ĐỀ & ĐÁP ÁN THI CHỌN HSG LỚP 9

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài 1 : Chứng minh rằng số :
A =
26
4813532
+
+−+
là một số nguyên
Bài 2: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
Bài 3: Với giá trò nào cuả m ≠ 0 thì hệ phương trình :




=+
=−
53
2
myx
ymx

có nghiệm x,y thoả mãn x + y = 1 -
3
2
2
+m
m
Bài 4:
Một số chính phương có 4 chữ số. Nếu tăng mỗi chữ số lên một đơn vò ta
vẫn được một số chính phương. Tìm các số chính phương đó.

Bài 5:
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O) và có
AB<AC. Lấy M thuộc cung BC không chứa điểm A của đường tròn (O). Vẽ
MH⊥BC, MK⊥CA,MI⊥AB (H∈BC, K∈AC, I∈AB).
Chứng minh:

MI
AB
MK
AC
MH
BC
+=

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Bài 1:
A =
( )
2
2 3 5 2 3 1
2 3 4 2 3
6 2 6 2
+ − +
+ −
= =
+ +


( )
2

2 3 3 1
2 2 3
6 2 6 2
+ −
+
= =
+ +
=
=
( )
2
6 2
8 4 3 6 2
6 2 6 2 6 2
+
+ +
= =
+ + +
=
=1
Bài 2:
(a+1)(a+3)(a+5)(a+7)+15
=(a
2
+8a+7).(a
2
+8a+15)+15
=( a
2
+8a)

2
+22( a
2
+8a)+120
= (a
2
+8a+11)
2
-1
= a
2
+8a+12) (a
2
+8a+10)
= (a+6)(a+2) (a
2
+8a+10)
Bài 3:
Giải hệâ phương trình theo m, ta được:
2
2
2 5
3
5 6
3
m
x
m
m
y

m
+

=


+

−

=

+


Thay vào đẳng thức :
3
1
3
65
3
52
2
2
22
+
−=
+
−
+

+
+
m
m
m
m
m
m

Suy ra : m =
7
4

Bài 4 :
Ta có: N= abcd = x
2

N’=(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)= y
2

N’-N= y
2
- x
2
= 1111=11. 101
x và y chỉ có thể có hai chữ số :
(y-x)(y+x) =11.101
Hay:
56,45
11

101
==⇒



=−
=+
yx
xy
xy

N = 45
2
= 2025
N’= 56
2
= 3136
Bài 5:
A
D

K
O.
B H E C
I
M
Lấy trên cung nhỏ AC điểm D sao cho cung CD bằng cung AB.
Đường thẳng MD cắt BC tại E.
Hai tam giác AMC và BME đồng dạng vì có:
CÂM=EBÂM và AMÂC=BMÂE

⇒

MH
BE
MK
AC
=
(1)

Hai tam giác AMB và CME đồng dạng vì có:
BÂM=ECÂM và AMÂB=CMÂE

⇒

MH
CE
MI
AB
=
(2)
Cộng (1) và (2) ta có:
MH
BC
MH
CEBE
MI
AB
MK
AC

=
+
=+
(ĐPCM)