Sáng kiến kinh nghiệm : phương pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ đường phụ potx

A. lời nói đầu
Học toán mà đặc biệt là môn hình học, mỗi học sinh đều cảm thấy có những khó
khăn riêng của mình.
Nguyên nhân của những khó khăn đó là:
1. Nhiều học sinh cha nắm vững các khái niệm cơ bản của các định lý, tính chất
của các hình đã học. Một số chỉ học vẹt mà không vận dụng vào giải các bài
tập.
2. Sách giáo khoa cung cấp cho học sinh một hệ thống các kiến thức cơ bản nhng
không thể có đầy đủ các bài tập mẫu cho các kiến thức đã học thuộc các dạng
khác nhau.
Do vậy cũng không có điều kiện hớng dẫn chi tiết cho học sinh cách vận dụng
các kiến thức đó vào giải các bài tập cụ thể mà các em sẽ gặp trong quá trình học
tập.
3. Đối với bộ môn hình học, ngoài các bài toán về trí thông minh hình học còn
có các bài toán về dựng hình và quỹ tích là những dạng toán đặc biệt khó mà
thời gian để học các dạng toán này trên lớp lại không nhiều , học sinh ít đợc
luyện tập ở lớp cũng nh ở nhà nên gặp các loại bài tập này các em thờng rất
lúng túng . Để khắc phục những nguyên nhân trên và giúp học sinh có cơ sở
học và giải quyết tốt các bài tập về hình học , tôi xin đề cập đến một khía cạnh
rất nhỏ về một phơng pháp chứng minh bài toán hình học thông qua cách vẽ
đờng phụ. Đề tài nhằm giúp các em hiểu thấu đáo cách vận dụng kiến thức cơ
bản để giải quyết các bài toán chứng minh hình học .
Nội dung đề tài gồm 4 phần :
Phần I : Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh .
Phần II : Suy nghĩ tìm phơng pháp chứng minh .
Phần III : Những điều cần chú ý khi chứng minh .
Phần iV : Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong toán chứng
minh
Với một số bài toán minh hoạ cho bài toán chng minh hình học lời giải chi tiết
, chính xác chặt chẽ, hy vọng đề tài sẽ góp phần giúp các em học sinh khắc phục
đợc các nguyên nhân đã đề cập ở trên để có khả năng giải các bài toán chứng

minh hình học ngày một tốt hơn .
Tuy tôi đã cố gắng hết sức sự suy nghĩ và cân nhắc kỹ càng trong khi viết đề
tài song chắc chắn không tránh khỏi những sai sót do năng lực hạn chế. Tôi rất
mong nhận đợc những ý kiến đóng góp và chỉ bảo của quý đồng nghiệp.
B. Nội dung

I. Những điều cần chuẩn bị trớc khi chứng minh :
Để giải đợc một bài toán chứng minh hình học ta cần phải làm những gì ? Nắm
vững lí thuyết đã đủ để đảm bảo cho ta giải đợc một bài toán chứng minh hình
cha ? Câu trả lời là : Cha . Đó mới chỉ là điều kiện cần nhng cha đủ cho việc giải
một bài toán chứng minh hình học .
Chuẩn bị trớc khi chứng minh:
1/ Đọc kỹ đề bài để hiểu hết ý của đề ( gọi là nắm vững đề ) . Nên đọc nhiều
lần , có thể vừa đọc đề vừa vẽ hình sơ bộ ra vở nháp để hiểu rõ ý nghĩa của của
các từ ngữ toán học dùng trong bài .
2/ Phân tích sơ bộ giả thiết , kết luận của bài , dựa vào đề bài vẽ hình chính
xác vào vở . Hình vẽ chính xác giúp ta quan sát tốt, gợi ý cho ta suy diễn đúng và
tìm đợc cách chứng minh dễ dàng . Vẽ hình tuỳ tiện, không chính xác lại là điều
thờng xảy ra đối với những ngời mới chứng minh hình học . Vì vậy học hình học
điều cần thiết là phải rèn luyện kỹ năng vẽ hình , không đợc vẽ các hình ở dạng
đặc biệt . Ví dụ : Cho hai đờng thẳng cắt nhau thì không dợc vẽ chúng vuông
góc . Cho một tam giác thì không đợc vẽ tam giác vuông, cân hoặc đều
Đặt tên cho các yếu tố trong hình có liên quan đến bài giải , dùng kí hiệu đánh
dấu các yếu tố bằng nhau( cạnh , góc )
3/ Dựa vào đề bài và vẽ hình , dùng các kí hiệu toán học thay cho các ngôn
ngữ toán học thông thờng để tóm tắt thành giả thiết , kết luận của bài ghi bên
cạnh hình vẽ.
Sau khi đã làm xong ba bớc trên bạn nhìn vào hình vẽ và giả thiết kết luận
đọc lại đề bài một lợt theo ngôn ngữ và cách diễn đạt của bạn rồi bắt đầu tìm
cách chứng minh .

