CHƯƠNG 4 - TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG ppsx

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 1

Chương 4

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 2
4.1 Khái Niệm
• Hệ thống ĐKTĐ phải giữ được trạng thái ổn đònh dưới tác động của tín
hiệu đầu vào và ảnh hưởng của nhiễu.

4.1.2 Ổn đònh của hệ tuyến tính
• Ptvp tổng quát mô tả một hệ thống ĐKTĐ :
11
11
11
() () () ()
( ) ( )
nn mm
ono m
nn mm
dct d ct drt d rt
aa actbb brt
dt dt dt dt
−−
−−
+++=+++ (4.1)
• Hàm truyền :
1
1
1
1

() ()
()
() ()
mm

om
nn
on
bs bs b
Cs Bs
Gs
R
sasas aAs
−
−
+++
== =
+++
(4.2)
• Nghiệm của (4.1) :
() () ()
oqd
ct c t c t=+
()
o
ct : nghiệm riêng khi có vế phải – đặc trưng cho quá trình xác lập
()
qd
ct : nghiệm tổng quát khi không có vế phải – đặc trưng cho quá trình
quá độ.
Dạng tổng quát của nghiệm quá độ :
1
()
i
n

p
t
qd i
i
ct e
λ
=
=
∑

Với
i
p
là nghiệm của phương trình đặc tính (còn gọi là pt đặc trưng):
1
1
0( )
nn
on
As as as a
−
=+ ++=
ii i
p
j
α
β
=±
: được gọi là cực (pole)
Nghiệm của

1
1
0()
mm
om
Bs bs bs b
−
=
+++= được gọi là zero
Kết luận quan trọng
:
• Hệ thống ổn đònh nếu tất cả nghiệm của pt đặc tính A(s)=0 đều có phần
thực âm (nằm bên trái mặt phẳng phức) :
{
}
0Re
i
p
<
, hay 0
i
α
<

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 3
• Hệ thống không ổn đònh nếu chỉ có một nghiệm có phần thực dương
• Hệ thống ở biên giới ổn đònh nếu chỉ có một nghiệm có phần thực bằng 0
(nghiệm nằm trên trục ảo)

4.2 Tiêu Chuẩn Ổn Đònh Đại Số
4.2.1 Điều kiện cần :
Điều kiện cần để hệ thống ổn đònh là tất cả các hệ số của ptđt phải khác 0
và cùng dấu.
Ví dụ
:
32
3210sss+−+= → không ổn đònh
42
2530sss+++= → không ổn đònh
432
45210ssss++++=
→ chưa kết luận

4.2.2 Tiêu chuẩn ổn đònh Routh
• Ptđt :
1
11
0
nn
onn
as as a s a

−
−
++++=
• Thành lập bảng Routh
- Bảng Routh có 1
n
+

- Hàng 1 : hệ số chẵn
- Hàng 2 : hệ số lẻ
- Phần tử hàng
i cột
j
:
theo công thức
21 11,,
.
ij i j i i j
cc c
α
−+ −+
=
− với :
21
11
,
,
i
i
i

c
c
α
−
−
=




C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 4













• Phát biểu tiêu chuẩn Routh :
Điều kiện cần & đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả phần tử nằm ở cột 1 đều
dương. Số lần đổi dấu của các phần tử ở cột 1 bằng số nghiệm bên phải.

Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt
432

45210ssss
+
+++=
01 2 3 4
14521,,,,aaa a a== = = = → các hệ số khác 0 và cùng dấu → nên
chưa kết luận được
→ dùng tiêu chuẩn Routh


4
s
0
1a
=
2
5a
=

4
1a
=

3
s
1
4a
=
3
2a
=

0
0
3
1
1
4
a
a
α
==

2
s
31 2 3 3
.ca a
α
=
−

19
52
42
.
=
−=
32 4 3 5
.ca a
α
=

−

1
101
4
.
=
−=
33 6 3 7
.ca a
α
=−

1
000
4
.=− =

1
4
31
48
92 9/
a
c
α
== =

1
s

41 3 4 32
.ca c
α
=
−
810
21
99
.
=
−=
0
31
5
41
92 81
10 9 20
/
/
c
c
α
== =

0
s
1

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 5
• Các trường hợp đặc biệt
1. Nếu hệ số ở cột 1 bằng 0
→ thay vào số 0
ε
>
Ví dụ : Xét ổn đònh hệ thống có ptđt
432
24830ssss
+
+++=











