De thi Olympic Toan 6,7,8

đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 6
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu 1:
a) Rút gọn A =
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
++
++
b) Tính B =
1400
10

260
10
140
10
56
10
++++
c) So sánh
20092010
20092009 +
với
2010
2010
Câu 2:
Cho phân số A =
35
10

n
n
( n

Z )
a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A có giá trị lớn nhất? Tìm giá trị lớn nhất đó?
Câu3:
a) Tìm x

Z biết
5
999999
131313
636363
131313
353535
131313
151515
131313
:
11
10
70.
3
2
=

+++x
b) Chứng minh rằng nếu a, b

N và a + 5b

7 thì 10a + b cũng chia hết cho 7
c) Chứng tỏ rằng 6n + 5 và 2n + 1 nguyên tố cùng nhau
Câu 4:
Cho góc AMC =
60
. Tia Mx là tia đối của tia MA, My là tia phân giác của CMx, MT
là tia phân giác của góc xMy
a) Tính AMy
b) Chứng minh góc CMT =

90
Câu 5:
a) Cho S =
2500
2499

25
24
16
15
9
8

4
3
+++++
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên
b) Có 64 ngời đi tham quan bằng hai loại xe, loại 12 chỗ và loại 7 chỗ ngồi . Biết số
ngời đi vừa đủ số ghế ngồi . Hỏi mỗi loại có mấy xe?

Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 6
Câu 1: ( 5 điểm)
a) (2điểm) A =
9
1
27.21
9.7
)4.33.21(27.21
)4.33.21(9.7
108.6381.4227.21
36.2127.149.7
==
++
++
=
++
++
b) (1,5điểm)
B =
=++++
1400
10

260
10
140
10
56
10
700
5

130
5
70
5
28
5
++++
=
28.25
5

13.10
5
10.7
5
7.4
5
++++
=
.(

3
5
)
28.25
3

13.10
3
10.7
3
7.4
3
++++
=
.(
3
5
14
5
28
6
.
3
5
)
28
1
4
1
.(

3
5
)
28
1
25
1

13
1
10
1
10
1
7
1
7
1
4
1
===++++
c)(1,5điểm) Ta có
20092010
20092009 +
=
2010.2009)12009(2009
20092009
=+

2010.20102010

20092010
=
Vì
20102009201020092009
20102009200920102009 <+=><
Câu 2 (3điểm)
a) (2điểm)
35
6
2
35
6)35(2

+=

+
=
nn
n
A
A

Z


35
35
6
nZ
n

Ư(6) = 1,-1;2;-2;3;-3;6;-6
5n - 3 1 -1 2 -2 3 -3 6 -6
5n 4 2 5 1 6 0 9 -3
n 1 0
b)(1điểm)
35
6
2
35
6)35(2

+=

+
=
nn
n
A
A có giá trị lớn nhất

35
6
n
có GTLN

5n 3 là số nguyên dơng nhỏ nhất

5n 3 = 2

5n = 5

n = 1 Khi đó GTLN của A là 5
Câu 3: (6 điểm)
a) (2 điểm)
5)
11.9
2
9.7
2
7.5
2
5.3
2
(
2
13
:
11
780
3
2
5)
99
13
63
13
35
13
15
13

(:
11
780
3
2
=






+++=+++ xx
6040
3
2
545
3
2
5)
33
8
.
2
13
(:
11
780
3
2

5)
11
1
3
1
(
2
13
:
11
780
3
2
=====






xxxxx
b) (2 điểm) Xét hiệu 5(10a + b) (a + 5b) = 49a

7 mà a + 5b

7 => 5(10a + b)

7
do (5;7) = 1 => 10a + b

7 (đpcm)
c) (2 điểm) Gọi ƯCLN(2n + 1; 6n +5) = d = > 6n +5

d và 2n + 1

d =>
6n + 5 3(2n + 1)

d => 2

d Do d là ớc của số lẻ => d = 1 => (2n + 1; 6n +5) = 1
Câu 4: (3 điểm) y C
a) (2 điểm)Vì góc xMC và góc CMA kề bù =>
gócxMC =
= 12060180
Vì My là tia phân giác của góc xMC
=> góc xMy =