II/ Suy nghĩ để tìm phơng pháp chứng minh:
Muốn chứng minh một bài toán hình học ta phải nắm vững phơng pháp suy xét
vấn đề tìm hiểu và suy đoán từng bớc một . Phơng pháp chủ yếu để tìm lời giải
của một bài toán chứng minh hình học thờng là phơng pháp bắt đầu từ kết luận .
Ta thừa nhận kết luận , dùng đó làm cơ sở suy xét . Giả sử Z là kết luận ta thừa
nhận Z . Nếu Z đúng thì dẫn đến mệnh đề Y đúng , vì từ Y suy ra đợc Z . Nếu có
Y thì một mệnh đề tiếp theo X chẳng hạn cũng đúng , vì từ X suy đợc ra Y . Tiếp
tục nếu có X thì lại có một mệnh đề X
1
khác cũng đúng vì từ X
1
suy dợc ra
X Cứ nh vậy suy ngợc cho đến cuối cùng ta đợc một mệnh đề A chẳng hạn
phù hợp với giả thiết , hoặc chính mệnh đề A là giả thiết thì thôi.
Phơng pháp suy luận trên gọi là phơng pháp phân tích đi lên và có thể tóm tắt nh
sau:
Z Y X X
1
A
Đây là phơng pháp bằng suy luận có lý ta đi ngợc từ kết luận lên giả thiết . Nó
không phải là một phơng pháp chứng minh . Vì xuất phát từ một mệnh đề cha
biết đúng sai , bằng suy luận có lý ta suy ra đợc một mệnh đề đúng thì cha thể có
kết luận gì về tính đúng sai của mệnh đề xuất phát ( Z ) . Do vậy sau khi vận
dụng phơng pháp trên để tìm đợc cách chứng minh ( Gọi là tìm đợc chìa khoá
giải bài toán ) ta phải trình bày lời giải theo quá trình ngợc lại gọi là phơng pháp
tổng hợp
Sơ đồ nh sau: A X
1
X Y Z
Với A là giả thiết của bài , mệnh đề này luôn luôn đúng. Bằng suy luận có lý dựa

vào các khái niệm cơ bản , các định lí và các tiên đề đã học ta khẳng định tính
đúng đắn của Z.
Phơng pháp chứng minh nh trên gọi là phơng pháp chứng minh trực tiếp .
III.Những điều cần chú ý khi chứng minh :
Chứng minh một bài toán hình học đòi hỏi việc suy luận chặt chẽ và chính
xác . Sau khi đã có phần chuẩn bị và suy nghĩ để tìm ra phơng pháp chứng minh
nh trên thì việc trình bày lời giải bài toán theo phơng pháp tổng hợp là rất quan
trọng , Để giúp ngời học làm tốt phần này tôi nêu thêm những điểm cần chú ý khi
diễn đạt lời giải bài toán chứng minh nh sau :
1/ Mỗi một câu , một mệnh đề , một hệ thức nào đó đợc nêu ra trong bài
chứng minh của mình đều phải có lý do , có căn cứ xác đáng , không mơ hồ,
không qua loa . Vì vậy khi trình bày lời giải bài toán chứng minh mặc nhiên hình
thành hai phần. Phần bên trái là những mệnh đề , những hệ thức toán học thờng
nên mở đầu bằng các từ : Xét ; Ta có ; Mà ; Nên ; Suy ra ; Rút
ra ; Vậy. Phần bên phải là những lí do ghi những cơ sở , những căn cứ để có
đợc những mệnh đề , những hệ thức toán học đó . Không đợc bỏ qua phần này .
2/ Những lí do dùng làm căn cứ cho phần chứng minh hình học là : Giả thiết
, những định nghĩa đã học, những tiên đề đã học , những định lí đã học , cũng có
khi lấy từ kết quả câu chứng minh trớc của bài . Những điều cha học hay trong
phạm vi chơng trình không dạy thì không đợc dùng làm căn cứ . Càng không thể
tự đặt ra lí do để làm căn cứ .
3/ Khi chứng minh nếu phải vẽ thêm đờng phụ thì bắt đầu vào bài phải nói
ngay vẽ đờng phụ nào , vẽ nh thế nào và tên gọi của nó .
4/ Gặp những phần chứng minh giống nhau trong một bài ta không cần lặp
lại cả quá trình chứng minh đó mà chỉ ghi Chứng minh tơng tựrồi ghi kết quả
chứng minh vào .
5/ Dùng kí hiệu đánh đấu trên hình vẽ những yếu tố bằng nhau.
6/ Lời lẽ diễn đạt phải ngắn gọn , không thiếu không thừa . Trong trờng hợp
có thể nên dùng kí hiệu ,dùng hệ thức để diễn đạt thay cho lời nói để bài chứng
minh đợc rõ ràng mạch lạc và không dài dòng.

