CHƯƠNG 8 - PHÂN TÍCH VÀ THIẾT KẾ HỆ THỐNG ĐIỂU KHIỂN RỜI RẠC ppt

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 1

Chương 8

PHÂN TÍCH & THIẾT KẾ
HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 2
8.1 Điều Kiện Ổn Đònh Của Hệ Rời Rạc
• Hệ thống ổn đònh nếu tín hiệu vào bò chặn thì tín hiệu ra bò chặn (ổn đònh
BIBO – Bounded Input Bounded Output)

• Sơ đồ khối hệ rời rạc :





→ Phương trình đặc trưng :
1()()0
c
GzGHz
+
=

• PTTT hệ rời rạc :
(1) () ()
() ()
dd
xk Axk Brk
ck xk
+= +
⎧
⎨

=
⎩
d
C

→ Phương trình đặc trưng :
det( ) 0
d
zI A
−
=


8.2 Tiêu Chuẩn Routh – Hurwitz mở rộng
• Phương trình đặc trưng hệ liên tục :
1
01 1
0
nn
nn
as as a s a
−
−
++++=

Theo Routh-Hurwitz, nếu có nghiệm nằm bên phải mặt phẳng s → hệ liên
tục không ổn đònh.
• Dùng pp đổi biến :
1
1

z
ω
ω
+
=
−
để đổi miền
z
ω
→
, sau đó áp dụng Routh –
Hurwitz ứng với biến
ω

Miền ổn đònh của
hệ liên tục
Miền ổn đònh của
hệ rời rạc
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 3









Ví dụ
: Xét ổn đònh dùng Routh-Hurwitz mở rộng

Biết :
31
() ()
31
s
e
Gs Hs
s
s
−
==
++

Giải
:
Phương trình đặc trưng :
1()()1 ()0
c
GzGHz GHz+=+=

11
() () 3
() (1 ) (1 )
(3)(1)
s

GsHs e
GH z z z
ssss
−
−−
⎧
⎫
⎪
⎪
⎧⎫
=− =−
⎨⎬ ⎨ ⎬
++
⎩⎭
⎪
⎪
⎩⎭
ZZ

12
30.5 10.5
()
3(1 )
( 1)( )( )
xx
zAz B
zz
zze ze
−−
−−

+
=−
−− −

30.5 0.5
3 0.5 0.5 0.5 3 0.5
(1 ) 3(1 )
0.0673
3(1 3)
3(1) (1 )
0.0346
3(1 3)
x
xx
ee
A
eeee
B
−−
−−−−
−−−
==
−
−− −
==
−

2
0.202 0.104
()

( 0.223)( 0.607)
z
GH z
zz z
+
=
−−


2
0.202 0.104
1()1 0
( 0.223)( 0.607)
z
GH z
zz z
+
+=+ =
−−

43 2
0.83 0.135 0.202 0.104 0zz z z−+ ++=
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 4
• Đổi biến :
1
1
z
ω
ω
+

=
−

43 2
11 1 1
0.83 0.135 0.202 0.104 0
11 1 1
ωω ω ω
ωω ω ω
++ + +
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
−+ ++=
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
−− − −
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

43 2
0.611 1.79 6.624 5.378 1.597 0
ω
ωωω
++ ++=
• Bảng Routh

Vậy : Hệ thống ổn đònh do các hệ số ở cột 1 dương

8.3 Tiêu Chuẩn JURY
• Xét ổn đònh hệ rời rạc có PTĐT :
1
01 1
0
nn
nn
az az a z a
−
−
+
++ + =

• Bảng Jury :
1. Hàng 1 là các hệ số của PTĐT có chỉ số tăng dần
2. Hàng chẵn (bất kỳ) gồm các hệ số của hàng lẻ trước đó viết theo thứ
tự ngược lại
3. Hàng lẻ thứ
21(1)ik k=+ ≥ gồm có (n-k) phần tử, phần tử
i
j
c xác
đònh theo :
2,1 2, 3
1,1 1, 3
2,1

1
iinjk
ij
iinjk
i
cc
c
cc
c
−−−−+
−−−−+
−
=


• Phát biểu tiêu chuẩn Jury
: Điều kiện cần & đủ để hệ thống ổn đònh là tất
cả các hệ số ở hàng lẻ, cột 1 của bảng Jury đều dương

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 5
Ví dụ 8.2 : Cho hệ thống rời rạc có PTĐT :
32
52310zzz
+
++=. Xét tính
ổn đònh.
Giải
: Bảng Jury

Do các hệ số ở hàng lẻ cột 1 đều dương nên hệ thống ổn đònh

8.4 Quỹ Đạo Nghiệm Số
• QĐNS là tập hợp tất cả các nghiệm của PTĐT khi có một thông số của hệ
thay đổi từ
0 →∞

• Dạng PTĐT của hệ khi vẽ QĐNS :
()
10
()
Nz
K
Dz
+
=
(8.6)
• Đặt
0
()
()
()
Nz
Gz K
Dz
=