60
mà góc góc xMy kề bù với T
góc AMy => góc AMy =
= 12060180


60
x M A
b)( 1 điểm)
Do MC là ti phân giác của góc AMy. MT là tia phân giác của yMx
mà góc AMy và góc yMx là hai góc kề bù => My năm giữa 2 tia MC và MT
gócCMT = góc CMY + góc yMT =

.
2
1
góc AMy +
2
1
góc yMx =
2
1
.120
+
2
1
.60 =

90
Câu 5: (3 điểm) (Mỗi câu đúng cho 1,5 điểm)
a) Ta có
2500
1
1
25
1
1
16
1
1
9
1
1

4
1
1 +++++=S

)
50
1

5
1
4
1
3
1
2
1
(1 111
22222
+++++++++=
49 s/h B
= 49 B
B =
1
50
1
1
50.49
1

4.3

1
3.2
1
2.1
1
50
1

4
1
3
1
2
1
2222
<=++++<+++
Ta lại có
B =
3
1
147
49
102
49
51
1
2
1
51.50
1

5.4
1
4.3
1
3.2
1
50
1

4
1
3
1
2
1
2222
=>==++++>+++
=>
<< 1
3
1
B
48 < S < 49 => (đpcm)
b) Gọi x là loại số xe 12 chỗ
y là loại số xe loại 7 chỗ ( ĐK x , y


*
N

)
Ta có 12x + 7y = 64 (1)
Ta thấy 12x

4 , 64

4 => 7y

4 mà (4;7) =1 => y

4.(2)
Từ (1) => 7y < 64 => y < 10 Kết hợp với (2) = > y = 4; 8
Với y = 4 => 12x +28 = 64 => x = 3 (TM)
Với y = 8 => 12x + 56 = 64 => 12x = 8 Không thoả mãn
Vậy có 3 xe loại 12 chỗ và 4 xe loại 7 chỗ


đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 7
(Thời gian làm bài 120 phút)
Câu1.
a.Tính:
0
3 2
1 1 14
2 : . 3 .9 7 5
2 8 25


+ +

ữ ữ

b. So sánh:
2 6 12 20 30 42A = + + + + +
và
24B =
Câu 2:
c. Cho
2 2 4 4
x y z
a b c a b c a b c
= =
+ + + +
.
Chứng minh rằng:
2 2 4 4
a b c
x y z x y z x y z
= =
+ + + +
(Với
0abc
và các mẫu khác o)
b. Cho hàm số:
( )
f x
xác đinh với moi giá tri của
x R
. Biết rằng với mọi
0x

ta
đều có
( )
2
1
2f x f x
x

+ =
ữ

. Tính
( )
2f
.
Câu 3.
a. Tìm x biết:
( ) ( )
1 11
5 5
x x
x x
+ +
=
b. Tìm tất cả các giá tri nguyên dơng của x và y sao cho:
1 1 1
5x y
+ =
Câu 4:

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2008 2009 2010 2011 2008A x x y x= + + + +
Câu 5.
Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lợt lấy 2 điểm M và N sao cho
BM=MN=NC. Gọi H là trung điểm BC.
a. Chứng minh: AM=AN và AH

BC
b. Chứng minh
MAN BAM
>
c. Kẻ đờng cao BK. Biết AK= 7cm; AB=9cm. Tính độ dài BC.

Cõu 1(4)
1.a(2)
1.b(2)
Cõu 2(4)
2.a(2)
Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 7
Ta cú:
1579.
9
1
8
1
.16
51.79.
3
1

8
1
.
2
1
:8
5
25
14
79.3
8
1
.
2
1
:2
2
0
23
=++=
++






=
+

+







Ta cú:
4230201262
+++++=
A
B==+++++=
+++++<
245,65,55,45,35.25,1
25,4025,3025,2025,1225,625,2
Vy A<B
T gi thit suy ra:
0,5
0,5
0,5
0,5
0,25
0,25
2.b(2đ)

Câu 3(4đ)
3.a(2đ)
3.b(2đ)
Câu4(2đ)
C©u 5(6®)
( )
( )
( )
3
9
44
44448
4
484
4
2
9
2
442242
2
1
9
2
44224
2
2
c
zyx
cba
z

cba
y
cba
x
b
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
a
zyx
cba
z
cba
y
cba
x
+−
=
+−
=
−+
=
++
−+
=
+−

