Chuyên đề Giải phương trình nghiệm nguyên

5
k171999
y

=
5
2
t
17
393
<<

Bài viết:
ứng dụng tính chia hết
vào việc giảt một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên.
Lê Trọng Châu
Phó Trởng phòng GD&ĐT Lộc Hà, Hà Tĩnh
(Mail: 0393.650 775 0985 997 942)
Trong quá trình dạy học và bồi dỡng HSG môn toán ở trờng phổ thông tôi thấy rằng học sinh có
thể tiếp thu một cách dễ dàng các phép tính số học, thực hiện tốt các d y tính các phức tạp... Song, khiã
gặp một số bài toán nghiệm nguyên của một phơng trình thì đa số học sinh thờng
" lúng túng"
, nhiều em

còn
"né tránh",
ngại tiếp xúc. Điều đó ảnh hởng rất lớn đến sự phát triển t duy toán học nh ; tính mềm
dẻo, tính linh hoạt, sáng tạo... của các em sau này.
ở bài viết này tôi xin trình bày một số ứng dụng của tính chia hết để giải một số dạng toán phơng
trình nghiệm nguyên trao đổi với bạn đọc và các bậc đồng nghiệp cùng các em học sinh, nhằm phục vụ
công tác dạy học ngày càng tốt hơn.
Khi giải một phơng trình có thể sử dụng nhiều phơng pháp giải nên ở bài viết này tôi không đề
cập đến việc trình bày cụ thể một phơng pháp nào mà chỉ trao đổi qua một số dạng toán.
II. Một số dạng toán phơng trình nghiệm nguyên
*Dạng 1
:
Phơng trình bậc nhất 2 ẩn dạng
:
ax + by = c
( a,b,c
z
)

Bài toán 1.1
:
Cho phơng trình: 17
x
+ 30 y = 11994 (1)
a/ Tìm nghiệm nguyên của ( 1) b/ Tìm nghiệm nguyên dơng của ( 1)
Hớng giải:
a/ Tìm nghiệm nguyên của (1):
Dễ thấy 30y 6 và 11994 6 nên (1) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 17x 6 mà (17,6) =1 => x 6
Đặt x = 6 k (k nguyên) khi đó (1) có dạng ; 17 k + 5y = 1999
tkZ

k
k
k
y 52 t,
5
k -2
ặt t tụcpTiê .
5
)2(2
3399
5
171999
==

+=

==>
Từ đây ta có : x= 12 - 30 t (*)
y= 393 + 17 t (**)
Thay các công thức (*) và (**) vào (1) phơng trình đợc nghiệm đúng.
Vậy các nghiệm của (1) đợc biểu thị bởi công thức
: x = 12 - 30 t
y = 17 t + 393 ( t z)
b/ Tìm nghiệm nguyên dơng:
Phơng trình ( 1) có nghiệm nguyên dơng khi và chỉ khi 12 - 30 t > 0 và
17t + 393 > 0 suy ra:
Vì t Z nên t { 0; -1 ; -2.....; -22 ; - 23 } có 24 giá trị của t. Vậy nghiệm nguyên dơng của phơng
trình (1) tơng ứng với các giá trị của t khi thay vào các công thức trên, phơng trình (1) có 24 nghiệm
nguyên dơng.

* Nhận xét:
1. Nếu bài toán yêu cầu tìm nghiệm nguyên dơng thì chúng ta phải giải các điều kiện ở công thức
nghiệm để giới hạn phạm vị xác định nghiệm.
2. Việc tách các giá trị nguyên của biểu thức có nhiều cách.
1
Tiếp tục đặt
t Z

<=>









=> x = 0, x= 1








Chẳng hạn:
(c)

5
3k-1
-4k - 400 y , ) b (
5
2k 1
-3k - 400 y , (a)
5
34
4399
=
+
=
+
+=
k
ky
Tuy nhiên cách tách trong bài giải trên đơn giản hơn so với những cách (a); (b); (c) trên vì khi gải (a);
(b) ; (c) ta cần đặt thêm ẩn phụ làm cho bài toán trở nên phức tạp dài dòng trong cách giải.
3/ Việc giải các phơng trình dạng ax+ by = c đ có công thức giải ở trong một số tài liệu tham khảo.ã
Tổng quát: ax+ by = c x= x
0
+ bt
a,b,c
z
; (a,b) = 1 y = y
0
- at
Trong đó x
0
; y