Gọi n là số cực, m là số zero của
0
()Gz

• Qui tắc vẽ QĐNS tương tự như hệ thống liên tục, chỉ khác qui tắc 8 thay vì
tìm giao điểm QĐNS với trục ảo thì tìm giao điểm với đường tròn đơn vò

■ Qui tắc 1
: Số nhánh QĐNS = bậc PTĐT = số cực của
0
()Gz n=

■ Qui tắc 2
: Các nhánh xuất phát từ cực của
0
()Gz
ứng với K=0. Khi
K
→∞
có m nhánh tiến đến m zero và (n-m) nhánh còn lại tiến đến
∞
theo
các tiệm cận
■ Qui tắc 3
: QĐNS đối xứng qua trục thực
■ Qui tắc 4
: Một điểm trên trục thực thuộc về QĐNS nếu tổng số cực và
zero bên phải nó là một số lẻ

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 6
■ Qui tắc 5 : Góc tạo bởi các đường tiệm cận của QĐNS với trục thực xác
đònh bởi :

(2 1)

( 0,1,2, )
l
l
nm
π
α
+
==±±
−

■ Qui tắc 6
: Giao điểm giữa các tiệm cận với trục thực là điểm A có tọa độ
xác đònh bởi :
11
nm
ii
ii
pz
zero
OA
nm nm
==
−
−
==
−−
∑∑
∑∑

■ Qui tắc 7

: Điểm tách nhập (nếu có) của QĐNS nằm trên trục thực và là
nghiệm của pt :
0
dK
dz
=

■ Qui tắc 8
: Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vò có thể xác đònh
theo 2 cách :
• Áp dụng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng hoặc Jury.
• Thay z=a+jb (điều kiện
22
1ab
+
= ) vào PTĐT (8.6) → cân bằng phần
thực & ảo → tìm được giao điểm &
g
h
K

■ Qui tắc 9
: Góc xuất phát của QĐNS tại cực phức
j
p được xác đònh :
0
11
180 arg( ) arg( )
mn
jj

i
j
i
ii
pz pp
θ
==
=+ −− −
∑∑

Dạng hình học
:
0
180
j
θ
=+(
∑
góc từ các zero đến cực
j
p )
-(
∑
góc từ các cực còn lại đến cực
j
p )
■ Qui tắc 10
: Tổng các nghiệm là hằng số khi
:0
K

→+∞

■ Qui tắc 11
: Hệ số khuếch đại dọc theo QĐNS xác đònh từ đk biên độ

()
1
()
Nz
K
Dz
=







cực
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 7
Ví dụ 8.3 : Vẽ QĐNS, tính
g
h
K

5
()
(5)
K
Gs
ss
=
+

Giải
:
• PTĐT :
1()()1()0
c
GzGHz Gz+=+=

11
2
( ) 5 0.021 0.018
() (1 ) (1 )
(1)(0.607)
(5)
Gs K z
Gz z z K
szz
ss
−−
⎧⎫
+
⎧⎫

=− =− =
⎨⎬ ⎨ ⎬
−−
+
⎩⎭
⎩⎭
ZZ

→
0.021 0.018
1()1 0
(1)(0.607)
z
Gz K
zz
+
+=+ =
−−
(8.14)
• Cực :
12
1, 0.607 ( 2)pp n== =

• Zero :
1
0.857 ( 1)zm=− =

• Góc tạo bởi tiệm cận và trục thực :
(2 1) (2 1)
21

ll
nm
π
π
α
π
+
+
=
==
−
−

• Giao điểm giữa tiệm cận với trục thực :



• Điểm tách nhập là nghiệm
0
dK
dz
=

(8.14)
→
2
( 1)( 0.607) 1.607 0.607
0.021 0.018 0.021 0.018
zz z z
K

zz
−− − +
=− =−
++

1
2
2.506
0
0.792
z
dK
z
dz
=−
⎧
=⇔
⎨
=
⎩

Cả hai nghiệm đều thuộc QĐNS ( nằm trên trục thực và < 2.464 )
• Giao điểm của QĐNS với đường tròn đơn vò
(8.14)
→
( 1)( 0.607) (0.021 0.018) 0
z
zKz−− + + =

2

(0.021 1.607) (0.018 0.607) 0zKzK+−++=

(*)

cực
(1 0.607) ( 0.857)
2.464
21
zero
OA
nm
−
+−−
== =
−−
∑∑
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 8
Cách 1 : Dùng tiêu chuẩn Routh-Hurwitz mở rộng
Đổi biến
1
1
z
ω
ω
+
=
−

2
11

(0.021 1.607) (0.018 0.607) 0
11
KK
ωω
ωω
++
⎛⎞ ⎛⎞
+− ++=
⎜⎟ ⎜⎟
−−
⎝⎠ ⎝⎠

2
0.039 (0.786 0.036 ) (3.214 0.003 ) 0KK
ωω
+− +− =
Điều kiện để hệ thống ổn đònh : (h
ệ liên tục, các hệ số phải dương)
00
0.786 0.036 0 21.83 21.83
3.214 0.003 0
1071
gh
KK
KKK
K
K
⎧
>>
⎧