=
−+
=
++
++
=
+−
=
−+
=
++
Từ (1), (2), (3) ta có:
c
zyx
b
zyx
a
zyx
9
44
9
2
9
2 +−
=
−+
=
++
Hay
zyx

c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 44
9
2
9
2
9
Vậy
zyx
c
zyx
b
zyx
a
+−
=
−+
=
++ 4422
Với x=2 ta có:
( )
4

2
1
22 =






+ ff
Với
2
1
=x
ta có
( )
4
1
22
2
1
=+






ff
Giải ra tìm được

( )
6
7
2 −=f
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
[ ]
( )
( )



=−
=−
⇔
=−−−⇔
=−−−−⇔
−=−
+
+
++
=+
15
05
0515
0555
55
10
1

101
1011
111
x
x
xx
xxx
xx
x
x
xx
xx
Giải ra tìm được x=4 hoặc x=5 hoặc x=6.
Từ
( ) ( )
( )( )
2555
25555
055
5
111
=−−⇔
=−−−⇔
=−−⇒
=+
yx
yyx
yxxy
yx
Vì x, y nguyên dương

5;5 −−⇒ yx
thuộc ước của 25.
Giải ra tìm được các cặp giá trị x; y nguyên dương thoả mãn điều kiện bài toán là:
(x=30,y=6); (x=10, y=10);(x=6, y=30).
Áp dụng tính chất
aa −=
và
baba +≥+
, dấu “=” xảy ra khi
0
≥
ab
và
0,25
0,5
0,25
0,5
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
1
0,5
0,5
0,5
0,5

1®
1®
H
M
B
A
C
N
K
5.a(2đ)
5.b(2đ)
5.c(2đ)
0a
du = xy ra khi a=0. Ta cú:
3201120082011200820112008 =++=+ xxxxxx
Du = xy ra khi
20112008 x
v
02009 x
du = xy ra khi x=2009.
02010 y
du = xy ra khi 2010.

201120083 =+A
du = xy ra khi x=2009 v y=2010.
Vy giỏ tr nh nht ca A l 2011 khi x=2009 ; y=2010.
-Chứng minh đựơc

ABM=

ACN(cgc)

AM=AN
- Chứng minh đựơc

ABH=

ACH(cgc)

0
90AHB AHC AH BC = =
Trên tia đối tia MA lấy điểm D sao cho MD=MA
Chứng minh đợc
( )
AMN DMB cgc MAN BDM = =
và AM=AN=BD
-Chứng minh đợc BA>AM

BA>BD
-Xét
BAD
có BA>BD

BDA BAD >
hay
MAN BAM
>
Vì AK
0
0 90A

nên chỉ có hai trờng hợp xảy ra
TH1:
-
BAC

nhọn

k nằm giữa hai điểm A,C
Mà AC=AB
9AC cm =
2KC AC AK = =
-
AKB
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
AKC

vuông tại K nên ta có
BC=
2 2
6BK KC cm+ =
TH2:
-
BAC
tù

A nằm giữa hai điểm K,C

KC=AK+AC=16cm
-
ABK
vuông tại K
2 2 2
32BK AB AK = =
-
BKC
vuông tai K
2 2
288BC BK KC = + =
Vậy BC=6cm hoặc BC=
288cm
1đ
0,5đ
0,5đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
0,25đ
đề thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 8
(Thời gian làm bài 120 phút)

Câu1: Cho biểu thức: A =
xx
x

x
x
xx











+
+

32
21
:
1
5
1
2
1
1
a) Tìm điều kiện xác định của A, rồi rút gọn biểu thức A.
b) Tìm x nguyên để A nhận giá trị nguyên.
Câu2: a) Phân tích đa thức thành nhân tử:
(3x 2)

3
(x 3)
3
(2x + 1)
3
b) áp dụng giải phơng trình:
(3x 2)
3
(x 3)
3
= (2x + 1)
3
Câu3: a) Giải phơng trình:
12 x
= 2x + 1
b) Cho số thực x thoã mãn:
2
1
1
2
=
+ xx
x
Tính giá trị của biểu thức: B =
12
1183
23
34
++
+

xxx
xxx
Câu4: Cho x, y là các số thực không âm thoã mãn:
x
2
2xy + x - 2y

0. Tính giá trị lớn nhất của biẻu thức:
M = x
2
5y
2
+ 3x
Câu5: Cho tam giác ABC vuông tại A( AC > AB), đờng cao AH. Trên tia HC lấy
HD = HA. Đờng vuông góc với BC tại D cắt AC tại E.
a) Chứng minh: AE = AB
b) Gọi M là trung điểm của BE. Tính góc AHM.

