 4 DKXD
= ∉

⇔ + − = ⇔ − + = ⇔

= − ∈

Vậy phương trình có nghiệm x = - 4.
d) Lập bảng xét dấu
x 3 7
x – 3 - 0 + +
x - 7 - - 0 +
-Xét x < 3:
(*)
( )
7
3 x 3 7 x 10 24 4x 10 4x 14 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ − = − ⇔ =
(loại)
-Xét
3 x 7
≤ <
:
(*)

( )
x 3 3 7 x 10 2x 18 10 2x 8 x 4⇔ − + − = ⇔ − + = ⇔ − = − ⇔ =
(t/mãn)
-Xét
x 7≥
:
(*)
( )
17
x 3 3 x 7 10 4x 24 10 4x 34 x
2
⇔ − + − = ⇔ − = ⇔ = ⇔ =
(loại)
5
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Vậy phương trình có nghiệm x = 4.
VD2.Giải và biện luận phương trình sau
a)
2 2
x a b x b a b a
a b ab
+ − + − −
− =
(1)
b)
( )
2
2
a x 1
ax 1 2

x 1 x 1 x 1
+
−
+ =
− + −
(2)
Giải
a) ĐK: a ≠ 0; b ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2 2
(1) b x a b a x b a b a
bx ab b ax ab a b a
b a x 2 b a b a
⇔ + − − + − = −
⇔ + − − − + = −
⇔ − = − +
-Nếu b – a ≠ 0
b a
⇒ ≠
thì
( ) ( )
( )
2 b a b a
x 2 b a
b a
− +
= = +
−

-Nếu b – a = 0
b a
⇒ =
thì phương trình có vô số nghiệm.
Vậy:
-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm duy nhất x = 2(b + a).
-Với b = a, phương trình có vô số nghiệm
b) ĐKXĐ:
x 1
≠ ±
( ) ( ) ( )
( )
( )
2
2 2
(2) ax-1 x 1 2 x 1 a x 1
ax ax x 1 2x 2 ax a
a 1 x a 3
⇒ + + − = +
⇔ + − − + − = +
⇔ + = +
-Nếu a + 1 ≠ 0
a 1
⇒ ≠ −
thì
a 3
x
a 1
+
=

+
-Nếu a + 1 = 0
a 1
⇒ = −
thì phương trình vô nghiệm.
Vậy:
-Với a ≠ -1 và a ≠ -2 thì phương trình có nghiệm duy nhất
a 3
x
a 1
+
=
+
-Với a = -1 hoặc a = -2 thì phương trình vô nghiệm.
VD3.Giải các hệ phương trình sau
1 1 5
x 2y 3z 2
x 5y 7
x y x y 8
a) b) c) x 3y z 5
3x 2y 4 1 1 3
x 5y 1
x y x y 8

+ − =
+ =


+ =
+ −


 
− + =
  
− =

 
− =
− =


− +

Giải
6
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
( )
x 7 5y
x 5y 7 x 7 5y x 7 5y x 2
a)
3 7 5y 2y 4
3x 2y 4 21 17y 4 y 1 y 1
= −

+ = = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− − =
− = − = = =

   

hoặc
x 5y 7 3x 15y 21 17y 17 y 1
3x 2y 4 3x 2y 4 3x 2y 4 x 2
+ = + = = =
   
⇔ ⇔ ⇔
   
− = − = − = =
   
b) ĐK:
x y
≠ ±
đặt
1 1
u; v
x y x y
= =
+ −
Khi đó, có hệ mới
5
1
2v 1
u v
v
8
2
5
1

3
u v
u
u v
8
8
8


=
+ =
=



  
⇔ ⇔
  
+ =
  
=
− + =





Thay trở lại, ta được:
x y 8 x 5
x y 2 y 3

+ = =
 
⇔
 
− = =
 
c)
x 2y 3z 2 x 1 5y x 1 5y x 6
x 3y z 5 1 5y 2y 3z 2 7y 3z 1 y 1
x 5y 1 1 5y 3y z 5 2y z 4 z 2
+ − = = + = + =
   
   
− + = ⇔ + + − = ⇔ − = ⇔ =
   
   
− = + − + = + = =
   
C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN
1.Giải các phương trình sau
( ) ( ) ( )
( )
2
x 17 3x 7
a) 3 x 4 5 x 2 4 3x 1 82 b) 2
5 4
x 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 7x 3
c) d)
65 64 63 62 x 3 x 3 9 x
x 2 1 2

e) f ) x 3 5
x 2 x x x 2
g) 3x 1 2x 6
+ −
+ − − = − + − = −
+ + + + − −
+ = + − =
+ − −
+
− = + =
− −
− = +
( ) ( ) ( )
h) 2 x 3 2x 1 4
4x 3 x 1 2x 3 x 2
i) 5 3x x 3 3x 1 x 2 k)
3 6 2 4
− − + =
+ − − +
+ + < − + − > −
2.Giải và biện luận các phương trình sau
( )
2
2
2
x a x b
a) b a
a b
b) a x 1 3a x
ax-1 x a a 1

c)
a+1 1 a a 1
a 1 a 1 a 1
d)
x a x 1 x a x 1
− −
+ = +
− − =
+ +
− =
− −
− +
+ = +
− + − +
7
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
3.Gii cỏc h phng trỡnh sau
2 2
2 2
m n p 21
x y 24
3x 4y 5 0 2u v 7 n p q 24
a) b) c) d)
x y 8
2x 5y 12 0 p q m 23
2
u 2v 66
9 7 9
q m n 22
+ + =

+ =



+ = = + + =



+ = + + =
+ =
+ =






+ + =

4.Cho h phng trỡnh
( )
m 1 x y 3
mx y m
+ =

+ =

a) Gii h vi m = -
2

b) Tỡm m h cú nghim duy nht sao cho x + y dng.
Chuyên đề iii Hàm số và đồ thị
i.Kiến thức cơ bản
1.Hàm số
a. Khái niệm hàm số
- Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x sao cho với mỗi giá trị của x ta luôn xác định đợc
chỉ một giá trị tơng ứng của y thì y đợc gọi là hàm số tơng ứng của x và x đợc gọi là biến số
- Hàm số có thể cho bởi bảng hoặc công thức
b. Đồ thị hàm số
- Đồ thị hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả những điểm M trong mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mãn ph-
ơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) trên mặt phẳng tọa độ)
c. Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến
* Cho hàm số y = f(x) xác định với mọi giá trị của x thuộc R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) < f(x
2
) thì hàm số y = f(x) đồng biến trên R
- Nếu x
1
< x
2
mà f(x
1
) > f(x
2

