Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid pptx

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

101
Bài 8: DẠNG SONG TUYẾN TÍNH, DẠNG TOÀN PHƯƠNG,
KHÔNG GIAN EUCLID
Mục tiêu Nội dung
• Khái niệm về dạng song tuyến tính và
dạng toàn phương.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng
chính tắc bằng hai phương pháp: Phương
pháp Lagrange, phương pháp Jacobi và
tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực
giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng
toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài toán trong các nội
dung nêu trên.

Thời lượng
Bạn đọc nên để 15 giờ để nghiên cứu LT
+

8 giờ làm bài tập.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta
nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô
hướng. Áp dụng dạng toàn phương và
không gian Euclid vào Hình học giải tích
ta có thể đưa các đường và mặt bậc hai về
dạng chính tắc.

• Khái niệm về dạng song tuyến tính và
dạng toàn phương.
• Biết cách đưa dạng toàn phương về
d
ạng chính tắc bằng hai phương pháp:
Phương pháp Lagrange, phương pháp
Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester.
• Khái niệm về không gian Euclid, hệ
trực giao và hệ trực chuẩn.
• Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở
dạng toàn phương về dạng trục chính.
• Giải được các bài toán trong các nội
dung nêu trên.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

102
Bài toán mở đầu :

Bài toán phân phối tối ưu công suất giữa thủy điện và nhiệt điện
Cho trước biểu đồ phụ tải trong một ngày đêm (24 giờ) tức là cho công suất phụ tải P
pt
(k), k
=
1,
2, , 24, tính bằng MW. Giả sử năng lượng thủy điện có thể khai thác trong một ngày đêm là
A(MWh). Vấn đề là hãy xác định công suất của các nhà máy điện P
k
, k
=

1, 2, , 24 sao cho
đường biểu diễn công suất là bằng phẳng nhất có thể được (để giảm bớt chi phí cho việc điều
chỉnh công suất) và sao cho sử dụng hết năng lực của thủy điện.
Từ yêu cầu ta có thể thiết lập mô hình như sau: Xác định các công suất P
k
,

k = 1, 2, , 24 sao cho
24
k
24
k1
k
k1
p
Pmin
24
=
=
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
−→
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
∑
∑

24

pt k
k1
P(k) P A
=
⎡⎤
−
=
⎣⎦
∑

P
min
≤ P
k
≤ P
max
, k
=
1, 2,…, 24.
Hàm mục tiêu của bài toán có dạng toàn phương.
Dạng song tuyến tính là cơ sở để ta nghiên cứu dạng toàn phương và tích vô hướng. Áp dụng
dạng toàn phương và không gian Euclid vào Hình học giải tích ta có thể đưa các đường và mặt
bậc hai về dạng chính tắc.
8.1. Dạng song tuyến tính và dạng toàn phương
8.1.1. Dạng song tuyến tính
Định nghĩa 8.1: Cho V là không gian véc tơ trên \, ánh xạ f: V × V → \ gọi là một
dạng song tuyến tính trên V nếu
f(x
1

+
x
2
, y)
=
f(x
1
, y)
+
f(x
2
, y) x
1
, x
2
, y ∈ V
f(λx, y)
=
λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈
\
f(x, y
1

+
y
2
)
=
f(x, y
1

)
+
f(x, y
2
) ∀ x, y
1
, y
2
∈ V
f(x, λy)
=
λf(x, y) x, y ∈ V, ∀ λ ∈
\
Ví dụ: Ánh xạ f: \
2
× \
2
→ \ xác định bởi
f(u, v)
=
x
1
x
2

+
y
1
y
2

trong đó u
=
(x
1
, y
1
), v
=
(x
2
, y
2
) là một dạng song tuyến tính trên \
2
.
Dạng song tuyến tính f(x, y) trên V gọi là đối xứng nếu
f(x, y)
=
f(y, x) ∀x, y ∈ V.
Dạng song tuyến tính trong ví dụ trên là đối xứng.
8.1.2. Dạng toàn phương
Giả sử f(x, y) là một dạng song tuyến tính trên V, {e
1
, e
2
,…, e
n
} là một cơ sở của V.
Khi đó, ta có

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

103
f(x, y)
=
f
nn nn
ij ij
ij ij
i1 j1 i1j1
xe, ye xyf(e,e).
== ==
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
∑∑ ∑∑
(8.1)
Đặt f(e
i
, e
j
)
=
a
ij
(i, j
=
1, 2, , n), ta có
11 12 1n

21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
## #

Ma trận A gọi là ma trận của dạng song tuyến tính f theo cơ sở {e
1
, e
2
,…, e
n
}.
Nói chung, A không phải là một ma trận đối xứng A ≠ A′.
Trong trường hợp f là dạng song tuyến tính đối xứng, nghĩa là
a
ij

=
f(e
i

, e
j
)
=
f(e
j
, e
i
)
=
a
ji
, (i, j
=
1,2,…,n)
thì A là ma trận đối xứng.
Nếu {f
1
, f
2
,…, f

n
} là một cơ sở khác của V với
n
km
mk
m1
fte
=

=
∑
(k
=
1, 2,…, n)
và f(f
i
, f
k
)
=
b
ik
, ta có
b
ik

=
f(f
i
, f
k
)
=
f
nn
mi
mi ik
m1 l1
te, te

==
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
∑∑

=

nn
ml
mi lk
m1 l1
ttf(e,e)
==
∑∑

nn
mi lk ml
m1 l1
tta
==
∑∑
(i
=
1, 2,…, n).
Từ đây, ta có B
=
T
–1
AT, trong đó

11 12 1n 11 12 1n
21 22 2n 21 22 2n
n1 n2 nn n1 n2 nn
b
b b t t t
b
b b t t t
B,T
b
b b t t t
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
==
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
## # ## #

