Đề thi tuyển sinh vào cấp 3- có đáp án

Sở giáo dục và đào tạo Đề thi tuyển sinh lớp 10 ThPT
Quảng Trị Môn toán: Năm học 2007-2008.120 phút
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức B =
124
2
1
3279 + xxx
với x > 3
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tìm x sao cho B có giá trị bằng 7.
Bài 2(1,5 điểm)
Cho hàm số y=ax + b
Tìm a,b biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm ( 2 ; -1) và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ là
2
3
Bài 3(1,5 điểm)
Rút gọn biểu thức :
A=









aa
1

1
1
:









+


+
1
2
2
1
a
a
a
a
với a > 0, a 1, a 4
Bài 4(2,0 điểm)
Cho phơng trình bậc hai (ẩn số x ) :
x
2
-2(m+1) x+ m - 4 = 0 .(1)

a)Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá
của m.
b)Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1)
Tìm m để 3(x
1
+x
2
) =5 x
1
x
2
Bài 5(3,5 điểm)
Cho tam giác ABC có góc A =60
0
,các góc B,C nhọn .Vẽ các đờng cao BD và CE của tam
giác ABC .Gọi Hlà các giao điểm của BD và CE .
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
b) Chứnh minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.
c) Tính tỉ số
BC
DE

d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh OA vuông góc với DE
Sở giáo dục và đào tạo Đề thi tuyển sinh lớp 10 ThPT
Quảng Trị Môn toán: 120 phỳt.Năm học 2007-2008

(P N)
Bài 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thức B =
124
2
1
3279 + xxx
với x > 3
a) Rút gọn biểu thức B
b)Tìm x sao cho B có giá trị bằng 7.
Giải: a) B =
)3(4
2
1
3)3(9 + xxx
=
3333 + xxx
=
33 x
b)
33 x
=7

3
7
3 =x

x-3 =
9

49

x=
9
76
Bài 2(1,5 điểm) :Cho hàm số y=ax + b
Tìm a, b biết rằng đồ thị của hàm số đi qua điểm ( 2 ; -1) và cắt trục hoành tại điểm có
hoành độ là
2
3
Giải: Đồ thị đi qua điểm (2;-1)nên ta có pt: 2a + b= -1 (1)
Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
2
3
nên ta có pt:
2
3
a + b = 0 (2)
Từ (1);(2) ta có hệ pt:





=+
=+
0
2
3
12

ba
ba




=
=
3
2
b
a
vậy hàm số là y = -2x+3
Bài 3(1,5 điểm) .Rút gọn biểu thức :
A=









aa
1
1
1
:

+


+
1
2
2
1
a
a
a
a
với a > 0, a 1, a 4
Giải: A=
:
)1(
1

+
aa
aa









++
)1)(2(
)2)(2()1)(1(
aa
aaaa
=
:
)1(
1

aa









+
)1)(2(
)41
aa
aa
A=








)1(
1
aa

.









3
)1)(2( aa
=
a
a
3
2
Bài 4(2,0 điểm).Cho phơng trình bậc hai (ẩn số x ) :
x
2
-2(m+1) x+ m - 4 = 0 .(1)
a)Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.
b)Gọi x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình(1).Tìm m để 3(x
1
+x
2

) =5 x
1
x
2
Giải: a) Ta có
'
= (m+1)
2
-m +4 = m
2
+ m +1 + 4 = (m +
2
1
)
2
+
4
19
0
với

m có 2 nghiệm.
a) x
1
, x
2
là hai nghiệm phân biệt của phơng trình (1), theo định lý Vi-ét ta có:

==
+=

=+
4.
22
21
21
m
a
c
xx
m
a
b
xx


3(x
1
+x
2
) =5 x
1
x

2

3(2m + 2) =5.(m - 4)


6m-5m=-6-20

m=-26
Bài 5(3,5 điểm):Cho tam giác ABC có góc A =60
0
,các góc B,C nhọn .Vẽ các đờng cao BD và
CE của tam giác ABC .Gọi H là các giao điểm của BD và CE .
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp đợc trong một đờng tròn
b) Chứnh minh tam giác AED đồng dạng với tam giác ACB.
c) Tính tỉ số
BC
DE

d) Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Chứng minh OA vuông góc với DE
Giải:
a) BD

AC


ADE=90
0
; CE

AB


AED = 90
0
;


ADE +

AED =180
0
; Vậy tứ giác ADHE nội tiếp
đợc trong một đờng tròn.
b)Xột

AED v

ACB cú:
O
E
D
H
B
A
C

sở giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 ptth
quảng trị Năm học 2008-2009
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

( V BI GII)
Bài 1;(2,5 điểm)
b) Rút gọn các biểu thức:
A =
2045
B =
n
nm
nm
+
+

22
C =
1
1
:
1
1
1
1

+

+
+

x
x
xx
(với x
0
, x1)
b) Chứng minh rằng 0

C <1
Gii:
Rút gọn các biểu thức:
A =
2045
= 3
5525 =
B =
n
nm
nm
+
+

22
( với m - n)

B =

mnnmn
nm
nmnm
=+=+
+
+ ))((
C =
1
1
:
1
1
1
1

+








+
+

x
x
xx

(với x
0

, x1)