⎪
⎪
−>→ <→=
⎨⎨
⎪⎪
−>
<
⎩
⎩

Thay
21.83
gh
K = vào PTĐT (*) :
2
1.1485 1 0 0.5742 0.8187zz z j−+=↔=±
Vậy giao điểm của QĐNS với vòng tròn đơn vò là :
0.5742 0.8187zj
=
±


Cách 2
: Thay
z
a
j
b=+
vào (*) :
2

( ) (0.021 1.607)( ) (0.018 0.607) 0ajb K ajb K++ − ++ + =
22
2 (0.021 1.607) (0.021 1.607) (0.018 0.607) 0ajabb K aj K b K+−+ − + − + + =

22
(0.021 1.607) (0.018 0.607) 0
2 (0.021 1.607) 0
ab K a K
jab j K b
⎧
−+ − + + =
⎨
+−=
⎩

Kết hợp điều kiện z thuộc đường tròn đơn vò nên
22
1ab
+
=
22
22
(0.021 1.607) (0.018 0.607) 0
2 (0.021 1.607) 0
1
ab K a K
jab j K b
ab
⎧
−+ − + + =

⎪
+−=
⎨
⎪
+=
⎩

Giải hệ pt :
10
11071
0.5742 0.8187 21.8381
zK
zK
zj K
==
⎧
⎪
=− =
⎨
⎪
=± =
⎩

Vậy :
21.83
gh
K =

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 9















8.5 Chất Lượng Hệ Thống Rời Rạc
1. Đáp ứng quá độ

• Cách 1 : nếu hệ rời rạc được mô tả bởi hàm truyền → tính
()
z
C
, dùng
phép biến đổi Z ngược để tìm
()ck

• Cách 2 : nếu hệ rời rạc được mô tả bởi PTTT → tính nghiệm
()xk
, suy ra

()ck

• Cặp cực quyết đònh : hệ liên tục cặp cực quyết đònh nằm gần trục ảo nhất,
hệ rời rạc cặp cực quyết đònh nằm gần vòng tròn đơn vò nhất.

2. Chất lượng quá độ

Cách 1
: Dựa vào đáp ứng thời gian
()ck

• Độ vọt lố :
max
100%
xl
x
l
cc
POT
c
−
=

• Thời gian quá độ :
qd qd
tkT=
trong đó
qd
k thỏa mãn điều kiện :
.

()
100
xl
x
lqd
c
ck c k k
ε
−≤ ∀≥


C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 10
1()1
100 100
x
lxlqd
cck c kk
ε
ε
⎛⎞ ⎛⎞
⇔− ≤≤+ ∀≥
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠


Cách 2
: Dựa vào cặp cực quyết đònh
*
j
zre

ϕ
±
=

→
22
22
ln
(ln )
1
(ln )
n
r
r
r
T
ξ
ϕ
ω
ϕ
−
⎧
=
⎪
⎪
+
⎨
⎪
=+
⎪

⎩

• Độ vọt lố :
2
exp 100%
1
POT x
ξπ
ξ
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
−
⎝⎠

• Thời gian quá độ :
3
qd
n
t
ξ
ω
=
(tiêu chuẩn 5%)

3. Sai Số Xác Lập

• Biểu thức sai số :
()
()
1()()
c
Rz
Ez
GzGHz
=
+

• Sai số xác lập :
1
1
lim ( ) lim(1 ) ( )
xl
kz
eek zEz
−
→∞ →
==−

• Nếu tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò :
1
1
()

1
Rz
z
−
=
−

→
1
11
1
11
lim(1 ) ( ) lim
1()()1lim()()
xl
zz
cc
z
ezEz
GzGHz GzGHz
−
→→
→
=− = =
++

Đặt :
1
lim ( ) ( )
pc

z
K
GzGHz
→
=
: Hệ số vò trí
→
1
1
xl
p
e
K
=
+

()
c
Gz
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 11
• Nếu tín hiệu vào là hàm dốc đơn vò :
1
12
()
(1 )
Tz
Rz
z
−
−

=
−

1
1
11
11
1
1
lim(1 ) ( ) lim
1()()
1lim(1)()()
xl
zz
c
c
z
Tz T
ezEz
GzGHz
zzGzGHz
−
−
−−
→→
→
=− = =
+
−−

Đặt :
1
1
1
lim(1 ) () ()
vc
z
K
zGzGHz
T
−
→
=− : Hệ số vận tốc
→
1
xl
v
e
K
=

Ví dụ 8.4
: Cho hệ thống rời rạc có sơ đồ khối :