2. Nếu một hàng có tất cả hệ số bằng 0 :
• Thành lập đa thức phụ
()
p
As
bao gồm các hệ số của hàng trước đó.
• Thay vào hàng 0 bởi hàng có hệ số của
()

p
dA s
ds
rồi tính tiếp tục.
• Nghiệm của đa thức phụ ()
p
As cũng là nghiệm của ptđt
Ví dụ : Xét tính ổn đònh của hệ thống có ptđt :
5432
488740sssss+++++=












C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 6
2
44()
p
As s=+
→ 80
()
p

dA s
s
ds
=+

Nghiệm của đa thức phụ
2
440()
p
As s
=
+= → sj
=
±
Kết luận : có 2 nghiệm nằm trên trục ảo
→ hệ thống ở biên giới ổn đònh

4.2.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Hurwitz
Ptđt :
1
11
0
nn
onn
as as a s a
−
−
++++=
• Thành lập ma trận Hurwitz :
- Ma trận vuông nxn

- Đường chéo ma trận là các hệ số từ
1
a đến
n
a
- Lần lượt ghi các hàng lẻ và chẵn
• Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz
Điều cần và đủ để hệ thống ổn đònh là tất cả
các đònh thức con chứa đường chéo của ma
trận Hurwitz đều dương

4.3 Phương Pháp Quỹ Đạo Nghiệm Số
4.3.1 Khái niệm
• Hệ thống có ptđt :
2
40ssK++=
• Nghiệm của ptđt ứng với các giá trò K











• Đònh nghóa : Quỹ đạo nghiệm số là tập hợp tất cả các nghiệm của ptđt khi
có một thông số nào đó trong hệ thống thay đổi từ 0

→∞

1357
0246
135
024
0
0
00
00
0





n
aaaa
aaaa
aaa
aaa
a
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥

⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
MMMM M
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 7
4.3.2 Qui tắc vẽ quỹ đạo nghiệm số






• Hàm truyền :
1
()
() ()
k
Gs
G
GsHs
=
+

• Phương trình đặc tính : 10() ()GsHs+=
• Để vẽ quỹ đạo nghiệm → biến đổi tương đương ptđt về dạng :
10
()
()
N
s
K
Ds
+=
(K là thông số thay đổi) (4.12)
Đặt
0
()
()
()
N
s
Gs K
D
s
=
, Gọi n là số cực, m là số zero của
0
()Gs
(4.12)
0
10()Gs⇔+ =
Điều kiện biên độ
Điều kiện pha

• Qui tắc 1 : Số nhánh QĐN = bậc của ptđt = số cực của
0
()Gs = n
• Qui tắc 2 : Khi K = 0 các nhánh của QĐN xuất phát từ các cực của
0
()Gs.
Khi
K →∞
, m nhánh tiến đến m zero, n-m nhánh còn lại
→∞
theo các
tiệm cận (xác đònh bởi qui tắc 5,6)
• Qui tắc 3 : QĐN đối xứng qua trục thực
• Qui tắc 4 : Một điểm trên trục thực thuộc về QĐN nếu tổng số cực và zero
bên phải nó là một số lẻ.
• Qui tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐN với trục thực :

21
012
()
( , , , )
l
l
nm
π
α
+
==±±
−

• Qui tắc 6 : Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ:
11
nm
ii
ii
p
z
OA
nm
==
−
=
−
∑∑
(
i
p
và
i
z
là các cực & zero của
0
()Gs)

0
0
1
21
()

() ( )
Gs
Gs l
π
⎧=
⇔
⎨
∠=+
⎩
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 8
• Qui tắc 7 : Điểm tách nhập (nếu có) của QĐN nằm trên trục thực và là
nghiệm của pt :
0
dK
ds
=

• Qui tắc 8 : Giao điểm của QĐN với trục ảo xác đònh theo 2 cách sau :
- Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz
- Thay
sj
ω
=
vào ptđt (4.12), cân bằng phần thực & ảo → tìm được giao
điểm & giá trò K
• Qui tắc 9 : Góc xuất phát của QĐN tại cực phức
j
p
tính theo :
0

11
180 arg( ) arg( )
mn
j
ji ji
ii
ij
p
zpp
θ
==
≠
=+ −− −
∑∑

Dạng hình học của công thức trên :
0
180
j
θ
=+ (
∑
góc từ các zero đến cực
j
p
)
- (
∑
góc từ các cực còn lại đến cực
j

p
)
• Qui tắc 10
: Tổng các nghiệm là hằng số khi K thay đổi từ 0 →+∞
• Qui tắc 11
: Hệ số khuếch đại dọc theo QĐN xác đònh từ điều kiện biên
độ
1
()
()
N
s
K
Ds
=