) thì hàm số y = f(x) nghịch biến trên R
1.1Hàm số bậc nhất
a. Khái niệm hàm số bậc nhất
- Hàm số bậc nhất là hàm số đợc cho bởi công thức y = ax + b. Trong đó a, b là các số cho trớc và a

0
b. Tính chất
Hàm số bậc nhất y = ax + b xác định với mọi giá trị của x thuộc R và có tính chất sau:
- Đồng biến trên R khi a > 0
- Nghịch biến trên R khi a < 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0)
Đồ thị của hàm số y = ax + b (a

0) là một đờng thẳng
- Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng b
- Song song với đờng thẳng y = ax, nếu b

0, trùng với đờng thẳng y = ax, nếu b = 0
* Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a

0)
Bớc 1. Cho x = 0 thì y = b ta đợc điểm P(0; b) thuộc trục tung Oy.
Cho y = 0 thì x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành
Bớc 2. Vẽ đờng thẳng đi qua hai điểm P và Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b
d. Vị trí tơng đối của hai đờng thẳng
Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a

0) và (d): y = ax + b (a

0). Khi đó
+
'
// '
'
a a
d d
b b
=





+
{ }
' ' 'd d A a a
=
8
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
+
'
'
'
a a
d d
b b
=

=

+
' . ' 1d d a a
=
e. Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b (a

0)
Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox.
- Góc tạo bởi đờng thẳng y = ax + b và trục Ox là góc tạo bởi tia Ax và tia AT, trong đó A là giao điểm
của đờng thẳng y = ax + b với trục Ox, T là điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b và có tung độ dơng
Hệ số góc của đờng thẳng y = ax + b
- Hệ số a trong phơng trình y = ax + b đợc gọi là hệ số góc của đờng thẳng y = ax +b
f. Một số phơng trình đờng thẳng
- Đờng thẳng đi qua điểm M
0
(x
0
;y
0
)có hệ số góc k: y = k(x x
0
) + y
0
- Đờng thẳng đi qua điểm A(x
0
, 0) và B(0; y
0

) với x
0
.y
0


0 là
0 0
1
x y
x y
+ =
1.2 Hàm số bậc hai
a. Định nghĩa
- Hàm số có dạng y = ax
2
(a

0)
b. Tính chất
- Hàm số y = ax
2
(a

0) xác đinh với mọi giá trị của c thuộc R và:
+ Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến khi x < 0, đồng biến khi x > 0
+ Nếu a < 0 thì hàm số đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0
c. Đồ thị của hàm số y = ax
2
(a

0)
- Đồ thị hàm số y = ax
2
(a

0) là một Parabol đi qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng
+ Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị
+ Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dời trục hoành, O là điểm cao nhất của đồ thị
2.Kiến thức bổ xung
2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm của đoạn thẳng và độ dài đoạn thẳng
Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x
1
, y
1
) và B(x
2
, y
2
). Khi đó
- Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính bởi công thức
2 2
( ) ( )
B A B A
AB x x y y
= +
- Tọa độ trung điểm M của AB đợc tính bởi công thức
;
2 2
A B A B

M M
x x y y
x y
+ +
= =
2.2 Quan hệ giữa Parabol y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng y = mx + n (m

0)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a

0) và đờng thẳng (d): y = mx + n. Khi đó
- Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của hệ phơng trình
2
y ax
y mx n

=

= +

- Hoành độ giao điểm của (P) và (d) là nghiệm của phơng trình
ax
2
= mx + n (*)

- Số giao điểm của (P) và (d) là số nghiệm của phơng trình (*)
+ Nếu (*) vô nghiệm thì (P) và (d) không có điểm chung
+ Nếu (*) có nghiệm kép thì (P) và (d) tiếp xúc nhau
+ Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt thì (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt
II. Bài tập mẫu:
Bài 1: Cho hàm số: y = (m + 4)x m + 6 (d).
a. Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến, nghịch biến.
b. Tìm các giá trị của m, biết rằng đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1; 2). Vẽ đồ thị của hàm số với
giá trị tìm đợc của m.
9
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
c. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 2.
d. Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.
e. Chứng minh rằng khi m thay đổi thì các đờng thẳng (d) luôn luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x 3k + 3 (d
1
) và y = (2k + 1)x + k + 5 (d
2
).
Tìm các giá trị của k để:
a. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau.
b. (d
1
) và (d
2
) cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

c. (d
1
) và (d
2
) song song với nhau.
d. (d
1
) và (d
2
) vuông góc với nhau.
e. (d
1
) và (d
2
) trùng nhau.
Bài 3: Cho hàm số: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị là đờng thẳng d .
Tìm giá trị của m để :
a. Góc tạo bởi (d) và trục Ox là góc nhọn, góc tù ( hoặc hàm số đồng biến , nghịch biến)
b. (d) đi qua điểm (2;-1)
c. (d)// với đờng thẳng y =3x-4
d. (d) // với đờng thẳng 3x+2y = 1
e. (d) luôn cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0
f. (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 tại điểm có hoành độ bằng -2
g. Chứng tỏ (d) luôn đi qua 1 điểm cố định trên trục tung
Bài 4: cho (p) y = 2x
2
và đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m
2
-9 . Tìm m để :
a. Đờng thẳng(d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt

b. (d) tiếp xúc với (P)
c. (d) và (P) không giao nhau.
Bi 5: Cho hm s:
2
1
2
y = x
cú th (P).
a) Tỡm cỏc im A, B thuc (P) cú honh ln lt bng 1 v 2.
b) Vit phng trỡnh ng thng AB.
c) Vit phng trỡnh ng thng song song vi AB v tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im.
Bi 6: Cho hm s: y = (m + 1)x
2
cú th (P).
a) Tỡm m hm s ng bin khi x > 0.
b) Vi m = 2. Tỡm to giao im ca (P) vi ng thng (d): y = 2x 3.
c) Tỡm m (P) tip xỳc vi (d): y = 2x 3. Tỡm ta tip im.
Bi 7: Chng t ng thng (d) luụn tip xỳc vi Parabol (P) bit:
a) (d): y = 4x 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 2x 1; (P): y = x
2
.
Bi 8:
8.1)Chng t rng ng thng (d) luụn ct Parabol (P) ti 2 im phõn bit:
a) (d): y = 3x + 4; (P): y = x
2
.
b) (d): y = 4x + 3; (P): y = 4x