Ngoài ra còn nhiều điều khác nữa phải chú ý nh tính cẩn thận , tính chính
xác trong vẽ hình Thực hiện tốt các điều đó các em học sinh sẽ tránh đợc
những sai sót và sau một thời gian luyện tập sẽ có tiến bộ rõ rệt.
IV. Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đờng phụ trong
toán chứng minh:
Khi giải một bài toán chứng minh hình học , trừ một số bài dễ còn lại phần
lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đờng phụ mới chứng minh dợc . Vậy vẽ đ-
ờng phụ nh thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì ? Đó là điều mà ngời học cần phải
biết đợc đối với mỗi bài toán cụ thể . Không thể có một phơng pháp chung nào
cho việc vẽ đờng phụ trong bài toán chứng minh hình học. Ngay đối với một bài
toán cũng có thể có những cách vẽ đờng phụ khác nhau tuỳ thuộc vào cách giải
bài toán. Dới đây tôi chỉ xin nêu ra một số cách vẽ đờng phụ thông qua một bài
toán cụ thể để giúp phần nào cho bạn đọc làm quen.
1/Vẽ đờng phụ để tạo mối liên hệ giữa các điều kiện đã cho hoặc giữa các
yếu tố trong kết luận của bài toán với nhau:
Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD, (BC//AD) có góc A nhỏ hơn góc C. Chứng
minh rằng đờng chéo AC<BD.
Hớng giải: Bình thờng 2 đờng chéo AC và BD không có mối liên hệ nào giúp
ta so sánh. Nếu đa hai đoạn thẳng ấy về chung một tam giác ta có thể vận dụng
mối liên hệ giữa các cạnh và góc trong một tam giác để so sánh.
Muốn vậy ta có nhiều cách vẽ đờng phụ.
Có thể từ B hoặc từ C vẽ đờng thẳng song song với AC hoặc BD.
Cũng có
thể ở giữa A và D ta chọn một
điểm E sao cho BE=AC (hoặc
sao cho CE=AB, tuỳ cách
vẽ của bạn). Điều này hoàn
toàn có thể làm đợc bằng
phơng pháp dựng hình
và nh vậy ta đã làm xuất hiện BDE có BE=AC.

Việc so sánh AC với BD đợc chuyển thành so sánh BE với BD trong BDE. Để
so sánh BE với BD ta so sánh các góc đối diện chúng trong BDE lấy A>D làm
trung gian.
Ví dụ 2: Cho hình vuông ABCD, lấy một điểm M tuỳ ý trên CD. Vẽ phân giác
của góc BAM cắt cạnh BC tại E. Chứng minh: DM+BE=AM.
A
B
D
C
E
Hớng giải: Từ kết luận cần chứng minh của bài toán, gợi ý cho ta cách vẽ thêm đ-
ờng phụ sao cho hai đoạn thẳng BE và DM về cùng một đờng thẳng tạo ra một
đoạn thẳng bằng tổng hai đoạn thẳng liên tiếp có độ dài bằng BE+BM.
Trên tia MD ta đặt đoạn DF liên tiếp
với MD sao cho DF=BE để có
FD+DM=BE+DM=MF. Hoặc đặt
BF liên tiếp với EB sao cho BF=DM
để có BE+BF=BE+DM=EF. Với cách
vẽ đờng phụ ở hình trên ta chuyển
từ chứng minh AM=DM+BE
thành chứng minh AM=MF.
Còn với cách vẽ đờng phụ ở hình dới ta phải thêm một bớc chứng minh AM=AF
sau đó mới chứng minh AF=FE.



