[VNMATH.COM]-8.1_Pp_toa_do_trong_kg

Phương pháp tọa độ trong không gian

79

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN
I. HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
ĐN: Hệ trục tọa độ Đề các vuông góc trong không gian

1 2 3
2 2 2
1 2 3
1 2 2 3 3 1
e ; e ; e
e e e 1
e e e e e e 0
x Ox y Oy z Oz x Ox
x Ox y Oy z Oz
′ ′ ′ ′
⊥ ⊥ ⊥



′ ′ ′
∈ ∈ ∈



= = =


⋅ = ⋅ = ⋅ =


  
  
     

II. TỌA ĐỘ CỦA 1 ĐIỂM
1.
( )
, ,M x y z

⇔

( )
1 2 3
, , e e e
OM x y z OM x y z
⇔ = ⋅ + ⋅ + ⋅
    

2. Tọa độ các điểm đặc biệt
Cho
( )
( )
( )
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
, ,
, ,

A x y z
B x y z
C x y z






⇒
Trung điểm của AB có tọa độ là:
1 2 1 2 1 2
I , ,
2 2 2
x x y y z z
+ + +
 
 
 

Điểm chia AB tỉ số
k
là điểm thoả mãn
JA
k
JB
=



⇔

1 2 1 2 1 2
, ,
1 1 1
x kx y ky z kz
J
k k k
− − −
 
 
− − −
 

Tọa độ trọng tâm tam giác ABC:
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, ,
3 3 3
x x x y y y z z z
G
+ + + + + +
 
 
 

III. TỌA ĐỘ CỦA 1 VÉCTƠ
1. Định nghĩa:

( )
( )

1 2 3 1 1 2 2 3 3
1 2 3 1 1 2 2 3 3
, , e e e
, , e e e
a a a a a a a a
b b b b b b b b

= ⇔ = + +



= ⇔ = + +

  
 
  
 
.
Nếu
( )
( )
1 1 1
2 2 2
, ,
, ,
A x y z
B x y z






thì
( )
2 1 2 1 2 1
, ,
AB x x y y z z
= − − −

.
2. Phép toán:

( )
1 1 2 2 3 3
, , ;
a b a b a b a b± = ± ± ±



( )
1 1 2 2 3 3
, ,
a b a b a b a bα ⋅ ± β ⋅ = α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅ α ⋅ ± β ⋅



1
e


z
y

2
e


3
e



O

x
L
M
M’
K
H
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

80

IV. TÍCH VÔ HƯỚNG VÀ ĐỘ DÀI
1.

( )
cos ,a b a b a b

⋅ = ⋅
  
  
;
2.

1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b
⋅ = + +


;
3.

1 1 2 2 3 3
0 0
a b a b a b a b a b
⊥ ⇔ ⋅ = ⇔ + + =
 
 

4.
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
;
a a a a b b b b
= + + = + +


;

5.

( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b+ = + + + + +



6
.
( ) ( )
( )
2 2
2
1 1 2 2 3 3
a b a b a b a b− = − + − + −


;
7.

( ) ( ) ( )
2 2 2
2 1 2 1 2 1
AB x x y y z z= − + − + −


8.

( )
1 1 2 2 3 3
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
cos ,
a b a b a b
a b
a a a b b b
+ +
=
+ + + +






;
9.

( )
( )
( ) ( )
2
2 2
1 2 2 1 1 3 3 1 2 3 3 2
2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3

sin ,
a b a b a b a b a b a b
a b
a a a b b b
− + − + −
=
+ + + +







V. TÍCH CÓ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ:
( ) ( ) ( )
1 2 3 1 2 3 1 2 3
, , ; , , ; , ,a a a a b b b b c c c c
= = =

 

1. Định nghĩa:

[ ]
2 3 3 1 1 2
2 3 3 1
1 2
a a a a
a a

a b p
b b b b
b b
 
⋅ = =
 
 

 

2. Tính chất:

a p b⊥ ⊥

 
;
a

cùng phương
b

[ ]
0
a b
⇔ ⋅ =




[ ]

( )
2 2 2
2 3 3 1
1 2
2 3 3 1
1 2
sin ,
a a a a
a a
a b a b a b
b b b b b b
⋅ = + + = ⋅
  
  


, ,a b c

 
đồng phẳng
⇔

[ ]
0
a b c
⋅ ⋅ =

 

VI. CÁC CÔNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH VÀ THỂ TÍCH:

( ) ( )
( )
( )
1 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 4
, , ; , , ; , , ; , ,A x y z B x y z C x y z D x y z

( )
2
2 2
1 1
, .
2 2
ABC
S AB AC AB AC AB AC
∆
 
= = − ⋅
 
   
;
1
,
6
ABCD
V AB AC AD
 
= ⋅
 
  
;

,
AD
V AB AD AA
′
 
′
= ⋅
 
hép
  

www.VNMATH.com
Phương pháp tọa độ trong không gian

81

BÀI TẬP
Bài 1.
Cho
( ) ( ) ( )
3; 4; 1 ; 2;0;3 ; 3; 5; 4
A B C− −
. Tìm độ dài các cạnh của
∆
ABC.
Tìm cosin của các góc A, B, C. Tìm diện tích
∆
ABC.
Bài 2.
Cho

( ) ( ) ( )
2;1; 1 , 3; 0;1 , 2; 1;3
A B C− −
và
OD y∈
. Biết thể tích V của
ABCD là 5. Tìm tọa độ D.
Bài 3.
Cho
∆
ABC với
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 2; 1;3 , 4;7;5
A B C− − −
. Tính độ dài đường
phân giác trong góc B.
Bài 4.
Cho
( ) ( ) ( )
2;3;1 , 5;7;0 , 3; 2;4
a b c= = = −

 
.
CMR
:
, ,a b c

 
không đồng phẳng.