2
.
8.2)Tỡm ta giao im ca (d) v (P) trong cỏc trng hp trờn.
Bi 9: Cho Parabol (P) cú phng trỡnh: y = ax
2
v hai ng thng sau:
(d
1
):
4
1
3
y x=
(d
2
): 4x + 5y 11 = 0
a) Tỡm a bit (P), (d
1
), (d
2
) ng quy.
b) V (P), (d
1
), (d
2
) trờn cựng h trc ta vi a va tỡm c.
c) Tỡm ta giao im cũn li ca (P) v (d
2
).
d) Vit phng trỡnh ng thng tip xỳc vi (P) v vuụng gúc vi (d

1
).
10
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Bi 10: Cho Parabol (P):
2
1
2
y x=
v ng thng (d): y = 2x + m + 1.
a) Tỡm m (d) i qua im A thuc (P) cú honh bng 2.
b) Tỡm m (d) tip xỳc vi (P). Tỡm ta tip im
c) Tỡm m (d) ct (P) ti hai im cú honh cựng dng.
d) Tỡm m sao cho (d) ct th (P) ti hai im cú honh x
1
x
2
tha món:
2 2
1 2
1 1 1
2x x
+ =
Bi 11: Cho hm s: y = ax
2
cú th (P) v hm s: y = mx + 2m + 1cú th (d).
a) Chng minh (d) luụn i qua mt im M c nh.
b) Tỡm a (P) i qua im c nh ú.
c) Vit phng trỡnh ng thng qua M v tip xỳc vi Parabol (P).
Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai

PHN II. KIN THC CN NM VNG
1. Cụng thc nghim:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú = b
2
- 4ac
+Nu < 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b
2

+Nu > 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1
=
a
b
2
+
; x
2
=
a
b

2

2. Cụng thc nghim thu gn:
Phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú

=b
2
- ac ( b =2b

)
+Nu

< 0 thỡ phng trỡnh vụ nghim
+Nu

= 0 thỡ phng trỡnh cú nghim kộp: x
1
= x
2
=
a
b

+Nu

> 0 thỡ phng trỡnh cú 2 nghim phõn bit:
x
1

=
a
b
'
+
; x
2
=
a
b
'

3. H thc Vi-ột
a) nh lớ Vi-ột:
Nu x
1
; x
2
l nghim ca phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a0)
thỡ : S = x
1
+x
2
=
a
b

; P = x

1
.x
2
=
a
c
b) ng dng:
+H qu 1:
Nu phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú: a+b+c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim: x
1
= 1; x
2
=
a
c
+H qu 2:
Nu phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú: a- b+c = 0 thỡ phng trỡnh cú nghim: x
1
= -1; x
2
=
a
c

c) nh lớ: (o Vi-ột)
11

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Nếu hai số x
1
; x
2
có x
1
+x
2
= S ; x
1
.x
2
= P thì x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
(x
1
; x
2
tồn tại khi S
2
– 4P ≥ 0)
Chú ý:
+ Định lí Vi-ét chỉ áp dụng được khi phương trình có nghiệm (tức là ∆ ≥ 0)
+ Nếu a và c trái dấu thì phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu

PHẦN II. BÀI TẬP RÈN LUYỆN
I. TOÁN TRẮC NGHIỆM
(Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết)
Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề đúng
a) Phương trình mx
2
+nx+p = 0 (m ≠ 0) có ∆ =
Nếu ∆ thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆ thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆ thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
b) Phương trình px
2
+qx+k = 0 (p ≠ 0) có ∆
’
= (với q = 2q
’
)
Nếu ∆
’
thì phương trình vô nghiệm
Nếu ∆

’
thì phương trình có nghiệm kép: x
1
= x
2
=
Nếu ∆
’
thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
x
1
= ; x
2
=
Bài 2: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nào sai
A. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
b
−

; P = x
1
.x
2
=
a
c
B. Nếu x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ax
2
+ bx + c = 0 (a ≠ 0)
thì: S = x
1
+ x
2
=
a
c
; P = x
1
.x
2
=
a
b
C. Nếu phương trình ax
2

+bx+c = 0 (a ≠ 0) có a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
D. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a-b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
E. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a- b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a
c
−
F. Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 (a ≠ 0) có: a+b+c = 0 thì phương trình có nghiệm: x
1

= -1; x
2
=
a
c
−
G. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- S x+P = 0
H. Nếu hai số u và v có u+v = S ; u.v = P thì u; v là nghiệm của phương trình : x
2
- P x+S = 0
Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn cùng tranh luận về các mệnh đề sau:
A.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có a+b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= 1; x
2
=
a
c
B.Nếu phương trình ax
2
+bx+c = 0 có: a-b+c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm: x
1
= -1; x
2
=
a

c
−
C.Phương trình ax
2
+bx+c=0 có tổng hai nghiệm là
a
b
−
và tích hai nghiệm là
a
c
12
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
D.Phương trình 2x
2
-x+3 = 0 có tổng hai nghiệm là
2
1
và tích hai nghiệm là
2
3
Hùng nói: cả bốn mệnh đề đều đúng
Hải nói: cả bốn mệnh đề đều sai
Tuấn nói: A, B, C đúng còn D sai
Theo em ai đúng, ai sai? giải thích rõ vì sao?
GV:cần khắc sâu hơn về a
≠
0 và khi sử dụng ĐL viet thì phải có ĐK:
∆
≥ 0)

II. TOÁN TỰ LUẬN
LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN
Bài 1: Giải phương trình
a) x
2
- 49x - 50 = 0
b) (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
a) Giải phương trình x
2
- 49x - 50 = 0
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 1; b = - 49; c = 50)
∆ = (- 49)
2
- 4.1.(- 50) = 2601;
∆
= 51
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
2