0
là một nghiệm riêng của phơng trình đ cho.ã
B
ài toán 1.2:
Chứng tỏ rằng phơng trình sau không có nghiệm nguyên.
2004x + 2006 y = 20072007 ( 2)

Giải:
Dễ thấy vế trái của (2) chia hết cho 2 vế phải thì 20072007 là một số lẽ không chia hết cho 2
vậy phơng trình đ cho vô nghiệm . ã
* Bài tập tơng tự:
a/ Tìm các nghiệm nguyên (và tìm nghiệm nguyên dơng) của các phơng trình:
a
1
/ 18x - 7y = 45 , a
2
/ 9x + 20y = 5472, a
3
/ 5x + 13y = 169
b/ Chứng tỏ rằng các phơng trình sau không có nghiệm nguyên.
b
1.
/ 2007x + 9999y = 20062010, b
2
/ 18x+ 24y = 2006.
Dạng 2:

Phơng trình
: ax
2

+ by
2
+ cxy + dx + ey + f = 0;

ax
2
y + by
2
x + cxy + dy+ ex + f = 0

Bài toán 2.1
: Tìm các nghiệm nguyên của phơng trình
7x+ 11 = 2xy + 3y ( 3)

Hớng giải:
Vì x z nên 2x + 3 0 .

3x2
2x
3
3x2
2x)3x2(3
3x2
2x9x6
3x2
11x7
y
+
+
+=

+
+++
=
+
+++
=
+
+
=
Để y nhận giá trị nguyên thì phải có ( x+ 2 ) ( 2x + 3 )
=> 2( x+ 2 ) ( 2x+ 3) => 1 2x+ 3 => 2x+ 3 là ớc của 1
Do đó: Với 2x + 3 = 1 <=> x = -1 khi đó y = 4
Với 2x + 3 = -1 <=> x= -2 khi đó y = 3.
Đáp số: ( -1;4), (-2;3)

Bài toán 2.2: Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: x
2
y - 5x
2
- xy - x+ y - 1 = 0 ( 4)
( Trích đề thi HSG lớp 9 - Phòng GD Can Lộc )

Hớng giải:
Biểu thị x theo y ta có:

1x
4-6x
5 y )01 xdo (
1
15

2
2
2
2
+
+==>>+
+
++
=
x
x
xx
xx
y
Ta có y
z
=> ( 6x - 4 ) ( x
2
- x + 1 ) <=> 2 ( 3x - 2) ( x
2
- x+ 1) 2 ( x
2
- x+ 1)
(3x-2 ) ( x
2
- x+ 1)
x
2
- x+ 1 = + 2
x

2
- x+ 1 = + 1
+ Với x= 0 => y = 1
+ Với x= 1 => y = 7 ( các trờng hợp khác loại )
* Nếu (3x- 2) ( x
2
- x+ 1) ( * ) => x ( 3x - 2 ) ( x
2
- x+ 1) => (3x
2
- 2x ) ( x
2
- x+ 1)
=> ( 3x
2
- 3x + 3 +x - 3 ) ( x
2
- x+ 1) => ( x-3) ( x
2
- x+ 1) => ( 3x- 9 ) ( x
2
- x+ 1) , (**)
Lấy (*) trừ cho (**) ta đợc 7 ( x
2
- x+ 1) => x
2
- x+ 1 bằng một trong các giá trị -7; 7; 1; -1
2
* Nếu 2 : ( x
2

- x+ 1) =>
Ta biểu thị x theo y nh sau:
=>








Từ đây ta đợc các nghiệm: (3; 7 ), ( 0;1), (1, 7 ) đây cũng là nghiệm của phơng trình ( 4).

Bài toán 2.3:
Cho phơng trình x
2
- y
2
+ 7x = 0 (5)
a/ Tìm nghiệm nguyên của phơng trình với y N
b/ Tìm các số x Z để x
2
+ 7x là một số chính phơng.

