Đề thi HSG Toán 9 năm 2010-2011

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 – 2011
Môn: TOÁN 9_ Thời gian: 120 phút
(Không kể thời gian phát đề)
-------------------------------------------------------
Bài 1 : (3 điểm)
Chứng minh rằng : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n Chia hết cho 7 với mọi n.
Bài 2 : (4 điểm)
a) Cho
0 1x
≤ ≤
Chứng minh rằng :
3 2
1
4
x x
− + ≤

b) Cho ba số
; ;x y z
thỏa mãn :
3x y z+ + =
. Tìm giá trị nhỏ nhất của B =
xy yz zx
+ +
Bài 3 : (4 điểm)

a) Tính :
4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + − +
b) Giải phương trình :
2
2 10 12 40x x x x
− + − = − +
Bài 4 : (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD, độ dài các cạnh bằng a . Một điểm M chuyển động trên cạnh DC ( M
≠
D ; M
≠
C ) chọn điểm M trên cạnh BC sao cho
·
45
o
MAN
=
, DB cắt AM ; AN theo thứ tự tại E
và F.
a) Chứng minh rằng :
·
·
90
o
AFM AEN
= =
.
b) Chứng minh rằng : diện tích của tam giác AEF bằng một nữa diện tích tam giác AMN.
c) Chứng minh rằng chu vi tam giác CMN không đổi khi M chuyển động trên DC.
Bài 5 : (3 điểm)

Cho tam giác ABC với đường phân giác trong của
·
BAC
là AD . Biết AD = 6 ; AC = 9 với
·
BAC
= 68
o
. Tính độ dài AD.
------------------------ Hết ------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ ĐÁP ÁN
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn thi : TOÁN ; LỚP 9
Bài Nội dung Điểm
1 Chứng minh rằng : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n Chia hết cho 7 với mọi n 3 điểm
Ta có : A = n
3
( n
2
– 7)
2
– 36 n = n
3
( n

4
– 14n
2
+ 49 ) – 36n
= n
7
- 14n
5
+ 49n
3
- 36n
= (n
7
-n
5
) - (13n
5
- 13n
3
) + (36n
3
- 36n)
= n
5
(n
2
-1) - 13n
3
(n
2

- 1) + 36n (n
2
-1)
=( n
2
-1) .(n
5
-13n
3
+ 36n)
= (n
2
- 1) {(n
5
-4n
3
) - (9n
3
-36n)}
=(n
2
- 1) {n
3
(n
2
- 4) -9n (n
2
- 4) }
= (n
2

- 1) (n
2
- 4) (n
3
- 9n)
= (n
2
- 1) (n -2) (n +2) n (n
2
- 9)
= (n -1) (n + 1) (n -2) (n + 2) n (n - 3) (n +3)
Vậy: A= (n -3) (n-2) (n-1) n (n+1) (n+2) (n+3)
Vì n là số tự nhiên nên số A là tích của 7 số tự nhiên liên tiếp. Rồi chứng minh cho
tích của 7 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 7
Kết luận: A chia hết cho 7
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
2a Cho
0 1x
≤ ≤
Chứng minh rằng :
3 2
1
4
x x
− + ≤

2 điểm
Do 0 ≤ x ≤ 1 nên x
2
≤ x => - 4x
2
≥ - 4x và 1-x ≥ 0
Từ đó ta có - 4x
2
(1-x) ≥ -4x (1-x)
 - 4x
2
(1-x) +1≥ - 4x (1-x) +1
 4x
3
- 4x
2
+ 1 ≥ 4x
2
- 4x +1
= (2x -1)
2
≥ 0
=> 4x
3
-4x
2
+1 ≥ 0  - 4x
3
+ 4x
2

- 1 ≤ 0  - 4x
3
+ 4x
2
≤ 1
 4(-x
3
+ x
2
) ≤ 1  - x
3
+ x
2
≤
4
1

Vậy : -x
3
+ x
2
≤
4
1
nếu 0 ≤ x ≤ 1
1
0.75
0.25
2b
Cho ba số x, y, z thoả mãn

x y z 3+ + =
. Tìm giá trị lớn nhất của
B xy yz zx= + +
.
2 điểm
Ta có :
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
 
= + + = + − + +
 
= + + − + = − − − + +
− − + + − −
   
= − + + = − + + − + ≤
 ÷  ÷
   
2
2 2
2 2
2
2
B xy z x y xy 3 x y x y
xy 3 x y x y x y xy 3x 3y
y 3 3y 6y 9 y 3 3
x x y 1 3 3
2 4 2 4
Dấu = xảy ra khi
− =