51)49(
1
−=
−−−
=
x
;
50
2
51)49(
2
=
+−−
=
x
+ Lời giải 2: Ứng dụng của định lí Viet
Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = 0
Nên phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2
=
50
1
50
=
−
−
+ Lời giải 3: ∆ = (- 49)
2

- 4.1.(- 50) = 2601
Theo định lí Viet ta có :




=
−=
⇒



−=−==
+−==+
50
1
50).1(5049.
50)1(49
2
1
21
21
x
x
xx
xx
Vậy phương trình có nghiệm: x
1
= - 1; x
2

=
50
1
50
=
−
−
b) Giải phương trình (2-
3
)x
2
+ 2
3
x – 2 –
3
= 0
Giải:
+ Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm
(a = 2-
3
; b = 2
3
; c = – 2 –
3
)
∆ = (2
3
)
2
- 4(2-

3
)(– 2 –
3
) = 16;
∆
= 4
Do ∆ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1
)32(2
432
1
=
−
+−
=
x
;
)347(
)32(2
432
2
+−=
−
−−
=
x
+ Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn
(a = 2-
3

; b
’
=
3
; c = – 2 –
3
)
∆
’
= (
3
)
2
- (2-
3
)(– 2 –
3
) = 4;
∆
= 2
Do ∆
’
> 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:
13
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010

1
32
23
1

=
−
+−
=x
;
)347(
32
23
2
+−=
−
−−
=x
+ Lời giải 3: Ứng dụng của định lí Viet
Do a + b + c = 2-
3
+ 2
3
+ (- 2 -
3
) = 0
Nên phương trình có nghiệm:
x
1
= 1; x
1
=
)347(
32
32

+−=
−
−−
−
*Yêu cầu:
+ Học sinh xác định đúng hệ số a, b, c và áp dụng đúng công thức
+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)
+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. 3x
2
– 7x - 10 = 0
2. x
2
– 3x + 2 = 0
3. x
2
– 4x – 5 = 0
4. 3x
2
– 2
3
x – 3 = 0
5. x
2
– (1+
2
)x +
2
= 0

6.
3
x
2
– (1-
3
)x – 1 = 0
7.(2+
3
)x
2
- 2
3
x – 2 +
3
= 0
Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441
Giải
Du u+v = 42 và u.v = 441 nên u và v là nghiệm của phương trình
x
2
– 42x + 441 = 0 (*)
Ta có: ∆
’
= (- 21)
2
- 441 = 0
Phương trình (*) có nghiệm x
1
= x

2
= 21
Vậy u = v = 21
*Bài tương tự:
1. Tìm hai số u và v biết:
a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24
c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10
2. Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m
2
Bài 3: Giải các phương trình sau
(phương trình quy về phương trình bậc hai)
a) x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0
b)
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
c) 5x

4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
d) 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0
Giải
a) Giải phương trình x
3
+ 3x
2
– 2x – 6 = 0 (1)
(1) ⇔ (x
2
- 2)(x + 3) = 0 ⇔ (x

+
2
)(x

-
2
)(x + 3) = 0
⇔ x = -
2
; x =

2
; x = - 3
Vậy phương trình (1) có nghiệm x = -
2
; x =
2
; x = - 3
b) Giải phương trình
)4)(1(
8
1
2
2
−+
+−
=
+ xx
xx
x
x
(2)
Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì
(2) ⇔ 2x(x- 4) = x
2
– x + 8 ⇔ x
2
– 7x – 8 = 0 (*)
14
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = 0 nên phương trình (*) có nghiệm x

1
= -1(không thoả mãn ĐK) ; x
2
= 8
(thoả mãn ĐK)
Vậy phương trình (2) có nghiệm x = 8
c) Giải phương trình 5x
4
+ 2x
2
-16 = 10 – x
2
(3)
Ta có: (3) ⇔ 5x
4
– 3x
2
– 26 = 0
Đặt x
2
= t (t ≥ 0) thì (3) ⇔ 5t
2
– 3t – 26 = 0
Xét ∆ = (-3)
2
– 4.5.(-26) = 529. ⇒
∆
= 23
Nên: t
1

=
5
13
5.2
23)3(
=
+−−
(thoả mãn t ≥ 0) ;
t
2
=
2
5.2
23)3(
−=
−−−
(loại)
Với t =
5
13
⇔ x
2
=
5
13
⇔ x =
5
13
±
Vậy phương trình (3) có nghiệm x

1
=
5
13
−
; x
2
=
5
13
d) Giải phương trình 3(x
2
+x) – 2 (x
2
+x) – 1 = 0 (4)
Đặt x
2
+x = t . Khi đó (4) ⇔ 3t
2
– 2t – 1 = 0
Do a + b + c = 3 + (- 2) + (- 1) = 0 . Nên t
1
= 1; t
2
=
3
1
−
t
1

= 1⇔ x
2
+x = 1⇔ x
2
+ x – 1 = 0
∆
1
= 1
2
- 4.1.(-1) = 5 > 0. Nên x
1
=
2
51
−−
; x
2
=
2
51
+−
t
2
=
3
1
−
⇔ x
2
+x =

3
1
−
⇔ 3x
2
+ 3x + 1 = 0 (*)
∆
2
= 3
2
- 4.3.1 = -3 < 0 . Nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình (4) có nghiệm x
1
=
2
51−−
; x
2
=
2
51+−
* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:
1. x
3
+3x
2
+3x+2 = 0
2. (x
2
+ 2x - 5)

2
= (x
2
- x + 5)
2
3. x
4
– 5x
2
+ 4 = 0
4. 0,3 x
4
+ 1,8x
2
+ 1,5 = 0
5. x
3
+ 2 x
2
– (x - 3)
2
= (x-1)(x
2
-2
6.
3
1
.10
1
=

+
−
+
x
x
x
x
7. (x
2
– 4x + 2)
2
+ x
2
- 4x - 4 = 0
8.
03
1
4
1
2
=+






+−







+
x
x
x
x
9.
xx
x
−
=+
−
+
2
6
3
5
2
Bài 4: Cho phương trình x
2
+
3
x -
5
= 0 có 2 nghiệm là x
1
và x