Định nghĩa 8.2: Nếu f(x, y) là một dạng song tuyến tính đối xứng trên không gian véc
tơ V thì f(x, x) gọi là một dạng toàn phương.
Nếu
n
i
i
i1
xxe
=
=
∑

và đặt f(e
i
, e
j
)
=
a
ij

=
a
ji
(i, j
=
1, 2, , n).
Ta có
n
ij i j
i, j 1
f(x, x) a x x
=
=
∑

=
222
11 1 12 1 2 1n 1 n 22 2 23 2 3 nn n
a x 2a x x 2a x x a x 2a x x a x .+++++++(8.2)
Trong trường hợp a
ij

=
0 (i ≠ j; i, j
=
1, 2, , n) thì dạng toàn phương được gọi là dạng
toàn phương ở dạng chính tắc, khi đó
22 2
11 1 22 2 nn n
f (x, x) a x a x a x .=±±±

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

104
8.1.3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
Ta đã biết biểu thức của dạng song tuyến tính f(x, x) qua các tọa độ của véc tơ x phụ
thuộc vào việc chọn cơ sở (hệ tọa độ) trong đó dạng toàn phương có dạng đơn giản
f(x, x)
=

22 2
11 2 2 n n

λ
ξ+λξ+ +λξ
8.1.3.1. Phương pháp Lagrange
Giả sử trong một cơ sở f
1
, f
2
,…, f

n
nào đó ta có
f(x, x)
=

ij i j
i, j
axx
∑
i, j
=
1, n (8.3)
Trong đó x
1
, x
2
,…, x
n
là các tọa độ véc tơ x trong cơ sở này.
Ta sẽ dần dần biến đổi cơ sở sao cho trong dạng (8.3) mất đi các số hạng chéo (các
tích tọa độ với hệ số khác nhau).
Vì mỗi biến số cơ sở ứng với một phép biến đổi xác định các tọa độ và ngược lại nên
ta sẽ viết các công thức biến đổi các tọa độ.
Để dẫn dạng toàn phương f(x, x) về dạng chính tắc, ta c
ần có ít nhất một trong các hệ
số a
ii
(hệ số của
2
i

x
) khác 0. Điều đó luôn luôn có thể đạt được. Thật vậy, giả sử dạng
f(x, x) không đồng nhất bằng 0, nhưng không chứa một biến bình phương nào, khi đó,
nó chứa dù chỉ một tích, chẳng hạn như 2a
12
x
1
x
2
. Ta thay các tọa độ x
1
, x
2
bởi
11 2
xxx
′′
=+

212
xxx
′′
=−

và không thay đổi các biến còn lại. Khi đó, số hạng 2a
12
x
1
x
2

chuyển thành
22
12 1 2
2a (x x )
′′
−
. Theo giả thiết a
11

=
a
22

=
0 nên số hạng thu được không bao giờ bị
triệt tiêu, nghĩa là hệ số
2
1
x
′
khác 0. Vậy ta giả sử rằng trong (8.3) có a
11
≠ 0. Ta tách
ra trong dạng toàn phương các số hạng chứa x
1

2
11 1 12 1 2 1n 1 n
a x 2a x x 2a x x+++
Ta bổ sung tổng này đến một bình phương đầy đủ của tổng, nghĩa là viết nó dưới dạng

2
11 1 12 1 2 1n 1 n
a x 2a x x 2a x x+++
=

2
11 1 1n n
11
1
(a x a x ) B.
a
+
+− (8.4)
Trong đó qua B ta ký hiệu các số hạng chỉ chứa các bình phương và tích từng đôi một
của các số hạng a
12
x
2
,…, a
1n
x
n
.
Sau khi thay (8.4) vào (8.3) thì dạng toàn phương đã cho có dạng
f(x, x)
=

2
11 1 1n n
11

1
(a x a x )
a
+
++
trong đó các số hạng không viết ra chỉ chứa các biến x
2
,…, x
n
.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

105
Ta đặt
η
1

=
a
11
x
1

+
a
12
x
2

+
…
+
a
1n
x
n

η
2

=
x
2

………………
η
n

=
x
n

Khi đó, dạng toàn phương trở thành
n
2
1ijij
i, j 2
11
1

f(x,x) b .
a
=
=η+ ηη
∑

Biểu thức
n
ij i j
i, j 2
b
=
ηη
∑
hoàn toàn giống dạng (8.3) chỉ có khác là bớt tọa độ x
1
. Bây
giờ, ta giả sử b
22
≠ 0. Khi đó tiến hành phép biến đổi mới các biến tương tự như trên
theo các công thức
*
11
*
2222233 2nn
*
33
*
nn
b b b

η=η
η= η+ η+ + η
η=η
η=η

Trong các biến mới ta có
n
*2 * * *
12ijij
i, j 3
11 22
11
f(x, x) c .
ab
=
=η+η+ ηη
∑

