Đề HSG (Trần Hùng Quốc NCT)

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH TƯỜNG
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI GIAO LƯU HSG MÔN TOÁN LỚP 8
Năm học 2009 - 2010
Thời gian làm bài: 150phút (không kể thời gian giao đề)
I)Phần trắc nghiệm
Hãy chọn chữ cái đứng trước câu trả lời đúng trong các câu sau:
Câu 1: Cạnh của hình vuông thứ nhất có độ dài là a (m). Đường chéo của hình vuông
này là cạnh của hình vuông thứ hai. Đường chéo của hình vuông thứ hai dài là:
A) a(m) B) 20a (dm) C) 20a (dm) D) a (m)
Câu 2: Cho tam giác ABC, các điểm D và E lần lượt trên AC và AB sao cho
CD= AC , AE = AB. Gọi O là giao điểm của BD và CE. Tỉ số là:
A) B) C) D)
Câu 3: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= x(x+1)(x + 2)( x+3) là:
A) 1 B) -2 C) -1 D) Một kết quả khác.
Câu 4: Cho 3 số a, b, c thỏa mãn + + = 0 Giá trị của biểu thức
+ + bằng:
A) 0 B) 1 C) -1 D) Một kết quả khác.
II)Phần tự luận
Câu 5:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) x - 11x + 30x
b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z
Câu 6: Cho các số thực x, y, z, a, b, c thỏa mãn x+ y + z = 1; x + y + z = 1 và
= = . Chứng minh rằng: ab + bc + ca = 0
Câu 7: Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình.
Có 3 ô tô chạy trên quãng đường AB. Cùng một lúc ô tô thứ nhất chạy từ A tới B thì ô
tô thứ hai chạy từ B tới A. Khi ô tô thứ nhất tới B thì ô tô thứ 3 bắt đầu chạy từ B tới A
và về A cùng lúc với ô tô thứ hai. Tại chính giữa quãng đường AB người ta thấy rằng
sau khi ô tô thứ nhất đi qua 10phút thì ô tô thứ hai đi qua và sau đó 20phút thì ô tô thứ
ba đi qua. Vận tốc ô tô thứ ba là 120km/h. Tính vận tốc ô tô thứ nhất, ô tô thứ hai và
quãng đường AB.

Câu 8:Cho hình vuông ABCD. Lấy điểm M tùy ý trên đường chéo BD. Kẻ ME ⊥ AB
MF⊥ AD.
a) Chứng minh rằng CF = DE và CF ⊥ DE
b) Chứng minh CM, BF, DE đồng quy.
c) Lấy điểm N trên cạnh BC sao cho BN = BE. Vẽ BH ⊥ CE. Chứng minh rằng : DH ⊥
HN.
Câu 9: Giả sử m và n là các số nguyên sao cho: = 1- + - +… - + .
Chứng minh rằng : m chia hết cho 2003.
……………Giám thị không giải thích gì thêm…………
HƯỚNG DẪN THI GIAO LƯU HSG TOÁN 8: NĂM HỌC 2009 - 2010

I)Phần trắc nghiệm(2 điểm) Mỗi ý chọn đúng được 0,5 điểm
Câu 1 Câu 2 Câu 3 Câu 4
B D C D
II) Phần tự luận.(8 điểm)
Câu Nội dung Thang
điểm
Câu 5
(1.5đ)
a) phân tích được kết quả x(x -5)( x - 6 ) 1 đ
b) 2xy + 2yz + 2zx - x - y - z
=4xy - ( x + 2yx + y ) + (2xz + 2yz ) - z
=(2xy) - [( x + y) - 2z(y + z )+ (z)]
=(2xy) - (x + y - z )
=(2xy - x - y + z)( 2xy + x + y - z)
=(x + y + z)( x +y - z)(x + z - y)(z - x + y)
0,5 đ
Câu 6
(1.5đ)
Đặt = = = k => a = kx ; b = ky ; c = kz

 ab + bc + ca = k
2
(xy + yz + zx) = k
2
[(x + y + z)
2
- (x
2
+ y
2
+ z
2
)] = k
2
(1 -
1) = 0 Vậy ab +bc + ca =0
1,5 đ
Câu 7
(1.5đ)
Giả sử C là điểm chính giữa quãng đường AB.
Gọi x phút là thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ hai
ĐK: x ≥ 10
Thì x - 10 phút là thời gian đi quãng đường AC của ô tô thứ nhất. Khi đó 2x
phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ hai
2x - 20 phút là thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ nhất
 thời gian đi quãng đường BC của ô tô thứ ba là:
x + 20 - ( 2x - 20) = 40 - x (phút)
Thời gian đi cả quãng đường AB của ô tô thứ ba là
2(40 - x) = 80 - 2x ( phút)
Ta thấy thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ hai bằng tổng thời gian

đi quãng đường AB của ô tô thứ nhất và ô tô thứ ba. Ta có phương trình:
2x = (2x - 20) + 80 - 2x => x = 30
=>.Thời gian đi quãng đường AB của ô tô thứ ba là:20phút
Quãng đường AB dài : .20 = 40(km)
Vận tốc ô tô thứ nhất là . 60 = 60 (km/h)
Vận tốc của ô tô thứ hai là .60 = 40 (km/h)
a)Vẽ hình - ghi GT_KL đúng
Hs chứng minh đúng ∆AED = ∆DFC(c.g.c)
=> CF = DE Và CF⊥ DE

b) Gọi giao điểm của CM và EF là I, MF và BC là N Ta suy ra tam giác
MEF bằng tam giác NMC.
0,25Đ
0.75 Đ
Suy ra = , mà = (đối đỉnh) => =
Lại có + = 90 => + = 90 Hay ∆IMF vuông tại I => MC⊥ FE
*) Chứng minh tương tự phần a) ta được BF⊥CE
Nên CM, BF, DE là 3đường cao của ∆CEF nên CM, BF, DE đồng quy
1 đ
c) Từ phần b) ta suy ra H là giao điểm của BF và CE
Ta có ∆HEB∽ ∆HBC(g.g) => = =>
= Lại có = =>∆HDC∽ ∆HBN(c.g.c)
=> = mà BHN+ NHC = 90
0
=> DHC + CHN = 90
0

hay DHN = 90
0
Vậy DH⊥ HN

1 đ
Câu 9
(0.5đ)
Ta có =(1+ + +…+ ) - 2( + +….+ )
=1 + + +…. + - 1 - - - …
= + +….+ =( + ) + ( + ) +…
Học sinh viết được
n
m
=2003.[ + +….+ ]
= 2003. (1)
Trong đó a và b là các số nguyên và b= 668.669….1334.1335
Mà 2003là số nguyên tố nên ( b; 2003)=1
Từ (1) suy ra b.m = 2003.a.n (2)
Do a;n là các số nguyên nên từ (2) suy ra m.b 2003 mà ( b;2003)=1
nên m 2003
0.5 đ