Tóm tắt lý thuyết và bài tập xác suất thống kê

CHƯƠNG 0: GIẢI TÍCH TỔ HỢP
I.Nguyên lý đếm
I.1.Nguyên lý cộng.
Một công việc được thực hiện theo một trong k khả năng trong đó:
Khả năng 1 có
1
n
cách thực hiện
Khả năng 2 có
2
n
cách thực hiện
……………………………………………………
Khả năng k có
k
n
cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiên công việc này là
1
n
+
2
n
+…+
k
n
I.2.Nguyên lý nhân
Một công việc được tiến hành qua k giai đoạn, trong đó
giai đoạn thứ i có
i
n

( i=1, 2,…k) cách thực hiện.
Khi đó số cách thực hiện công việc là
1
n
.
k
n
…
k
n
Ví dụ 1.Số điện thoại của một thành phố gồm 7 chữ số.
a)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định cho thành phố này?
b)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số
thuê bao đó không có số 3 cho thành phố này?
c)Có thể cung cấp được bao nhiêu số thuê bao cố định mà trong số thuê bao đó các chữ số
khác nhau cho thành phố này?
Giải
Ta có số điện thoại của thành phố này có dạng
1 2 3 4 5 6 7
a a a a a a a
a)Vì
1
a
được chọn từ các số: 0,1,2,…9 nên có 10 cách chọn.
Tương tự
2 3 4 5 6 7
, , , , ,a a a a a a
cũng có 10 cách chọn.
Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.10.10.10.10.10.10 = 10000000 số thuê
bao.

b)Để được số thuê bao mà các chữ số đều là số lẻ thì
1
a
,
2
a
,
7
,a
phải được chọn từ các số
lẻ 1, 3, 5, 7, 9 nên
1
a
,
2
a
7
, ,a
đều có 5 cách chọn.Vậy theo nguyên lý nhân có thể cung
cấp được 5.5.5.5.5.5.5=5
7
số thuê bao cố định mà không có số 3.
c)Để đươc số thuê bao gồm 3 chữ số khác nhau thì
1
a
có 10 cách chọn,
2
a
có 9 cách chọn,
3

a
có 8 cách chọn,
4
a
có 7 cách chọn,
5
a
có 6 cách chọn,
6
a
có 5 cách chọn,
7
a
có 4 cách
chọn nên theo nguyên lý nhân có thể cung cấp được 10.9.8.7.6.5.4 = 604.800 số thuê bao
mà các chữ số khác nhau .
II.Giải tích tổ hợp
II.1.Chỉnh hợp
*Định nghĩa chỉnh hợp:Một chỉnh hợp chập k của n là một nhóm gồm k phần tử lấy từ n
phần tử ban đầu (
0 )k n≤ ≤
sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và
quan tâm đến thứ
Ví dụ 2
Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng.
Một véc tơ khác không được tạo thành từ 3 điểm này là một chỉnh hợp chập 2 của 3 vì một
véctơ khác không được tạo thành từ 3 điểm trên là một nhóm 2 phần tử(1phần tử trong
trường hợp này là 1 điểm) lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp(vì đang
xét véctơ khác không)và quan tâm thứ tự( đảo thứ tự 2 điểm trong 1 véctơ sẽ tạo véctơ
khác)

* Số chỉnh hợp chập k của n phần tử là

k
n
A
= n.(n-1).(n-2)…(n-k+1)=
!
( )!
n
n k−
Ví dụ 3.Từ ví dụ 2 ta có 1 véctơ khác không được tao thành từ 3 điểm là 1 chỉnh hợp chập
2 của 3 nên số véctơ khác không đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số chỉnh hơp chập 2 của 3
và bằng
2
3
A
=3.2=6.Cụ thể ta có 6 chỉnh hợp đó là:
, , , , ,AB BA AC CA BC CB
uuur uuur uuur uur uuur uuur
II.2.Tổ hợp
*Định nghĩa tổ hợp.Một một tổ hợp chập k của n là nhóm gồm k phần tử lấy từ n phần tử
ban đầu (
0 )k n≤ ≤
sao cho nhóm k phần tử này thỏa 2 tính chất: không lặp và không quan
tâm đến thứ tự
Ví dụ 4. Cho 3 điểm A,B,C phân biệt trong mặt phẳng.
Một đoạn thẳng được tạo thành từ 3 điểm này là một tổ hợp chập 2 của 3 vì một đoạn thẳng
như vậy là một nhóm 2 phần tử lấy từ 3 phần từ ban đầu thoả 2 tính chất chất:không lặp
(nếu 2 điểm trùng nhau thì không thể gọi là 1 đoạn thẳng) và không quan tâm thứ tự( đảo
thứ tự 2 điểm trong 1 đoạn thẳng thì không tạo thành đoạn thẳng khác)

*Số tổ hợp chập k của n phần tử là
k
n
C
=
!
!( )!
n
k n k−
Ví dụ 5.Từ ví dụ 4 ta có 1 đoạn thẳng được tao thành từ 3 điểm là 1 tổ hợp chập 2 của 3
nên số đoạn thẳng đuợc tạo thành từ 3 điểm bằng số tổ hơp chập 2 của 3 và bằng
2
3
C
=3.Cụ
thể ta có 6 tổ hợp đó là:AB, AC,BC.
Ví dụ 6.Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
a)Có bao nhiêu cách lấy?
b)Có bao nhiêu cách lấy để được 3 sản phẩm tốt?
c)Có bao nhiêu cách lấy để được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu?
d)Có bao nhiêu cách lấy để được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu?
Giải
a)Một cách lấy ra 3 sản phẩm từ là nhóm 3 từ 9 không lặp và không quan tâm thứ tự ( vì 3
sản phẩm này phân biệt và có thay đổi sự sắp xếp 3 sản phẩm thì cũng là 3 sản phẩm đó
được lấy) nên đó là một tổ hợp chập 3 của 9.
⇒
Số cách lấy = số tổ hợp chập 3 của 9 và
bằng =
3
9