Tiếp tục quá trình này, sau một số hữu hạn bước, ta đến các biến ξ
1
, ξ
2
,…, ξ
n
trong đó
f(x, x)
22 2
11 2 2 n n
.=λξ +λξ + +λξ

Như vậy, ta đi đến định lý sau.
Định lý 8.1: Giả sử trong không gian n chiều \
n
cho dạng toàn phương bất kỳ f(x, x).
Khi đó, trong
\
n
tồn tại cơ sở e
1
, e
2
, , e
n
sao cho với cơ sở đó
f(x, x)
=

22 2
11 22 n n
.
λ
ξ+λξ+ +λξ
Trong đó ξ
1
, ξ
2
,…, ξ
n
là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e

1
, e
2
, , e
n
.
Ví dụ: Giả sử trong không gian \
3
với cơ sở f
1
, f
2
, f
3
cho dạng toàn phương
f(x, x)
=
2x
1
x
2

+
4x
1
x
3
–
2
2

x –
2
3
8x .
Ta đặt
12
21
33
xx
xx
xx
′
=
′
=
′
=


Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

106
Khi đó, ta được
f(x, x)
=

22
112233
x2x2x4xx8x.
′

′′ ′′ ′
−+ + −

Tiếp đó, ta đặt
112
22
33
xx
x
x.
′′
η=− +
′
η=
′
η=

Ta sẽ được biểu thức mới cho dạng toàn phương
f(x, x)
=

22 2
12 23 3
48.
−
η+η+ηη−η

Phép biến đổi
ξ
1

=
η
1

ξ
2

=
η
2

+
2η
3

ξ
3

=
η
3
.
cho ta dạng chính tắc
22 2
12 3
f(x, x) 12=−ξ +ξ − ξ .
8.1.3.2. Phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester
Ta cần đặt điều kiện đối với dạng toàn phương f(x, y) với cơ sở xuất phát như sau: Giả
sử ma trận

ik
a của dạng song tuyến tính f(x, y) trong cơ sở f
1
, f
2
,…, f
n
có các định
thức con khác 0
Δ
1

=
a
11
≠ 0 ;
11 12
2
21 22
aa
0
aa
Δ
=≠

11 12 1n
21 22 2n
n
n1 n 2 nn
a a a

a a a

a a a
Δ=
≠ 0. (8.5)
Trong cơ sở f
1
, f
2
,…, f
n
dạng toàn phương f(x, x) có dạng
n
ik i k
i, k 1
f(x, x) a
=
=ξξ
∑

với a
ik

=
f(f
i
, f
k
).
Mục đích của ta là xác định các véc tơ e

1
, e
2
,…, e
n
sao cho
f(e
i
, e
k
)
=
0 với i ≠ k (i, k
=
1, n ). (8.6)
Quá trình tiến hành tương tự như quá trình trực giao hóa.
Ta sẽ tìm các véc tơ e
1
, e
2
, , e
n
dưới dạng

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

107
1111
2212222
nn11 n22 nnn

ef
eff

e f f f
=α
⎫
⎪
=α +α
⎪
⎬
⎪
⎪
=α +α + +α
⎭
(8.7)
Các hệ số α
ik
có thể tìm như sau:
Nếu f(e
k
, f
i
)
=
0 với i
=
1, 2, k – 1 thì f(e
k
, e
i

)
=
0 đối với i
=
1, 2,…, k – 1.
Thật vậy, thay e
i
bởi biểu thức
α
i1
f
1

+
α
i2
f
2

+
…
+
α
ii
f
i

ta được
f(e
k

, e
i
)
=
f(e
k
, α
i1
f
1

+
α
i2
f
2

+

+
α
ii
f
i
)

=
α
i1
f(e

k
, f
1
)
+
α
i2
f(e
k
, f
2
)
+

+
α
ii
f(e
k
, f
i
).
Như vậy, nếu f(e
k
, f
i
)
=
0 đối với bất kỳ k và bất kỳ i < k thì f(e
k

, e
i
) đối với i < k và do
đó, tính đối xứng của dạng song tuyến tính, ta có đối với cả i > k, nghĩa là e
1
, e
2
,…, e
n

là cơ sở cần tìm.
Do đó, bài toán của ta dẫn tới bài toán sau:
Xác định các hệ số α
k1
, α
k2
,…, α
kk
sao cho véc tơ
e
k

=
α
k1
f
1

+
α

k2
f
2

+
…
+
α
kk
f
k

thỏa các điều kiện
f(e
k
, f
i
)
=
0 với i
=
1, 2,…, k – 1. (8.8)
Với các điều kiện đó, véc tơ e
k
được xác định chính xác đến phần tử xác định. Ta cố
định phần tử đó nhờ đòi hỏi
f(e
k
, f
k

)
=
1. (8.9)
Ta sẽ thấy ngay với các điều kiện (8.8) và (8.9), véc tơ e
k
đã được xác định một cách
đơn trị.
Thay (8.8) vào (8.9) biểu thức cho e
k
ta nhận được hệ phương trình bậc nhất sau đây
đối với α
ki

k1 11 k2 12 kk 1k
k1 21 k2 22 kk 2k
k1 k1 1 k2 k1 2 kk k1
f(f ,f ) f(f ,f ) f(f ,f ) 0
f(f , f ) f(f , f ) f(f , f ) 0

f(f , f ) f(f ,f ) f(f ,
−− −
α+α ++α =
α+α ++α =
α+α ++α
k
k1 k1 k2 k2 kk kk
f) 0
f(f , f ) f(f , f ) f(f , f ) 1
⎫
⎪