2
.
Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2
2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
Giải
Do phương trình có 2 nghiệm là x

1
và x
2
nên theo định lí Viet ta có:
x
1
+ x
2
=
3
−
; x
1
.x
2
=
5
−
15
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
A =
15
5
1
5
3
.
11
21
21

22
=


=
+
=+
xx
xx
xx
;
B = x
1
2
+ x
2
2
= (x
1
+x
2
)
2
- 2x
1
x
2
=
523)5(2)3(
2

+=
C =
)523(
5
1
)5(
523
.
2
2
2
2
1
2
2
2
1
+=

+
=
+
xx
xx
;
D = (x
1
+x
2
)( x

1
2
- x
1
x
2
+ x
2
2
) =
)15333()]5(523)[3( +=+
* Bi tng t:
Cho phng trỡnh x
2
+ 2x - 3 = 0 cú 2 nghim l x
1
v x
2
.
Khụng gii phng trỡnh hóy tớnh giỏ tr ca biu thc sau:
A =
22
11
xx
+
; B = x
1
2
+ x
2

2
; C =
2
2
2
2
11
xx
+
; D = x
1
3
+ x
2
3
E =
2
3
1
3
21
2
221
2
1
55
6106
xxxx
xxxx
+

++
; F =
2
2
1
2
21
2
221
2
1
44
353
xxxx
xxxx
+
++
LOI TON RẩN K NNG SUY LUN
(Phng trỡnh bc hai cha tham s)
Bi 1: (Bi toỏn tng quỏt)
Tỡm iu kin tng quỏt phng trỡnh ax
2
+bx+c = 0 (a 0) cú:
1. Cú nghim (cú hai nghim) 0
2. Vụ nghim < 0
3. Nghim duy nht (nghim kộp, hai nghim bng nhau) = 0
4. Cú hai nghim phõn bit (khỏc nhau) > 0
5. Hai nghim cựng du 0 v P > 0
6. Hai nghim trỏi du > 0 v P < 0 a.c < 0
7. Hai nghim dng(ln hn 0) 0; S > 0 v P > 0

8. Hai nghim õm(nh hn 0) 0; S < 0 v P > 0
9. Hai nghim i nhau 0 v S = 0
10.Hai nghim nghch o nhau 0 v P = 1
11. Hai nghim trỏi du v nghim õm cú giỏ tr tuyt i ln hn a.c < 0 v S < 0
12. Hai nghim trỏi du v nghim dng cú giỏ tr tuyt i ln hn
a.c < 0 v S > 0
( ú: S = x
1
+ x
2
=
a
b

; P = x
1
.x
2
=
a
c
)
* Giỏo viờn cn cho hc sinh t suy lun tỡm ra iu kin tng quỏt, giỳp hc sinh ch ng khi gii loi
toỏn ny
Bi 2: Gii phng trỡnh (gii v bin lun): x
2
- 2x+k = 0 ( tham s k)
Gii

= (-1)
2
- 1.k = 1 k
Nu

< 0 1- k < 0 k > 1 phng trỡnh vụ nghim
Nu

= 0 1- k = 0 k = 1 phng trỡnh cú nghim kộp x
1
= x
2
=1
Nu

> 0 1- k > 0 k < 1 phng trỡnh cú hai nghim phõn bit
x
1
= 1-
k

1
; x
2
= 1+
k

1
Kt lun:
16

Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm
Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1
Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x
1
= 1-
k
−
1
; x
2
= 1+
k
−
1

Bài 3: Cho phương trình (m-1)x
2
+ 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)
a) Tìm m để (1) có nghiệm
b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?
c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?
Giải
a) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
=1

2
- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm ⇔ ∆
’
= 3m-2 ≥ 0 ⇔ m ≥
3
2
+ Kết hợp hai trường hợp trên ta có: Với m ≥
3
2
thì phương trình có nghiệm
b) + Nếu m-1 = 0 ⇔ m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0 ⇔ x =
2
3
(là nghiệm)
+ Nếu m ≠ 1. Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ∆
’
= 1- (-3)(m-1) = 3m-2
(1) có nghiệm duy nhất ⇔ ∆
’
= 3m-2 = 0 ⇔ m =
3
2
(thoả mãn m ≠ 1)
Khi đó x =
3
1
3
2
1

1
1
=
−
−=
−
−
m
+Vậy với m = 1 thì phương trình có nghiệm duy nhất x =
2
3
với m =
3
2
thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 3
c) Do phương trình có nghiệm x
1
= 2 nên ta có:
(m-1)2
2
+ 2.2 - 3 = 0 ⇔ 4m – 3 = 0 ⇔ m =
4
3
Khi đó (1) là phương trình bậc hai (do m -1 =
4
3
-1=
4
1
−

≠ 0)
Theo đinh lí Viet ta có: x
1
.x
2
=
612
4
1
3
1
3
2
=⇒=
−
−
=
−
−
x
m
Vậy m =
4
3
và nghiệm còn lại là x
2
= 6
* Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi đó bài toán trở nên phức tạp vàhọc
sinh thường hay sai sót)
Bài 4: Cho phương trình: x

2
-2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm
d) Tìm m sao cho nghiệm số x
1
, x
2
của phương trình thoả mãn x
1
2
+x
2
2

≥
10.
17
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc vào m
f) Hãy biểu thị x

1
qua x
2
Giải
a) Ta có: ∆
’
= (m-1)
2
– (– 3 – m ) =
4
15
2
1
2
+






−m
Do
0
2
1
2
≥







−
m
với mọi m;
0
4
15
>
⇒ ∆ > 0 với mọi m
⇒ Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)
b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < 0 ⇔ – 3 – m < 0 ⇔ m > -3
Vậy m > -3
c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2
= - (m+3)
Khi đó phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < 0 và P > 0

3
3

1
0)3(
0)1(2
−<⇔



−<
<
⇔



>+−
<−
⇔ m
m
m
m
m
Vậy m < -3
d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: S = x
1
+ x
2
= 2(m-1) và P = x
1.
x
2

= - (m+3)
Khi đó A = x
1
2
+x
2
2
= (x
1
+ x
2
)
2
- 2x
1
x
2
= 4(m-1)
2
+2(m+3) = 4m
2
– 6m + 10
Theo bài A ≥ 10 ⇔ 4m
2
– 6m ≥ 0 ⇔ 2m(2m-3) ≥ 0