2. Vẽ thêm đờng phụ để tạo ra yếu tố trung gian có tính chất bắc cầu giữa các yếu
tố cần chứng minh hoặc cần so sánh với nhau:
Ví dụ 3: Cho hình hình hành ABCD, trên AB và BC lấy 2 điểm E,F sao cho AE =
CF (E thuộc AB, F thuộc BC) Kể DHAF và DKCE. Chứng minh rằng DH=DK.

Hớng giải: Ta thừa nhận ngay việc chứng minh cho DH=DK thực chất
C
B
E
D
F
M
A
C
B
E
D
F
M
A
là chứng minh cho AFD=CED có diện tích bằng nhau vì 2 tam giác
này đã có hai cạnh đáy AF và CE bằng nhau. Nếu hai tam giác có
hai cạnh đáy bằng nhau và có đờng cao thuộc hai cạnh đáy đó
cũng bằng nhau thì diện tích bằng nhau, Vì vậy nếu ta vẽ đờng chéo
AC và lấy ACD làm trung gian để so sánh diện tích CED và
diện tích AFD. Ta thấy ngay diện tích AFD = diện tích ACD
(cùng đáy AD, cùng chiều cao hạ từ F và C xuống AD)
Diện tích AFD=CED (cùng đáy CD, cùng chiều cao hạ từ A, E xuống CD)
Suy ra diện tích AFD=CED hay 1/2 DH.AF=1/2DK.CE Mà AF=CE Suy ra
DH=DK
Ví dụ 4: Chứng minh rằng đờng trung bình của một hình thang cân thì
nhỏ hơn đờng chéo của nó.
Hớng giải :
Gọi hình thang cân ABCD có BC // AD , AB = CD và BC< AD, MN là đ -
ờng trung bình của hình thang .

Ta phải chứng minh MN < BD nhng giữa MN và BD không có mối liên hệ
nào giúp ta so sánh đợc . Nếu từ M kẻ đờng thẳng song song với cạnh bên CD, cắt
AD tại e và dùng DE làm trung gian để so sánh MN với DE và DE với BD bằng cách
chứng minh MNDE là hình bình hành và BDE vuông tại E.
H
K
F
E
D
CB
A
E
N
M
D
CB
A
3/ Vẽ đờng phụ để tạo nên một hình mới, biến đổi bài toán để bài toán dễ chứng
minh hơn .
VD 5 : Cho ABC có AB > AC . Vẽ hai đờng cao BE và CD . Chứng minh rằng
AB + CD > AC + CE.
Hớng giải :
ở bài này nếu ta biến đổi để có một đoạn thẳng khác bằng AB + CD và
một đoạn thẳng khác bằng AC + BE thì cũng chẳng giúp gì cho việc chứng minh .
Nhng nếu ta dựa vào đề bài cho AB > AC để biến đổi kết luận bằng cách chuyển vế
AC và CD trong bất đẳng thức của kết luận ta có AB AC > BE CD . Nh vậy
bài toán có thể biến đổi thành một bài toán mới tơng đơng Cho ABC có AB >AC.
Chứng minh rằng hiệu hai cạnh AB và AC thì lớn hơn hiệu 2 đờng cao tơng ứng
thuộc hai cạnh đó.
- Biến đổi đề toán nh vậy sẽ gợi ý cho ta vẽ đờng phụ bằng cách đặt đoạn AB

chồng lên đoạn AC để làm xuất hiện đoạn thẳng hiệu của AB và AC. Đó là CB =
AB AC.Ta có ABB cân tại A . Từ B kẻ BH AB và CF BH .Đến đây ta
thấy việc giải bài toán trở nên rất dễ dàng . Ta chỉ cần chứng minh cho BE = BH
và CDHF là hình chữ nhật , sẽ suy ra đợc BF = BE CD. Cuối cùng bài toán đa về
việc so sánh BF và BC trong BFC.