1. Tìm hàm truyền kín
()
k
Gz

2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò, độ vọt lố,

sai số xác lập
Giải
:
1. Hàm truyền
:
()
()
1()
k
Gz
Gz
Gz
=
+

11
() 10
() (1 ) (1 )
(2)(3)
Gs
Gz z z
ssss
−−
⎧
⎫
⎧⎫
=− =−
⎨⎬ ⎨ ⎬
++
⎩⎭

⎩⎭
ZZ

1
2 0.1 3 0.1
()
10(1 )
(1)( )( )
xx
zAz B
z
zze ze
−
−−
+
=−
−− −

2
0.042 0.036 0.042 0.036
() ()
( 0.819)( 0.741)
1.518 0.643
k
zz
Gz G z
zz
zz
+
+

=→=
−−
−+

2. Đáp ứng của hệ
:
12
212
0.042 0.036 0.042 0.036
() () () () ()
1.518 0.643 1 1.518 0.643
k
zzz
zGzRz Rz Rz
zz z z
−
−
−−
++
== =
−+ − +
C

Nhân chéo :
12 12
(1 1.518 0.643 ) ( ) (0.042 0.036 ) ( )zzzzzRz
−− −−
−+ = +C
( ) 1.518 ( 1) 0.643 ( 2) 0.042 ( 1) 0.036 ( 2)ck ck ck rk rk−−+−= −+−

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 12
( ) 1.518 ( 1) 0.643 ( 2) 0.042 ( 1) 0.036 ( 2)ck ck ck rk rk=−−−+−+−
(*)
• Tín hiệu vào hàm nấc đơn vò :
() 1, 0rk k
=
∀≥

• Giả sử điều kiện ban đầu :
(1) (2) 0cc
−
=−=

Thay vào (*) :
}
{
( ) 0;0.0420;0.1418;0.2662;0.3909;0.5003; 0.6251;0.6191; ck =

• Giá trò xác lập của đáp ứng quá độ :
11
21
11
0.042 0.036 1
lim(1 ) () () lim(1 )
1.518 0.643 1
xl k
zz
z
czGzRzz
zz z
−−
−
→→
+
⎛⎞⎛⎞
=− =−
⎜⎟⎜⎟
−+ −
⎝⎠⎝⎠

→
0.624
xl
c =

• Giá trò cực đại của đáp ứng (dựa vào dãy số hoặc đồ thò) :
max
0.6985c =

• Độ vọt lố :
max
0.6985 0.624
100% 100% 11.94%
0.624
xl
x
l
cc
POT
c
−
−
== =

• Sai số xác lập :
1 0.624 0.376
xl xl xl
erc=−=− =

• Tính thời gian quá độ theo TC 5%
Áp dụng đònh nghóa thời gian quá độ
() ()
1()1
x
lxlqd

cck c kk
ε
ε
−≤≤+ ∀≥

với :
5% 0.05
ε
==

() ()
1 0.05 0.624 ( ) 1 0.05 0.624
qd
ck k k−≤≤+ ∀≥

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 13
0.593 ( ) 0.655
qd
ck k k≤≤ ∀≥
Dựa vào dãy giá trò
()ck
đã có suy ra :
14 14 0.1 1.4sec
qd qd qd
ktkTx=→ ===

• Tính POT và
qd
t , dựa vào cặp cực quyết đònh :
Đã biết hàm truyền của hệ kín :

2
( ) 0.042 0.036
()
1()
1.518 0.643
k
Gz z
Gz
Gz
zz
+
==
+
−+

Cặp cực quyết đònh là nghiệm PTĐT :
2
1.518 0.643 0zz
−
+=
→
*
1,2
0.7590 0.2587 0.8019 0.3285zj=± =∠
→
22 2 2
22 2 2
ln ln 0.8019
0.5579
(ln ) (ln 0.8019) 0.3285

11
(ln ) (ln 0.8019) 0.3285 0.3958
0.1
n
r
r
r
T
ξ
ϕ
ωϕ
−−
⎧
== =
⎪
⎪
++
⎨
⎪
=+= +=
⎪
⎩

Vậy :
22
0.5579 3.14
exp 100% exp 100% 12.11%
1 1 0.5579
x
POT

ξπ
ξ
⎛⎞
⎛⎞
⎜⎟
=− =− =
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠
⎝⎠

33
( 5%) 1.36sec
0.5579 0.3958
qd
n
ttc
x
ξω
== =

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 14
Ví dụ 8.5 : Cho hệ thống có sơ đồ khối




10
()
(2)(3)
Gs
ss
=
++

T=0.1 sec
1. Thành lập PTTT mô tả hệ thống
2. Tính đáp ứng của hệ đối với tín hiệu vào là hàm nấc đơn vò (đk đầu 0)
Giải
:
1. Thành lập PTTT

Bước 1
: PTTT hệ liên tục

10
() () () ()
(2)(3)
RR
s
GsEs Es
ss
==
++
C

2
( 2)( 3) () 10 ()
( 5 6) ( ) 10 ( )
() 5 () 6 10 ()
R
R
R
s
ssEs
s
ssEs
ct ct e t
++ =
++ =
++=
&&
C
C