Hớng giải:
a/
Cách 1
: Đa phơng trình (5) về phơng trình ớc số
(5) <=> (4x
2

+ 28x + 49) - 4y
2
= 49 <=> (2x + 7 2y) (2x + 7 + 2y) = 49 (*)
- Nếu y = 0 từ (5) => x
1
= 0, x
2
= -7
- Nếu y > 0 từ (*) => x
3
= 9, x
4
= -16

Cách 2
: Xem (5) là phơng trình bậc hai đối với biến x.
Ta có: = 49 + 4y
2
Để (5) có nghiệm nguyên thì phải là số chính phơng.
Đặt : 49 + 4y = k
2
( k N ) <=> ( k + 2y) ( k- 2y ) = 49
Vì y N nên k + 2y > k - 2y và k + 2y > 0 => ( k + 2y) - ( k - 2y ) = 4y
nên k + 2y và k - 2y cùng tính chăn lẽ và phải cùng lẽ nên ta có:
k+ 2y 49 7
k- 2y 1 7
y 12 0

- Với y = 0 ta có x
1

= 0, x
2
= -7
- Với y = 12 ta có x
3
= 9, x
4
= -16
b/ Giải tơng tự câu a)

Bài toán 4:
Chứng tỏ rằng các phơng tình sau không có nghiệm nguyên
a/ 2x
2
+ y
2
= 1999 (6) b/ 7x
2
- 5y
2
= 3 (6')

Hớng giải:
a/ Ta có: 2x
2
2 và 1999 2 nên để có (6) thì y
2
phải lẽ => y lẽ.
Đặt y = 2k + 1 (k
z

) khi đó (6) có dạng 2x
2
+ 4 ( k
2
+ k ) = 1998
Dễ thấy 1998 chia cho 4 d 2 suy ra 2x
2
không chia hết cho 4 nên x lẽ.
Đặt x= 2t + 1 từ đó ( 6 ) có thể viết dới dạng 8t( t + 1 ) + 4k ( k+1) = 1996 (*)
Ta lại có vế trái chia hết cho 8 còn vế phải không chia hết cho 8 vậy (*) không có nghiệm nguyện
suy ra (6) không có nghiệm nguyên.
b/ Từ (6') => 6x
2
- 6y
2
+ x
2
+ y
2
= 3 => x
2
+ y
2
3
Mặt khác: x
2
và y
2
khi chia cho 3 thì d 0 hoặc 1 mà x
2

+ y
2
3. Nếu x
2
và y
2
đều chia hết cho 3. Do
đó x và y đều chia hết cho 3 nên x
2
và y
2
chia hết cho 9. Nh vậy 7x
2
- 5 y
2

!
9 còn 3
!
9 vậy (6' ) không có
nghiệm nguyên.
Nhận xét:
Phơng trình nghiệm nguyên dạng
"bậc 2 có hai ẩn"
là dạng toán thờng gặp ở bậc
THCS. Khi giải nó chúng ta thờng đa về phơng trình ớc số (phơng trình tích) hoặc dùng tính chất chia hết
hoặc dùng điều kiện cần để một phơng trình bậc 2 có nghiệm.
* Bài tập tơng tự: 1/ Tìm nghiệm nguyên các phơg trình sau:
a/ x
2

+ y
2
- x - y = 8 , b/ x
2
- 2x = y
2
- 11 , c/ 3x
2
- 6x = 13 - 4y
2
,

d/ 8x
2
- 25 = 3xy +5x
2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên:
a/ 5x
2
- 4y
2
= 3 b/ 19x
2
+ 28y
2
= 729
*Dạng 3: Phơng trình bậc 3 trở lên có 2 ẩn

3.1. Bài toán 7:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x+ x
2

+ x
3
= 4y
2
+ 4y ( 7)

Hớng giải:
Dùng tính chất chia hết và tính chất của số chính phơng, ta có:
3






m
3
8
1 3m






n =


(7) <=> 1+ x + x
2

+ x
3
= 4y
2
+ 4y + 1 <=> (x+ 1)( x
2
+ 1) = (2y +1)
2
(*)
Dễ thấy (2y + 1)
2
lẽ => x+1 và x
2
+1 là hai số lẽ. Giả sử ( x+1, x
2
+ 1) = d => d lẻ
Mặt khác x+1 d =>1- x
2
d kết hợp với x
2
+ 1 d ta có 1 - x
2
+ 1 + x
2
d => 2 d => d = 1 (vì d lẻ).
Vì (x+1 ) ( x
2
+ 1 ) là số chính phơng (*)
Mà ( x+1 , x
2