4/ Vẽ thêm những đại lợng bằng nhau hoặc thêm vào những đại lợng bằng nhau mà
đề bài đã ra để tạo mối liên hệ giữa các đại lợng cần chứng minh giúp cho việc
chứng minh đợc dễ dàng .
Ví dụ 6 : Cho ABC, P là một điểm bất kỳ thuộc miền trong tam giác sao cho góc
PAC = góc PBC , và M, N là hình chiếu tơng ứng của P xuống AC và BC . Nối M, N
với trung điểm D của AB . Chứng minh MD = ND.
Hớng giải :
H
F
D
C
B
B
A
Giữa MD và ND cha có mối liên hệ nào giúp ta so sánh . Nếu ta xác định
thêm hai trung điểm I và K của BP và AP rồi nối DK, MK, nối DI, NI ta thấy xuất
hiện 2 tam giác DMK và DNI . Gợi ý cho ta nghĩ đến việc tìm cách chứng
minh cho 2 tam giác đó bằng nhau để rút ra MD = ND .
Mà DMK = DNI là điều dễ thấy .
Ví dụ 7: Chứng minh rằng trong một tam giác vuông, trung tuyến thuộc cạnh huyền
thì bằng nửa cạnh ấy .
Hớng giải : Tam giác ABC có góc B = 1v , AM = MC =
2
AC

. Chứng minh rằng
BM =
2
AC
.

Tia ac và tia BM cắt nhau tại M .Khai thác tính chất đờng chéo của hình
bình hành gợi ý cho ta lấy trên tia BM một đoạn MD = BM .
Ta sẽ đợc tứ giác ABCD là hình bình hành . Hình bình hành ABCD lại có góc
B = 1v nên là hình chữ nhật . Đến đây suy ra BM =
2
AC
là quá dễ dàng ( dựa vào
tính chất hình chữ nhật)
5/ Vẽ thêm đờng phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó .

I
P
N
M
D
C
B
A
K
D
M
C
B
A

Ví dụ 8 : Cho ABC và một đờng thẳng xy không cắt tam giác . Chứng minh
rằng khoảng cách từ trọng tâm G của tam giác đến đờng thẳng xy bằng
3
1
tổng
khoảng cách từ 3 đỉnh của tam giác tới đờng thẳng đó .
Hớng giải : ABC có G là trọng tâm . Kẻ AA , BB ,CC và GG vuông góc với
xy . Ta phải chứng minh GG =
( )
'''
3
1
CCBBAA ++
.
Dựa vào tính chất đờng trung tuyến của tam giác ta nghĩ ngay đến việc nối một đỉnh
nào đó của ABC với trọng tâm G thì đờng thẳng nối hai điểm đó
phải đi qua trung điểm cạnh đối diện

Giả sử nối B với G thì BG sẽ đi qua trung điểm N của AC . Và lấy một điểm
E là trung điểm BG ta sẽ có BE = EG = GN =
3
1
BN . Khai thác tính chất này và dựa
vào định lí Hai đờng thẳng cùng vuông góc với đờng thẳng thứ ba thì song song
với nhau . Ta tiếp tục vẽ các đờng thẳng EE và NN vuông góc với xy tạo nên các
hình thang AACC ; EENN ; BBGG. Vận dụng tính chất đờng trung bình của
hình thang để tính chất đờng trung bình của mỗi hình thang trên so với hai đáy của
nó biến đổi dần ta sẽ đợc kết quả cần tìm .
* Những điểm cần lu ý khi vẽ đờng phụ :
a) Vẽ đờng phụ phải có mục đích , không vẽ tuỳ tiện . Phải nắm thật vững đề

bài , định hớng chứng minh từ đó mà tìm xem cần vẽ đờng phụ nào phục vụ
cho mục đích chứng minh của mình.
b) Vẽ đờng phụ phải chính xác và tuân theo đúng các phép dựng hình cơ bản .
c) Với một bài toán nhng vẽ đờng phụ khác nhau thì cách chứng minh cũng khác
nhau . Có khi với cùng một đờng phụ nhng cách vẽ khác nhau nh trong ví dụ 7
nên không lấy MD = BM mà ta lại lấy D là trung điểm AB ( hình
E
N
E
G
A
N
C
C
B
A
B
y
x
G
bên )

chẳng hạn thì không vận dụng tính chất 2 đờng chéo của hình chữ nhật mà phải
chứng minh ADM = DBM , hoặc ở ví dụ 2 vẽ đờng phụ theo hai cách ta cũng
có hai cách chứng minh .
Thông qua một số ví dụ đã nêu , bạn đọc đợc hiểu phần nào vai trò của việc vẽ
đờng phụ trong chứng minh hình học . Có nắm vững đợc kiến thức cơ bản một
cách chắc chắn , biết vận dụng linh hoạt mới biết khai thác dữ kiện của bài ra mà
tìm cách vẽ đờng phụ thích hợp để giải toán . Nh vậy vẽ đờng phụ cũng là một kỹ
năng trong giải toán hình học .

