đề thi đại học các năm

MỘT SỐ BÀI TOÁN KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC
NĂM 2002-2009
A_2002 Cho hàm số:
3 2 2 3 2
3 3(1 )y x mx m x m m= − + + − + −
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số trên khi m = 1.
2) Tìm k để phương trình: -x
3
+ 3x
2
+ k
3
- 3k
2
= 0 có 3 nghiệm phân biệt.
3) Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số trên.
B_2002 Cho hàm số:
4 2 2
( 9) 10y mx m x= + − +
(1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
D_2002 Cho hàm số:
( )
2
2 1
1
m x m
y
x
− −

=
−
(1) (m là tham số)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) ứng với m = -1.
2) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong (C) và hai trục toạ độ.
3) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) tiếp xúc với đường thẳng y = x.
DB_A_2002 Cho hàm số:
4 2
1y x mx m= − + −
(1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 8.
2. Xác định m sao cho đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.
DB_B_2002 Cho hàm số:
3 2
1 1
2 2
3 3
y x mx x m= + − − −
(1) (m là tham số)
1. Cho
1
2
m =
.
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
b. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường
thẳng d:
4 2y x= +
.
2. Tìm m thuộc khoảng

5
0;
6
 
 ÷
 
sao cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số (1) và các đường x
= 0, x = 2, y = 0 có diện tích bằng 4.
DB_B_2002 Cho hàm số:
3
( ) 3y x m x= − −
(m là tham số)
1. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho khi m = 1.
3. Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm:
( )
3
3
2
2 2
1 3 0
1 1
log log 1 1
2 3
x x k
x x

− − − <



+ − ≤


DB_D_2002
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số (1) và trục hoành.
A_2003 Cho hàm số:
2
1
mx x m
y
x
+ +
=
−
(1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành độ dương.
Đs:
1
0
2
m− < <
B_2003 Cho hàm số:
3 2

3y x x m= − +
(1)
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc toạ độ.Đs:
0m
>
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2 .
D_2003
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
2
2 4
2
x x
y
x
− +
=
−
(1)
2. Tìm m để đường thẳng d
m
:
2 2y mx m= + −
cắt đồ thị của hàm số (1) tại hai điểm phân biệt.
DB_B_2003 Cho hàm số:
2
( 1)( )y x x mx m= − + +
(1) (m là tham số)
1. Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt.
2. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 4.
DB_B_2003 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số:

( )
3
6 2
4 1y x x= + −
trên đoạn
[ ]
1;1−
DB_B_2003 Cho hàm số:
2 1
1
x
y
x
−
=
−
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số (1).
2. Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp tuyến của
(C) tại M vuông góc với đường thẳng IM.
DB_D_2003
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (C) của hàm số:
3 2
2 3 1y x x= − −
2. Gọi d
k
là đường thẳng đi qua điểm
(0; 1)M −
và có hệ số góc bằng k. Tìm k để đường thẳng d
k

cắt
(C) tại ba điểm phân biệt.
B_2004 Cho hàm số:
3 2
1
2 3
3
y x x x= − +
(1) có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng ∆ là tiếp tuyến của (C) có
hệ số góc nhỏ nhất. Đs:
8
3
y x= − +
D_2004 Cho hàm số
3 2
3 9 1y x mx x= − + +
(1) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 2.
2. Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1) thuộc đường thẳng y = x + 1. Đs:
DB_A_2004 Cho hàm số
4 2 2
2 1y x m x= − +
(1) với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị là ba đỉnh của một tam giác vuông cân.
DB_B_2004 Cho hàm số
3 2 2
2 2y x mx m x= − + −

(1) với m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1
2. Tìm m để hàm số (1) đạt cực tiểu tại x = 1.
D_2005 Gọi (C
m
) là đồ thị hàm số:
3 2
1 1
3 2 3
m
y x x= − +
(*) (m là tham số)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m = 2
2. Gọi M là điểm thuộc (C
m
) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến của (C
m
) tại điểm M song song
với đường thẳng
5 0x y− =
DB_B_2005
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
4 2
6 5y x x= − +
2. Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt
4 2
2
6 log 0x x m− − =
DB_D_2005 Gọi (C
m