C
= 84
b) Để lấy được 3 sản phẩm tốt thì 3 sản phẩm đó phải lấy từ các sản phẩm tốt trong lô,nên
mỗi cách lấy là 1 tổ hợp chập 3 của 4
⇒
Số cách lấy =
3
4
C
=4
c)Để được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm ta có 2 giai đoạn:
+ Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có
2
4
C
= 6 cách
+ Giai đoạn 1: Lấy 1 sản phẩm xấu có
1
6
C
= 6 cách
Theo nguyên lý nhân số cách lấy được 2 sản phẩm tốt, 1sản phẩm xấu là 6.6 = 36 cách.
II.3.Hoán vị
*Định nghĩa hoán vị.
Một chỉnh hợp chập n của n được gọi là một hoán vị của n.
*Số hoán vị của n phần tử là
n
P
= n!
Ví dụ7. Cho tập hợp S =

{ }
1,2,3,4,5
a) Có bao nhiêu tập con có 3 phần tử của S?
b) Có bao nhiêu tờ vé số có 3 chữ số khác nhau được tạo từ S?
c) Có bao nhiêu tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S?
Giải
a) Một tập con có 3 phần tử của S là 1 nhóm gồm 3 phần tử từ 5 phần tử có tính chất
không lặp và không quan tâm thứ tự nên đó là một tổ hợp chập 3 của 5
⇒
số tập
con có 3 phần tử của S = số tổ hợp chập 3 của 5 =
3
5
C
=10.
b) Một tờ vé số gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S cũng là nhóm 3 phần tử từ 5
phần tử cũng có tính chất không lặp(3 chữ số khác nhau) nhưng quan tâm thứ
tự(đảo thứ tự 3 chữ số trong tờ vé số ta sẽ được tờ vé số khác). Vậy mỗi tờ vé số
gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S là 1 chỉnh hợp chập 3 của 5
⇒
số tờ vé số
gồm 3 chữ số khác nhau được tạo từ S = số chỉnh hợp chập 3 của 5 =
3
5
A
=60.
c) Tương tự câu b ta có 1 tờ vé số gồm 5 chữ số khác nhau là 1 chỉnh hợp chập 5 của 5
nghĩa là 1 hoán vị của 5 phần tử trong S . Do đó
Số tờ vé số có 5 chữ số khác nhau được tạo từ S=
5

5! 120P = =

CHƯƠNG 1
ĐỊNH NGHĨA XÁC SUẤT
I.CÁC KHÁI NIỆM
I.1.Phép thử, không gian mẫu, biến cố
*Phép thử là một thí nghiệm có thể cho ra nhiều kết qủa khác nhau mà ta không biết trước
được kết quả nào chắc chắn xảy ra.
Ví dụ 1.Tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là 1 phép thử.
Tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là một phép thử
*Không gian mẫu.
Không gian mẫu là tập hợp các trường hợp có thể xảy ra của phép thử. Ký hiệu là
Ω
Ví dụ 2. Không gian mẫu của phép thử tung đồng xu và quan sát xem được mặt nào là
{ }
,S NΩ =
Không gian mẫu của phép thử tung một con xúc xắc và quan sát xem được nút nào là:
{ }
út 1,nút 2, nút 3, nút 4,nút 5, nút 6,nΩ =
*Biến cố
Biến cố là một tập con của không gian mẫu.Các biến cố thường được ký hiệu bằng các chữ
cái in hoa A,B,C…
Mỗi tập con chỉ gồm 1 phần tử của
Ω
được gọi là 1 biến cố sơ cấp
Một biến cố được gọi là xảy ra nếu kết qủa của phép thử là 1 phần tử của biến cố đó.
Biến cố tất yếu.Vì
Ω
chứa mọi kết qủa của phép thử nên
Ω

chắc chắn xảy ra, ta gọi
Ω
là
biến cố tất yếu.
Biến cố bất khả.Vì Φ là tập con của
Ω
và Φ không chứa phần tử nào nên Φ không bao giờ
xảy ra, ta gọi Φ là biến cố bất khả.
Ví dụ 3.
*Đối với phép thử tung đồng xu ở trên, ta có các biến cố như sau:
A = “được mặt sấp”(A =
{ }
S
)
(Để ký hiệu A là biến có được mặt sấp ta có ta cũng có thể làm như sau:
Gọi A là biến cố được mặt sấp)
B = “được mặt ngửa”(B =
{ }
N
)
**Đối với phép thử tung con xúc xắc ở trên, ta có các biến cố như sau:
A=“Được nút 1” (A =
{ }
út 1n
) ,
B= “Được nút chẵn”(B=
{ }
nút 2, nút 4, nút 6
,
C= “Được nút chia hết cho 3”(C =

{ }
nút 3, nút 6
)
Ví dụ 4.Một lô hàng có 3 sản phẩm tốt (
1 2 3
, ,T T T
) và 2 sản phẩm xấu(
1 2
,X X
).Lấy ngẫu
nhiên ra 3 sản phẩm và quan sát xem 3 sản phẩm nào được lấy là 1 phép thử. Không gian
mẫu của phép thử này là
{ }
1 2 3 1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2 1 1 2 2 1 2 3 1 2
, , , , , , , , ,T T T TT X T T X T T X T T X T T X T T X T X X T X X T X XΩ =
và ta có
những biến cố sau:
Gọi A là biến cố được 3 sản phẩm tốt(
{ }
1 2 3
A T T T=
)
Gọi B là biến cố được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu. (
{ }
1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2
, , , , ,B T T X T T X T T X T T X T T X T T X=
)
Gọi C là biến cố được 1 sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu. (
{ }
1 2 1 1 2 2 1 3 1 1 3 2 2 3 1 2 3 2

, , , , ,C TT X T T X T T X T T X T T X T T X=
)
I.2 Phép toán và quan hệ trên biến cố.
*Tổng, tích hai biến cố.
Với 2 biến cố A, B bất kỳ
●Tổng của A và B ký hiệu A+B là 1 biến cố sao cho: A+B xảy ra
⇔
A xảy ra hoặc B xảy
ra nghĩa là có ít nhất một biến cố xảy ra.
●Tích của A và B ký hiệu AB là 1 biến cố sao cho: AB xảy ra
⇔
A xảy ra và B xảy ra.
Chú ý: Khi diễn đạt biến cố bằng lời nếu có từ hoặc thì đó là tổng các biến cố, nếu có từ và
thì đó là tích các biến cố.
Ví dụ 5.Với A,B trong ví dụ 3phần ** ta có
A+B là biến cố được nút 1 hoặc nút 2
AB là biến cố được nút 1 và nút 2 nghĩa là AB= ɸ
Với A,B trong ví dụ 5 ta có
A+B là biến cố được 3 sản phẩm tốt hoặc được 2 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu.Nói cách
khác A+B là biến cố được ít nhất 2 sản phẩm tốt.
A.B là biến cố được 3 sản phẩm tốt và được 2 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu.
Vậy AB=
∅
* Hai biến cố xung khắc.
Hai biến cố A, B xung khắc nhau nếu chúng không đồng thời cũng xảy ra, nghĩa là AB =
∅
.
*Biến cố đối lập.
Biến cố đối lập của A ký hiệu là
_