Đặt
121
() (); () ()xt ct xt xt==
&

→ Hệ PTTT :
[]
() () () 0 1 0
10
() () 6 5 10
R
xt Axt Be t
AB
ct xt
=+
⎧⎡⎤⎡⎤
===
⎨
⎢⎥ ⎢⎥
=−−
⎩⎣⎦⎣⎦
&
C
C

Bước 2 : Tính ma trận quá độ
11
1
10 0 1 1

() ( )
01 6 5 6 5
s
ssIA s
s
−
−
−
⎛⎞⎛−⎞
⎡⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤
Φ= − = − =
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
−− +
⎣⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
⎝⎠⎝⎠

Cần nhớ :
1
11
ab db db
AA
cd ca ca
Aadbc
−
−
−
⎡⎤ ⎡⎤ ⎡⎤
=→= =
⎢⎥ ⎢⎥ ⎢⎥

−−
−
⎣⎦ ⎣⎦ ⎣⎦



C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 15
22 23 13 12 12 13
32 33 33 32 22 23
11 12 13
23 21 11 13 13 11
1
21 22 23
33 31 31 33 23 21
31 32 33
21 22 12 11
11 12
31 32 32 31
21 22
1
aa aa aa
aa aa aa
aaa
aa aa aa
Aa a a A
aa aa aa
A
aaa
aa aa
aa

aa aa
aa
−
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎡⎤
⎢
⎥
⎢⎥
⎢
⎥
=→=
⎢⎥
⎢
⎥
⎢⎥
⎣⎦
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦

51
51
(2)(3)(2)(3)
1
()
66
(5)6
(2)(3)(2)(3)
s
s
ss ss
s
ss
ss
ss ss
+
⎡
⎤
⎢
⎥
+
++ ++
⎡⎤
⎢
⎥
Φ= =
⎢⎥
−−
++
⎢

⎥
⎣⎦
⎢
⎥
++ ++
⎣
⎦

[]
11
51
(2)(3)(2)(3)
() ( )
6
(2)(3)(2)(3)
s
ss ss
ts
s
ss ss
−−
⎧+ ⎫
⎡⎤
⎪⎪
⎢⎥
++ ++
⎪⎪
⎢⎥
Φ= Φ =
⎨⎬

−
⎢⎥
⎪⎪
⎢⎥
⎪⎪
++ ++
⎣⎦
⎩⎭
LL

11
23 23
23 23
11
32 11
(3 2 ) ( )
23 23
66 23
(6 6 ) (2 3 )
23 23
tt tt
tt tt
ee ee
ss ss
ee ee
ss ss
−−
−− −−
−− −−
−−

⎡⎤
⎧⎫⎧⎫
−−
⎨⎬⎨⎬
⎢⎥
⎡
⎤
−−
++ ++
⎩⎭⎩⎭
⎢⎥
==
⎢
⎥
⎢⎥
⎧⎫⎧⎫
−+ −+
⎢
⎥
⎣
⎦
−+ −+
⎨⎬⎨⎬
⎢⎥
++ ++
⎩⎭⎩⎭
⎣⎦
LL
LL

Bước 3
: Rời rạc hóa PTTT của hệ liên tục
[
]
(1) () ()
() ()
ddR
d
xk T AxkT BekT
ckT xkT
⎧
+= +
⎨
=
⎩
C

23 23
23 23
0.1
(3 2 ) ( ) 0.975 0.078
()
0.468 0.585
(6 6 ) (2 3 )
tt tt
d
tt tt
tT
ee ee

AT
ee ee
−− −−
−− −−
==
⎡⎤
−−
⎡⎤
=Φ = =
⎢⎥
⎢⎥
−
−+ −+
⎣⎦
⎢⎥
⎣⎦

23 23
23 23
00
(3 2 ) ( ) 0
()
10
(6 6 ) (2 3 )
TT
d
ee ee
BBd d
ee ee
ττ ττ

ττ ττ
τ
ττ
−− −−
−− −−
⎧⎫
⎡⎤
−−
⎡⎤
⎪⎪
=Φ =
⎢⎥
⎨⎬
⎢⎥
−+ −+
⎣⎦
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
∫∫

0.1
23
23
23
23
0
0
10( ) 0.042

10( )
23
0.779
10( 2 3 )
10( )
T
ee
ee
d
ee
ee
ττ
ττ
ττ
ττ
τ
−−
−−
−−
−−
⎡⎤
⎧⎫
⎡⎤
−
−+
⎡
⎤
⎪⎪
⎢⎥
===

⎢⎥
⎨⎬
⎢
⎥
⎢⎥
−+
⎣
⎦
⎢⎥
⎪⎪
⎣⎦
⎩⎭
⎢⎥
−
⎣⎦
∫

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 16
[
]
10
d
==CC
Bước 4 : PTTT của hệ rời rạc ứng với tín hiệu vào
()rkT

[
]
[
]