≤
≥
⇔














≤
≤





≥
≥
⇔











≤−
≤



≥−
≥
⇔
0
2
3
2
3
0
2
3
0
032
0
032
0
m
m

m
m
m
m
m
m
m
m
Vậy m ≥
2
3
hoặc m ≤ 0
e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có:



−−=
−=+
⇔



+−=
−=+
62.2
22
.
)3(.
)1(2

21
21
21
21
mxx
mxx
mxx
mxx
⇒ x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8
Vậy x
1
+x
2
+2x
1
x
2
+ 8 = 0 là hệ thức liên hệ giữa x
1
và x
2
không phụ thuộc m

f) Từ ý e) ta có: x
1
+ x
2
+2x
1
x
2
= - 8 ⇔ x
1
(1+2x
2
) = - ( 8 +x
2
) ⇔
2
2
1
21
8
x
x
x
+
+
−=
Vậy
2
2
1

21
8
x
x
x
+
+
−=
(
2
1
2
−≠
x
)
Bài 5: Cho phương trình: x
2
+ 2x + m-1= 0 ( m là tham số)
a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x
1
; x
2
thoả mãn 3x
1
+2x
2
= 1
18
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn
2
11
1
x
xy
+=
;
1
22
1
x
xy +=
với x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình ở
trên
Giải
a) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

2
2
2

11
02
1
0
'
=⇔



=
≤
⇔



=−
≥−
⇔



=
≥∆
⇔ m
m
m
m
m
P
Vậy m = 2

b) Ta có ∆
’
= 1
2
– (m-1) = 2 – m
Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 ⇔ 2 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 2 (*)
Khi đó theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1); x
1
x
2
= m – 1 (2)
Theo bài: 3x
1
+2x
2
= 1 (3)
Từ (1) và (3) ta có:
1 2 1 2 1 1
1 2 1 2 1 2 2
2 2 2 4 5 5
3 2 1 3 2 1 2 7
x x x x x x
x x x x x x x
+ = − + = − = =
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = + = − = −

   
   
   
Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*))
Vậy m = -34 là giá trị cần tìm
d) Với m ≤ 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm
Theo định lí Viet ta có: x
1
+ x
2
= -2 (1) ; x
1
x
2
= m – 1 (2)
Khi đó:
1 2
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 1 2 2
2
1 1
x x m
y y x x x x
x x x x m m
+ −
+ = + + + = + + = − + =
− −
(m≠1)

2
1 2 1 2 1 2
2 1 1 2
1 1 1 1
( )( ) 2 1 2
1 1
m
y y x x x x m
x x x x m m
= + + = + + = − + + =
− −
(m≠1)
⇒ y
1
; y
2
là nghiệm của phương trình: y
2
-
m
m
−
1
2
.y +
1
2
−
m
m

= 0 (m≠1)
Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y
2
+ 2my + m
2
= 0
*Yêu cầu:
+ HS nắm vững phương pháp
+ HS cẩn thận trong tính toán và biến đổi
+ Gv: cần chú ý sửa chữa những thiếu sót của học sinh, cách trình bày bài và khai thác nhiều cách giải
khác
* Bài tương tự:
1) Cho phương trình: (m – 1)x
2
+ 2(m – 1)x – m = 0 ( ẩn x)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép.
Tính nghiệm kép này
b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt đều âm.
2) Cho phương trình : x
2
– 4x + m + 1 = 0
a) Định m để phương trình có nghiệm.
b) Tìm m sao cho phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: x
1
2
+ x

2
2
= 10
3) Cho phương trình: x
2
– (2m – 3)x + m
2
– 3m = 0
a) C/m , phương trình luôn luôn có hai nghiệm
khi m thay đổi
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn: 1 < x
1
< x
2
<6
4) Cho phương trình bậc hai có ẩn x: x
2
– 2mx + 2m – 1 = 0
19
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x
1
, x
2
với mọi m.
b) Đặt A = 2(x

1
2
+ x
2
2
) – 5x
1
x
2
a) C/m A= 8m
2
– 18m + 9
b) Tìm m sao cho A=27
c) Tìm m sao cho phương trình có nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia
5) Cho phương trình ; x
2

-2(m + 4)x + m
2
– 8 = 0. Xác định m để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn:
a) A = x
1
+ x
2
– 3x

1
x
2
đạt giá trị lớn nhất.
b) B = x
1
2
+ x
2
2
– x
1
x
2
đạt giá trị nhỏ nhất.
c) Tìm hệ thức giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m
6) Cho phương trình : x
2
– 4x – (m
2
+ 3m) = 0
a) C/m phương trình luông có 2 nghiệm x
1
, x
2
với mọi m

b) Xác định m để: x
1
2
+ x
2
2
= 4(x
1
+ x
2
)
c) Lập phương trình bậc hai ẩn y có 2 nghiệm y
1
và y
2
thoả mãn:
y
1
+ y
2
= x
1
+ x
2
và
3
11
1
2
2

1
=
−
+
−
y
y
y
y
7) Cho phương trình : x
2
+ ax + 1 = 0. Xác định a để phương trình có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn :
2
1
2
2
2
1









+








x
x
x
x
> 7
8) Cho phương trình : (m – 1)x
2
– 2(m + 1)x + m = 0 (1)
a) Giải và biện luận phương trình (1) theo m
b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x
1
, x
2
:
* Tìm một hệ thức giữa x
1
, x
2
độc lập đối với m
* Tìm m sao cho
2

21
≥−
xx
Dạng 5: Tìm m để phương trình ax
2
+ bx + c = 0 có 2 nghiệm x
1
, x
2
thoả mãn đẳng thức cho
trước.
Bài 1: Tìm m để phương trình :
.0m3mx)1m(2x
22
=−+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 8.
Bài 2: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m2(x
2
=−−−−

có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
2
+ x
2
2
= 10.
Bài 3: Tìm m để phương trình :
.02m5x)4m(2x)1m2(
2
=+++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.16xx2xx
21
2
2
2
1
+=+
Bài 4: Tìm m để phương trình :
.01mmx2x)1m(
2

