GIẢI 15 BT CHỨNG MINH ĐT & BĐT- P1

TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC & BẤT ĐẲNG THỨC
1. Chứng minh rằng:

50
1

28
1
27
1
26
1
50.49
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
++++=++++
Hướng dẫn:
Đặt A =
50.49
1

6.5
1
4.3

1
2.1
1
++++
Dễ thấy : A=
50
1
49
1

6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
1
1
−++−+−+−
. Do đó:
A=







++++−++++++
50
1

6
1
4
1
2
1
2
50
1
49
1

4
1
3
1
2
1
1
1
=







++++−++++++
25
1

3
1
2
1
1
1
50
1
49
1

4
1
3
1
2
1
1
1

=
50
1

28
1
27
1
26
1
++++
2. Cho a,b,c. Chứng minh rằng:
a
3
+b
3
+c
3
-3abc= (a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab+bc-ca)
( THI HSG TPHCM 1998-1999 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Thay a
3
+b
3
= (a+b)
3
-3ab(a+b)

Biến đổi vế trái thành:
(a+b)
3
-3ab(a+b)+c
3
-3abc=[(a+b)
3
+c
3
]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)[ (a+b)
2
-c (a+b)+ c
2
]- 3ab(a+b+c)
= (a+b+c)(a
2
+2ab+b
2
-ca-cb+c
2
-3ab)
=(a+b+c)(a
2
+b
2
+c
2
-ab -bc-ca)
3. Chứng minh rằng nếu a+b+c=abc và

2
111
=++
cba
thì
2
111
222
=++
cba
.
Hướng dẫn:
Ta có
2
111
=++
cba
Bình phương 2 vế ta có:

4
111
2
111
222
=







+++++
cabcab
cba
⇔
( )
4
2111
222
=
++
+++
abc
cba
cba
⇔
2
111
222
=++
cba
Vậy nếu a+b+c=abc và
2
111
=++
cba
thì
2
111
222

=++
cba
4. Cho
1=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
. Chứng minh rằng :
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN

0
222
=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb

a
Hướng dẫn:
Nhân hai vế của
1=
+
+
+
+
+ ba
c
ac
b
cb
a
với a+b+c , ta được:

( ) ( ) ( )
cba
ba
bacc
ac
acbb
cb
cbaa
++=
+
++
+
+
++

+
+
++
222
nên:
cbac
ba
c
b
ac
b
a
cb
a
++=+
+
++
+
++
+
222
Vậy
0
222
=
+
+
+
+
+ ba

c
ac
b
cb
a
5. Cho a,b,c là ba số khác không và từng đôi một khác nhau cho a+b+c=0. Chứng
minh rằng:

9=






−
+
−
+
−






−
+
−
+

− c
ba
b
ac
a
cb
ba
c
ac
b
cb
a
Hướng dẫn:
Đặt x=
c
ba
z
b
ac
y
a
cb −
=
−
=
−
,,
Ta có:
( )
z

yx
y
xz
x
zy
zyx
zyx
+
+
+
+
+
+=








++++ 3
111
Mà:
( )
( )
bc
cbcba
cb
a

bc
babacc
cb
a
c
ba
b
ac
cb
a
x
zy
2222

−−−
−
=
−+−
−
=






−
+
−
−

=
+
=
( )( ) ( )
bc
cbaa
cb
cbacb
cb
a −−
=
−−−
− .
.
Mà a+b+c=0 ⇒ a –b –c = 2a
Vậy
bc
a
x
zy
2
2
=
+
Tương tự,
ab
c
z
yx
ac

b
y
xz
22
2
,
2
=
+
=
+
,
Tóm lại ta có
abc
cba
ab
c
ca
b
bc
a
z
yx
y
xz
x
zy
333222
.22
++

=








++=
+
+
+
+
+
Biết a=-(b+c)⇒ a
3
=-(b+c)
3
=-[b
3
+c
3
+3bc(b+c)]⇒ a
3
=-(b
3
+c
3
)+3abc

Hay : a
3
+b
3
+c
3
= 3abc
Vậy :
6
6
y z z x x y abc
x y z abc
+ + +
+ + = =
Do đó :
( )
9
111
=








