Bài tập về cực trị và các dạng toán

Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
Chuyên đề : Cực trị
A. Lí thuyết
1. Để tìm cực trị của biểu thức f(x) trong TXĐ D ta thờng làm nh sau:
- C/m f(x)
k
hoặc f(x)
k
với k là hằng số.
- Tìm x = a
D
để f(a) = k.
- Kết luận GTNN hoặc GTLN của f(x) là k khi x = a.
2. Ta thờng sử dụng nhũng kiến thức cơ bản sau:
+
0A
+
A B A B+ +
. Đẳng thức xảy ra
. 0A B

+
A B A B
. Đẳng thức xảy ra khi
0A B
hoặc
0A B
+ A
2

0

với mọi A.
+ Bất đẳng thức Cô-si cho hai số dơng : a+b
2 ab
. Đẳng thức xảy ra
a b
=
+ Nếu hai số dơng có tổng khong đổi thì tích của chúng lớn nhất

hai số đó bằng
nhau.
+ Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất

hai số đó bằng
nhau.
+ (A+B)
2

4AB
. Đẳng thức xảy ra
A B
=
+
1 1 4
A B A B
+
+
. Đẳng thức xảy ra
A B =
+
2

A B
B A
+
.Đẳng thức xảy ra
A B
=
(với A,B dơng.)
+ Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki:
( )
( ) ( )
2
2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2
a b a b a a b b+ + +
Đẳng thức xảy ra
1 2 2 1
a b a b =
B. Bài tập
I. Tìm GTLN hoặc GTNN của tam thức bậc hai : ax
2
+bx+c
1. Tìm GTNN của :
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
1
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
a. A =
2
1x x+ +
b. B =
2

4 3 2x x +
c. C =
2
3 1x x+
d. D =
2
( a>0)ax bx c voi+ +
2. Tìm GTLN của :
a. A =
2
1x x+
b. B =
2
4 3 2x x +
c. C =
2
3 1x x + +
d. D =
2
( a<0)ax bx c voi+ +
3. Tìm GTNN của :
a. A = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) - 2006
b. B = (x-1)(x-4)(x-5)(x- 8)+ 2006
Giải
a. A =
( ) ( )
2 2
5 6 5 6 2006x x x x+ + +
=
( )

2
2
5 2042 2042x x+
GTNN của A = -2042
2
0
5 0
5
x
x x
x
=

+ =

=

b. GTNN của B = 1970
2
7
x
x
=



=

4. Cho hai số x,y thoả mãn x + y = 1. Tìm GTNN của M = 5x
2

+ y
2
HD: Thay y = 1 x vào M , ta đợc: M = 6x
2
2x+1 = 6(x -
1
6
)
2
+
5 5
6 6

GTNN của M =
5
6
1 5
;
6 6
x y = =
5. Cho hai số x, y thoả mãn x
2
+ 2 xy +8(x+y) + 2y
2
+ 12 = 0 .
Tìm GTNN và GTLN của S = x + y + 1
II. Tìm GTLN hoặc GTNN của phân thức đại số.
1. Tìm GTLN của :
a) A =
2

1
9 12 10x x +
b) B =
2
2
4x x+ +
ĐS: a) GTLN của A =
1
6
khi x =
2
3
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
2
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
b) GTLN của B =
8
15
khi x =
1
2

2. Tìm GTNN của :
a) A =
2
2
2 3
( 0)
x x
x

x
+

b) B =
( )
2
2
1
1
( 1)
x x
x
x
+


ĐS: a) A =
2 2 2
2 2
3 6 9 ( 3) 2 2 2
3 3 3 3
x x x x
x x
+ +
= +
. GTNN của A =
2
3
khi x = 3
b) B =

2 2 2 2 2
2 2 2 2
1 4 4 4 3( 1) ( 1) 3 ( 1) 3
( 1) 4( 1) 4( 1) 4 4( 1) 4
x x x x x x x
x x x x
+ + + + +
= = = +


GTNN của B =
3
4
khi x = -1
3. Tìm GTLN của biểu thức : M =
3 3
1 1
x y
y x
+
+ +
với x,y dơng và xy = 1.
HD: M =
3 3
1 1
x y
y x
+
+ +
=

4 4 3 3
2
x y x y
x y
+ + +
+ +
Ta có : x
4
+ y
4

2 2
2 2x y =
x
3
+ y
3
= (x+y)(x
2
xy + y
2
)
( )(2 )x y xy xy x y + = +
Do đó : M =
4 4 3 3
2
1
2 2
x y x y x y
x y x y

+ + + + +
=
+ + + +
GTNN của A = 1 khi x = y= 1
4. Tìm GTLN của M =
2
( 0)
( 2006)
x
x
x
>
+
ĐS: GTLN của M =
1
8024
khi x = 2006
5. Tìm GTLN và GTNN của M =
2
4 3
1
x
x
+
+
ĐS : GTNN của A = -1 khi x = -2
GTLN của A = 4 khi x =
1
2
http:/violet.vn/sonhienhoa1981

3
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
6. Tìm GTNN của A =
a d d b b c c a
d b b c a a d

+ + +
+ + + +
, với a,b,c,d là các số dơng.
HD: áp dụng BĐT :
1 1 4
A B A B
+
+
.Dờu = xảy ra khi A =B
ĐS : GTNN của M = 0
d b c a a b
b c a d c d
+ = + =