+ 1 ) = 1 Vậy x+1 và x
2
+ 1 đều là số chính phơng
Dễ thấy x
2
và x
2
+ 1 là 2 số tự nhiên liên tiếp mà đều là số chính phơng nên x = 0 . Khi đó theo ( 7 ) thì y
= 0 hoặc y = -1 .
Nghiệm của (7) là: ( 0; 0); ( 0;-1
)

3.2. Bài toán 8:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình: x
3
- 8 = y
3
+ xy ( 8)

Hớng giải:
Ta có (8) <=> ( x- y)
3
+ 3xy ( x- y ) = xy + 8
Đặt: x- y = m, xy = n ta có : m
3
+ 3mn = n+ 8 <=> m
3
- 8 = - n( 3m - 1)
=> m
3

- 8 3m - 1 => 27 ( m
3
- 8 ) 3m - 1 => 27 m
2
-1 -215 3m-1
Do 27m
3
-1 3m - 1 nên 215 3m -1 mà 215 = 5x43
Nên 3m -1 { + 1; + 5; + 43; + 215 } do m, n Z nên 3m -1 { - 1; 5; - 43; 215 }
Ta có bảng
3m-1 -1 5 -43 215
m 0 2 -14 72
-8 0 -64 -1736
Mặt khác: Ta có ( x- y)
2
+ 4xy > 0
Nếu 4m
2
+ 4n > (*) kết hợp (*) và điều kiện có nghiệm thì chỉ có m = 2và n= 0 là phù hợp. Ta có x-y = 2
và xy = 0 từ đây ta có nghiệm ( 0,-2), ( 2,0 )
Lu ý: Bài toán này có thể có cách giải khác nh dùng giá trị tuyệt đối hoặc dùng tính chất của số chính ph-
ơng.

3.3. Bài toán:
Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên
a/ x
3
+ y
3
= 2002 b/ x

4
+ y
4
+ ( x+y)
4
= 4004

Hớng giải:
a/ Ta có nhận xét : Lập phơng của một số nguyên chia cho 9 chỉ có thể d 0; 1; 8; ( thật vậy
nếu a 3 => a
3
9. Nếu a = BS 3 + 1 thì a
3
= BS 9 + 1 ...). Do đó x
3
+ y
3
chia cho 9 chỉ có d 0; 1; 2; 7; 8 còn
2002 chia 9 d 4 vậy phơng trình đ cho không có nghiệm nguyên ã
b/ Ta có: x
4
+ y
4
+ ( x+ y )
4
= 4004 <=> 2( x
2
+ y
2
+ xy)

2
= 2.2002
<=> ( x
2
+ y
2
+ xy)
2
= 2002. Điều này vô lý vì 2002 không phải là số chính phơng ( vì tận cùng
bằng 2 ) => ĐPCM
* Một số bài tập tơng tự:
1/ Tìm nghiệm nguyên các phơng trình sau:
a/ x
3
+ y
3
= 3xy + 3 , b/ x
3
- y
3
= xy + 25 , c/ x
3
+ y
3
= y
6
, d/ x
6
+ 3x
2

+ 1 = y
4

2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên
a/ x
3
+ y
3
= 2002 , b/ x
4
+ y
3
+ ( x+ y )
4
= 3996, c/ x
3
+ y
3
= 7 , d/ x
5
+ 2xy

= 10. ( 3y + 1 )
Dạng 4: Phơng trình có chứa 3 ẩn , 4 ẩn
4.1 Bài toán:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình sau: 2x- 5y - 6z = 4 (10)
Hớng giải:
Từ (10 ) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi 5y 2 => y 2

Đặt y = 2m, ta có x - 5m - 3z = 2 => x= 5m + 3z + 2

Đặt z = t ta có công thức nghiệm x= 5m + t + 2 ; y = 2m và z = t ( với m, t z)