*Một số loại đờng phụ thờng vẽ nh sau :
1) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trớc hay đặt một đoạn thẳng
bằng đoạn thẳng cho trớc ( VD 2 ) .
2) Vẽ thêm một đờng thẳng song song với đoạn thẳng cho trớc từ một điểm cho
trớc .
3) Từ một điểm cho trớc vẽ đờng thẳng vuông góc với đờng thẳng cho trớc ( VD
8 ).
4) Nối 2 điểm cho trớc hoặc xác định trung điểm của một đoạn thẳng cho trớc .
5) Dựng đờng phân giác của một góc cho trớc .
6) Dựng một góc bằng một góc cho trớc hay bằng nửa góc cho trớc
7) Vẽ tiếp tuyến với một đờng tròn cho trớc từ một điểm cho trớc .
8) Vẽ tiếp tuyến chung, dây chung hoặc đờng nối tâm khi có hai đờng tròn giao
nhau hay tiếp xúc ngoài với nhau.
* Một số bài toán tham khảo .
Bài 1: ở miền ngoài hình bình hành ABCD lấy một điểm P sao cho góc PAB =
góc PCB . Các đỉnh A và C nằm trong những nửa mặt phẳng khác nhau đối với đờng
thẳng PB. Chứng minh rằng góc APB = góc DPC.
Bài 2: Cho ABC cân tại A . Từ trung điểm H của BC kẻ HE AC ( E
AC
) .
Gọi O là trung điểm của HE . Chứng minh AO BE.
B
A
D
M
C
Bài 3 : Giả sử AC là đờng chéo lớn của hình bình hành ABCD. Từ C kẻ các đờng
thẳng CE, CF tơng ứng vuông góc với AB, AD .
Chứng minh : AB. AE + AD. AF = AC
2

.
Bài 4: Cho hình bình hành ABCD. Một đờng thẳng cắt AB tại E , AD tại F và đờng
chéo AC tại G .
Chứng minh:
AG
AC
AF
AD
AE
AB
=+
Bài 5: Cho ABC có góc A = 1v . Chọn trên AB một điểm D, kẻ Dx // AC nó cắt
BC tại E thoả mãn AE CD tại K và cho
n
m
AE
CD
=
.
Tính
ADEC
BDE
S
S
C/ kết luận :

Trong quá trình nghiên cứu về phơng pháp chứng minh một bài tập hình học, tôi
chỉ đa ra một phơng pháp cơ bản thờng dùng trong chơng trình phổ thông cơ sở. Đề
tài này đã hệ thống hoá các tình huống vẽ hình phụ trong bài tập hình học . Bên
cạnh đó là một số các ví dụ minh hoạ cho các tình huống đó , các bài tham khảo .

Tuy nhiên đề tài cũng có ít nhiều hạn chế về thể loại , cha đáp ứng đợc các đối tợng
nhất là học sinh giỏi . Trong phơng pháp nêu trên cũng còn hạn chế cả về nội dung
và phơng pháp .
Tôi rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến xây dựng của các đồng chí ,đồng
nghiệp để đề tài đợc củng cố, sửa chữa , đáp ứng đợc yêu cầu của bạn đọc .
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Đông Hoàng ngày 8 tháng 6 năm 2007
Ngời viết

Phí Ngọc Thi
Tài liệu tham khảo
1. Sách giáo khoa, sách giáo viên hình 7, 8.
2. Bài soạn hình 7, 8
3. Để học tốt hình 7, 8
4. Một số vấn đề phát triển hình 7, 8
5. Phơng dạy học toán học- Nguyễn Bá Kim , Vũ Dơng Thuỵ
6. Phơng pháp chứng minh trong hình học Nguyễn Phúc Trình
7. Tuyển chọn các bài toán cấp 2- Nguyễn Hải Châu