A
đối lập nhau nếu A+
_
A
=
Ω
và A
_
A
=
∅
Ví dụ 6.Một chiếc hộp có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm
Gọi
i
M
= “ được i sản phẩm tốt” (i=0,1,2,3,4)
A= “ được ít nhất 2 sản phẩm tốt”,
B= “ được 3 sản phẩm cùng loại”
Hãy biểu diễn các biến cố A,
_
A
, B, và
_
B
thông qua các biến cố
i
M

Giải
Khi lấy ngẫu nhiên ra 4 sản phẩm,biến cố A được ít nhất 2 sản phẩm tốt nghĩa là được 2

sản phẩm tốt,2 sản phẩm xấu hoặc được 3 sản phẩm tốt,1 sản phẩm xấu hoặc được 4 sản
phẩm tốt, do đó A =
2
M
+
3
M
+
4
M
_
A
là biến cố được không quá 1 sản phẩm tốt nghĩa là được 0 sản phẩm tốt hoặc 1 sản
phẩm tốt, do đó
_
A
=
0 1
M M+
.
Sản phẩm trong hộp có 2 loại: tốt và xấu, vì vậy biến cố B được 4 sản phẩm cùng loại
nghĩa là được 4 sản phẩm tốt hoặc được 4 sản phẩm xấu, do đó B =
0
M
+
3
M
.
Ta có
_

B
= “được 4 sản phẩm khác loại”
⇒

_
B
=
1
M
+
2
M
+
3
M

Ví dụ 7.Có 2 xạ thủ bắn vào mục tiêu độc lập.
Gọi M = “ xạ thủ 1 bắn trúng”, N = “ xạ thủ 2 bắn trúng”.
A = “ cả 2 người bắn trúng”,B = “ có 1 người bắn trúng”.
C = “có ít nhất 1 người bắn trúng”.
Hãy biểu diễn các biến cố A, B, C thông qua các biến cố M, N,
_
M
,
_
N

Giải
Ta thấy
_

M
= “ người 1 bắn không trúng(bắn trật)”,
_
N
= “ người 2 bắn không trúng(bắn
trật)”
Biến cố A= “ cả 2 người bắn trúng”
= “ người 1 bắn trúng” và “ người 2 bắn trúng” do đó A = M.N
Biến cố B = “có 1 người bắn trúng”= “ người 1 bắn trúng” và “người 2 bắn trật” hoặc
“người 1 bắn trật” và “người 2 bắn trúng”, vì vậy
B =M
_
N
+
_
M
N
Biến cố C có ít nhất 1 người bắn trúng nghĩa là có 1 người bắn trúng ( B) hoặc có 2 người
bắn trúng (A), do đó C= A+ B = M
_
N
+
_
M
N+MN
Nhận xét
Biến cố C có ít nhất 1 người trúng cũng có nghĩa là người 1 trúng hoặc người 2 trúng vì
vậy ta cũng có thể biểu diễn C = M+ N
II.Định nghĩa xác suất.
Định nghĩa xác suất cổ điển.

Xét 1 phép thử gồm n biến cố sơ cấp đồng khả năng và biến cố A là tổng của
A
m
biến cố sơ
cấp đồng khả năng. Xác suất của biến cố A ký hiệu P(A) và được định nghĩa như sau:
P(A) =
A
m
n
Trong đó:
+
A
m
là số trường hợp để A xảy ra hay còn gọi là số biến cố sơ cấp thuận lợi cho A, và đó
chính là số phần tử của A,
+n là tổng số trường hơp xảy ra hay còn gọi là số sự kiện đồng khả năng, và đó chính là số
phần tử của
Ω
.
Nhận xét
Để tìm P(A) ta cần tìm 2 con số
A
m
và n và thường phải sử dụng công cụ tổ hợp. Đối với
nhiều bạn đọc, tính P(A) bằng định nghĩa cổ điển là bài toán khó vì họ thường chưa định
hướng được cách giải. Ở đây tôi xin nêu cách phân tích để định hướng bài toán như sau:
Tổng số trường hợp xảy ra của phép thử (n ) sẽ phụ thuộc vào phép thử, thế nhưng nhiều
người khi tính số này không quan tâm đến phép thử là gì.Đó là một sai lầm. Vì vậy để tìm
n các bạn hãy trả lời cho được phép thử là gì.Thực ra nếu phải dung giải tích tổ hợp để tìm
n thì phép của bài toán đó sẽ rơi vào 2 loại. Đó là một lần (giai đoạn)thực hiện hay nhiều

lần thực hiện? Bạn hãy đọc đề cho kỹ để xác định điều này.(Bạn cũng cần phân biệt số lần
thực hiện với số cách thực hiện. Ví dụ một lô hàng có 10 sản phẩm lấy ngẫu nhiên ra k sản
phẩm( nghĩa là bốc cùng lúc ra k sản phẩm) thì số lần thực hiện là 1, còn số cách thực hiện
là
10
k
C
). Nếu 1 lần thực hiện thì thường sẽ không lặp và không quan tâm thứ tự nên để tìm
n ta dung tổ hợp. Còn nếu nhiều lần thì có thể lặp hoặc không và cũng có thể quan tâm thứ
tự hoặc không vì vậy số cách thực hiện được tính bằng nguyên lý nhân( số chỉnh hợp, số
chỉnh hợp lặp, số hoán vị đều được tính dựa vào nguyên lý nhân). Như vậy khi bạn đã xác
định phép thử phép thử rơi vào loại nào trong 2 loại trên bạn chỉ cần dùng tổ hợp hoặc
nguyên lý nhân là có thể tìm được n.Để tìm
A
m
ta phải xem biến có A là biến cố nào. Ràng
buộc A với phép thử, rồi hạn chế bớt số trường hợp có thể xày ra ta sẽ có
A
m
.
Ví dụ 8.Một chiếc hộp có 3 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu. Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm
a)Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt.
b)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu.
c)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu.
Giải
a)Gọi A= “được 3 sản phẩm tốt”
Ở đây phép thử là: Lấy cùng lúc ra 3 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy ra 3 sản
từ hộp tương ứng với một tổ hợp chập 3 của 5(3 sản phẩm khác nhau, không quan tâm thứ
tự)
Vậy n =