++++
zyx
zyx

6. Chứng minh rằng nếu: x=
;
ba
ba
+
−
y=
cb
cb
+
−
, z=
ac
ac
+
−
thì :
(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
( THI HSG TP. HỒ CHÍ MINH 1987-1988 VÒNG 1)
Hướng dẫn:
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
Ta có:
(1+x)(1+y)(1+z)=







+
−
+






+
−
+






+
−
+
ac
ac
cb
cb
ba
ba
111
=

ac
acac
cb
cbcb
ba
baba
+
−++
+
−++
+
−++


=
ac
c
cb
b
ba
a
+++
2
.
2
.
2
=
( )( )( )
accbba

abc
+++
8
(1-x)(1-y)(1-z)=






+
−
−






+
−
−






+
−

−
ac
ac
cb
cb
ba
ba
111
=
ac
acac
cb
cbcb
ba
baba
+
+−+
+
+−+
+
+−+


=
ac
a
cb
c
ba
b

+++
2
.
2
.
2
=
( )( )( )
accbba
abc
+++
8
Vậy: (1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z)
7. Cho a, b, c là 3 số thực khác nhau . Chứng minh rằng:

1 −=
−
+
−
+
+
−
+
−
+
+
−
+
−
+

ba
ab
ac
ca
ab
cb
ac
ca
cb
cb
ba
ba
Hướng dẫn:
Đặt x=
ba
a
x
ba
ba
−
=+⇒
−
+ 2
1
và x-1=
ba
b
−
2
y=

cb
b
y
cb
cb
−
=+⇒
−
+
2
1
và y-1=
cb
c
−
2
z=
ac
c
z
ac
ac
−
=+⇒
−
+
2
1
và z-1=
ac

a
−
2
⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM
8. Cho a,b, c đôi một khác nhau. Chứng minh:

( )( ) ( )( ) ( )( )
1−=
−−
+
−−
+
−− cbba
ca
baac
bc
accb
ab
Hướng dẫn:
Đặt : x=
cb
a
−
, y=
ac
b
−
, z=
ba
c

−
⇒(1+x)(1+y)(1+z)= (1-x)(1-y)(1-z) ⇒ xy+yz+zx=-1 ⇒ ĐPCM
9. Cho x,y là các số thực thỏa mãn điều kiện
111
22
=−+− xyyx
.
Chứng minh rằng: x
2
+y
2
=1
Hướng dẫn:
Điều kiện:
11;11 ≤≤−≤≤− yx

Ta có:
111
22
=−+− xyyx
( ) ( ) ( )( )
111211
222222
=−−+−+−⇒ yxxyxyyx
( )( )
01112
22222222
=−−−+−+−⇒ yxxyyxyyxx
( )( ) ( )( )
011211

222222
=−−−+−−⇒ yxxyyxyx
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
( ) ( ) ( )( )
011211
2222222
=−−−+−−− yxxyyxxyx
( )( ) ( )( )
011211
222222
=−−−+−−⇒ yxxyyxyx
( )( )
(
)
( )( )
011011
22
2
22
=−−−⇒=−−−⇒ xyyxxyyx
( )( ) ( )( )
11
1111
22222222
222222
=+⇒=+−−⇒
=−−⇒=−−⇒
yxyxyxyx
yxyxxyyx

10. Chứng minh rằng:
Nếu ta có :
d
c
b
a
=
thì
44
44
4
dc
ba
dc
ba
+
+
=






−
−
( THI HSG MIỀN BẮC 1969-1970)
Hướng dẫn:
Ta có
d

c
b
a
=
⇔
d
b
c
a
=
p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

dc
ba
d
b
c
a
−
−
==
⇒
4
4
4
4
4







−
−
==
dc
ba
d
c
b
a
(1)
Ta lại có :
44
44
4
4
4
4
dc
ba
d
b
c
a
+
+
==
(2)

Từ (1) và (2) ⇒
44
44
4
dc
ba
dc
ba
+
+
=






−
−
11. Chứng tỏ rằng nếu ta có:

c
xyz
b
zxy
a
yzx −
=
−
=

−
222
thì suy ra được :
z
abc
y
cab
x
bca −
=
−
=
−
222
( THI HSG MIỀN BẮC 1971-1972)
Hướng dẫn:
Ta đặt :
c
xyz
b
zxy
a
yzx −
=
−
=
−
222
= k
⇒a =

k
yzx −
2
, b =
k
zxy −
2
, c =
k
xyz −
2
Ta có :
x
k
xyz
k
zxy
k
yzx
x
bca
−−
−









−
=
−
22
2
2
2
.