⎪
⎪
⎬
⎪
=
⎪
⎪
α+α ++α =
⎭
(8.10)
Định thức của hệ phương trình này là
11 12 1k
21 22 2k
k1 k2 kk
f(f ,f ) f(f ,f ) f(f , f )
f(f , f ) f(f ,f ) f(f ,f )

f(f ,f ) f(f , f ) f(f , f )
Δ=
(8.11)

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

108
Và theo điều kiện (8.5), định thức trên khác 0. Vì vậy, nghiệm của (8.10) tồn tại và
duy nhất. Như vậy, bài toán tìm véc tơ e
k
đã được giải cho k bất kỳ.
Bây giờ, ta tìm các hệ số b
ik

của dạng toàn phương f(x, x) trong cơ sở e
1
, e
2
, , e
n
như
ta đã biết
b
ik

=
f(e
i
, e
k
).
Theo cách dựng cơ sở này, f(e
i
, e
k
)
=
0 khi i ≠ k, nghĩa là b
ik

=
0 khi i ≠ k.
Ta tính b
kk

=
f(e
k
, e
k
)
f(e
k
, e
k
)
=
f(e
k
, α
k1
f
1

+
α
k2
f
2

+
…
+
α

kk
f
k
)
=
α
k1
f(e
k
, f
1
)
+
α
k2
f(e
k
, f
2
)
+
…
+
α
kk
f(e
k
, f
k
)

và theo (8.8) và (8.9)
f(e
k
, e
k
)
=
α
kk
.
Số α
kk
có thể tìm từ hệ (8.10) theo quy tắc Crame
k1
kk
k
−
Δ
α=
Δ

trong đó Δ
k – 1
là định thức tương đương với (8.11) bậc k – 1, trong đó đặt Δ
0

=
1.
Như vậy
k1

kk k k
k
bf(e,e)
−
Δ
==
Δ

và do đó định lý sau đây đã được chứng minh.
Định lý 8.2: Giả sử trong cơ sở f
1
, f
2
,…, f
n
dạng toàn phương có dạng
n
ik i k
i, k 1
f(x, x) a
=
=ξξ
∑

với a
ik

=
f(f
i

, f
k
). Tiếp theo, giả sử các định thức
Δ
1

=
a
11
,
11 12
2
21 22
aa
aa
Δ=

11 12 1n
21 22 2n
n
n1 n 2 nn
a a a
a a a

a a a
Δ=

đều khác 0. Khi đó, tồn tại các cơ sở e
1
, e

2
, , e
n
trong đó f(x, x) được viết dưới dạng
chính tắc như sau
n1
22 2
0
1
12 n
12 n
f (x, x)
−
Δ
Δ
Δ
=ξ+ξ++ ξ
ΔΔ Δ
(8.12)
với ξ
k
là các tọa độ của véc tơ x trong cơ sở e
1
, e
2
,…, e
n
.
Ví dụ: Xét dạng toàn phương
f(x, x)

=

222
1121323
2x 3x x 4x x x x
+
+++

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

109
Ta có
3
22
2
3
10
2
201
Δ=

Δ
0

=
1; Δ
1

=
2;

2
3
2
1
2
3
4
1
2
Δ
==−
3
9917
2004 0 2
444
Δ=Δ=++−− −=−− =−
222
123
1
1
4
f (x, x) 2( 4)
17
2
4
−
=ξ+−ξ+ ξ
−
22 2
12 3

11
8
217
=
ξ−ξ+ ξ.
Từ định lý trên cho ta khả năng tìm các hệ số dương và hệ số âm của các số hạng bình
phương. Chính là, nếu Δ
i – 1
và Δ
i
có cùng dấu thì hệ số của
2
i
ξ
là dương, nếu chúng
khác dấu thì hệ số âm, nghĩa là số các hệ số âm bằng số các thay đổi dấu của dãy 1,
Δ
1
, Δ
2
,…, Δ
n
.
Và như vậy, ta có định lý sau:
Định lý 8.3: Số các hệ số âm trong dạng (8.12) của dạng toàn phương bằng số các
thay đổi dấu của dãy 1, Δ
1
, Δ
2
,…, Δ

n
.
Giả sử, trong trường hợp riêng
i
0, i 1, nΔ> = . Khi đó, tồn tại cơ sở e
1
, e
2
, , e
n
trong
đó dạng toàn phương có dạng
22 2
11 2 2 n n
f (x, x) =λξ +λξ + +λξ
Với
i
0, i 1, nλ> ∀= , do đó f(x, x) ≥ 0 đối với x bất kỳ. Hơn nữa, đẳng thức
n
2
ii
i1
f(x, x) 0
=
=λξ=
∑

Nếu ξ
1

=
ξ
2

=
…
=
ξ
n

=
0.
Nói cách khác, nếu Δ
1
> 0, Δ
2
> 0,…, Δ
n
> 0 thì dạng toàn phương f(x, x) là xác định
dương.
Có thể chứng minh phần đảo rằng, nếu f(x, x) là xác định dương thì Δ
k
> 0, ∀k.
Định lý 8.4: (Tiêu chuẩn Sylvester)
Giả sử f(x, y) là dạng song tuyến tính đối xứng và f
1
, f
2
,…, f
n

là cơ sở của \
n
. Khi đó,
dạng toàn phương f(x, x) là xác định dương khi và chỉ khi
i
0, i 1, nλ> ∀= .