3
5
C
=10.
Tương tự lấy được 3 sản phẩm tốt là một tổ hợp chập 3 của 3 nên
A
m
=
3
3
C
=1
⇒
P(A)=
1
10
A
m
n
=
b) Gọi B= “được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu”
Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu ta chia 2 giai đoạn:
Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có
2
3
C
= 3 cách
Giai đoạn 2: Lấy 1 sản phẩm xấu có
1
2

C
= 2 cách
Theo nguyên lý nhân
B
m
= 3.2=6
Vậy P(B)=
6
10
B
m
n
=
c) Gọi C= “được1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu”.
Để lấy được 3 sản phẩm trong đó có 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu
ta chia 2 giai đoạn
Giai đoạn 1: Lấy 2 sản phẩm tốt có
1
3
C
= 3 cách
Giai đoạn 2: Lấy 1 sản phẩm xấu có
2
2
C
= 1 cách
Theo nguyên lý nhân
C
m
= 3.1=3

Vậy P(C)=
3
10
C
m
n
=
Ví dụ 9.Chọn ngẫu nhiên 1 tờ vé số có 3 chữ số, tính xác suất
a) được tờ không có số 3.
b) được tờ có 3 chữ số khác nhau.
c) được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ.
Giải
Ba chữ số của tờ vé số được cấu tạo từ 10 chữ số: 0,1,…8,9. Nhưng ở đây không phải lấy 1
lần ra 3 chữ số từ 10 chữ số vì nếu lấy cùng lúc thì 3 chữ số đó đều phải khác nhau(không
có số nào được trùng lại),trong khi đó 3 chữ số trên tờ vé số có thể trùng lại. Như vậy phép
thử ở đây phải hiểu: Quan sát 3 lần chọn, mỗi lần chọn một số từ 0 đến 9 nghĩa là có 3 lần
thực hiện và mỗi lần có 10 cách nên tổng số trường hợp xảy ra n= 10.10.10= 1000
a)Gọi A = “được tờ không có số 3”.
Số trường hợp để A xảy ra
A
m
= 9.9.9=729
Vậy P(A)=
729
1000
A
m
n
=
b)Gọi B = “được tờ có 3 chữ số khác nhau”.

Số trường hợp để B xảy ra
B
m
=10.9.8=720(có thể thấy

B
m
=
3
10
A
=720)
Vậy P(B)=
720
1000
B
m
n
=
c)Gọi C = “được tờ có 3 chữ số đều là số lẻ”.
Số trường hợp để C xảy ra
C
m
=5.5.5=125
Vậy P(C)=
125
1000
C
m
n

=
Ví dụ 10. Đoàn tàu điện gồm 3 toa tiến vào một sân ga, ở đó đang có 12 hành khách chờ
lên tàu. Giả sử hành khách lên tàu ngẫu nhiên và mỗi toa còn hơn 12 chổ trống.Tính xác
suất:
a) Tất cả cùng lên toa II
b) Tất cả cùng lên 1 toa.
c) Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3.
Giải
Ta thấy bài toán không quan tâm đến chỗ ngồi mà chỉ quan tâm đến toa.Giả thiết mỗi toa
còn hơn 12 chỗ trống để có thể cho 12 người vào cùng 1 toa.
Phép thử ở đây quan sát mỗi người chọn 1 toa tàu để lên. Do đó có 12 lần( giai đoạn) thực
hiện.Mỗi người chọn 1 trong 3 toa nên có
1
3
C
=3 cách.Có 12 người nên theo nguyên lý nhân
n=3.3…3=
12
3
a)Gọi A = “tất cả cùng lên toa II”
Số trường hợp để A xảy ra
A
m
= 1.1…1=1
Vậy P(A)=
1
531441
A
m
n

=
b) Gọi B = “tất cả cùng lên 1 toa”
Người thứ nhất không có ràng buộc gì mà chỉ chọn 1 toa từ 3 toa nên có
1
3
C
=3, những
người còn lại phải lên toa mà người thứ nhất đã lên nên mỗi người có 1 cách chọn.
⇒
Số trường hợp để B xảy ra
B
m
=
1
3
C
.1.1…1=3
Vậy P(B)=
3
531441
B
m
n
=
c)Gọi C = “Toa 1 có 4 người, toa 2 có 5 người, còn lại lên toa 3”.

C
m
=
4 5 3

12 8 3
. .C C C
=27.720.
Vậy P(C)=
27.720
531441
C
m
n
=
Ví dụ 11.Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.
a)Tính xác suất cả 3 lá đúng người nhân.
b) Tính xác suất lá 1 đúng người nhận
Giải
Rõ ràng phép thử gồm 3 lần thực hiện(mỗi lần là xếp 1 lá thư vào phong bì)
Vì mỗi lá thư vào 1 phong bì nên lá thứ nhất có 3 cách, lá thứ 2 có 2 cách và lá thứ 3 có 1
cách.Theo nguyên lý nhân n=3.2.1= 6
a)Gọi A= “cả 3 lá đều đúng người nhận”
Để tính số trường hợp để A xảy ra ta thấy lá 1 có 1 cách( phải xếp vào phong bì của lá 1),
tương tự lá 2, 3 cũng có 1 cách
⇒

A
m
= 1.1.1=1
P(A)=
1
6
A
m

n
=
b) Gọi B= “lá 1 đúng người nhận”
Để tính số trường hợp để B xảy ra ta thấy lá 1 có 1 cách( phải xếp vào phong bì của lá 1),
lá 2 có 2 cách,lá 3 có 1 cách
⇒

B
m
= 1.2.1=2
P(A)=
2
6
B
m
n
=
Ví dụ 12. Hộp 1 có 4 bi đỏ, 6 bi trắng.Hộp 2 có 3 bi đỏ, 5 bi trắng. Lấy ngẫu nhiên 1 hộp ra
1 bi.
a) Tính xác suất được 2 bi đỏ.
b) Tính xác suất được 1 bi đỏ, 1 trắng.
Giải
Phép thử gồm 2 lần(giai đoạn) thực hiện.
Giai đoạn 1:Lấy từ hộp 1 ra 1 bi có 10 cách.
Giai đoạn 2:Lấy từ hộp 2 ra 1 bi có 8 cách
Theo nguyên lý nhân n= 10.8=80
a)Gọi A = “Được 2 bi đỏ”
Để được 2 bi đỏ ta chia 2 giai đoạn.
Giai đoạn 1:Bi từ hộp 1 phải được bi đỏ có 4 cách
Giai đoạn 2:Bi từ hộp 2 phải được bi đỏ có 3 cách

