bai toan ve cuc tri hay

Bài toán mẫu mực về cực trị
Bài toán:
Cho x,y>0 và x+y=1 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:






+








+=
2
2
2
2
11
x
y
y
xP
(*) Nhận xét:
Ta rút gọn đợc:
2

1
22
22
++=
yx
yxP
Nếu ta dùng côsi ở đây thì sẽ đợc Min P=4
Nhng đẳng thức không xẩy ra nên ta cần phải tách các phần tử ra cho hợp lí
Ta cần tách
22
yx
hoặc
22
1
yx
ở đề bài ta có: x+y=1 nên những đẳng thức dẫn đến cực trị thờng là: x=y=
2
1

Vậy nếu phân tích:
2)1(
1
22
22
22
++= yxm
yx
ymxP
áp dụng BĐT Côsi ta có:
m

yx
ymx 2
1
22
22
+
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi:
22
22
1
yx
ymx =
44
1
yx
m =
với giá trị x=y=1/2 ta có:
256
4
1
1
4
=






=m

Vậy ta cần tách nh sau:
2255
1
256
22
22
22
++= yx
yx
yxP
Khi đó ta mới giả đợc x=y=1/2
Bài Giải:
Ta có:
2255
1
2562
1
22
22
22
22
22
++=++= yx
yx
yx
yx
yxP
áp dụng BĐT Côsi ta có:
( )
16/25525516/14/1

4
322562
1
256
2222
2
22
22
=
+

=+
yxyx
yx
xy
yx
yx
Từ đó ta có:
16/2892
16
255
32 =+P
Vậy
2
1
1
1
256
16
289

22
22
==









=+
=
=
= yx
yx
yx
yx
yx
MinP
Bài học: Không phải bao giờ giải cực trị cũng tìm cực trị trớc rồi mới tìm các
giá trị của ẩn mà ta còn có thể tìm các giá trị đặc biệt của ẩn sau đó suy ra
giá trị của cực trị