[]
[]
(1) () ()
() ()
0.975 0.078 0.042 0.933 0.078
10
0.468 0.585 0.779 1.247 0.585
ddd d
d
ddd
x k T A B x kT B r kT
ckT xkT
AB
⎧
+=− +
⎨
=
⎩
⎡⎤⎡⎤⎡⎤
−= − =
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
−−
⎣⎦⎣⎦⎣⎦
C
C
C

Vậy PTTT :
[]
11

22
1
2
(1) ()
0.933 0.078 0.042
()
(1) ()
1.247 0.585 0.779
()
() 1 0
()
xk xk
rkT
xk xk
xk
ck
xk
+
⎡⎤ ⎡⎤
⎡⎤⎡⎤
=+
⎢⎥ ⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
+
−
⎣⎦⎣⎦
⎣⎦ ⎣⎦
⎡⎤
=
⎢⎥

⎣⎦


2.
Đáp ứng của hệ thống
• Điều kiện đầu :
12
(1) (1) 0xx−= −=
thay vào pt :
{
}
{}
1
2
( ) 0;0.042;0.142;0.268;0.392;0.502;0.587;0.648;0.682;0.699
( ) 0;0.779;1.182;1.293;1.203;0.994;0.735;0.476;0.294;0.072
xk
xk
=
=

Đáp ứng của hệ thống :
[]
1
1
2
()
() 1 0 ()
()
xk

ck x k
xk
⎡⎤
==
⎢⎥
⎣⎦

{
}
1
( ) ( ) 0;0.042;0.142;0.268;0.392;0.502;0.587;0.648;0.682;0.699 ck x k==











C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 17
8.6 Khái Niệm Thiết Kế Hệ Thống
Hai mô hình điều khiển thông dụng :
• Điều khiển nối tiếp

• Điều khiển hồi tiếp trạng thái






8.7 Hàm Truyền Của Các Khâu Hiệu Chỉnh Rời Rạc
1. Khâu tỉ lệ :
()
PP
Gz K=

2. Khâu vi phân
:


• Khâu vi phân rời rạc :
1
() ( 1) () 1
() () (1 )
()
DD
DD
KK
ek ek U z z
uk K G z z
TEzTTz

−
−− −
=→==−=
(8.25)
3. Khâu tích phân



• Hàm truyền khâu tích phân rời rạc :
1
()
21
I
I
KT
z
Gz
z
+
=
−
(8.26)
4. Bộ điều khiển PI, PD, PID rời rạc

11
()
21
ID
PID P
KT K

zz
GzK
zTz
+−
=+ +
−
(8.29)


C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 18
*
*2*
1,2 1,2
1
Ts
nn
n
s
jze
ξ
ξω ω ξ
ω
⎧
⇒⇒=−± −⇒=
⎨
⎩
góc từ các cực của GH(z) đến cực
*
z
góc từ các zero của GH(z) đến cực

−
∑
*
z
5. Bộ điều khiển sớm pha, trễ pha
()
c
cc
c
zz
Gz K
zp
+
=
+

,:
cc
zp
là zero và cực của khâu hiệu chỉnh
1, 1
cc
zp<<
:
cc
zp<
sớm pha
:
cc
zp>

trễ pha

8.8 Thiết Kế Hệ Rời Rạc Dùng QĐNS
8.8.1 Thiết kế bộ điều khiển sớm pha
• Nhằm nâng cao đáp ứng quá độ
• Khâu hiệu chỉnh có dạng
() ( )
c
cc cc
c
zz
Gz K z p
zp
+
=<
+

Bước 1
: Xác đònh cặp cực quyết đònh



**2
1
n
T
n
rz e zT
ξω
ϕ

ωξ
−
== =∠= − (8.32)
Bước 2
: Xác đònh góc pha cần bù
*0 * *
11
180 arg( ) arg( )
nm
ii
ii
zp zz
==
Φ=− + − − −
∑∑

Dạng hình học :
*0
180Φ=− +
∑



Bước 3
: Xác đònh vò trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh
Vẽ 2 nửa đường thẳng (tạo thành một góc
*
Φ
) xuất phát từ
*

1
z
. Giao điểm
với trục thực là vò trí cực & zero của khâu hiệu chỉnh.
• Hệ rời rạc, áp dụng pp triệt tiêu nghiệm cực (để hạ bậc hệ thống)
Bước 4
: Tính
c
K
theo công thức
*
() () 1
c
zz
GzGHz
=
=

Từ yêu cầu về: Độ vọt lố
POT, Thời gian quá độ ,
C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 19
Ví dụ 8.6. Cho hệ thống rời rạc
50
()
(5)
0.1sec
Gs
ss
T
=

+
=

• Thiết kế khâu hiệu chỉnh
sớm pha sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực quyết đònh với
0.707, 10
n
ξ
ω
==
(rad/sec)
Giải :
PTĐT trước khi hiệu chỉnh :
1()0Gz
+
=