⇒
Số cách lấy được 2 bi đỏ:
A
m
=4.3=12
P(A)=
12
80
A
m
n
=
b) A = “Được 1 bi đỏ, 1 trắng”
Để tính
B
m
ta có 2 trường hợp:
Trường hợp 1:Bi từ hộp 1 là bi đỏ, bi từ hộp 2 là bi trắng có : 4.5=20
Trường hợp 2: Bi từ hộp 1 là bi trắng, bi từ hộp 2 là bi đỏ có: 6.3=18
B
m
=20+18=38
P(B)=
38
80
B
m
n
=

Ví dụ 13. Một lô hàng có 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu. Lấy ra 2 sản phẩm theo 3 cách
sau:
+Lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm.
+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 2 sản phẩm.
Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:
a) Lấy được 2 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 phế phẩm.
Giải
Ba sản phẩm trong lô hàng là phân biệt nhau nên ta ký hiệu 2 sản phẩm tốt là
1 2
,T T
còn
sản phẩm xấu ta ký hiệu
1
X
.
● Với phép thử lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm.
Ở đây phép thử là lấy ngẫu nhiên ra 2 sản phẩm (1 lần thực hiện) nên mỗi cách lấy là 1
nhóm gồm 2 sản phẩm không lặp và không quan tâm thứ tự (vì ta có thay đổi thứ tự của 2
sản phẩm thì vẫn 2 sản phẩm đó được lấy) nên mỗi cách lấy như vậy là một tổ hợp chập 2
của 3. Suy ra, tổng số trường hơp xảy ra n=
2
3
C
=3 và không gian mẫu của phép thử là:
{ }
1 2 1 1 2 1
, ,TT T X T XΩ =
a) Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra:

A
m
=
2
2
C
=1 (A =
{ }
1 2
TT
)

⇒
P(A) =
1
3
A
m
n
=
b) Gọi B = “được 1 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu”
Số trường hợp để B xảy ra:
1 1
2 1
.
B
m C C=
= 2 (B =
{ }
1 1 2 1

,T X T X
)

⇒
P(A) =
2
3
A
m
n
=
● Với phép thử lấy lần lượt không có hoàn lại ra 2 sản phẩm .
Ở đây phép thử là lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2 lần thực hiện). Nên mỗi
cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm không lặp ( vì lấy không hoàn lại) và quan tâm thứ tự
(vì lấy lần lượt) nên đó là một chỉnh hợp chập 2 của 3. Suy ra, tổng số trường hơp xảy ra:
n=
2
3
A
= 3.2 = 6 và không gian mẫu của phép thử là:
{ }
1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 2
, , , , ,TT T T T X X T T X X TΩ =
a) Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra:
A
m
=
2
2

A
=2 (A =
{ }
1 2
TT
)
⇒
P(A) =
2 1
6 3
A
m
n
= =
b) Gọi B = “ được 1 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu”
Số trường hợp để B xảy ra
Ta có 2 trường hợp.
Trường hợp 1:Sản phẩm đầu tốt, sản phẩm sau xấu
Để đếm số cách trong trường hợp này ta chia 2 giai đoạn
Giai đoạn 1: Lấy sản phẩm lần 1, để được tốt ta có 2 cách
Giai đoạn 2: Lấy sản phẩm lần 2, để được tốt ta có 1 cách.
Theo nguyên lý nhân có 2.1=2 cách trong trường này.
Trường hợp 2:Sản phẩm đầu xấu, sản phẩm sau tốt
Tương tự ta cũng có 1.2= 2 cách trong trường này.
Suy ra
2 2 4
B
m = + =
(B
{ }

1 1 1 1 2 1 1 2
, , ,T X X T T X X T=
)
⇒
P(B) =
2
3
B
m
n
=
● Với phép thử lấy lần lượt có hoàn lại ra 2 sản phẩm.
Giống như cách lấy 2 ở đây phép thử cũng lấy lần lượt( không cùng lúc) ra 2 sản phẩm( 2
lần thực hiện). nhưng mỗi cách lấy là một nhóm 2 sản phẩm có thể lặp lại ( vì có hoàn
lại) .Theo nguyên lý nhân tổng số trường hơp xảy ra n=
3.3
= 9 và không gian mẫu của
phép thử là:
{ }
1 1 1 2 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1
, , , , , , , ,TT TT T T T T T X X T T X X T X XΩ =
a)Gọi A = “ được 2 sản phẩm tốt”
Số trường hợp để A xảy ra:
A
m
= 2.2=4(A
{ }
1 1 1 2 2 1 2 2
, , ,TT TT T T T T=
)

⇒
P(A) =
4
9
A
m
n
=
b)Gọi B= “được 1 sản phẩm tốt 1 sản phẩm xấu”
Tương tự như trường lấy không hoàn lại, số trường hợp để B xảy ra:
B
m =
4
(B =
{ }
1 1 1 1 2 1 1 2
, , ,T X X T T X X T
)
⇒
P(B) =
4
9
B
m
n
=
Nhận xét:
*Cách 1 và cách 2 có xác suất giống nhau nhưng phép thử là khác nhau.
* Ta có thể tính xác suất của các biến cố trong cách 2 , và 3 bằng định lý xác suất.
BÀI TẬP