C =
1
2
1
1
1
11
+
=
+

ì

++
x
x
x
x
x
xx
b) Chứng minh rằng 0

C <1
Vì x
0

nên 2
0x
; x1 do đó
0
1
2

+x
x

(1);
xét
=
+
1
1
2
x
x
=
+

1
12
x
xx
=
+
+

1
)12(
x
xx
0
1
)1(
2
<
+

x
x

(2)
(hoặc Vì x
0

và x1 nên ta có :
( )
01
2
>x

x+1 >2
0>x
1
2
1
+

>
x
x
(2))
Từ (1 và(2) suy ra 0
1
1
2
<
+

x
x
hay 0
1
<
C
Bài 2: (1,5 điểm)
Cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và điểm A(2;8)
a) Tìm a biết Parabol (P) đi qua A
b) Tìm điều kiện của a để Parabol (P): y= ax
2
cắt đờng thẳng (d): y=x+1 tại hai điểm phân
biệt
Gii: (1,5 điểm). Cho Parabol (P): y = ax
2
(a 0) và điểm A(2;8)
a)Tìm a biết Parabol (P) đi qua A

Vì Parapol đi qua A nên ta có : 8 = a.2
2


a =2
b)Parabol (P): y= ax
2
cắt đờng thẳng (d): y=x+1 tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phơng
trình : ax
2
= x + 1 có hai nghiệm phân biệt
PT: ax
2
= x + 1 có hai nghiệm phân biệt

ax
2
-x -1= 0 có hai nghiệm phân biệt
Pt : ax
2
-x -1= 0 có hai nghiệm phân biệt nếu = 1+ 4a >0

a> -1/4
Bài 3(2điểm):
Giải bài toán bằng cách lập phơng trình
Một nhóm học sinh đợc phân công chuyển 105 bó sách về th viện của trờng. Đến buổi
lao động có hai học sinh bị ốm nên không tham gia đợc, vì vậy mỗi học sinh phải chuyển thêm
6 bó sách nữa mới hết số sách cần chuyển. Hỏi lúc đầu nhóm có bao nhiêu học sinh?
Biết số các bó sách mỗi học sinh chuyển là nh nhau.
Gii: Gọi số h/s ban đầu của nhóm là x, x

N, x>2, h/s; thì số sách mỗi em chuyển là
x
105
Do có 2 hs bị ốm nên số h/s tham gia lao động là x-2, số sách mỗi em phải chuyển là
2
105
x
Theo bài ra ta có Pt:
2
105
6
105

=+
xx
Giải pt ta có x
1
=-5 (loại); x
2
= 7 (tmđk)
Trả lời : Ban đầu nhóm có 7 HS
Bài 4 (0,5điểm)
Với x,y không âm, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
a) P = 3x-2
5,200923 ++ xyxy
Gii: a) P= 3x-2
5,200923 ++ xyxy
Giải: P=
8

3
5,2009
8
3
2
3
8
2
3
+++ x
x
xy
x
=
8
3
5,2009
8
3
3
8
3
3
22
+

+









x
y
x
=
8
3
8
16076
8
3
3
8
3
3
22
+

+









x
y
x
=
8
16073
8
16073
8
3
3
8
3

3
22
+








+









x
y
x

Vậy GTNN của P là
8
160757
khi x=
64

9
và y=
64
1
b)P= x-2
5,200923 ++ xyxy
Giải: P =
2
3
5,2009
2
3
2
3
2
32
3
++++ x
x
yxy
x
=(
2
3
5,2009)
2
3
2
3
2

()32
3
++++ x
x
yxy
x
=
2008
2
3
3
2
3
3
22
+








+

x
y
x
2008
Vậy GTNN của P là 2008 khi x=
4
9
và y=
4
1
Bài 5(3,5điểm)
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB, điểm M thuộc cung AB (MA,MB), điểm C
thuộc đoạn thẳng OA. Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa điểm M kẻ các tiếp tuyến Ax,By của
đờng tròn (O). Đờng thẳng qua M vuông góc với MC cắt Ax, By lần lợt tại D và E. AM cắt CD
tại P, BM cắt CE tại Q.
a) Chứng minh: Tứ giác ADMC ; BEMC là các tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh : DAM +EBM = 90
0
và DCCE
c) Chứng minh: PQ // AB
d) Tìm vị trí của điểm C để tứ giác APQC là hình bình hành
Gii: a,Tứ giác ADMC có DAC +DMC =180
0
Tứ giác BEMC có: EBC + CME =180
0
Nên các tứ giác ADMC và BEMC nội tiếp đợc đờng tròn

b, Ta có: DAM =MBC (cùng phụ với MAC)
mà MBC + MBE =90
0
(ByAB)
suy ra DAM + MBE = 90
0
Ta có DAM =DCM (2 góc nội tiếp chắn cung DM)
MCE = MBE (2 ME)
mà DAM + MBE = 90
0
nên suy ra DCM + MCE = 90
0
hay DC CE
c, Tứ giác ADMC nội tiếp(C/M trên)

MAC = MDC (cùng chắn cung MC)
Q
P
E
D
A
O
B
M
C
Tứ giác PMQC nội tiếp (vì M + C = 90
0
)

MPQ + MCQ (cùng chắn cung MQ)

Mặt khác MDC = MCQ (cùng phụ với MEC)
Suy ra MAC = MPQ mà MAC và MPQ là hai góc đồng vị nên PQ//AB