GIẢI 10 BT CHỨNG MINH ĐT&BĐT-P2
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (65.31 KB, 5 trang )
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
1. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
c) a
3
+b
3
≥ ab(a+b)
d) a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
Hướng dẫn:
a) a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b
⇔ 2a
2
+2b
2
+2≥ 2ab+2a+2b
⇔(a
2
-2ab+b
2
)+(a
2
-2a+1)+(b
2
-2b+1) ≥ 0
⇔( a-b)
2
+(a-1)
2
+(b-1)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
2
+b
2
+1≥ ab+a+b với mọi a,b
b) a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
⇔ a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
-a(b+c+d+e)≥ 0
⇔
0
4444
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
+−+
+−+
+−+
+− eae
a
dad
a
cac
a
bab
a
⇔
0
2222
2222
≥
−+
−+
−+
− e
a
d
a
c
a
b
a
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
2
+b
2
+c
2
+d
2
+e
2
≥ a(b+c+d+e)
c) a
3
+b
3
≥ ab(a+b) ⇔ a
3
+b
3
- ab(a+b) ≥ 0 ⇔ (a+b)
2
(a
2
-2ab+b
2
) ≥ 0
⇔ (a+b)
2
(a-b)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
3
+b
3
≥ ab(a+b)
d) a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
⇔ (a
4
- a
3
b )+(b
4
-ab
3
) ≥ 0 ⇔ a
3
(a- b )+b
3
(b-a) ≥ 0
⇔ (a- b )( a
3
- b
3
) ≥ 0 ⇔ (a- b )
2
( a
2
+ab+ b
2
) ≥ 0
⇔ (a- b )
2
+
+
4
3
2
2
2
bb
a
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng , suy ra : a
4
+b
4
≥ a
3
b+ab
3
2. Chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
Hướng dẫn:
a) (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
⇔ 2(a+b+c)
2
≥ 6(ab+bc+ca)
⇔ 2a
2
+2b
2
+2c
2
+4 ab+4bc+4ca - 6ab-6bc-6ca≥ 0
⇔ (a-b)
2
+(a-c)
2
+(b-c)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : (a+b+c)
2
≥ 3(ab+bc+ca)
b) a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
⇔ a
2
+a
2
b
2
+b
2
+b
2
c
2
+c
2
+c
2
a
2
-6abc≥ 0
⇔ (a-bc)
2
+(b-ac)
2
+(c-ab)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối đúng, suy ra : a
2
(1+b
2
)+b
2
(1+c
2
)+c
2
(1+a
2
)≥ 6abc
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
3. a) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b=2 . Chứng minh rằng:
a
4
+b
4
≥ a
3
+b
3
b) Cho a,b là hai số thoả mãn điều kiện a+b+c=3 . Chứng minh rằng:
a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
Hướng dẫn :
a) a
4
+b
4
≥ a
3
+b
3
⇔ 2(a
4
+b
4
) ≥ ( a
3
+b
3
)(a+b)
⇔ (a-b)
2
0
4
3
2
2
2
≥
+
+ b
b
a
Xảy ra dấu đẳng thức khi a = b =
2
1
b) a
4
+b
4
+c
4
≥ a
3
+b
3
+ c
3
⇔3 ( a
4
+b
4
+c
4
)
≥ ( a
3
+b
3
+ c
3
)(a+b+c)
⇔
( ) ( ) ( )
0
4
3
24
3
24
3
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
≥
+
+−+
+
+−+
+
+− a
a
cacc
c
bcbb
b
aba
4. Cho a,b,c là các số dương . Chứng minh rằng:
21 <
+
+
+
+
+
<
ca
c
cb
b
ba
a
Hướng dẫn:
Do a,b,c> 0 nên:
( )
( ) ( )a a b ac a a b a b c a a b< + ⇒ + + < + + +
( ) ( ) ( )
a a c
a a b c a b a c
a b a b c
+
⇒ + + < + + ⇒ <
+ + +
Tương tự ta cũng chứng minh được:
cba
ba
ca
a
cba
ba
cb
b
++
+
<
+++
+
<
+
,
Ta có :
cba
ca
ba
a
cba
a
++
+
<
+
<
++
(1)
cba
ba
cb
b
cba
b
++
+
<
+
<
++
(2)
cba
cb
ca
c
cba
c
++
+
<
+
<
++
(3)
Cộng từng vế của (1) , (2) và (3) ta được :
21 <
+
+
+
+
+
<
ca
c
cb
b
ba
a
5. Cho 4 số dương a,b, c . Chứng minh :
21 <
++
+
++
+
++
+
++
<
bad
d
adc
c
dcb
b
cba
a
Hướng dẫn:
Ta có :
ca
a
cba
a
dcba
a
+
<
++
<
+++
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
db
a
dcb
b
dcba
b
+
<
++
<
+++
………………………………………………
Sau đó cộng từng vế của BĐT
6. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
a)
cba
c
ab
b
ac
a
bc
++≥++
b)
2
cba
ac
ca
cb
bc
ba
ab ++
≤
+
+
+
+
+
c)
cabcab
a
c
c
b
b
a
++≥++
333
Hướng dẫn:
a)
c
b
a
a
b
c
b
ac
a
bc
2≥
+=+
(do a,b,c>0 )
Tương tự:
a
c
ab
b
ac
2≥+
,
b
a
bc
c
ab
2≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
b) p dụng bất dẳng thức
yxxy
yx
+
≥
+ 4
với x,y >0 , ta có :
4
ba
ba
ab +
≤
+
,
4
cb
cb
bc +
≤
+
,
4
ac
ac
ca +
≤
+
,
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
c) Ta có: a
3
+b
3
≥ ab(a+b) với a,b>0
⇒
( )
baab
b
a
+≥+
2
3
Tương tự :
( )
cbbc
c
b
+≥+
2
3
,
( )
caca
a
c
+≥+
2
3
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên
7. Chứng minh rằng với a,b,c>0 thì:
a.