1.1Một công ty có 4 nhân viên nam, 5 nhân viên nữ. Giám đốc công ty chọn ngẫu nhiên ra
4 người đi công tác.
a) Tính xác suất giám đốc chọn được 4 người nam đi công tác.
b) Tính xác suất giám đốc chọn được 3 người nam, 1 người nữ đi công tác.
1.2 Môt công ty kinh doanh với hóa đơn gồm 7 chữ số. Công ty phát thưởng bằng cách
dùng hàm random chọn ngẫu nhiên 1 hóa đơn từ máy vi tính.Tính xác suất số hóa đơn
trúng thưởng
a) là một số chẵn
b) là một số có số đầu tiên là số 9 và các chữ số đều khác nhau.
c) là một số có số đầu tiên là số 9, chữ số còn lại khác nhau và số lẻ.
1.3 Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Lấy ra 3 sản phẩm theo 3 cách sau:
+Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm.
+Lấy lần lượt có hoàn lại ra 3 sản phẩm.
+ Lấy lần lượt không hoàn lại ra 3 sản phẩm.
Xác định không gian mẫu và tính xác suất của các biến cố sau trong 3 phép thử trên:
a) Lấy được 3 sản phẩm tốt. b) Lấy được 2 sản phẩm tốt, 1 phế phẩm
1.4 Có 4 khách hàng cùng đi vào 1 cửa hàng có 6 quầy phục vụ. Tính xác suất để:
a)Cả 4 khách đến cùng 1 quầy.
b)Mỗi người đến 1 quầy khác nhau.
1.5 Giả sử cấu tạo protein của sinh vật chỉ gồm 14 loại axit amin cơ bản.
Tính xác suất sinh tổng hợp chuỗi polypeptid (mạch thẳng) gồm 12 axit amin, sao cho:
a) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1
lần và các axit amin glycine, leucine mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.
b) Trong chuỗi có các axit amin valine, cystine, thyroxine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 1
lần và các axit amin glycine, leucine, mỗi axit amin này chỉ hiện diện đúng 2 lần.Tất cả các axit
amin này (valine, cystine,thyroxine glycine và leucine ) luôn nằm gần nhau và nằm giữa các axit
amin valine, cystine là các axit amin glycine, leucine, thyroxin.
CHƯƠNG 2:CÁC CÔNG THỨC TÍNH XÁC SUẤT
I.Công thức cộng xác suất.
I.1.Công thức cộng 1

Nếu A, B xung khắc thì P(A+B) = P(A) +P(B)
Nếu
1 2
, , ,
n
A A A
xung khắc từng đôi thì P(
1 2
)
n
A A A+ + +
= P(
1 2
) ( ) ( )
n
A P A P A+ + +
I.2 Công thức cộng 2
Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A+B) = P(A) +P(B)-P(AB)
Nếu A, B, C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A+B+C) = P(A) +P(B)+P(C)- P(AB)-P(AC)-
P(BC)+P(ABC).
Nhận xét . Khi dùng công thức cộng để tính xác suất, bạn đọc cần lưu ý rằng loại bài toán
này sẽ có 2 loại biến cố: Biến cố bài toán đã cho (thường tính được xác suất hoặc đã biết
xác suất) và biến cố cần tính xác suất (các bạn phải nhận ra được chúng). Do đó các bạn
phải đặt tên các biến cố đã cho để dùng (nếu các biến cố đã cho chưa được ký hiệu), sau đó
biểu diễn biến cố cần tính xác suất thông qua các biến cố đề cho. Khi biểu diễn biến cố cần
tính xác suất, diễn đạt các biến cố thành lời nếu các bạn thấy có từ hoặc thì các bạn nên
nghĩ đến quan hệ tổng và sẽ dùng công thức cộng
Ví dụ 1.Một lô hàng có 4 sản phẩm loại I, 5 sản phẩm loại II.
Lấy ngẫu nhiên ra 3 sản phẩm
a)Tính xác suất được 3 sản phẩm cùng loại.

b)Tính xác suất được không quá 2 sản phẩm loại I.
Giải
Đề bài cho các biến cố:
i
A
= “có i sản phẩm loại I trong 3 sản phẩm lấy ra từ lô hàng”.( i=
0,1,2,3)
Các biến cố này xung khắc từng đôi và P(
0
A
) =
3
5
3
9
10
84
C
C
=
,
P(
1
A
) =
1 2
4 5
3
9
40

84
C C
C
=
, P(
2
A
) =
2 1
4 5
3
9
30
84
C C
C
=
, P(
3
A
) =
3
4
3
9
4
84
C
C
=

a) Biến cố cần tính xác suất: A= “được 3 sản phẩm cùng loại”
Vì lô hàng chỉ có 2 loại nên được 3 sản phẩm cùng loại là được 3 sản phẩm cùng loại I
hoặc được 3 sản phẩm cùng loại II” nên A =
0
A
+
3
A
. Suy ra P(A)=P(
0
A
+
3
A
)=P(
0
)A +
P(
3
A
)=
10 4 14
84 84 84
+ =
b) Gọi B= “được không quá 2 sản phẩm loại I”
Ta có B =
0 1
A A+
+
2

A
.Vì
0 1
, ,A A
2
A
xung khắc từng đôi nên
P(B) = P(
0
A
+
1 2
A A+
)=
10 40 30 80
84 84 84 84
+ + =
Ví dụ 2. Trong 1 kỳ thi AN phải thi 2 môn: toán và ngoại ngữ. Xác suất An đậu toán là 0,2,
xác suất An đậu ngoại ngữ là 0,3. Còn xác suất An đậu cả 2 môn là 0,1. Tính xác suất An
đậu ít nhất môt môn.
Giải
Ta thấy đề bài cho 3 biến cố là: H= “An đậu môn toán”, K=“An đậu ngoại ngữ” và M=
“An đậu môn toán và đậu ngoại ngữ”. Ta có H, K là 2 biến cố không xung khắc cũng
không độc lập, M = HK, P(H)= 0,2, P(K) = 0,3, P(M) = P(HK) = 0,1.
Biến cố cần tính xác suất A = “An chỉ đậu ít nhất 1 môn” nghĩa là An đậu toán và đậu
ngoại ngữ do đó A= H+K. Vì H, K không xung khắc( An có thể thi đậu cả toán và ngoại
ngữ) nên P(A) = P(H+K) = P(H) + P(K) – P(HK) = 0,2+0,3 -0,1= 0,4
II.Công thức nhân xác suất.
II.1.Xác suất có điều kiện.
Xác suất của A tính trong trường hợp B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A