=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0
2
5
x
x
x
x
1
2
2
1
=++
Bài 5: Tìm m để phương trình :
.0m2x)4m(mx
2
=+−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.0xx5)xx(2
21
2

2
2
1
=−+
Bài 6: Tìm m để phương trình :
.05mx)2m(x
2
=++−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2
2
1
=+
Bài 7: Tìm m để phương trình :
.0m2x)2m(x
2
=−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.8xx
2

2
2
1
=+
Bài 8: Tìm m để phương trình :
.0m3x)3m(x
2
=++−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.10xx
2
2
2
1
=+
Bài 9: Tìm m để phương trình :
.05m4x)2m(2x
2
=+−−−
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn
.1
x

x
x
x
1
2
2
1
=+
20
Gi¸o viªn: Vò Hïng Cêng Trêng THCS H¶i Thanh N¨m 2010
Bài 10: Tìm m để phương trình :
.03mx)1m2(x)2m(
2
=−+−−+
có 2 nghiệm x
1
,x
2
thoả mãn x
1
=
2x
2
.
Bài 11: Tìm m để phương trình :
.03m4x)1m(2x
2
=−++−
có 2 nghiệm x
1

,x
2
thoả mãn 2x
1
+ x
2
= 5.
DẠNG 6: lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 1: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.0m3x)1m(2x)2m(
2
=−+−−+
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 2: Gọi x
1
, x
2

là nghiệm của phương trình:
.03mx)1m(2x
2
=−+−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1
,
x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 3: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.05mx)1m(2x)3m(
2
=−+−−−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.02m2x)1m(3x)3m4(

2
=+++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 5: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.01mmx)1m2(x
22
=−+++−
Hãy lập hệ thức liên hệ
giữa x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
Bài 6: Gọi x
1
, x
2
là nghiệm của phương trình:
.0mx)1m(2x)1m(
2
=++−−
Hãy lập hệ thức liên hệ giữa

x
1
, x
2
không phụ thuộc vào m.
21
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình hoặc hệ phơng trình
A. Các bớc giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình:
B ớc 1 : Lập hệ phơng trình(phơng trình)
1) Chọn ẩn và tìm điều kiện của ẩn (thông thờng ẩn là đại lợng mà bài toán yêu cầu tìm).
2) Biểu thị các đại lợng cha biết theo ẩn và các đại lợng đã biết.
3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ giữa các lợng.
B ớc 2 : Giải hệ phơng trình, (phơng trình)
B ớc 3 : Kết luận bài toán.
b. Bài toán:
Dạng toán qui về đơn vị
Bài tập 1:
Hai vòi nớc cùng chảy đầy một bẻ không có nớc trong 3h 45ph . Nếu chảy riêng rẽ , mỗi vòi phải chảy
trong bao lâu mới đầy bể ? biết rằng vòi chảy sau lâu hơn vòi trớc 4 h .
Giải
Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy một mình đầy bể là x ( x > 0 , x tính bằng giờ )
Gọi thời gian vòiớau chảy chảy một mình đầy bể là y ( y > 4 , y tính bằng giờ )
1 giờ vòi đầu chảy đợc
x
1
( bể )
1 giờ vòi sau chảy đợc
y
1

( bể )
1 giờ hai vòi chảy đợc
x
1
+
y
1
( bể ) (1)
Hai vòi cùng chảy thì đầy bể trong 3h 45ph =
4
15
h
Vậy 1 giờ cả hai vòi chảy đợc 1:
4
15
=
15
4
( bể ) ( 2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình
x
1
+
y
1
=
15
4
Mất khác ta biết nếu chảy một mình thì vòi sau chảy lâu hơn vòi trớc 4 giờ tức là y x = 4
Vậy ta có hệ phơng trình

x
1
+
y
1
=
15
4
y x = 4











=
=



=
=

+=



=
=




+=
=




+=
=






+=
=

+
+

)(
5,1
5,2
)(
10
6
4
5,2
6
4
03072
4
060144
4
5
4
4
11
22
b
y
x
a
y
x
xy
x

x
xy
xx
xy
xx
xy
xx

Hệ (a) thoả mãn đk của ẩn
Hệ (b) bị loại vì x < 0
Vậy Vòi đầu chảy một mình đầy bể trong 6 h
Vòi sau chảy một mình đầy bể trong 10 h
22
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Bài tập 2:
Hai ngời thợ cùng làm một công việc . Nếu làm riêng rẽ , mỗi ngời nửa việc thì tổng số giờ làm việc là 12h
30ph . Nếu hai ngời cùng làm thì hai ngời chỉ làm việc đó trong 6 giờ. Nh vậy , làm việc riêng rẽ cả công
việc mỗi ngời mất bao nhiêu thời gian ?
Giải
Gọi thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong nửa công việc là x ( x > 0 )
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công việc là y ( y > 0 )
Ta có pt : x + y = 12
2
1
( 1 )
thời gian ngời thứ nhất làm riêng rẽ để xong công việc là 2x => 1 giờ ngời thứ nhất làm đợc
x2
1
công việc
Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc là 2y => 1 giờ ngời thứ hai làm đợc

y2
1
công
việc
1 giờ cả hai ngời làm đợc
6
1
công việc nên ta có pt :
x2
1
+
y2
1
=
6
1
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ pt :





=
=

=
=








=+
=+
5
2
15
2
15
5
6
1
2
1
2
1
2
1
12
y
x

y
x
yx
yx
Vậy nếu làm việc riêng rẽ cả công việc một ngời làm trong 10 giờ còn ngời kia làm trong 5 giờ
Bài tập 3:
Hai tổ thanh niên tình nguyện cùng sửa một con đờng vào bản trong 4 giờ thì xong . Nếu làm riêng thì tổ 1
làm nhanh hơn tổ 2 6 giờ . Hỏi mỗi đội làm một mình thì bao lâu sẽ xong việc ?
Giải
Gọi thời gian một mình tổ 1sửa xong con đờng là x( giờ ) ( x 4 )
Thời gian một mình tổ 2 sửa xong con đờng là x + 6 ( giờ )
Trong 1 giờ tổ 1 sửa đợc
x
1
( con đờng )
Trong 1 giờ tổ 2 sửa đợc
6
1
+x
(con đờng )
Trong 1 giờ cả hai tổ sửa đợc
4
1
(con đờng )
Vậy ta có pt:
x
1
+
6
1

