Bất đẳng thức trung bình điều hòa doc

Bất đẳng thức trung bình điều hoà.
Bất đẳng thức trung bình điều hoà.Bất đẳng thức trung bình điều hoà.
Bất đẳng thức trung bình điều hoà.


Bài toán 1
Bài toán 1Bài toán 1
Bài toán 1.
Cho hai cặp số dơng
1 2
,
x x
và
1 2
,
y y
ta có:
1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
(1)
1 1 1 1 1 1
x x y y x x y y
+
+ + +
+ +

(1) gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà đối với hai cặp số.
Chứng minh.
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
( )( )

(1)
x y x y x x y y
x y x y x x y y
+ +
+
+ + + + +
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
1 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 2 2 1 1
( ) ( ) ( )
x y x y x y x y x y x y x x y y x y x y
+ + + + + + + + + +

(
)
2
1 2 2 1 1 2 1 2
0, x , , ,
x y x y x y y


Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có

Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có
Mở rộng bài toán cho n số tự nhiên ta có


Mệnh đề 1
Mệnh đề 1Mệnh đề 1
Mệnh đề 1
Cho hai bộ n số tự nhiên
, , 1, ( )
i i
x y i n n N
=
ta có:

1
1 1
1 1
1 1 1 1
n
i
n n
i i
i i
i i
x y
x y
=
= =

+ +

(2)
(2) đợc gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với hai bộ n số dơng.
Chứng minh
Giả sử (2) đúng với n = k nghĩa là:
1
1 1
1 1
1 1 1 1
k
i
k k
i i
i i
i i
x y
x y
=
= =

+ +



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
1 1 2 2
: : :
k k
x y x y x y

= = =

Ta chứng minh cho (2) đúng với n = k + 1. Thật vậy,
1
1 1
1 1 1 1
1 1
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
k k
i i
n n
i i i i k k k k
i i
i i
x y x y x y x y
x y
+
= =
+ + + +
= =
= + +
+ + + + +



áp dụng bất đẳng thức (1) cho hai cặp số:
1
1
,

k
i k
i
x x
+
=

và
1
1
,
k
i k
i
y y
+
=

ta có:
1 1
1 1
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1 1 1
k k k k
k k
i i i i
i i i i
x y
x y x y

+ +
+ +
= = = =
+
+ + +


Đẳng thức xảy ra khi:
1 1
1 1
1 1 2 2
: :
: : :
k k
i i k k
i i
k k
x y x y
x y x y x y
+ +
= =

=



= = =


1 1 2 2 1 1

: : :
k k
x y x y x y
+ +
= = =

Vậy, ta đã chứng minh đợc (2).
Chúng ta mở rộng (1) theo hớng khác ta có:



Mệnh đề 2.
Mệnh đề 2.Mệnh đề 2.
Mệnh đề 2.
Cho 3 cặp số dơng
1 2 1 2 1 1
, ; , ; ,
x x y y z z
ta có:

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z x x y y z z
+
+ + + + + +
+ + +
(3)
(3) gọi là bất đẳng thức trung bình điều hoà với 3 cặp số dơng.
Chứng minh.

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 1 2 2
1 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z x x x x
y z y z y z y z
+ = +
+ + + + + + +
+
+
+ + + +

áp dụng (1) cho hai cặp số dơng:
1 2
1 1 2 2
1 1
, ; ,
1 1 1 1
x x
y z y z
+ +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
1 1 2 2
1 1
: :
1 1 1 1

x x
y z y z
=
+ +

Tiếp tục áp dụng (1) cho hai cặp số dơng
1 2 1 2
, ; ,
y y z z
ta đợc.

1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1
y z y z y y z z
+
+ + +
+ +
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1 2 1 2
: :
y y z z
=


1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
1 1 1

1 1 1 1 1 1
x x x x x x y y z z
y z y z y y z z

=
+ + + +
+ + + + +
+
+ + +
+ +

Vậy ,
1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2
1 1 1
1 1 1 1 1 1 1 1 1
x y z x y z x x y y z z
+
+ + + + + +
+ + +

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1
: :
1 1 1 1
: : : :
: :

x x
x y z x y z
y z y z
y z y z

=


+ +
=


=



Bằng chứng minh quy nạp ta có các mở rộng sau của bất đẳng thức
Mệnh đề 3
Mệnh đề 3Mệnh đề 3
Mệnh đề 3
Bất đẳng thức trung bình điều hoà cho 3 bộ n số dơng.

1
1 1 1
1 1
1 1 1 1 1 1
n
i
n n n
i i i

i i i
i i i
x y z
x y z
=
= = =

+ + + +



Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
1 1 1 2 2 2
: : : : : :
n n n
x y z x y z x y z
= = =

Mệnh đề 4.
Mệnh đề 4. Mệnh đề 4.
Mệnh đề 4.
BĐT trung bình điều hoà với n cặp số dơng
1 1 1
1 2 1 2
1 1 1
1 1 1
n n n
i i i
i i i i
x x x x

= = =
+
+


Mệnh đề 5.
Mệnh đề 5.Mệnh đề 5.
Mệnh đề 5.
BĐT trung bình điều hoà m bộ n số dơng.
Cho n bộ gồm m số dơng
1 2
, , 1,
i i mi
x x x i m
=


1 1 1
1 2
1 1 1
1 2
1 1 1 1

1 1 1
1 1 1

1 1 1
n n n
m m m
i i i

i i im
j j j
j j nj
x x x
x x x
= = =
= = =
+ + +
+ + +