với điều kiện B xảy ra.Ký hiệu P(A/B)
Ví dụ 3. Chọn ngẫu nhiên 1 số từ các số 1,2,…,20.Tính xác suất được số chia hết cho 2
biết rằng đã được số chia hết cho 3
Giải
Gọi A = “được số chia hết cho 2” ta dễ thấy P(A) = 10/20
Nhưng ở đây yêu cầu tính xác suất của A biết rằng đã được số chia hết cho 3 nghĩa là tính
xác suất của A khi đã có B = “đã được số chia hết cho 3” xảy ra.Vậy ta cần tính P(A/B)
Khi đã được số chia hết cho 3 ta thấy tổng số trường hợp n= 6 vì chỉ còn có 6 trường hợp
có thể xảy ra đó là được các số 3,6,9,12,15,18, và trong đó có 3 trường hợp để A xảy
ra( được các số 6,12,18) vì vậy theo định nghĩa xác suất cổ điển xác suất của A trong
trường hợp này 3/6
Vậy P(A/B) =3/6=1/2.
Ví dụ 4.Một lớp học có 100 sinh viên trong đó có 30 sinh viên giỏi toán, 40 sinh viên giỏi
ngoại ngữ và 10 sinh viên giỏi cả 2 môn. Chọn ngẫu nhiên 1 sinh viên từ lớp học.
a) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán.
b) Tính xác suất được sinh viên giỏi toán, biết rằng sinh viên đó giỏi ngoại ngữ.
Giải
Gọi A = “ được sinh viên giỏi toán”
Gọi B = “ được sinh viên giỏi ngoại ngữ”
a) P(A) = 30/100
b)Theo yêu cầu ta tính P(A/B)
Khi B xảy ra nghĩa là ta đã chọn được sinh viên giỏi ngoại ngữ nên tổng số trường hợp
xảy ra n = 40, trong đó có 10 sinh viên giỏi toán nên
A
m
= 10 . Vậy P(A)= 10/40
Ví dụ 5. Một lô hàng có 4 sản phẩm tốt, 5 sản phẩm xấu. Có 2 người khách mỗi người lần
lượt lấy từ lô ra 1 sản phẩm để mua.Tính xác suất người thứ 2 mua được sản phẩm tốt biết
rằng người thứ nhất mua được sản phẩm tốt.
Giải

Gọi B = “ khách hàng thứ nhất mua được sản phẩm tốt”
Gọi A = “khách hàng thứ hai mua được sản phẩm tốt”
Ta cần tính P(A/B)
Khi B xảy ra (người thứ nhất đã lấy đi 1 sản phẩm và đó là sản phẩm tốt), lúc này lô hàng
chỉ còn 8 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 5 xấu. Người thứ 2 lấy ngẫu nhiên ra 1 sản phẩm để
mua thì tổng số trường hợp xảy ra n = 8,
A
m
= 3.Vậy P(A/B) = 3/8
*Định lý. P(A/B) =
( )
( )
P AB
P B

II.2.Hai biến cố độc lập
Hai biến cố A, B được gọi là độc lập nếu P(A/B)= P(A) hoặc P(B/A)=P(B)
II.3.Công thức nhân xác suất 1.
Nếu A, B độc lập thì P(AB) = P(A).P(B)
Nếu
1 2
, , ,
n
A A A
độc lập trong toàn bộ thì P(
1 2
)
n
A A A
= P(

1 2
) ( ) ( )
n
A P A P A
Ví dụ 6. Một phân xưởng có 3 máy hoạt động độc lập. Xác suất máy 1, máy 2, máy 3 hoạt
động tốt trong 1 ca làm việc lần lượt là 0,1,0,2 và 0,3
a) Tính xác suất cả 3 máy đều hoạt động tốt.
b) Tính xác suất có 2 máy hoạt động tốt.
c) Tính xác suất có 1 máy hoạt động tốt.
d) Tính xác suất có ít nhất 1 máy hoạt động tốt.
e) Biết rằng có 2 máy hoạt đông tốt tính xác suất máy 1 hoạt động tốt
Giải
Đề bài cho 3 biến cố:
1
M
= “ Máy 1 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc” ,
2
M
= “ Máy 2
hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”,
3
M
= “ Máy 3 hoạt động tốt trong 1 ca làm việc”, với P(
1
M
) = 0,1, P(
2
M
) = 0,2, P(
3

M
) = 0,3. Các biến cố
1
M
,
2
M
,
3
M
không xung khắc từng
đôi, nhưng độc lập trong toàn bộ.
Ta ký hiệu bốn biến đề bài cần tính xác suất trong các câu a, b, c, d lần lượt là A, B, C, D.
a)Ta có A =
1
M
.
2
M
.
3
M

⇒
P(A) = P(
1
M
).P(
2
M

).P(
3
M
)= 0,1.0,2.0,3=0,006 (do
1
M
,
2
M
,
3
M
độc lập trong toàn bộ)
b) B =
1
M
.
2
M
.
_
3
M
+
1
M
.
_
2
M

2
M
.
3
M
+
_
1
M
.
2
M
.
3
M
⇒
P(B) = P(
1
M
.
2
M
.
_
3
M
)+ P(
1
M
.

_
2
M
.
3
M
)+P(
_
1
M
.
2
M
.
3
M
)
(do 3 biến cố xung khắc từng đôi)
= P(
1
M
).P(
2
M
).P(
_
3
M
)+P(
1

M
).P(
_
2
M
).P(
3
M
)+P(
_
1
M
).P(
2
M
).P(
3
M
)
=0,1.0,2.0,7+0,1.0,8.0,3+0.9.0,2.0,3= 0,092
c) C =
1
M
.
_
2
M
.
_
3

M
+
_
1
M
2
M
.
_
3
M
+
_
1
M
.
_
2
M
.
3
M
Tương tự câu b, ta có P(C) =P(
1
M
).P(
_
2
M
).P(

_
3
M
)+ P(
_
1
M
).P(
2
M
).P(
_
3
M
)+P(
_
1
M
). P(
_
2
M
).P(
3
M
)=0,1.0,8.0,7 + 0,9.0,2.0,7 +0,9.0,8.0,3 = 0,398
d)D =
1
M
.

