Đề thi và đáp án-Thi chọn HSG Quốc gia lớp 12 năm 2005

Đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia
Lớp 12 THPT năm 2005, Môn Vật lý, Bảng A. Ngy thi th nht (10/3/2005)
Bài I. Cho vật nhỏ A có khối lợng m và vật B khối lợng M. Mặt trên của B là một phần mặt
cầu bán kính R (xem hình vẽ). Lúc đầu B đứng yên trên mặt sàn S, bán kính của mặt cầu đi qua
A hợp với phơng thẳng đứng một góc
0

(
0

có giá trị nhỏ). Thả cho A chuyển động với vận
tốc ban đầu bằng không. Ma sát giữa A và B không đáng kể. Cho gia tốc trọng trờng là g.
1. Giả sử khi A dao động, B đứng yên (do có ma sát giữa B và sàn S).
a) Tìm chu kỳ dao động của vật A.
b) Tính cờng độ của lực mà A tác dụng lên B khi bán kính qua
vật A hợp với phơng thẳng đứng một góc
( )
0


.
c) Hệ số ma sát giữa B và mặt sàn S phải thoả mãn điều kiện
nào để B đứng yên khi A dao động?
2. Giải sử ma sát giữa vật B và mặt sàn S có thể bỏ qua.
a) Tính chu kỳ dao động của hệ.
b) Lực mà A tác dụng lên B có giá trị cực đại bằng bao nhiêu?
Bài II. Trong bình kín B có chứa hỗn hợp khí ôxi và hêli. Khí trong bình có thể thông với môi tr-
ờng bên ngoài bằng một ống có khoá K và một ống hình chữ U hai đầu để hở, trong đó có chứa
thuỷ ngân (áp kế thuỷ ngân nh hình vẽ). Thể tích của khí trong ống chữ U
nhỏ không đáng kể so với thể tích của bình. Khối khí trong bình cân bằng
nhiệt với môi trờng bên ngoài nhng áp suất thì cao hơn nên sự chênh lệch của

mức thuỷ ngân trong hai nhánh chữ U là h = 6,2 cm. Ngời ta mở khoá K cho
khí trong bình thông với bên ngoài rồi đóng lại ngay. Sau một thời gian đủ
dài để hệ cân bằng nhiệt trở lại với môi trờng bên ngoài thì thấy độ chênh
lệch của mức thuỷ ngân trong hai nhánh là
cmh 2,2'
=
. Cho O = 16; He = 4.
1. Hãy xác định tỷ số khối lợng của ôxi và hêli có trong bình.
2. Tính nhiệt lợng mà khí trong bình nhận đợc trong quá trình nói trên.
Biết số mol khí còn lại trong bình sau khi mở khoá K là n = 1; áp suất
và nhiệt độ của môi trờng lần lợt là
KTmNp 300;/10
0
25
0
==
, khối
lợng riêng của thuỷ ngân là
3
/6,13 cmg
=

; gia tốc trọng trờng
2
/10 smg
=
.
Bài III. Cho mạch điện có sơ đồ nh hình vẽ. Hai tụ điện
1
C

và
2
C
giống nhau, có cùng điện
dung C. Tụ điện
1
C
đợc tích điện đến hiệu điện thế
0
U
, cuộn dây có độ tự cảm L, các khoá
1
K
và
2
K
ban đầu đều mở. Điện trở của cuộn dây, của các dây nối, của các khoá là rất nhỏ,
nên có thể coi dao động điện từ trong mạch là điều hoà.
1. Đóng khoá
1
K
tại thời điểm t = 0. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của:
a) cờng độ dòng điện chạy qua cuộn dây.
b) điện tích
1
q
trên bản nối với A của tụ điện
1
C
.

2. Sau đó đóng
2
K
. Gọi
0
T
là chu kỳ dao động riêng của mạch
1
LC
và
2
q
là điện tích trên
bản nối với
2
K
của tụ điện
2
C
. Hãy tìm biểu thức phụ thuộc thời gian t của cờng độ dòng điện
chạy qua cuộn dây và của
2
q
trong hai trờng hợp:
a) Khoá
2
K
đợc đóng ở thời điểm
4/3
01

Tt
=
.
b) Khoá
2
K
đợc đóng ở thời điểm
02
Tt
=
.
3. Tính năng lợng điện từ của mạch điện ngay trớc và ngay sau
thời điểm
2
t
theo các giải thiết ở câu 2b. Hiện tợng vật lý
nào xảy ra trong quá trình này?
Bài IV. Cho hệ trục toạ độ Descartes vuông góc Oxy. Một thấu kính hội tụ, quang tâm
1
O
, đợc
đặt sao cho trục chính trùng với Ox. S là điểm sáng nằm trớc thấu kính. Gọi
'S
là ảnh của S
qua thấu kính.
1.Lúc đầu S nằm trên Oy, cách thấu kính một khoảng
bằng tiêu cự của thấu kính, cách O một khoảng bằng h.
Giữ S cố định, dịch chuyển thấu kính ra xa dần S sao cho
trục chính luôn luôn trùng với Ox.
a) Lập phơng trình quỹ đạo