) là đồ thị của hàm số
3 2
(2 1) 1y x m x m= − + + − −
(1) m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị (C
m
) tiếp xúc với đường thẳng
2 1y mx m= − −
A_2006 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số:
3 2
2 9 12 4y x x x= − + −
2.Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2 9 12x x x m− + =
D_2006 Cho hàm số
3
3 2y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Gọi d là đường thẳng đi qua điểm A(3; 2) và có hệ số góc là m. Tìm m để đường thẳng d cắt đồ thị
(C) tại ba điểm phân biệt.
.DB_A_2006
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
4
2
2( 1) ( )
2
x
y x C= − −

2. Viết phương trình các đường thẳng đi qua điểm
(0;2)A
và tiếp xúc với (C).
DB_D_2006 Cho hàm số
3
2
11
3
3 3
x
y x x= − + + −
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Tìm trên đồ thị (C) hai điểm phân biệt M, N đối xứng hau qua trục tung.
DB_D_2006 Cho hàm số
3
( )
1
x
y C
x
+
=
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho
2. Cho điểm
( ; ) ( )
o o o
M x y C∈
. Tiếp tuyến của (C) tại M
o

cắt các tiệm cận của (C) tại các điểm A và B.
Chứng minh M
o
là trung điểm đoạn AB.
B_2007 Cho hàm số: y = -x
3
+ 3x
2
+ 3(m
2
-1)x - 3m
2
- 1 (1) m là tham số
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều gốc toạ
độ O.
D_2007 Cho hàm số:
2
1
x
y
x
=
+
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm toạ độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai trục Ox, Oy tại A, B và tam giác
OAB có diện tích bằng
1
4
.

DB_B_2007 Cho hàm số
3 2
2 6 5y x x= − + −
.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó qua điểm
( 1; 13)A − −
DB_B_2007 Cho hàm số
1 ( )
2
m
m
y x C
x
= − + +
−
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị (C
m
) có cực đại tại điểm A sao cho tiếp tuyến với (C
m
) tại A cắt trục Oy tại B mà
tam giác OAB vuông cân.
DB_D_2007 Cho hàm số
1
x
y
x
=
−

(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Lập phương trình tiếp tuyến d của (C) sao cho d và hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành một tam
giác cân.
DB_D_2008 Cho hàm số
1
2 1
x
y
x
− +
=
+
(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Lập phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến đó qua giao điểm của tiệm cận đứng và trục Ox.
B_2008 Cho hàm số
3 2
4 6 1y x x= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua điểm
( 1; 9)M − −
.
D_2008 Cho hàm số
3 2
3 4y x x= − +
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Chứng minh rằng mọi đường thẳng đi qua điểm
(1;2)I

với hệ số góc k
( 3)k > −
đều cắt đồ thị hàm
số (1) tại ba điểm phân biệt I, A, B đồng thời I là trung điểm của đoạn thẳng AB.
DB_A_2008 Cho hàm số
3 2
3 ( 1) 1y x mx m x= + + + +
(1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm các giá trị của để tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại điểm có hoành độ
1x = −
đi qua điểm
(1;2)A
.
DB_A_2008 Cho hàm số
4 2
8 7y x x= − +
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tìm các giá trị thực của tham số m để đường thẳng
9y mx= −
tiếp xúc với đồ thị hàm số (1).
DB_B_2008 Cho hàm số
3 2
3 3 ( 2) 1y x x m m x= − − + −
(1) , m là tham số thực
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 0.
2. Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có hai cực trị cùng dấu.
DB_D_2008 Cho hàm số
3 1

1
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) tại điểm
( 2;5)M −
.
A_2009 Cho hàm số
2
2 3
x
y
x
+
=
+
(1)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành ,trục tung lần
lượt tại hai điểm phân biệt A, B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.
B_2009 Cho hàm số
4 2
2 4y x x= −
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1).

2. Với các giá trị nào của m, phương trình
2 2
2x x m− =
có đúng 6 nghiệm thực phân biệt.
D_2009 Cho hàm số
4 2
(3 2) 3y x m x m= − + +
có đồ thị là (C
m
) ,m là tham số.tại 4 điểm phân biệt đều có
hoành độ nhỏ hơn 2.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đã cho khi m = 0.
2. Tìm m để đường thẳng
1y = −
cắt đồ thị (C
m
) tại 4 điểm phân biệt đều có hoành độ nhỏ hơn