2
M
.
3
M
+
1
M
.
2
M
.
_
3
M
+
1
M
.
_
2
M
2
M
.
3
M
+
_
1

M
.
2
M
.
3
M
+
1
M
.
_
2
M
.
_
3
M
+

_
1
M
2
M
.
_
3
M
+

_
1
M
.
_
2
M
.
3
M
⇒
P(D) = P(
1
M
).P(
2
M
).P(
3
M
)+P(
1
M
). P(
2
M
).P(
_
3
M

)+ P(
1
M
).P(
_
2
M
).P(
3
M
)+P(
_
1
M
). P(
2
M
).P(
3
M
)+P(
1
M
).P(
_
2
M
).P(
_
3

M
)+ P(
_
1
M
).P(
2
M
).P(
_
3
M
)+P(
_
1
M
). P(
_
2
M
).P(
3
M
) =
0,496
Ta cũng có thể tính P(D) như sau: D =
1
M
+
2

M
+
3
M
, với cách phân tích này do
1
M
,
2
M
,
3
M
không xung khắc nên
P(D) = P(
1
M
)+ P(
2
M
)+P(
3
M
)-P(
1
M
.
2
M
)-P(

1
M
.
3
M
)-P(
2
M
.
3
M
)+P(
1
M
2
M
3
M
)= P(
1
M
)
+ P(
2
M
)+P(
3
M
)-P(
1

M
).P(
2
M
)-P(
1
M
).P(
3
M
)-P(
2
M
).P(
3
M
)+P(
1
M
2
M
3
M
)
= 0,1+0,2+0,3 -0,1.0,2-0,1.0,3-0,2.0,3+0,1.0,2.0,3= 0,496
Hoặc có thể dùng biến cố đối lập P(
_
D
) = 1 – P(D) = 1- P(
_

1
M
).P(
_
2
M
).P(
_
3
M
) = 1-
0,9.0,8.0,7= 0,496
e)P(
1
M
/B)=
1
( )
( )
P M B
P B
=
1 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ( ))
( )
P M M M M M M M M M M
P B
− − −
+ +
=

1 1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 3
( )
( )
P M M M M M M M M M M M M
P B
− − −
+ +
=
1 2 3 1 2 3
( ) ( ) ( ) ( ) 0,014
( ) ( ) 0,092
P M M M P M P M P M
P B P B
− −
= =
=0,152
II.4. Công thức nhân xác suất 2.
Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì
P(AB)=P(A).P(B/A)=P(B)P(A/B)
Nếu
1 2
, , ,
n
A A A
là các biến cố bất kỳ thì P(
1 2
)
n
A A A
=P(

1 2 1 1 2 1
) ( / ) ( / )
n n
A P A A P A A A A
−
Ví dụ 7. Xếp ngẫu nhiên 3 lá thư vào 3 phong bì ghi sẵn địa chỉ, mỗi phong bì 1 lá.Tính
xác suất cả 3 lá đúng người nhân.
Giải
Giống như ví dụ 6 ở đây đề cho 3 biến cố:
1
M
= “ Lá 1 bỏ đúng phong bì” ,
2
M
= “Lá 2 bỏ
đúng phong bì”,
3
M
= “Lá 1 bỏ đúng phong bì ”, nhưng chưa cho xác suất của 3 biến cố
này và 3 biến cố
1
M
,
2
M
,
3
M
, không xung khắc từng đôi, không độc lập trong toàn bộ.
Gọi A = “Cả 3 lá đều bỏ đúng”.

Vì các biến cố
1
M
,
2
M
,
3
M
, không độc lập trong toàn bộ nên để tính các xác suất này ta
phải dùng công thức nhân 2.
Ta có A =
1
M
.
2
M
.
3
M

⇒
P(A) = P(
1
M
).P(
2
M
/
1

M
).P(
3
M
/
1
M
2
M
)
P(
1
M
)=2/6 , P(
2
M
/
1
M
)= ½
(Khi
1
M
xảy ra nghĩa là lá 1 đã bỏ đúng, tổng số trường hợp n= 2! Số trường hợp để
2
M
xảy ra(lá 2 bỏ đúng) là
2
M
m

=1),
P(
3
M
/
1
M
2
M
) =1.Vậy P(A)= 2/6 .1 / 2 .1 =1/6
Ví dụ 8. Một người tham gia đấu thầu 2 dự án. Khả năng trúng thầu dự án thứ nhất là
0,6. Nếu trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 là 0,8, còn
nếu không trúng thầu ở dự án thứ nhất thì khả năng trúng thầu ở dự án thứ 2 chỉ còn là
0,3.Tính xác suất
a) Trúng thầu dự án thứ 2
b) Trúng thầu cả 2 dự án
c) Trúng thầu 1 dự án
d) Trúng thầu ít nhất 1 dự án
Giải
Gọi
1
A
= “người đó trúng thầu ở dự án thứ nhất”

2
A
= “người đó trúng thầu ở dự án thứ hai”
a)Tacó
2
A

=
1
A
2
A
+
1
A
−
2
A
⇒
P(
2
A
)=P(
1
A
2
A
+
1
A
−
2
A
)=P(
1
A
)P(

2
A
/
1
A
)+P(
1
A
−
)P(
2
A
/
1
A
−
)=
0,6.0,8+0,4.0,3=0,6
b) Gọi A = “Trúng thầu cả 2 dự án”
A=
1
A
2
A
⇒
P(A)= P(
1
A
)P(
2

A
/
1
A
)=0,6.0,8=0,48
c)Gọi B = “Người đó trúng thầu 1 dự án”
B=
1
A
2
A
−
+
1
A
−
2
A
⇒
P(B) =P(
1
A
)P(
2
A
−
/
1
A
)+P(

1
A
−
)P(
2
A
/
1
A
−
)=0,6.0,2+0.4.0,3=0,24
d)Gọi C = “Người đó trúng thầu ít nhất 1 dự án”
C=
1
A
2
A
−
+
1
A
−
2
A
+
1
A
2
A
⇒

P(C)= P(
1
A
)P(
2
A
−
/
1
A
)+P(
1
A
−
)P(
2
A
/
1
A
−
)+P(
1
A
)P(
2
A
/
1
A

)
=0,6.0,2+0.4.0,3+0,6.0,8=0,72
Hoặc P(C)= 1- P(
C
−
)= 1- P(
1 2
A A
− −
)=1-P(
1
A
−
)P(
2 1
/A A
− −
)=1-0,4.0,7=0,72
III.Công thức Bernoulli.
III.1 Dãy phép thử Bernoulli
Dãy n phép thử Bernoulli là dãy phép thử thỏa 3 điều kiện:
-Các phép thử độc lập.
- Trong mỗi phép thử hoặc A xảy ra hoặc
_
A
xảy ra.
- Xác suất P(A) = p (cố định) trong mỗi phép thử.
III.2.Công thức Bernoulli:
Gọi
( )

n
p k
là xác suất được k lần A xảy ra trong dãy n phép thử Bernoulli. Khi đó
( )
n
p k
=
k k k
n
C p q
k = 0,1,…,n; q=1-p
Ví dụ 9. Một nhân viên bán hàng 1 ngày bán hàng ở 5 địa điểm, xác suất bán được hàng ở
mỗi địa điểm là 0,2