4.2 Bài toán:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình x
7
+ y
7
= 7z (11)
4






,
nếu




Hớng giải:
(11) có nghiệm nguyên khi x
7
+ y
7
7
Theo định lý nhỏ Féc ma ta có: x
7
- x 7 và y

7
y 7 , ta viết (11) dới dạng:
( x
7
- x ) + ( y
7
- y ) + ( x+ y ) = 7z ta có x+ y 7 đặt x+ y = 7 k ; x = t, ( k
z
, t
z
)
Ta có công thức nghiệm: x= t ; y= 7k - t và z = [ t
7
+ ( 7k - t )
7
] : 7 ( Với k, t
z
)

4.3 Bài toán:
Chứng tỏ phơng trình:
x
4
+ y
4
+ x
4
+ z
4
+ t

4
+ k
4
= 2006 không có nghiệm nguyên.
Hớng giải:
- Nếu x là số chẵn thì x
4
16
- Nếu x là số lẽ thì x
2
: 8 d 1 nên x
4
= ( 8k + 1 )
2
: 16 d 1
Nh vậy mỗi số x
4
,y
4
,z
4
,t
4
chia cho 16 d 1hoặc 0 nên x
4
+y
4
+z
4
+t

4
+k
4
chia cho 16 có số d nhỏ hơn hoặc
bằng 5. Còn vế phải 2006 chia cho 16 d 6. Vậy phơng trình không có nghiệm nguyên.

* Một số bài tập tơng tự:
1/Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
a/ 2x-5y-z = 4, b/ x
2
+2y
2
+ z
2
- 2xy - 2y + 2z

+ 2= 0, c/ x
3
+ y
3
+ z
3
=1

+ 3xyz
2/ Chứng tỏ các phơng trình sau không có nghiệm nguyên
a/ x
2
+ y
2

+ z
2
= 1999 , b/ x
3
+ y
3
+ z
4
= 2003, c/ x
3
+ y
3
+ z
3
= 1996
2
* Dạng 5: Phơng trình có chứa biến ở mẫu.

5.1 Bài toán:
Tìm nghiệm nguyên của phơng trình

2
1
2
111
=++
xyyx


Hớng giải:

Hớng 1:Đa về phơng trình ớc số
Nhân 2 vế với 2xy ta có ( 13) <=> 2x+ 2y + 1 = xy ; (13) <=> ( x-2 ) ( y-2) = 5
Từ đây ta có nghiệm ( 7;3) , (3,7)
Hớng 2: Giả sử x > y thì
6,
3
2
111
2
1
.................
1
2
1
;
11
<<++=<
yrasuy
yxyyxyxyyx
Mặt khác: y > 1 nên xét y { 2;3;4;5 } đợc y = 3; x= 7 ; Đáp số: ( 7;3) , (3,7)

Bài toán 5.2:
Xác định a để phơng trình

( )
141
xy
a
y
1

x
1
22
=++

Hớng giải:
Giả sử ( x
1
, y
1
) là nghiệm nguyên dơng của phơng trình đ cho .ã
Gọi ( x, y) = d => x= d x
1
, y = dy
1
, với ( x
1
, y
1
) = 1
Ta có: (14) <=> x
2
+y
2
+ axy = x
2
y
2
<=> y(y+ax) = x
2

(y
2
- 1) <=> y
1
(y
1
+ ax
1
) = x
2
1
(dy
2
1
-1) vì (x
1
, y
1
) = 1
Nếu (dy
2
1
- 1 ) y
1
=> y
1
là ớc số của 1 do y nguyên dơng nên y
1
= 1 => x
1

=1 do đó x = y
Thay vào (14 ) ta đợc a + 2 = x
2
.
Nh vậy để ( 14) có nghiệm nguyên dơng thì a+ 2 là số chính phơng.
* Một số bài tập tơng tự:
1/ Tìm nghiệm nguyên của các phơng trình sau:
3
z
xy
c/ , ) n tốnguyê (
111
/..;.........
5
111
/
=++=+=+
x
yz
y
xz
sốlàp
pyx
b
yx
a
2/ Tìm nghiệm nguyên dơng của các phơng trình
5
(p là số nguyên tố),
(13)

có nghiệm nguyên dơng