Ví dụ 4.7 : Vẽ QĐN hệ thống






• Phương trình đặc tính :
10 1 0
23
()
()()
K

Gs
ss s
+= ⇔ + =
++
(1)
Cực :
12 3
023,,
p
pp==−=− → n = 3
Zero : không có
→ m = 0
• n = 3 → có 3 nhánh tiến ra
∞

• Tiệm cận :

23
()
()()
K
Gs
ss s
=
++
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 9
1
2
3
0

3
21 21
1
30 3
1
()
()()
()
()
l
ll
l
nm
l
π
α
ππ π
αα
απ
⎧
==
⎪
⎪
++
⎪
== ⇒=−=−
⎨
−−
⎪
==

⎪
⎪
⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực



• Điểm tách nhập là nghiệm của pt : 0
dK
ds
=

10
23
()()
K
ss s
+=
++
→
32
23 56()()( )Kss s ss s=− + + =− + +
2
31060()
dK
ss
ds
=− + + = →
1

2
2549
0 785
,
,
s
s
=−
⎧
⎨
=−
⎩
→ chọn điểm
2
s
• Giao điểm của QĐN với trục ảo :
Cách 1
: Áp dụng tiêu chuẩn Routh
10
23
()()
K
ss s
+=
++
→
32
56 0sssK
+
++= (2)

Điều kiện để hệ thống ổn đònh
1
60
030
5
0
K
K
K
⎧
−>
⎪
⇔<<
⎨
⎪
>
⎩
→ 30
gh
K
=

Thay

30
gh
K = vào (2) → giải phương trình :
12 3
56 6,,ssjsj=− = =−


3
s
1
6

2
s
5

K

3
1
5
α
=
1
s
1
6
5
.K−
0

0
s
K
cực
zero
02 305
30 3
[()()]
OA
nm
−
+− +− −
== =−
−−
∑∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 10
Cách 2 : Thay sj
ω
= vào pt (1) :
32
56 0() () ()jjjK
ωωω
+++=
32
56 0jjK
ωω ω
−− + +=

3

2
60
50
jj
K
ωω
ω
⎧
−+ =
⎨
−+=
⎩

→
0
6
0
30
,
K
K
ω
ω
⎧
=
⎧
=±
⎨⎨
=
=

⎩
⎩


Ví dụ 4.8 : Hệ thống hồi tiếp âm
đơn vò, hàm truyền hở :

2
820
()
()
K
Gs
ss s
=
++

• Phương trình đặc tính : 10() ()GsHs+= → 110().Gs
+
=
• Biến đổi dạng tương đương : 10
()
()
N
s
K
Ds
+
= →
2

10
820()
K
ss s
+
=
++

• Cực :
123
042
,
,
p
pj==−±, n = 3
• Zero : không có, m = 0
• QĐN có 3 nhánh tiến ra ∞ theo các đường tiệm cận
• Góc tiệm cận
1
2
3
0
3
21 21
1
30 3
1
()
()()
()

()
l
ll
l
nm
l
π
α
ππ π
αα
απ
⎧
==
⎪
⎪
++
⎪
== ⇒=−=−
⎨
−−
⎪
==
⎪
⎪
⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận & trục thực

• Điểm tách nhập là nghiệm pt 0
dK
ds
=



cực
zero
042 42 08
30 3
[( )( )]jj
OA
nm
−
+−+ +−− −
== =−
−−
∑
∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 11
32
2
10 820
820
()
()
K
Kss s
ss s

+=→=−++
++

1
2
2
333
316200
200
,
()
,
s
dK
ss
s
ds
=−
⎧
=− + + = →
⎨
=−
⎩

QDN có 2 điểm tách nhập


• Giao điểm của QDN với trục ảo
32
2

108200
820()
K
ss sK
ss s
+=→+++=
++

Thay
sj
ω
=
→
32
820 0() () ()jj jK
ωω ω
+++=
→
32
820 0jjK
ωω ω
−− + +=
2
3
00
80
20 0
20 160
,
,

