Bài tập bất đẳng thức

BÀI TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 2
Câu V ( 1 điểm )
Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn
1 1 1
4
x y z
+ + =
. CMR:
1 1 1
1
2 2 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
+Ta có :
1 1 1 1
2 4 2
.( )
x y z x y z
≤ +
+ + +
;
1 1 1 1
2 4 2
( )
x y z y x z
≤ +
+ + +
;
1 1 1 1
2 4 2
( )

x y z z y x
≤ +
+ + +
+ Lại có :
1 1 1 1
( );
x y 4 x y
≤ +
+

1 1 1 1
( );
y z 4 y z
≤ +
+

1 1 1 1
( );
x z 4 x z
≤ +
+
cộng các BĐT này ta được đpcm.
Câu V:
Cho
a,b,c 0 : abc 1.> =
Chứng minh rằng:
1 1 1
1
a b 1 b c 1 c a 1
+ + ≤

+ + + + + +
Ta có:
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
2 2
3 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
3
3 3 3
3 3 3 3
a b a b a ab b ab a b
a b 1 ab a b 1 ab a b abc ab a b c
1 1 c
a b 1
a b c
ab a b c
+ = + − + ≥ +
⇒ + + ≥ + + = + + = + +
⇒ ≤ =
+ +
+ +
+ +
Tương tự suy ra
2. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d¬ng tho¶ m·n x + y + z = xyz.
T×m GTNN cña A =
)1()1()1( zxy

zx
yzx
yz
xyz
xy
+
+
+
+
+
.
Câu V: (1 điểm) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:

3
a b b c c a
a b c bc a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
P*Từ đó
1 1 1
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T
a b c a c b
− − −
= + +
− − − − − −
Do a,b,c dương và a+b+c=1 nên a,b,c thuộc khoảng (0;1) => 1-a,1-b,1-c dương
*áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta được

3
1 1 1
3. . .
(1 )(1 ) (1 )(1 ) (1 )(1 )
c b a
V T
a b c a c b
− − −
≥
− − − − − −
=3 (đpcm)