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

110
8.2. Không gian Euclid
8.2.1. Tích vô hướng và không gian Euclid
8.2.1.1. Định nghĩa 8.3
Cho V là không gian véc tơ thực, tích vô hướng của hai véc tơ x,
y ∈ V là một số thực, ký hiệu <x, y> thỏa mãn các tính chất sau:

1. <x, y>
=
<y, x> ∀x, y ∈ V
2. <λx, y>
=
λ<x, y> ∀x, y ∈ V
3. <x
1

+
x
2
, y>
=

<x
1
, y>
+
<x
2
, y> ∀x
1
, x
2
, y ∈ V
4. <x, x> ≥ 0 ∀x ∈ V
Dấu “
=
” xảy ra khi và chỉ khi x
=
0.
Không gian véc tơ thực hữu hạn chiều V trên đó xác định một tích vô hướng gọi là
không gian Euclid, ký hiệu là E.
Nhận xét:
Tích vô hướng trên không gian véc tơ V thực chất là một dạng song tuyến tính,
đối xứng f(x, y)
=
<x, y> trên V, thỏa mãn f(x, x) là một dạng toàn phương xác
định dương.
8.2.1.2. Độ dài một véc tơ
Giả sử E là một không gian Euclid. Khi đó, x ∈ E thì x xác định bởi
1
2
xx,x=< >

gọi là chuẩn của véc tơ x.
Chú ý: Trong
\
n
, ta định nghĩa tích vô hướng
n
ii 1 n 1 n
i1
x, y x y , x (x , , x ), y (y , , y )
=
<>= = =
∑
.
Khi đó
n
2
2
i
i1
xx
=
=
∑

8.2.1.3. Góc giữa hai véc tơ
a, b a . b cos(a, b)<>=
GGG
GGG

<a, b>
cos(a, b)
a.b
⇒=
G
G
G
G
G
G
, nếu a0,b0.
≠
≠
G
G

Chuyển sang không gian Euclid
<x, y>
cos(x, y) =
xy

Hai véc tơ x, y gọi là trực giao nếu <x, y>
=
0.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

111
8.2.1.4. Hai không gian con trực giao
Cho E là một không gian Euclid. Hai không gian con E

1
, E
2
⊂ E gọi là trực giao nếu
<x, y>
=
0, ∀x ∈ E
1
, ∀y ∈ E
2
.
8.2.1.5. Hệ trực giao và hệ trực giao chuẩn
Cho E là một không gian Euclid. Hệ cơ sở {e
1
; e
2
;…; e
n
} gọi là hệ cơ sở trực giao nếu
<e
i
, e
i
>
=
0 với i ≠ j (i, j
=
1, 2,…, n)
Hệ cơ sở trực giao {e
1

; e
2
; e
n
} gọi là hệ cơ sở trực chuẩn nếu
i
e
= 1, (i = 1, 2, , n).
Ví dụ: Trong
\
n
, tích vô hướng xác định bởi
<x, y>
=

n
ii
i1
xy
=
∑

thì hệ cơ sở tự nhiên
e
1

=
(1, 0,…, 0) ; e
2

=
(0, 1,…, 0); e
n

=
(0, 0,…, 1)
là một hệ trực chuẩn.
8.2.1.6. Trực giao hóa Gram – Smit
Từ một cơ sở {f
1
, f
2
,…, f
n
} của E, hãy xây dựng một cơ sở trực chuẩn {e
1
, e
2
,…, e
n
}.
Bước 1: Xây dựng cơ sở trực giao {e
1
, e
2
,…, e
n
}.
+
Đặt e

1′

=
f
1
+
Tìm e
2′

=
f
2

+
α
21
e
1′
sao cho
<e
1′
, e
2′
>
=
0 ⇒ <e
1′
, f
2
>

+
α
21
< e
1′
, e
1′
>
=
0
⇒
1' 2
21
1' 1'
e,f
e,e
<
>
α=−
<
>

+
Tìm e
3′

=
f
3

+
α
32
e
2′
sao cho <e
1′
, e
3′
>
=
0 và <e
2′
, e
3′
>
=
0. Từ đây ta có hệ
13 11
31
23 22
32
e,f e,e 0
e,f e,e 0
′′′
′′′
⎧
< >+α < >=
⎪
⎨

<>+α<>=
⎪
⎩

13
31
11
23
32
22
e,f
e,e
e,f
e,e
′
′′
′
′′
⎧
<>
α=−
⎪
<>
⎪
⇒
⎨
<>
⎪
α=−
⎪

<>
⎩

Tiếp tục quá trình này
e
k′

=
f
k

+
α
k1
e
1′

+
α
k2
e
2′

+
…
+
α
kk – 1
e
k′

sao cho
<e
j′
, e
k′
>
=
0, j
=
1, 2, , k – 1. Từ đó nhận được
jk
jk
jj
e,f
e,e
′
′′
<>
α=
<>
, j
=
1, 2, , k – 1.
Bước 2: Từ hệ cơ sở trực giao {e
1
, e
2
,…, e
n
}, ta xây dựng cơ sở trực chuẩn theo quy

tắc
j'
j
j
e
e , j 1, 2, , n.
a
==
′


Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

112
8.2.2. Không gian hình học Euclid
8.2.2.1. Khái niệm
Định nghĩa 8.3: Tập U ≠ ∅ được gọi là không gian hình học Euclid n chiều trên E
nếu như mỗi cặp (M × N) ∈ U × U ứng với một véc tơ
MN
J
JJJG
của E thỏa mãn hai tiên đề
(1) MN NP MP, M, N, P U+= ∀ ∈
JJJJG JJJGJJJG