K
K
K
ω
ω
ωω
ω
=
=
⎧
⎧
−+=
→
⎨⎨
−+ =
=± =
⎩
⎩

Giao điểm của QDN và trục ảo là
20sj=±

• Góc xuất phát của QDN tại cực phức
2
p

0
22123
180 [( )arg( )]agr p p p p
θ

=− −+ −
{
}
0
180 4 2 0 4 2 4 2[( ) ] arg[( ) ( )]agr j j j= − −+ − + −+ −−−
{}
01 0 0 00 0
2
180 90 180 153 5 90 63 5
4
() , ,tg
−
⎧⎫
=− +=− +=−
⎨⎬
−
⎩⎭

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 12
Ví dụ 4.9 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, hàm truyền hở là :
2
1
3820
()
()
()( )
Ks
Gs
ss s s
+
=
+++

• Ptđt : 10() ()GsHs+= →
2
1
10
3820
()
()( )
Ks
ss s s
+
+
=
+++
(1)
Nhận xét có dạng

10
()
()
N
s
K
Ds
+=

• Cực :
12 34
03 42
,
,,
p
ppj==− =−± → n = 4
• Zero :
1
1
z
=− → m = 1
→ QDN có 4 nhánh xuất phát từ các cực khi K=0. Một nhánh tiến đến zero
1
1
z
=− , ba nhánh tiến ra vô cùng theo các tiệm cận
• Góc tiệm cận
1
2
3

0
3
21 21
1
41 3
1
()
()()
()
()
l
ll
l
nm
l
π
α
ππ π
αα
απ
⎧
==
⎪
⎪
++
⎪
== ⇒=−=−
⎨
−−
⎪

==
⎪
⎪
⎩

• Giao điểm giữa các tiệm cận và trục thực



• Điểm tách nhập là nghiệm của pt 0
dK
ds
=

(1)
→
2
3820 10()( )()ss s s Ks+++++=
2
3820
1
()( )
()
ss s s
K
s
+++
=−
+

432
2
326778860
1()
dK s s s s
ds s
++++
=−
+

432
0 3 26 77 88 60 0
dK
ssss
ds
=⇔ ++++=
→
12
34
367 105
066 097
,
,
,,
,.
sj
sj
=− ±
⎧
⎨

=− ±
⎩

QĐN không có điểm tách nhập
(không nằm trên trục thực)

cực
zero
03 42 42 110
41 3
[ ( )( )( )]()jj
OA
nm
−
+− +−+ +−− −−
== =−
−−
∑∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 13
• Giao điểm của QĐN với trục ảo
Thay
sj
ω
= vào
2
3820 10()( )()ss s s Ks+++++=
432
11 44 60 0()jKjK
ωωω ω
−−+++=

42
3
44 0
11 60 0()
K
K
ωω
ωω
⎧
−+=
⇔
⎨
−+=
⎩

0 5 893 1 314
0 322 61 7
,,
,,
,
j
KK K
ωω ω
==± =±
⎧⎧ ⎧
⇔
⎨⎨ ⎨
== =−
⎩⎩ ⎩
(loại)

Vậy giao điểm là
5893,sj=± , 322
gh
K
=

• Góc xuất phát tại cực phức
3
p

0
11
180 arg( ) arg( )
mn
j
ji ji
ii
ij
p
zpp
θ
==
≠
=+ −− −
∑∑

0000000
31234
180 180 146 3 153 4 116 6 90 33 7() ,(,,),
θββββ

=+−++=+ − + +=−





















C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 14
Ví dụ 4.10 : Vẽ QDN hệ thống hồi tiếp âm đơn vò, hàm truyền hở là :
400
6
()
()()
Gs
ss s a

=
++

• Ptđt : 10() ()GsHs+= →
400
10
6()()
ss s a
+
=
++

Nhận xét : tham số a nằm dưới mẫu số
→ cần đưa về dạng
10
()
()
N
s
K
Ds
+=

64000()()ss s a+++=
2
6400 60() ()ss ass++ + +=
32
6
10
6 400

()as s
ss
+
+=
++

• Cực :
123
10 2 6
,
,
p
pj=− = ± → n = 3
• Zero :
12
06,
z
z==− → m = 2
→ QĐN gồm 3 nhánh xuất phát từ cực, 2 nhánh tiến đến zero, n-m = 1
nhánh tiến ra vô cùng.
• Góc tiệm cận :
21 21
0
32
()()
()
ll
l
nm
π