Cho
( )
4;12; 3
d
= −

. Hãy phân tích vectơ
d

theo 3 vectơ
, ,a b c

 
.
Bài 5.
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1;0;1 , 1;1; 2 , 1;1; 0 , 2; 1; 2
A B C D
− − − −
. CMR:
A
,
B
,
C
,
D
là 4
đỉnh của tứ diện. Tính độ dài đường cao của ABCD hạ từ đỉnh D.

Tính
ABCD
V
, suy ra độ dài đường cao AH của tứ diện.
Bài 6.
Cho
( ) ( ) ( )
1; 2; 4 , 2; 1; 0 , 2;3; 1
A B C
− − −
. Gọi M
( )
, ,x y z

∈
(ABC). Tìm hệ
thức liên hệ giữa
, ,x y z
.
Tìm tọa độ điểm D biết ABCD là hình bình hành và tính
ABCD
S
.
Bài 7.
Cho
( ) ( ) ( )
1;0;1 , 2;1;3 , 1; 4; 0
A B C−
. Gọi M
( )

, ,x y z

∈
(ABC).
Tìm hệ thức liên hệ giữa
, ,x y z
. Tìm trực tâm H của
∆
ABC.
Tìm tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp
∆
ABC.
Bài 8.
Cho tứ diện ABCD với
( ) ( ) ( ) ( )
;2;3;1 , 1;1; 2 , 2;1;0 , 0; 1;2
A B C D− −
,
đường cao AH. Tìm tọa độ H và AH.
Bài 9.
Cho
( ) ( ) ( )
2; 2; 2 , 0; 3 2;3 2 , 2;3 2; 3 2
A B C− − + − +
.
CMR
∆
ABC vuông tại A. Tìm điểm D sao cho ABDC là hình vuông.
Tính thể tích của hình hộp đáy ABDC và cạnh bên là AO.
Bài 10.

Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1;1;1 , 4;1;5 , 4; 6; 5 , 1; 6;1
A B C D
. Xác định hình dạng của tứ
giác ABCD. Tính khoảng cách từ O đến (ABC)
www.VNMATH.com
Chương IV. Hình giải tích – Trần Phương

82

Bài 11.
Cho
( ) ( ) ( ) ( )
1; 2;3 , 1; 0; 2 , 1; 2; 4 , 0; 5; 0
A B C D− − −
.
CMR: ABCD là hình tứ diện. Tìm tọa độ hình chiếu H của A lên BD.
Tính cosin của góc nhọn tạo bởi cạnh đối AB và CD của tứ diện ABCD.
Bài 12.
Cho
( ) ( ) ( )
1; 2; 4 ,. 1; 0; 2 , 1; 2;3
A B C− −
,
( )
0; 4; 2
D
.
CMR: ABCD là hình tứ diện trực tâm.

Tìm tọa độ trực tâm của ABCD.
Bài 13.
Cho hình chóp SABC với
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 5; 0; 3 , 7; 2; 2
A B C−
,
( )
,
SA ABC S Oyz
⊥ ∈
. Tính tọa độ S.
Xác định tọa độ giao điểm của O
x
, O
y
với (ABC).
Bài 14.
Cho
( )
1; 2; 1
A
−
. Tìm B đối xứng với A qua
Oxy
, C đối xứng với A qua
trục O
z
. Tính
ABC

S

Bài 15.
Cho
(
)
15
6; 8;
2
u = − −

. Tìm
a

biết
50
a
=

;
a

cùng phương
u

và
a

tạo
với

( )
0; 0;1
k

một góc nhọn.
Bài 16.
Cho
( ) ( )
1; 2; 1 , 4; 3; 5
A B−
. Xác định
Om x∈
sao cho M cách đều A, B.
Bài 17.
Cho
( ) ( ) ( )
1; 2; 1 , 5;10; 1 , 4;1;1
A B C− − − −
.
Chứng minh:
A
,
B
,
C
không thẳng hàng. Tìm tọa độ trực tâm
∆
ABC
Tìm tọa độ trọng tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp
∆

ABC.
Bài 18.
Cho
( ) ( )
4; 1; 2 , 3; 5; 1
A B
− − −
. Tìm C biết trung điểm AC thuộc O
y
, trung
điểm BC thuộc O
xz
.
Bài 19.
Cho
( ) ( )
1; 2; 7 , 5; 4; 2
A B
− −
. AB cắt O
xy
tại M. Điểm M chia đoạn AB
theo tỉ số nào? Tìm tọa độ M.
Bài 20.
Cho
( ) ( )
3; 2; 2 , 18; 22; 5
a b
− −



. Tìm
c

biết
14, ,
c c a c b= ⊥ ⊥

   
,
c

tạo với
( )
0; 0;1
k

một góc tù.
Bài 21.
Cho
0
v
≠

. Gọi
, ,α β γ
là 3 góc tạo bởi
v

với

, ,Ox Oy Oz
.
Chứng minh rằng:
2 2 2
cos cos cos 1α + β + γ =

www.VNMATH.com