Hớng dẫn chấm thi Olympic năm học 2009-2010
Môn: toán lớp 8
Câu1: (3đ)
a) (2đ) +)Điều kiện:

2
1
0
1
x
x
x
+) Quy đồng mẫu số và biến đổi đợc: A =
x
x
21
2

b) (1đ) Ta có A =
x
x
21
2

= -1 +
x21
1

. Suy ra A nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi
1 2x =
1

x = 0 hoặc x = 1.
Đối chiếu ĐK ban đầu x = 0 và x = 1 không thoã mãn. Vậy không có giá trị x nào
thoã mãn yêu cầu bài toán.
Câu2:(4đ)
a) (2đ) Chứng minh: Nếu a + b + c = 0 thì a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
áp dụng ta có: (3x 2)
3
(x 3)
3
(2x + 1)
3

= (3x 2)
3
+ ( - x + 3)
3
+ ( - 2x - 1)
3
= 3(3x 2)( - x + 3)( - 2x 1).
b) (2đ) Ta có: (3x 2)
3
(x 3)
3
= (2x + 1)

3


(3x 2)
3
(x 3)
3
- (2x + 1)
3
= 0


3(3x 2)( - x + 3)( - 2x 1) = 0


x =
3
2
hoặc x = 3 hoặc x = -
2
1
Câu3:(4đ)
a)(2đ) +) Với x

0: Phơng trình đã cho trở thành

12 x
= 2x + 1 . Giải đợc x = 0
+) Với x
<

0: Phơng trình đã cho trở thành

12 +x
= 2x + 1. Giải đợc x


2
1
Suy ra nghiệm của phơng trình đã cho là:
0
2
1


x

b)(2đ) Từ giả thiết suy ra x
2
x + 1 = 2x hay x
2
= 3x 1.
Suy ra x

0 và x
3
= (3x 1)x = 3x
2
x = 8x 3
x
4

= (8x 3)x = 8x
2
3x = 21x -8
Do đó B =
12
1183
23
34
++
+
xxx
xxx
=
3
15
3
15
1)13(238
118)38(3821
==
++
+
x
x
xxx
xxx
=5
Câu4: (3đ) Ta có x
2
2xy + x - 2y =(x 2y)(x + 1)

0


(2yx
vì x
0

nên x
+ 1 > 0).
Do đó M = x
2
5y
2
+ 3x

4y
2
5y
2
+ 6y = -y
2
+ 6y = -(y 3)
2
+ 9

9.
M = 9 khi và chỉ khi y = 3, x = 6.
Vậy giá trị lớn nhất của M là 9.
Câu5: (6đ)
a)(3đ) Ta có

CDE ~

CAB(hai tam giác vuông có góc C chung)
CAD
CA
CD
CB
CE
∆⇒=⇒
~
°==⇒=⇒∆ 45
ˆˆˆ
ˆ
1111
DEBACBE
(V×
∆
AHD vu«ng
c©n)
ABE∆⇒
vu«ng c©n
⇒
AE = AB(®fcm).
b)(3®) Tõ
∆
ABE vu«ng c©n kÕt hîp víi GT suy ra AM
⊥
BE.KÐo dµi AM c¾t BC
t¹i K. Ta cã:

∆
AHK ~
∆
BMK
⇒

AKB
MK
HK
BK
AK
∆⇒=
~
∆
HKM

45=∠=∠⇒ BAKMHK
(v×
∆
ABE vu«ng c©n nªn AM võa lÇ ®êng trung tuyÕn võa
lµ ®êng ph©n gi¸c suy ra

45=∠BAK
)

45=∠⇒ AHM

A
C
B

H
E
D
K
M
1
1
C
A
1
1