(2) Với mỗi M ∈ U và
a
G
∈ E, tồn tại duy nhất N ∈ U để MN a
=

J
JJJG
G
.
Khi U là không gian hình học Euclid thì các phần tử của U gọi là các điểm.
Định nghĩa 8.4:
(1) U là không gian hình học Euclid tựa trên E, O là một điểm của U. f
1
, f
2
,…, f
n
là
một cơ sở trực chuẩn của E thì bộ {O, (f
1
, f
2
,…, f
n
)} được gọi là hệ tọa độ trực
chuẩn của U với gốc tọa độ O.
(2) Theo hệ tọa độ trực chuẩn trên, mỗi điểm M ∈ U sẽ tương ứng với véc tơ
OM
JJJJG
của
E và tọa độ của véc tơ
OM
JJJJG
theo cơ sở f
1

, f
2
,…, f
n
của E được gọi là tọa độ của điểm
M theo hệ tọa độ {O, (f
1
, f
2
,…, f
n
)} , ta viết M(x
1
, x
2
,…, x
n
).
Ví dụ: Ta xét minh họa cho hai phần của định nghĩa trên:

(1) Hệ tọa độ trong mặt phẳng gốc O là bộ {O, i, j}
G
G
trong đó i, j
G
G
là hai véc tơ đơn vị
vuông góc (xem Hình 8.1(a)).
x
=

(x
1
, x
2
) có biểu diễn duy nhất
12
xxixj=+
G
G
.
(2) Hệ tọa độ trong không gian gốc O là bộ {O, (i, j, k)}
G
GG
trong đó i, j, k
GGG
là ba véc tơ
đơn vị trong không gian từng đôi một vuông góc (xem Hình 8.1(b)).
8.2.2.2. Đường thẳng và mặt phẳng
Một đường thẳng trong mặt phẳng có phương trình là
a
1
x
1

+
a
2
x
2

=
b
với a
1
, a
2
không đồng thời bằng 0.
Một mặt phẳng trong không gian ba chiều có phương trình là
a
1
x
1

+
a
2
x
2

+
a
3
x
3

=
b
x
2
x

1
G
j

G
i
(a)
x
3
G
k
x
2
x
1
G
j

G
i
(b)
Hình 8.1
O
O

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

113
với a
1

, a
2
, a
3
không đồng thời bằng 0.
Trong không gian n chiều, một siêu phẳng có phương trình
a
1
x
1

+
a
2
x
2

+
…
+
a
n
x
n

=
b
với a
1
, a

2
,…, a
n
không đồng thời bằng 0.
8.2.2.3. Đường cong và mặt cong
Các đường Conic trong mặt phẳng là các đường cong bậc 2 có phương trình tổng quát
22
121212
ax bx cx x dx ex f 0++ +++=
với a
2

+
b
2

+
c
2
≠ 0.
Các mặt cong bậc 2 trong không gian ba chiều có phương trình tổng quát
222
123112113123212233
ax bx cx a x x b x x c x x a x b x c x d 0+++ + + + + + +=
với a, b, c, a
1
, b
1
, c
1

không đồng thời bằng 0.
8.2.2.4. Phép biến đổi trực giao
Định nghĩa 8.5: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E được gọi là
phép biến đổi trực giao nếu nó bảo toàn tích vô hướng của hai véc tơ, tức là
<f(x), f(y)> = <x, y>.
Tính chất:
(1) Phép biến đổi trực giao bảo toàn độ dài véc tơ.
(2) Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai véc tơ.
(3) Mọi phép biến đổi tuyến tính bảo toàn độ dài véc tơ đều là phép biến đổi trực giao.
(4) Phép biến đổi tuyến tính f là trực giao khi và chỉ khi nó biến đổi mọi cơ sở trực
chuẩn của E thành một cơ sở trực chuẩn.
Định nghĩa 8.6: Ma trận vuông A được gọi là ma trận trực giao nếu AA′
=
E.
Tính chất: Phép biến đổi tuyến tính f trong không gian Euclid E là phép biến đổi
trực giao khi và chỉ khi ma trận của nó trong một cơ sở trực chuẩn là trực giao.
Hệ quả: Ma trận chuyển từ cơ sở trực chuẩn này sang cơ sở trực chuẩn khác là một
ma trận trực giao. Ngược lại, mọi ma trận trực giao đều có thể coi là ma trận chuy
ển
từ cơ sở này sang một cơ sở trực chuẩn khác.
Ví dụ:
(1) A
=

ab
cd
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

là ma trận trực giao khi và chỉ khi
ab ac
E
cd bd
⎛⎞⎛⎞
=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