)(xfy
=
của
'S
. Biết tiêu
cự của thấu kính là f. Phác hoạ quỹ đạo này và chỉ rõ
chiều dịch chuyển của ảnh khi thấu kính dịch chuyển ra
xa dần S.
b) Trên trục Ox có ba điểm A, B, C (xem hình vẽ). Biết
AB = 6cm, BC = 4cm. Khi thấu kính dịch chuyển từ A tới
B thì
'S
lại gần trục Oy thêm 9cm, khi thấu kính dịch
chuyển từ B tới C thì
'S
lại gần trục Oy thêm 1cm. Tìm toạ độ điểm A và tiêu cự của thấu kính.
2. Giả sử điểm sáng S cách thấu kính một khoảng lớn hơn tiêu cự của thấu kính. Giữ thấu kính cố
định, ảnh
'S
sẽ di chuyển thế nào nếu dịch chuyển S lại gần thấu kính theo một đờng thẳng bất
kỳ?
Hớng dẫn giải đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia
môn vật lý, Năm 2005 (Ngày thi thứ nhất: 10/3/2005)
Bài I. 1. a) Khi bán kính nối vật với tâm lệch góc

(nhỏ) :
)1(amgmN


=+

Chiếu (1) lên trục Os (coi nh vuông góc với bán kính):
smRmgs

=
/

0
2
=+

ss

với
Rg /
=

.
Vậy A dao động điều hoà với
gRT /2

=
b) Chiếu (1) trên phơng bán kính:
RmvmgN /cos
2
+=

.
Theo định luật bảo toàn năng lợng:
( )
0

2
coscos2/

=
mgRmv
;

0
cos2cos3

mgmgN
=
c) Ta có:

sinNN
x
=

sincos22sin5,1
0
mgmg
=
.
áp lực của M lên sàn là:

cosNMgQ
+=


coscos2cos3

0
2
mgmgMg
+=
.
Điều kiện để B đứng yên là:
kQN
x

với mọi
0


.
Với

nhỏ:
( )

0
cos23 mgmgN
x

tỷ lệ với

nên có giá trị cực đại khi
0

=
.

Do đó:
( )
00000max
sincossincos2cos3

mgmgmgN
x
==
( )
0sincos3cos2
0
<=


mgd
dQ
luôn có giá trị âm nên Q nghịch biến với

.
Vậy
0
2
min
cos

mgMgQ
+=
khi
0

=
.
Mặt khác, ta có
minmax
// QNkQNk
xx


0
2
00
min
cos
sincos


mM
m
k
+
=
.
Nếu thay
2/1cos
2
00


và
00

sin


, ta đợc:
( )
.
2/1
2
0
0
min


+
=
mM
m
k

2.a) Khi bỏ qua ma sát, theo phơng ngang, động lợng của hệ đợc bảo toàn. Vì

nhỏ nên có thể
coi vận tốc của m có phơng nằm ngang, ta có:
0
=+
MVmv
Mặt khác, do bảo toàn cơ năng:
( )
0
22

coscos
22

=+
mgR
MVmv
Chú ý rằng
( ) ( )
MmvVvR /1'
+==

(ở đây ký hiệu
dt
d


=

), Với các góc bé, ta có:

( ) ( )
( )
22
0
2
2
222
2
22
2

1
/12/12


=
+

+
+

mgR
MmM
RMm
Mm
mR

( )
( )
22
0
2
2
1
/1/
2


=+

gMmR

Đạo hàm hai vế biểu thức trên theo t:, ta đợc:

( )

R
Mmg /1
+
=

.
Vậy hệ dao động điều hoà với
( )
( )
Mmg
R
T
R
Mmg
/1
2
/1
+
=
+
=

.
b) Đối với m:
amgmN

=+
. Chiếu hai vế của phơng trình trên lên Os, ta có:
( )
R
Vvm
mgN
2
cos

+=

.
Theo định luật bảo toàn động lợng:
0
=+
MVmv
và bảo toàn cơ năng:
( )
0
22
coscos
22

=+
mgR
MVmv
Suy ra:
( )
0

coscos2








+
=
gR
Mm
M
v
Ta đã biết
( )
MmvVv /1
+=
nên khi
0
=

,

cos
và
Vv

cực đại, do đó N cực đại. Vậy

R
Vvm
mgN
2
max
)(
0cos

+=
22
)1(
M
m
v
R
m
mg
++=

( )
2
0
)1(cos12
/1
1
M
m
gR
MmR
m

mg
+







+
+=


( )
0
cos/1223

Mmmg
M
m
mgmg
++=
.
Bài II. 1) Lúc cha mở khoá K, khí có áp suất
ghpp

+=
01
. Khi mở khoá K, khí giãn nở đoạn
nhiệt và có áp suất

0
p
:






=
1
01
1
10
pTpT
, suy ra
0
1
0
1
0
1
)1(
1
p
gh
p
p
T
T

+








=

(1)
Khi đóng khoá, quá trình là đẳng tích. Khi cân bằng khí có áp suất
202
ghpp

+=
và nhiệt độ
1
T
. Ta có:
)2(1
0
2

20
0
2
0
0
1









+
==
p
gh
ghp
p
p
p
T
T


So sánh (1) và (2) ta đợc:

)3(

1
11
0
1
0
2









+=









p
gh
p
gh

21
1
12
1
hh
h
hh

=

=



Thay số ta tính đợc:
55,1
=

.
Xét một mol hỗn hợp, gọi hệ số mol He là x, số mol
2
H
là y. Nhiệt dung mol đẳng tích của He
là 3R/2, của

2
H
là 5R/2. Nhiệt dung mol đẳng áp của He là 5R/2, của
2
H
là 7R/2, nên ta hệ
phơng trình:
1
=+
yx

(*)

55,1
5,25,1
5,35,2
=
+
+
=
RyRx
RyRx

(**)
Giải ra ta đợc
68,0

x
. Từ đó ta tính đợc:
( )

8,3
4
321


=
gx
gx
m
m
He
H
.
2).Tính nhiệt lợng:
Nhiệt dung mol đẳng tích của hỗn hợp khí là
1

=

R
C
V
, ta có:

( ) ( )
01010
/1 TTTnCTTnCQ
VV
==
( )

=
1
00
1
1 p
pRT
n


=
( ) ( )
0
02
20
00
1
1
1 p
TghnR
ghp

pRT
n

=








+





J6,135

Bài III. 1. a) Chu kỳ dao động của mạch
LCTLC

2/2:
001
==
Điện tích q của bản A của tụ điện
1
C
vào thời điểm t = 0 là

( )
00
0 CUQq
==
và
( )
00 =i
Vào thời điểm t ta có:
)./(sin//
0
LCtLCUdtdqi
==
b)
( )
)/cos()/(cos
00
LCtCULCtQtq
==
2. a) Tại thời điểm
2/34/3
01
LCTt

==
thì
( )
)3(04/3
0
=
Tq

và
( )
LCULCUTi /2/3sin/4/3
000
==

(4)
Từ thời điểm này dao động điện từ có tần số góc
LC2
1
1
=

. (Hai tụ điện mắc song song coi
nh một tụ ghép có điện dung 2C và có điện tích bằng 0 vào thời điểm
4/3
0
Tt
=
). Với điều kiện
ban đầu (3) và (4) ta có:
( )
4/3cos
0111
TtIi
=

, với
LCUI /
01

=
.
hay
)5(
4
23
2
cos/
01








=

LC
t
LCUi
Ký hiệu
12
q
là điện tích của tụ ghép và
'q
là điện tích của tụ
2
C

, ta có

( )
4/3sin''2
0112
TtQqq
==

Để tính
'Q
ta áp dụng định luật bảo toàn năng lợng:
( )
C
Q
LI
C
Q
222
1
2
2'
2
1
2
0
==
22'
00
CUQQ
==

Từ đây suy ra:
)6(
4
23
2
sin
2
'
0








=

LC
t
CU
q
2.b) Nếu đóng
2
K
vào thời điểm
02
Tt
=

thì ta có:
( ) ( )
)7(2cos
0000
QCUCUTq
===

và
( )
)8(0
0
=
Ti
Tại thời điểm này hai tụ
1
C
và
2
C
mắc song song, tụ
1
C
tích điện tích
0
Q
còn tụ điện
2
C
thì không tích điện, dòng trong mạch bằng không. Do vậy, ngay sau đó lợng điện tích
0

Q
này trên tụ
1
C
sẽ phân bố lại cho cả hai tụ điện. Quá trình phân bố này xảy ra rất nhanh trong
khi điện tích cha kịp dịch chuyển qua cuộn dây, vì tại thời điểm này
0
=
i
và sự thay đổi cờng
độ dòng điện qua cuộn cảm bị cản trở do hệ số tự cảm (gây ra cảm kháng), điện tích hầu nh chỉ
truyền qua các khoá và dây nối. Vì hai tụ điện có điện dung nh nhau nên điện tích
0
Q
đợc phân
bố đều cho hai tụ điện.
Sau khi điện tích đợc phân bố đều trên hai tụ điện, trong mạch lại có dao động điện từ với
tần số góc
12
2
1

==
LC
, với điều kiện ban đầu (7) và (8).
Vì vậy ta có:

==

2
2
sin)(sin
2222
LC
t
ITtIi