11 1
22
() 50 5
() (1 ) (1 ) 10(1 )
(5) (5)
Gs
Gz z z z
s
ss ss
−− −
⎧
⎫⎧⎫
⎧⎫

=− =− = −
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
++
⎩⎭
⎩⎭ ⎩⎭
ZZ Z

• Lưu ý : Áp dụng bảng tra biến đổi Z :
0.5 0.5 0.5
20.5
(0.5 1 ) (1 0.5 )
1 0.21 0.18
10
( 1)( 0.607)
5( 1) ( )
zezee
zz
zzz
zze
−−−
−
⎛⎞
⎡⎤
−+ + − −
−+
⎛⎞
⎣⎦
⎜⎟
==
⎜⎟

⎜⎟
−−
−−
⎝⎠
⎝⎠

• Cặp cực quyết đònh
[]
*
1,2
0.1 0.707 10
22
* 0.707
1,2
0.493
1 0.1 10 1 0.707 0.707
0.493 0.493 cos(0.707) sin(0.707) 0.375 0.320
n
j
T
xx
n
j
zre
re e
Tx
ze j j
ϕ
ξω
ϕω ξ

±
−
−
±
=
== =
=−= −=
⇒= = ± = ±

• Góc pha cần bù
*0
12 3
000
123
*0 0000
180 ( )
152.9 , 125.9 , 14.6
180 (152.9 125.9 ) 14.6 84
ββ β
βββ
Φ=− + + −
===
Φ=− + + − =

• Chọn cực & zero của khâu hiệu chỉnh (theo pp triệt tiêu nghiệm)
0.607 0.607
cc
zz−= ⇔ =−

Tính cực của khâu hiệu chỉnh :

*
22
sin
, (0.607 0.375) 0.320 0.388
ˆ
sin
AB PB PB
P
AB
Φ
==−+=

*000
2
ˆ
125.9 84 41.9PAB
β
=−Φ= − =
→
0
0
sin84
0.388 0.578
sin 41.9
AB ==

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 20

Vậy :
0.607 0.578 0.029
c
pOAOBAB−==−= − =

→
0.029
c
p =−

0.607
()
0.029
cc
z
Gz K
z
−
=

−

• Tính
c
K
từ công thức :
*
() () 1
c
zz
GzGz
=
=

0.375 0.320
( 0.607) (0.21 0.18)
1
( 0.029) ( 1)( 0.607)
c
zj
zz
K
zzz
=+
−+
=
−−−

→
1.24

c
K =


• QĐNS trước & sau khi hiệu chỉnh









C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 21
8.8.2 Thiết kế bộ điều khiển trễ pha
• Nhằm giảm sai số xác lập
• Khâu hiệu chỉnh có dạng
() ( )
c
cc cc
c
zz
Gz K z p
zp
+
=>
+

Đặt :

1
1
c
c
p
z
β
+
=
+

Bước 1
: Xác đònh
β
từ yêu cầu về sai số xác lập
***
,,
Va
P
PV a
K
K
K
K
KK
β
=

,,:
PV a

KKK
hệ số trước khi hiệu chỉnh
***
,,:
PV a
K
KK
hệ số mong muốn
Bước 2
: Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần điểm +1 để không làm ảnh
hưởng đến QĐNS
11
cc
zz−≈⇒ ≈−
( lưu ý 1
c
z
<
)
Bước 3
: Tính cực
1(1 )
cc
p
z
β
=− + +

Bước 4
: Tính

c
K
theo công thức
*
() () 1
c
zz
GzGHz
=
=

•
*
1,2
z là cặp cực quyết đònh sau khi hiệu chỉnh.
•
*
1,2 1,2
zz≈ do QĐNS không thay đổi (như đã chọn zero ở bước 2)

Ví dụ 8.7 : Cho hệ rời rạc :
50
()
(5)
0.1sec
Gs
ss
T
=
+

=


Thiết kế khâu hiệu chỉnh trễ pha sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có hệ
số vận tốc
*
100
V
K =




C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 22
Giải : PTĐT :
1()0Gz+=

11 1
22
() 50 5
() (1 ) (1 ) 10(1 )
(5) (5)
Gs
Gz z z z
s
ss ss
−− −
⎧
⎫⎧⎫
⎧⎫

=− =− = −
⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
++
⎩⎭
⎩⎭ ⎩⎭
ZZ Z

• Tra bảng biến đổi Z :
0.5 0.5 0.5
20.5
(0.5 1 ) (1 0.5 )
1 0.21 0.18
() 10
(1)(0.607)
5( 1) ( )
zezee
zz
Gz
zzz
zze
−−−
−
⎛⎞
⎡⎤
−+ + − −
−+
⎛⎞
⎣⎦
⎜⎟
==

⎜⎟
⎜⎟
−−
−−
⎝⎠
⎝⎠

• Cặp cực quyết đònh trước khi hiệu chỉnh là nghiệm pt :
1,2
0.21 0.18
1 ( ) 1 0 0.699 0.547
( 1)( 0.607)
z
Gz z j
zz
+
+=+ =⇔= ±
−−

• Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh :
11
11
1 1 0.21 0.18
lim(1 ) ( ) lim(1 ) 9.9
0.1 ( 1)( 0.607)
V
zz
z
KzGHz z
Tzz