a
b
b
a
a
b
b
a
+≥+
2
2
2
2
b.
cba
a
c
c
b
b
a
++≥++
222
c.
2
222
cba
ba
c
ac
b
cb
a ++
≥
+
+
+
+
+
Hướng dẫn:
a. Ta có: A=
++
+−
+=
+−
+
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
2
2
2
2
2
2
2
2
2
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
Do a,b>0 nên A≥
01122
22
2
2
2
2
≥
−+
−=+
+−
+
a
b
b
a
a
b
b
a
a
b
b
a
b. Xét :
a
b
ab
b
ba
b
b
a
2
2
222
=≥
+
=+
(do a,b>0 )
Tương tự:
bc
c
b
2
2
≥+
,
ca
a
c
2
2
≥+
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên suy ra điều phải chứng minh
c. Xét :
( ) ( ) ( )
( )
a
cb
cba
cb
cbacb
cb
a
=
+
+
≥
+
++
=
+
+
+ 4
4
)(4
2
4
22
2
(do b,c>0)
Tương tự:
b
ac
ac
b
≥
+
+
+ 4
2
,
c
ba
ba
c
≥
+
+
+ 4
2
Cộng từng vế ba bất đẳng thức trên ⇒ ĐPCM
8. Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn a+b+c=2 và ab+bc+ca=1.
Chứng minh rằng: 0≤a,b,c≤
3
4
Hướng dẫn:
a+b+c=2 ⇒2-a=b+c
⇒(2-a)
2
=(b+c)
2
≥ 4bc =4[1-a(b+c)]=4[1-a(2-a)]
⇒(2-a)
2
≥ 4(a-1)
2
⇒ a(3a-4)≤ 0 ⇒0≤ a ≤
3
4
Làm tương tự cho b và c.
9. Cho a, b,c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả mãn a+b+c=0.
Chứng minh : a
2
+b
2
+c
2
≤
6
Hướng dẫn:
Ta có -1
≤
a,b,c
≤
2 ⇒ a+1≥ 0 và a-2
≤
0 ⇒(a+1)(a-2)
≤
0 ⇒ a
2
-a-2
≤
0
⇒ a
2
≤
a+2
Tương tự, ta có b
2
≤
b+2; c
2
≤
c+2
⇒ a
2
+b
2
+c
2
≤
(a+b+c)+6=6
Vậy a
2
+b
2
+c
2
≤
6
10. Cho a,b,c là các số không âm thoả mãn a+b+c=1
Chứng minh : b+c≥ 16abc
Hướng dẫn:
Cách 1: b+c≥ 16abc ⇔ b+c≥ 16bc(1-b-c)
⇔b+c≥ 16bc-16b
2
c-16bc
2
⇔16b
2
c+16bc
2
-16bc+b+c≥ 0
⇔ c(16b
2
-8b+1)+b(16c
2
-8c+1) ≥ 0
⇔ c(4b-1)
2
+b(4c-1)
2
≥ 0
Bất đẳng thức cuối cùng đúng, suy ra: b+c≥ 16abc
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI & LUYỆN THI VÀO TRƯỜNG CHUYÊN
Cách 2: Ta có: b+c=(b+c)[a+(b+c)]
2
≥ (b+c)4a(b+c)=4a(b+c)
2
Mà (b+c)
2
≥ 4bc ⇒ 4a(b+c)
2
≥ 4a.4bc= 16abc
Vậy: b+c≥ 16abc
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