+x
=
4
1

=+=++
0242)6(4)6(4
2
xxxxxx
x
1
= 6; x
2
= -4
X
2
= - 4 < 4 , không thoả mãn điều kiện của ẩn
Vậy một mình tổ 1 sửa xong con đờng hết 6 ngày
một mình tổ 2 sửa xong con đờng hết 12 ngày
Bài tập 4:
23
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Hai đội công nhân làm một đoạn đờng . Đội 1 làm xong một nửa đoạn đờng thì đội 2 đến làm tiếp nửa còn
lại với thời gian dài hơn thời gian đội 1 đã đã làm là 30 ngày . Nếu hai đội cùng làm thì trong 72 ngày
xong cả đoạn đờng .Hỏi mỗi đội đã làm bao nhiêu ngày trên đoạn đờng này ?
Giải
Gọi thời gian đội 1 làm là x ngày ( x > 0 ) thì thời gian đội 2 làm việc là x + 30 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 làm đợc
x2
1

( đoạn đờng )
Mỗi ngày đội 2 làm đợc
)30(2
1
+
x
( đoạn đờng )
Mỗi ngày cả hai đội làm đợc
72
1
( đoạn đờng )
Vậy ta có pt :
x2
1
+
)30(2
1
+x
=
72
1
Hay x
2
-42x 1080 = 0

/
= 21
2
+ 1080 = 1521 =>
/

= 39
x
1
= 21 + 39 = 60 ; x
2
= 21- 39 = - 18 < 0 không thoả mãn đk của ẩn
Vậy đội 1 làm trong 60 ngày , đội 2 làm trong 90 ngày .
Bài 5:
Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch trong cùng một thời gian . Đội 1 phải trồng 40 ha ,
đội 2 phải trồng 90 ha . Đội 1 hoàn thành công việc sớm hơn 2 ngày so với kế hoạch .Đội 2 hoàn thành
muộn hơn 2 ngày so với kế hoạch . Nếu đội 1 làm công việc trong một thời gian bằng thời gian đội 2 đã
làm và đội 2 làm trông thời gian bằng đội 1 đã làm thì diện tích trồng đợc của hai đội bằng nhau . Tính
thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch ?
Giải
Gọi thời gian mỗi đội phải làm theo kế hoạch là x ( ngày ) , x > 0
Thời gian đội 1 đã làm là x 2 ( ngày )
Thời gian đội 2 đã làm là x + 2 ( ngày )
Mỗi ngày đội 1 trồng đợc
2
40

x
(ha)
Mỗi ngày đội 2 trồng đợc
2
90
+
x
(ha)
Nếu đội 1 làm trong x + 2 ngày thì trồng đợc

2
40

x
(x + 2) (ha)
Nếu đội 2 làm trong x - 2 ngày thì trồng đợc
2
90
+
x
(x - 2) (ha)
Theo đầu bài diện tích rừng trồng dợc của hai đội trong trờng này là bằng nhau nên ta có pt:

2
40

x
(x + 2) =
2
90
+
x
(x - 2)
Hay 5x
2
52x + 20 = 0

/
= 26
2

5.20 = 576 ,
/
= 24
x
1
=
5
2426 +
= 10 ; x
2
=
5
2
5
2426
=

x
2
< 2 , không thoả mãn đk của ẩn Vậy theo kế hoạch mỗi đội phải làm việc 10 ngày .
24
Giáo viên: Vũ Hùng Cờng Trờng THCS Hải Thanh Năm 2010
Bài 6:(197/24 500 BT chọn lọc )
Hai ngời thợ cùng làm một công việc trong 16 giờ thì xong . Nếu ngời thứ nhất làm trong 3 giờ và ngời thứ
hai làm trong 6 giờ thì họ làm đợc 25% công việc . Hỏi mỗi ngời làm công việc đó trong mấy giờ thì
xong .
Giải:
Gọi x , y lần lợt là số giờ ngời thứ nhất ngời thứ hai một mình làm xong công việc đó ( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt

=
=








=+
=+
28
24
4
163
16
111
y
x
yx
yx
Bài 7 : ( 198/24 500 BT chọn lọc )
Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không chứa nớc thì sau 6 giờ đầy bể . Nếu vòi thứ nhất chảy trong 2
giờ , vòi thứ 2 chảy trong 3 giờ thì đợc
5
2
bể . Hỏi mỗi vòi chảy một mình trong bao lâu thì đầy bể ?

Giải :
Gọi x , y lần lợt là số giờ vòi thứ nhất , vòi thứ hai chảy đày bể một mình ( x > 0 , y > 0 )
Ta có hệ pt



=
=








=+
=+








=+
=+
15
10

5
232
2
133
5
232
6
111
y
x
yx
yx
yx
yx
x = 10 , y = 15 thoả mãn đk của ẩn . Vậy vòi thứ nhất chảy một mình mất 10 giờ , vòi thứ hai chảy một
mình mất 15 giờ .
Bài tập 8 ( 199/24 500 BT chọn lọc )
Hai ngời dự định làm một công việc trong 12 giờ thì xong . Họ làm với nhau đợc 8 giờ thì ngời thứ nhất
nghỉ , còn ngời thứ hai vẫn tiếp tục làm . Do cố gắng tăng năng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đã làm xong
công việc còn lại trong 3giờ 20phút . Hỏi nếu mỗi ngời thợ làm một mình với năng suất dự định ban đầu
thì mất bao lâu mới xong công việc nói trên ?
( Đề thi chuyên toán vòng 1 tỉnh Khánh hoà năm 2000 2001 )
Giải:
Gọi x , y lần lợt là thời gian ngời thợ thứ nhất và ngời thợ thứ hai làm xong công việc với năng suất dự định
ban đầu .
Một giờ ngời thứ nhất làm đợc
x
1
(công việc )
Một giờ ngời thứ hai làm đợc

y
1
(công việc )
Một giờ cả hai ngời làm đợc
12
1
(công việc )
Nên ta có pt :
x
1
+
y
1
=
12
1
(1)
trong 8 giờ hai ngời làm đợc 8.
12
1
=
3
2
(công việc )
25