−

+ = ⇔ = = =


+ + =


y 1 0
y 3
x 0 x y z 1
2
x y z 3
Vậy giá trị lớn nhất của B là 3 khi x = y = z = 1
1.25
0.5
0.25
3a Tính :
4 5 3 5 48 10 7 4 3A= + + − +
2 điểm
Ta có :
( )
2
4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − +
( )
4 5 3 5 48 10 2 3A= + + − +
4 5 3 5 28 10 3A= + + −
( )

2
4 5 3 5 5 3A= + + −
( )
4 5 3 5 5 3A= + + −
=
4 5 3 25 5 3+ + −
=
4 5 3+ =
0.5
0.5
0.25
0.25
0.5
3b
Giải phương trình :
2
2 10 12 40x x x x
− + − = − +
2 điểm
Điều kiện :
2 10x≤ ≤

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm.
Ta có :
( ) ( )
( )
1 1 2 4 10 4
2 10 2 .4 10 .4
2 2 2 2
x x

x x x x
− + − +
 
− + − = − + − ≤ +
 ÷
 
= 4
Dấu “ = ” xảy ra
2 4 6
6
10 4 6
x x
x
x x
− = =
 
⇔ ⇔ ⇔ =
 
− = =
 
(1)
Mặt khác :
( )
( )
2
2 2
12 40 12 36 4 6 4 4x x x x x
− + = − + + = − + ≥
Dấu “=” xảy ra
6 0 6x x⇔ − = ⇔ =

(2)
Kết hợp (1) và (2)
Phương trình có nghiệm duy nhất là :
6x
=
1
0.75
0.25
4
6 điểm
4a
Chứng minh :
·
·
0
AFM = AEN = 90
Nối A với C chỉ ra được
µ µ
µ
µ
3 1 1 1
A = A ; B = C
=> ∆ AFB
:
∆ AMC (g.g)
=>
)1(
AC
AM
AB

AF
AC
AB
AM
AF
=⇔=
Có
·
·
0
MAF = CAB = 45
(2)
Từ 1 và 2 => ∆ AFM
∞
∆ ABC
=>
·
·
0
AFM = ABC = 90
C/M hoàn toàn tương tự có
·
AEN
= 90
0

vì vậy
·
·
0

AFM = AEN = 90
1.5
0.5
1
1
3
1
K
N
M
F
E
D
C
B
A
4b
Chứng minh :
1
2
AEF AMN
S S=
Có ∆ AFM
∞
∆ AEN =>
AN
AE
AM
AF
=

=> ∆ AEF
∞
∆ AMN (c.g.c) =>
2
(1)
AEF
AMN
S AF
S AM
 
=
 ÷
 
Có
·
FAM
= 45
0
,
·
AFM
= 90
0

=> ∆ AFM Vuông cân đỉnh F nên AM
2
= AF
2
+ FM
2

= 2AF
2

=>
2
AF
AM
 
 ÷
 
=
2
1
Thay vào (1) ta được
AEF
AMN
S
S
=

2
1
hay:
1
2
AEF AMN
S S=
(ĐPCM)
1.5
0.5

4c
C/M chu vi ∆ CMN không đổi
Trên tia đối của tia DC lấy điểm K sao cho DK = BN
∆ ADK = ∆ ABN => AK = AN và
·
·
BAN DAK=
do đó ∆ AMN = ∆ AKM (c.gc) => MN=KM
Vì vậy: Chu vi ∆ CMN = MN + CN +CM = CM + KM + CN
= CD + KD + CN = CD + NB + CN
= CD + CB = 2a không đổi
Tức là: Chu vi ∆ CMN không thay đổi khi M chuyển động trên cạnh DC
1.5
0.5
5
Tính độ dài AD. 3điểm
Gọi diện tích các tam giác ABD, ADC và ABC
lần lượt là : S
1
, S
2
, S.
Ta có : S
1
=
1
2
AB.AD.sinA
1
S

2
=
1
2
AD.AC.sinA
2

S =
1
2
AB.AC.sinA
Vì : S = S
1
+ S
2

Nên :
1
2
AB.AD.sinA
1
+
1
2
AD.AC.sinA
2
=
1
2
AB.AC.sinA

⇔
AB.AD.sinA
1
+ AD.AC.sinA
2
= AB.AC.sinA
1 2
AB.AC.sinA 6.9.sin 68
AD = 6
AB.sinA +AC.sinA 6.sin 34 9.sin 34
o
o o
⇔ = ≈
+
0.75
0.75
1. 5
2
1
K
H
D
C
B
A