−−
→→
+
=− = − =
−−

Vậy :
*
9.9
0.099
100
V
V
K
K
β
===

• Chọn zero của khâu hiệu chỉnh rất gần +1
0.99 0.99
cc
zz−= → =−

• Suy ra cực của khâu hiệu chỉnh :
1 (1 ) 1 0.099(1 0.99) 0.999
cc
pz
β
=− + + =− + − =−

→
0.99
()
0.999
cc
z
Gz K
z
−
=
−

• Tính
c
K

*
() () 1
c
zz
GzGHz
=
=

0.699 0.547
0.99 0.21 0.18
1
0.999 ( 1)( 0.607)
c
zj

zz
K
zzz
=+
−+
=
−−−

→
1
c
K ≈







C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 23

• QĐNS trước và sau khi hiệu chỉnh gần giống nhau

8.8.3 Thiết kế bộ điều khiển sớm trễ pha
• Nhằm cải thiện chất lượng quá độ & sai số xác lập
• Hàm truyền khâu sớm trễ pha có dạng :
12
() () ()
ccc
Gz G zG z=

1
()
c
Gz
: khâu hiệu chỉnh sớm pha
2
()
c
Gz
: khâu hiệu chỉnh trễ pha
Bước 1
: Thiết kế khâu sớm pha
1
()
c
Gz
để thỏa yêu cầu đáp ứng quá độ
Bước 2
: Đặt
11
() () ()
c
Gz G zGz=

Thiết kế khâu trễ pha

2
()
c

Gz
mắc nối tiếp vào
1
()Gz
để thỏa yêu cầu sai số
xác lập









C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 24
8.9 Thiết Kế Dùng Bộ ĐK Hồi Tiếp Trạng Thái






Bước 1
: Viết PTĐT sau khi hiệu chỉnh
[
]
det 0
dd
zI A B K−+ = (8.44)

Bước 2 : Viết PTĐT mong muốn
1
()0
n
i
i
zp
=
−=
∏
(8.45)
: ( 1 )
i
p
in=
, là các cực mong muốn
Bước 3
: Cân bằng hệ số (8.44) & (8.45) → tìm được vectơ hồi tiếp K

Ví dụ 8.8 :





[]
1 0.316 0.092
10 0
0 0.368 0.316
ddd

AB
⎡⎤ ⎡⎤
===
⎢⎥ ⎢⎥
⎣⎦ ⎣⎦
C

Hãy tính véctơ độ lợi hồi tiếp trạng thái sao cho hệ kín có cặp phức với :
0.707, 10 /sec
n
rad
ξ
ω
==

Giải :
• PTĐT hệ kín :
[
]
det 0
dd
zI A B K−+ =
[]
12
1 0 1 0.316 0.092
det 0
0 1 0 0.368 0.316
zkk
⎛⎞
⎡⎤⎡ ⎤⎡ ⎤

−+ =
⎜⎟
⎢⎥⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣⎦⎣ ⎦⎣ ⎦
⎝⎠

12
12
1 0.092 0.316 0.092
det 0
0.316 0.368 0.316
zk k
kz k
⎛−+ − + ⎞
⎡⎤
=
⎜⎟
⎢⎥
−+
⎣⎦
⎝⎠

1212
( 1 0.092 )( 0.368 0.316 ) 0.316 ( 0.316 0.092 ) 0zkz kk k−+ − + − − + =

C8. Phân Tích & Thiết Kế Hệ Thống ĐK Rời Rạc 25
2
12 12
(0.092 0.316 1.368) (0.066 0.316 0.368) 0zkkzkk++−+−+=
(1)

• Cặp cực quyết đònh mong muốn
*
1,2
j
zre
ϕ
±
=
0.1 0.707 10
0.493
n
T
xx
re e
ξ
ω
−
−
== =
22
1 0.1 10 1 0.707 0.707
n
Tx
ϕω ξ
=−= −=

[
]
*0.707
1,2

0.493 0.493 cos(0.707) sin(0.707) 0.375 0.320
j
ze j j
±
== ±=±
• PTĐT mong muốn
1
()0
n
i
i
zp
=
−=
∏

( 0.375 0.320)( 0.375 0.320) 0
zj
z
j
−− −+ =

2
0.75 0.243 0zz−+= (2)
• Cân bằng hệ số (1)&(2) :
12 1
12 2
(0.092 0.316 1.368) 0.75 3.12
(0.066 0.316 0.368) 0.243 1.047
kk k

kk k
+−=− =
⎧⎧
→
⎨⎨
−+= =
⎩⎩

Vậy :
[
]
3.12 1.047K =

Ví dụ 8.9. Cho hệ thống điều khiển rời rạc







1. Viết PTTT mô tả hệ hở
2.
Xác đònh vectơ hồi tiếp trạng thái
[
]
12
K
kk
=

, sao cho hệ thống có
cặp nghiệm phức với
0.5, 8 / sec
n
rad
ξ
ω
=
=