22
22
ab1
ac bd 0
cd1
⎧
+
=
⎪
⇔
+=
⎨
⎪
+
=
⎩

Từ đó rút ra
ab
A
b

a
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
trong đó a
2

+
b
2


=
1

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

114
Do đó a
2

+
b
2


=
1 nên tồn tại ϕ để

acos
b
=sin .
=ϕ
⎧
⎨
ϕ
⎩

Vì vậy, A trực giao khi và chỉ khi
cos sin
A
sin cos
ϕ
ϕ
⎛⎞
=
⎜⎟
−ϕ ϕ
⎝⎠
(*)
(2) Giả sử f là phép biến đổi trực giao trong không gian véc tơ Euclid bao gồm các véc
tơ trong mặt phẳng tương ứng với ma trận (*) theo một cơ sở trực chuẩn nào đó. Khi
đó, phép quay tâm O bởi f: (O, f) trong mặt phẳng chính là phép quay tâm O với góc
quay ϕ:
x
=
x′cosϕ – y′sinϕ
y
=

x′sinϕ
+
y′sinϕ.
8.2.3. Đưa đường (mặt) bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính
Bài toán: Giả sử S là một đường (mặt) bậc hai trong không gian hình học Euclid n
chiều U tựa trên E. Giả sử trong hệ tọa độ trực chuẩn {O, e
1
, e
2
,…, e
n
)}, S có phương
trình là
[x
1
, x
2
,…, x
n
]A[x
1
, x
2
,…, x
n
]′
=
c.
Trong đó A là ma trận đối xứng thực cấp n × n và c là hằng số.
Giải bài toán trên phải nhờ đến kết quả sau

Định lý 8.5: Nếu A là ma trận thực đối xứng cấp n thì A có các tính chất sau:
(1) Phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐
=
0 có n nghiệm thực kể cả nghiệm bội.
(2) Giả sử λ
1
, λ
2
, , λ
k
là k nghiệm phân biệt của phương trình đặc trưng có số bội tương
ứng là d
1
, d
2
, , d
k
:
k
i
i1
d
=
∑
= n và nếu
12 n
E , E , , E
λ
λλ
là các không gian con tương ứng

của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclid n chiều nhận A làm ma trận của nó thì
dim
1
E
λ
= d
i
, i = 1, 2, , k, đồng thời các
12 n
E , E , , E
λ
λλ
trực giao từng đôi một.
Dựa vào Định lý 8.5, ta có thể giải bài toán nêu trên theo các bước sau:
Bước 1: Giải phương trình đặc trưng ⏐A – λE⏐
=
0, tìm ra các nghiệm khác nhau λ
1
,
λ
2
, , λ
k
tương ứng với các số bội là d
1
, d
2
, , d
k
.

Bước 2: Coi A là ma trận của toán tử tuyến tính f trong không gian Euclide E theo cơ
sở trực chuẩn e
1
, e
2
, , e
n
. Từ mỗi cơ sở của không gian con
1
E
λ
, dùng phương pháp
Gram – Smidt ta tìm cho
1
E
λ
một cơ sở trực chuẩn (i
=
1, 2, , k). Kết quả là tìm được
cho toán tử f đủ n véc tơ riêng f
1
, f
2
, , f
n
lập thành một cơ sở trực chuẩn của E.
Bước 3: Lập ma trận chuyển T từ cơ sở e
1
, e
2

, , e
n
sang cơ sở f
1
, f
2
, , f
n
và giả sử
T
=

11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
t t t
t t t

t t t
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠


Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

115

Khi đó, T là ma trận trực giao, đồng thời nếu điểm M ∈ U có tọa độ (x
1
, x
2
,…, x
n
)
trong hệ tọa độ {O, e
1
, e
2
,…, e
n
)} thì M sẽ có tọa độ là
12 n
(x , x , , x )
′
′′
= [x
1
, x
2
,…, x
n
].T
trong hệ tọa độ {O, (f
1
, f
2
,…, f

n
)}.
Bước 4: Trong hệ tọa độ O, (f
1
, f
2
,…, f
n
)} phương trình của S là
n
2
ii
i1
xc.
=
′
λ=
∑

Ví dụ: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ trực chuẩn {O, (e
1
, e
2
)}, đường cong S có
phương trình
22
1122
5x4xx8x36−+=.
Hãy tìm một tọa độ trực chuẩn gốc O để trong hệ tọa độ đó S có phương trình ở dạng
trục chính.

Giải:
1
12
2
x
52
S: [x , x ] 36.
28 x
−
⎛⎞
⎛⎞
=
⎜⎟
⎜⎟
−
⎝⎠
⎝⎠

Phương trình
52
0
28
−λ −
=
−−λ
có 2 nghiệm là λ
1

=
4 và λ

2

=
9.
•
λ
1

=
4 ⇒
12
12
t2t0
2t 4t 0
−=
⎧
⎨
−+ =
⎩

⇔ t
1
– 2t
2

=
0 có nghiệm cơ bản là (2, 1) hay nghiệm cơ bản trực chuẩn là
21
,
55

⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

•

12
2
12
4t 2t 0
9
2t t 0
−− =
⎧
λ= ⇒
⎨
−−=
⎩

⇔ 2t
1

+
t
2

=
0 và có nghiệm cơ bản trực chuẩn là
12
,

55
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ta có hệ tọa độ cần tìm là {O, (e
1′
, e
2′
) với
(e
1′
, e
2′
)
=
(e
1
, e
2
)
21
55
12
55
⎛⎞
−
⎜⎟
⎜⎟

⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⇔
112
212
21
eee
55
12
eee
55
′
′
⎧
=+
⎪
⎪
⎨
⎪
=− +
⎪
⎩

Và trong hệ tọa độ này, phương trình của S là
22
12
4x 9x 36
′′
+=

22
12
xx
1elip
94
′′
⇔+=→
Ma trận đổi biến là
21
55
T
12
55
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠


Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

116
Chú ý: Vì T là ma trận trực giao nên ta có
2
cos
5

1
sin
5
⎧
ϕ=
⎪
⎪
⎨
⎪
ϕ=
⎪
⎩

với cos
2
ϕ
+
sin
2
ϕ
=
1. Đó là một phép quay trục một góc ϕ.
Có trường hợp ta còn phải làm phép tịnh tiến.
Ví dụ: Hãy nhận dạng đường cong phẳng S
22
112212
20 80
5x 4x x 8x x x 4 0
55
−++− +=.