π
απ
++
====
−−

• Giao điểm giữa tiệm cận và trục thực



• Điểm tách nhập là nghiệm của pt 0
dK
ds
=

32
6
10
6 400
()as s
ss
+
+=
++
→
32
6400 60()ss ass++ + +=
32
2
6400

6
ss
a
ss
++
=−
+
→
432
22
12 36 800 2400
6()
da s s s s
ds s s
++− −
=
+

432
0 12 36 800 2400 0
da
sss s
ds
=⇔ ++−−=
→
1234
69 29 8 748
,
,, ,sssj=+ =− =− ±
Chọn điểm tách nhập :

2
29,s =−


cực
zero
10 2 6 2 6 0 6
8
32
[ ( ) ( )] [ ( )]jj
OA
nm
−
−+−+ +−− −+−
== =−
−−
∑∑
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 15
• Giao điểm QĐN với trục ảo :
Thay
sj
ω
= vào ptđt :
32
6 400 6 0()ss ass++ + +=
→
32
664000()sasas++ + + = →
32
6 6 400 0()jaaj

ωωω
−
−+ + + =
→
2
3
6 400 0
60
()a
a
ω
ωω
⎧
−+ + =
⎨
−+ =
⎩

0585 838
57 117
,,
,,
,,
j
aa a
ωω ω
==± =±
⎧⎧ ⎧
⎨⎨ ⎨
=∞ = =−

⎩⎩ ⎩

Vậy giao điểm là
585,sj=± tương ứng 57,
gh
a
=

• Góc xuất phát của QĐN tại cực phức
2
p

0000000
21234
180 180 71 6 36 7 26 6 90 171 7()() (,,)(, ),
θββββ
=++−+=+ + − +=

C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 16
4.4 Tiêu Chuẩn Ổn Đònh Tần Số
4.4.3 Tiêu chuẩn ổn đònh Nyquist





Bài toán
: Biết đặc tính tần số của hệ hở ()Gs → Xét tính ổn đònh của hệ
thống kín
()
k
Gs
Tiêu chuẩn Nyquist

Hệ thống kín ( )
k
Gs ổn đònh nếu đường cong Nyquist của hệ hở ()Gs bao

điểm (-1, j0)
2
l
vòng theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) khi
ω

thay đổi
0 →∞, trong đó l là số cực của hệ hở ()Gs nằm bên phải mặt
phẳng phức.

Ví dụ 4.16
: Cho hệ thống hở không ổn đònh có đặc tính tần số như các hình
vẽ dưới đây. Hỏi trường hợp nào hệ kín ổn đònh ?
















Ổn đònh

Không ổn đònh
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 17

























4.4.4 Tiêu chuẩn ổn đònh Bode

Bài toán
: Biết đặc tính tần số của hệ hở ()Gs → Xét tính ổn đònh của hệ
thống kín ( )
k
Gs

Không ổn đònh
Ổn đònh
Không ổn đònh
C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 18
Tiêu chuẩn Bode
Hệ thống kín
()
k
Gs ổn đònh nếu hệ thống hở ()Gs có độ dự trữ biên và độ
dự trữ pha dương
0
0
GM
M
>
⎧
⇒
⎨
Φ>
⎩
hệ thống ổn đònh

• Tần số cắt biên
c
ω
: tại đó 1()
c
M
ω
=
hay 0()
c
L
ω

=

• Tần số cắt pha
π
ω
−
: tại đó 180()
o
π
ϕ
ωπ
−
=
−=−
• Độ dự trữ biên (GM – Gain Margin) :
1
()
GM
M
π
ω
−
= hoặc tính theo dB
()
GM L
π
ω
−
=−
• Độ dự trữ pha ( MΦ - Phase Margin) : 180 ()

o
c
M
ϕ
ω
Φ= +



C4. Tính Ổn Đònh Của Hệ Thống 19
Ví dụ 4.18 : Cho hệ thống hở có biểu đồ Bode như hình vẽ. Hỏi hệ kín có
ổn đònh ?













Trên biểu đồ Bode xác đònh được :
51.
c
ω
=

(rad/sec)
2
π
ω
−
=
(rad/sec)
35()
L
dB
π
ω
−
=
→
35()GM L dB
π
ω
−
=− =−

0
270()
c
ϕω
=− →
000
180 180 270 90() ( )
o
c

M
ϕω
Φ
=+ =+− =−
0GM < , 0MΦ< → hệ thống kín không ổn đònh.

Chú ý
: Hệ thống kín có hồi tiếp âm ()
H
s vẫn có thể áp dụng tiêu chuẩn
Nyquist và Bode, xem tương đương hàm truyền vòng hở là G(s).H(s)