⇔
2
3332
3
k
xyzzyx
x
bca −++
=
−
(1)
Tương tự ta có :
2
3332
3
k
xyzzyx
y
cab −++
=

−
(2)

2
3332
3
k
xyzzyx
z
abc −++
=
−
(3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒ĐPCM
BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
12.Cho A =
100.99
1

6.5
1
4.3
1
2.1
1
++++
Chứng minh rằng:
6
5

12
7
<< A
Hướng dẫn:
Trước hết ta biến đổi A thành
100
1

53
1
52
1
51
1
++++
. Do đó:
A=






++++







+++
100
1

77
1
76
1
75
1

52
1
51
1
Ta có :
75
1

52
1
51
1
>>>
;
100
1

77
1

76
1
>>>
A>
12
7
4
1
3
1
25.
100
1
25.
75
1
=+=+
A<
6
5
3
1
2
1
25.
73
1
25.
50
1

25.
76
1
25.
51
1
=+=+<+
Vậy :
6
5
12
7
<< A
13. a) Cho b∈N, b>1. Chứng minh rằng:
bb
b
bb
1
1
11
1
11
2
−
−
<<
+
−
b) Cho S =
2222

9
1

4
1
3
1
2
1
++++
. Chứng minh rằng:
9
8
5
2
<< S
Hướng dẫn:
a) Ta có:
( ) ( )
2
1
.
1
1.
1
1.
1
1
11
b

bbbbbb
bb
bb
=<
+
=
+
−+
<
+
−
Vậy :
1
111
2
+
−>
bb
b
(1)
Chứng minh tương tự ta được:
2
1 1 1
1b b b
< −
−
(2)
Từ (1) va ø(2) suy ra ĐPCM
a) p dụng công thức :
bb

b
bb
1
1
11
1
11
2
−
−
<<
+
−
Ta có
2
1
1
1
2
1
3
1
2
1
2
−<<−

3
1
2

1
3
1
4
1
3
1
2
−<<−

. . . . . . . . . . . . .

9
1
8
1
9
1
10
1
9
1
2
−<<−

⇒
9
1
1
10

1
2
1
−<<− S

Vậy :
9
8
5
2
<< S

BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC
TÀI LIỆU BỒI DƯỢNG HỌC SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI VÀO CÁC TRƯỜNG CHUYÊN
14. Chứng minh rằng nếu các số nguyên dương a,b,c có tổng a+b+c=1 thì

9
111
≥++
cba
(THI HSG TP.HCM 1988-1989 VÒNG 2)
Hướng dẫn:
Ta có:

( )
b
c
a
c
c

b
a
b
c
a
b
a
cba
cba
cba
++++++=






++++=++ 3
111111

922233 =+++≥






++







++






++=
b
c
c
b
a
c
c
a
a
b
b
a
⇒
9
111
≥++
cba
15. Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn bất đẳng thức:

10x
2
+20y
2
+24xy+8x-24y+51≤ 0.
( THI HSG TP.HCM 1991-1992 VÒNG 1)
Hướng dẫn :
Ta có: 10x
2
+20y
2
+24xy+8x-24y+51≤ 0
⇔(9x
2
+ 24xy +16y
2
)+(x
2
+8x+16)+(4y
2
-24y+36)≤1
⇔(3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
≤1
Vì x,y là các số nguyên ⇒ (3x+4y)
2

∈N , (x+4)
2
∈N , 4(y-3)
2
∈N
⇒(3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
∈N
⇒(3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
=0 (1 ) hoặc (3x+4y)
2
+(x+4)
2
+4(y-3)
2
=1 (2 )
Ta có:
(1) ⇔






=−
=+
=+
03
04
043
y
x
yx
⇔



=
−=
3
4
y
x
(2) ⇔
( )
( )
















=−
=+
=+





=−
=+
=+
03
14
043
03
04
143
2
2
y
x

yx
y
x
yx
không tìm được x,y
Vậy x=-4 và y=3 thoả mãn

BÌNH LONG – BÌNH PHƯỚC