Giải
Xét
52
A
28
−
⎛⎞
=
⎜⎟
−
⎝⎠
, K
=

20 80
,
55
−
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

Ta có
T
=

21
55
12
55

⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠

và ta đã có các nghiệm của phương trình đặc trưng λ
1

=
4, λ
2

=
9 để làm các hệ số
cho
22
12
x,x
′′
.
* Tìm các hệ số của
12
x,x
′′
.
Ta có
21 20

40 80
8
55 5
55
T.K
1 2 80 20 160 36
55
55 5
⎛⎞⎛⎞
⎛⎞
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
−
⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
′
===
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
−−−−
⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠⎝⎠

Vì vậy, ta có phương trình của S:
22
121 2
4x 9x 8x 36x 4 0
′′′′
+−− +=
22
11 22
4(x 2x 1) 9(x 4x 4) 4 36 4
′′ ′′
⇔−++−+=+−

22
12
4(x 1) 9(x 2) 36
′′
⇔−+−=

Đặt
11
22
Xx1
Xx2
′
=−
⎧
⎨
′
=−
⎩

Ta có phương trình
22
22
12
12
XX
4X 9X 36 1
94
+=⇔+=.
Đây là elip.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

117
Ví dụ: Trong không gian với hệ tọa độ trực chuẩn {O, (e
1
, e
2
, e
3
)}, mặt cong S có
phương trình
222
1231223
2x 2x 3x 2x x 2x x 16.++− − =
Hãy tìm hệ tọa độ trực chuẩn gốc O để S có phương trình ở dạng trục chính và xác
định phép biến đổi cùng với dạng trục chính đó.
Giải:
Ta có ma trận đối xứng của S là

20 1
A021
113
−
⎛⎞
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
−−
⎝⎠

Phương trình đặc trưng của A có 3 nghiệm phân biệt
•
λ
1

=
1, λ
2

=
2, λ
3

=
4.
•
λ
1

=
1 ⇒
13
23
12 3
tt0
tt0
tt2t0
−=
⎧
⎪
−=
⎨
⎪
−− + =
⎩

và dễ dàng thấy rằng nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ là
111
,,
333
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
.
•
λ
2

=
2. Tương tự ta cũng tìm được nghiệm cơ bản trực chuẩn của hệ phương trình
tương ứng là
11
,,0
22
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
•
λ
3

=
4. Véc tơ nghiệm là
11 2
,,
66 6
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
.
Ta nhận được ma trận đổi biến là
111
326
111
T

326
12
0
36
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
=−
⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟
−
⎜⎟
⎝⎠

Hệ tọa độ cần tìm {O, (f
1
, f
2
, f
3
)} với (f
1
, f
2
, f
3
)
=

(e
1
, e
2
, e
3
)T, tức là
112 3
212
3123
111
feee
333
11
fee
22
112
feee
666
⎧
=++
⎪
⎪
⎪
=−
⎨
⎪
⎪
=+−
⎪

⎩


Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

118
Trong hệ tọa độ mới {O, (f
1
, f
2
, f
3
)}, phương trình của S là
222
123
x2x4x16
′′′
++=
2
22
3
12
x
xx
1
16 8 4
′
′′
⇔
++=

Đó là một elipsoit có các bán trục là 4,
8 và 2.
8.3. Ý nghĩa hình học của phương trình
Ta thấy rằng mỗi mặt cong trong không gian xem như quỹ tích của các điểm, có thể
biểu diễn bởi phương trình giữa các tọa độ những điểm của nó. Ngược lại, mỗi
phương trình giữa những biến số x, y, z nói chung xác định một mặt cong xem như
quỹ tích của những điểm có tọa độ x, y, z thỏa mãn phương trình đó.
Do những điều đã biết, ta th
ấy có hai bài toán cơ bản:
(1) Cho một mặt cong xem như quỹ tích của các điểm, thành lập phương trình của
mặt đó.
(2) Cho phương trình giữa các tọa độ x, y, z khảo sát dạng của mặt cong xác định bởi
phương trình này.




Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

119
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Các bạn đã được học về Dạng song tuyến tính – Dạng toàn phương và không gian Euclid.
Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
•
Khái niệm về dạng song tuyến tính và dạng toàn phương.
•
Biết cách đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng hai phương pháp: Phương pháp
Lagrange, phương pháp Jacobi và tiêu chuẩn Sylvester.
•
Khái niệm về không gian Euclid, hệ trực giao và hệ trực chuẩn.

•
Biết cách đưa đường mặt bậc hai ở dạng toàn phương về dạng trục chính.
•
Giải được các bài tập.

Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid

120
BÀI TẬP
1. