Chuyên đề "Các phương pháp giải Toán chia hết trong Z".

@ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn
Chuyên đề 1: PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN CHIA HẾT TRONG Z
I. Kiến thức cơ bản:
1/ Định lý phép chia có dư:
Với
, , 0, ! , : .a b Z b q r Z a bq rÎ ¹ $ Î = +
với
0 r b≤ <
Khi
0r =
ta nói
a bM
.
Tóm lại :
: .a b q Z a bqÛ $ Î =M
.
2/ Tính chất:
i)
a b
a c
b c
ì
ï
ï
Þ
í
ï
ï
î
M
M

M
ii)
a b
a b
b a
ì
ï
ï
Þ = ±
í
ï
ï
î
M
M
iii)
( )
, 1
a b
a c a bc
b c
ì
ï
ï
ï
ï
ï
Þ
í
ï

ï
ï
=
ï
ï
î
M
M M
iv)
( )
, 1
ab c
a c
b c
ì
ï
ï
ï
Þ
í
ï
=
ï
ï
î
M
M
II. Một số phương pháp chứng minh chia hết:
1/ Phương pháp 1: Sử dụng tính chất : “Trong
n

số nguyên liên tiếp
( )
1n ³
có một và chỉ một
số chia hết cho
n
”.
Chứng minh:
Lấy
n
số nguyên liên tiếp :
; 1; 2; ; 1a a a a n+ + + -
chia cho
n
ta có
n
số dư là
0
,
1
,…
n
-1
đôi một khác nhau, chắc chắn có một số chia cho
n
sẽ có số dư là 0
⇒
đpcm.
*Ví dụ 1: a/ CMR: Tích hai số chắn liên tiếp thì chia hết cho
8

.
b/ CMR: Tích
5
số nguyên liên tiếp thì chia hết cho
120
.
Giải:
a/ Giả sử hai số chẵn liên tiếp là
2k
và
2 2k +
.
Ta có :
( ) ( )
2 2 2 4 1 8k k k k+ = + M
(vì
( )
1 2k k + M
).
b/ Giả sứ tích
5
cố nguyên liên tiếp là
P
. Ta có:
3P M
(vì
P
có tích của ba số nguyên liên tiếp).
8P M
(vì

P
có tích của hai số chẵn liên tiếp).
5P M
(vì
P
có tích của 5 số nguyên liên tiếp).
Mà
( ) ( ) ( )
3,5 3,8 5,8 1= = =

3.5.8PÞ M
Hay
120P M
.
*Ví dụ 2: CM trong
1900
số tự nhiên liên tiếp có một số có tổng các chữ số chia hết cho
27
.
Giải:
Giả sử
1900
số tự nhiên liên tiếp là :
( )
, 1, , 1899 1n n n+ +
Xét
1000
số tự nhiên từ :
( )
, 1, 999 2n n n+ +

thuôc dãy số
( )
1
Suy ra có một số chia hết cho
1000
.
Giả sử số đó là
0
n
và giả sử
0
n
có tổng các chữ số là
m
.
Khi đó ta xét
27
số tự nhiên gồm:
( )
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
, 1, 2, , 9, 19, 29, , 99, 199, 299, , 999 3n n n n n n n n n n+ + + + + + + + +
Sẽ có tổng các chữ số gồm
27
số tự nhiên liên tiếp là:
, 1, 2, , 26m m m m+ + +
⇒
đpcm. (Trong dãy
( )
3
có một số tự nhiên có tổng các chữ số chia hết cho

27
).
2/ Phương pháp 2: Muốn chứng minh
( )
A n mM
ta phân tích
.m pq=
sao cho
( )
, 1p q =
.
Sử dụng hằng đẳng thức :
+
n
chẵn:
( )
( )
1 2 1

n n n n n
a b a b a a b b
- - -
- = - + + +
 Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 1 -
@ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn

( )
( )
1 2 1

n n n
a b a a b b
- - -
= + - + -
+
n
tuỳ ý:
( )
( )
1 2 1

n n n n n
a b a b a a b b
- - -
- = - + + +
*Ví dụ 3: CMR: với
n
chẵn thì
20 16 3 1 323
n n n
+ - - M
Giải:
Ta thấy:
323 17.19=
Ta có:
( )
( )
1 2 1
20 3 20 3 20 20 .3 3
n n n n n- - -

- = - + + +

( )
1 2 1
17 20 3.20 3 17
n n n- - -
= + + + M
( )
1 2
16 1 17 16 16 1 17
n n n- -
- = - + - M
20 3 16 1 17
n n
Þ - + - M
Tương tự :
( )
1 2
20 1 19 20 20 1 19
n n n- -
- = + + + M
( )
1 2 1
16 3 19 16 16 .3 3 19
n n n n n- - -
- = - + - M
20 1 16 3 19
n n n
Þ - + - M
Mà

( )
17,19 1=

20 16 3 1 323
n n n
⇒ + − − M
*Ví dụ 4: CMR:
2 2 1
11 12 133
n n+ +
+ M
Giải: Ta có:
2 2 1 2
11 12 121.11 12.12
n n n n+ +
+ = +

( )
121.11 144 133 121
n n
= + -

( )
121 11 144 133.144
n n n
= - +

( )
( )
1 2 1

121 144 11 144 144 .11 11 133.144
n n n n- - -
= - - + + + +

( )
1 1 1
121.133 144 144 .11 11 133.144 133
n n n n- - -
é ù
= - + + + +
ê ú
ë û
M
3/ Phương pháp 3: Dùng định lý phép chia có dư: Để chứng minh
( )
A n p n N" ÎM
Xét các trường hợp khi chia
n
cho
p
.
Ta có
.n pq r= +
với
0,1, 1r p= -
Từ đây, xét các trường hợp
( )
A n pÞ M
*Ví dụ 5: CMR:
( ) ( )

2 2
, 1 4 5n Z n n n" Î + + M
Giải:
Đặt
( )
( ) ( )
2 2
1 4A n n n n= + +
Lấy
n
chia cho
5
ta được
( )
5 , 5 1, 5 2n k n k n k k Z= = ± = ± Î
+ Với
( )
5 5n k A n= Þ M
+ Với
( )
( )
2 2 2
5 1 2 25 10 1 4 5 5 2 1 5 5n k n k k k k A n= ± Þ + = ± + + = ± + ÞM M
+ Với
( )
( )
2 2 2
5 2 1 25 20 4 1 5 5 4 1 5 5n k n k k k k A n= ± Þ + = ± + + = ± + ÞM M
Vậy
( )

( ) ( )
2 2
1 4 5A n n n n n Z= + + " ÎM
*Ví dụ 6: Chứng minh rằng :
( )
2 2
, , . 3m n Z mn m n" Î - M
Giải:
Đặt
( )
( )
2 2
.A n mn m n= -
 Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 2 -
@ Trường THCS Thạnh Tân GV: Di Thanh Tuấn
Lấy
,m n
chia cho 3 ta được:
3 , 3 1; 3 , 3 1m p m p n q n q= = ± = = ±
+ Với
( )
3
3
3
m p
A n
n q
é
=
ê

Þ
ê
=
ê
ë
M
+ Với
( )
( )
2 2
3 1
3 3
3 1
m p
m n A n
n q
é
= ±
ê
Þ - Þ
ê
= ±
ê
ë
M M
Vậy
( )
( )
2 2
. 3 ,A n mn m n m n Z= - " ÎM

4/ Phương pháp 4: Nguyên tắc Drichlet:
“ Có
1n +
con thỏ nhốt vào
n
chuồng thì có ít nhất một chuồng có hai con thỏ trở lên (nhiều hơn
một con thỏ).
⇒
Trong toán học: “Có
1n +
số nguyên đem chia cho
n
thì có ít nhất hai số nguyên có cùng số
dư”.
*Ví dụ 7: CMR trong
8
số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) bao giờ cũng chọn được hai số mà khi
viết liền nhau ta được một số có sáu chữa số chia hết cho
7
.
Giải:
Ta có: Trong
8
số tự nhiên (mỗi số có ba chữ số) khi chia cho
7
, ta được ít nhất hai số có cùng số
dư
r
.
Giả sử:

7 ; 7abc p r def q r= + = +
Ta có:
( )
( ) ( ) ( )
3 3 3 3
. 10 7 7 7 10 10 1 7 10 1001. 7abcdef p r q r p q r p q r
é ù
= + + + = + + + = + +
ê ú
ë û
M
⇒
đpcm.
 Kế hoạch bồi dưỡng học sinh giỏi – Phần Đại số - 3 -