phuong trinh nghiem nguyen chuyen de 4

1
PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN
I. Khái niệm về phương trình nghiệm nguyên:
Phương trình nghiệm nguyên là phương trình có dạng: f(x
,
y,z,….)=0 (*) ,với bộ số (x
,
y,z,
….) Z , bộ số (x
,
y,z,….) được gọi là nghiệm nguyên của phương trình.
Tìm tất cả các bộ số (x
,
y,z,….) Z thỏa (*) gọi là giải phương trình nghiệm nguyên.
II. C ác phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên:
1. Sử dụng tính chất của số nguyên, các định lí của số học.
a) Đưa về dạng tích : Đưa phương trình (*) về dạng:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , , , , ,
n n
f x y z f x y z f x y z a a a=
với
1 2
, , ,
n
a a a ∈¢
. Rồi xét các trường
hợp có thể.
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3xy+y+x=6 (1)
Giải: (1) <=>3(3xy+y)+3x+1=19

<=>3y(3x+1)+ 3x+1= 19
<=> (3y+1)(3x+1)= 19
Do đó 3y+1; 3x+1 Ư(19)= {1;-1;19;-19} mà x,y Z và thỏa (1) nên (x;y)=(0;6);(6;0)
b) Đưa về dạng t ổng : Đưa phương trình (*) về dạng:
( ) ( ) ( )
1 2 1 2
, , , , , , , , ,
k k k k k k
n n
f x y z f x y z f x y z a a a+ + + = + + +
với
1 2
,
k k k
n
k a a a+ + + ∈¢
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình
2 2
2 2 25x y xy+ + =
(2)
Giải: (2) <=>
( )
2
2 2 2
3 3
25 3 4
4 1
x x
x x y
x y y

= =
 
+ + = = + ⇒ ⇒
 
+ = =
 
c) Đưa về dạng phân số: Đưa phương trình (*) về dạng:
( )
( )
1
0
2
1
2
, , ,
1
1
, , ,
1

n
f x y z
a
a
f x y z b
a
a
a
= = +
+

+
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) (3)

2
( )
1
3
40 xyzt+xy+xt+zt+1 1 1
3 1
1 1
2
31 yzt+y+t
3
1 1
4
2
4
x
y
x
z
y
t
z
t
=


=


⇒ = ⇔ + = + ⇒

=

+ +

=
+ +


d) S ử dụng tính chia hết:
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
( ) ( )
2
2 3 0 4x x y y− − + − =
Giải:
( ) { }
{ } ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
2 3 2
4 1 2 | 1 1 1; 2
1 1
2;0; 3;1 , 2; 3 , 0;3 , 3; 3 , 1;3
x x
y x x x
x x
x x y
+ +
⇒ = = + + ⇒ + ⇒ + ∈ ± ±
+ +

⇒ ∈ − − ⇒ = − − − −
2. Sử dụng bất đẳng thức để thu hẹp miền giá trị:
Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z=xyz (5)
Giải: Nhận xét bậc của vế phải lớn hơn bậc của vế trái nên x, y, z đủ lớn thì xyz> x+y+z. Mặt
khác x, y, z có vai trò như nhau nên ta giả sử
x y z≥ ≥
.
Nếu
2z ≥
,suy ra :
Do đó: z=1, suy ra x+y+1= xy => (x-1)(y-1)=2
y -1 = 1 y = 2
x -1 = 1 x = 3
 
⇒ ⇒
 
 

Vậy (x,y,z)=(3;2;1) và các hoán vị .
Bài tập:
1) Tìm nghiệm nguyên các phương trình : a) 21x + 6y = 1988 b) 12x + 3y = 216
2) Tìm nghiệm nguyên các phương trình :
2
a) x + xy + y =9 b) 5x 25 3xy 8y+ = − +

3) Tìm hai số nguyên x, y không âm thỏa:
2 3 2
x
a) x y b) x y 3y 65 3y
y

− = + − = −
4) Tìm các số nguyên x, y thỏa :
2 2 2 2 2 2 2
a) 2xy + x + y+1 =x +2y +xy b) x xy y x y+ + =
5) Chứng tỏ các phương trình sau không có nghiệm nguyên dương:

2 2 2 2
x y 6 21 2
a) x xy y x y b)
y+21 27 x y x 6 z
+ + = + + + =
+ +
(Vô lí)