+ = + =

7. Cho a,b là các số dơng và ab = 1. Tìm GTLN của biểu thức :
A =
4 2 2 4
a b
a b a b
+

+ +

HD: Vì ab = 1 nên ta có : (a
2
- b)
2
= a
4
+ b
2
2a
2
b
0


a
4
+ b
2


2a
2
b
4 2 2
1
2 2
a a
a b a b

=
+
Tơng tự:
2 4 2
1
2 2
b a
a b ab
=
+
Do đó :
4 2
a
a b
+
+
2 4
1
b
a b

+
GTNN của A = 1 khi
2
2
1
1
a b
b a a b
ab

=

= = =


=

III. Một số bài toán cực trị hình học.
Bài 1. Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a. Từ điểm M bất kì trên đờng chéo AC
vẽ MH vuông góc với AB; MK vuông góc với BC. Xác định vị trí của M trên AC sao
cho tổng diện tích của tam giác vuông ADH, BHK, DCK lớn nhất.
HDẫn
Ta có :
AHM
và
CKM
là các tam giác vuông cân
nên AH = HM = BK, CK = HB. Do đó AH + CK = a.
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
4
A
B
K
CD
M
H
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
2
1

( . . . )
2
1
= ( . . . )
2
1
= ( . )
2
ADH BHK DCK
S S S AD AH BH BK DC CK
a AH BH BK a CK
a BH BK
+ + = + +
+ +
+
Vậy
ADH BHK DCK
S S S+ +
lơn nhất khi BH.BK lớn nhất. Mà BH+BK = a không đổi nên
BH.BK lớn nhất khi BH=BK=
2
a
. Lúc đó M là trung điểm của AC.
Bài 2. Cho tam giác ABC có đáy BC = a, chiều cao AH = h. Ngời ta muốn cắt một
hình chữ nhật MNPQ có cạnh PQ nằm trên BC còn hai đỉnh M, N nằm trên hai cạnh
AB và AC . Hỏi MQ phải bằng bao nhiêu để hình chữ nhật MNPQ có diện tích lớn
nhất.
Bài 3.Chứng minh rằng : nếu độ dài các cạnh của một tam giác thoả mãn
2 2 2
5a b c+ >

thì là độ dài cạnh nhỏ nhất.
HD: Giả sử c không phảI là cạnh nhỏ nhất, chảng hạn : c
a
2 2
2 4 ( )c c a b c a c b + > + >
Lại có :
2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 5c a c c a b c a b + > + > +
. Trái giả thiết.
Vậy c là độ dài cạnh nhỏ nhất.
Bài 3. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD lần lợt lấy các điểm
M,N,P,Q . Tìm điều kiện để tứ giác MNPQ có chu vi nhỏ nhất.
HD: Gọi E,F,G lần lợt là trung điểm của các đoạn MQ, MP, NP. Ta có :
AE =
1 1 1 1
, , ,
2 2 2 2
MQ CG NP EF PQ FG MN= = =
Chu vi tứ giác MNPQ là:
P = MN +NP + PQ+ QM = 2FG + 2CG + 2EF + 2AE
= 2(AE + EF + FG + GC)
2AC
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
5
A M B
N
C
P
D
Q

E
F
G
Chuyên đề BDHSG Toán 8 - Cực trị
Vởy chu vi tứ giác MNPQ nhỏ nhất bằng 2AC khi và chỉ khi các điểm A,E,F,G,C
thẳng hàng, tức là MN//PQ//AC và MQ//NP//BD. Mà AC

DB nên tứ giác MNPQ
nhỏ nhất bẳng 2AC

MNPQ là hình chữ nhật.
Bài 4. Cho hình vông ABCD có cạnh bằng a. Trên hai cạnh AB, AD, lần lợt lấy hai
điểm M và N sao cho chu vi tam giác AMN bằng 2a. Xác định vị trí của M,N sao cho
diện tích tam giác AMN lớn nhất.
IV. Một số bài toán cực trị sốhọc.
Bài 1. Tìm số nguyên dơng bé nhất n sao cho
3 2
4 20 48 125A n n n= + M
HD:
3 2
4 20 48 ( 4)( 2)( 6)A n n n n n n= + = + +
Xét n = 1; n = 2; n=3; n = 4
Ta thấy n = 4 thì A = 0
125M
Vởy số nguyên dơng nhỏ nhất cần tìm là n = 4.
Bài 2. Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 29 có số d là 5, còn khi chia cho 31 thì
có số d 28.
Bài 3. Cho hai số dơng x,y thoả mãn 7x+143y=2002. Tìm giá trị lớn nhất của biểu
thức M = x.y
Bài 4. Cho x

2
+ y
2
= 1. Tìm GTLN của biểu thức
6 6
x y
+
HD: A =
6 6 2 2 4 2 2 4 4 2 2 4 2 2 2 2 2
(x + y )( ) ( ) 3x y x x y y x x y y x y x y
+ = + = + = +

= 1 - 3
2 2
1x y
Vậy GTLN của A = 1
2 2
0
1
0
0
1
x
y
x y
y
x
=

=


=

=



=



************************************
http:/violet.vn/sonhienhoa1981
6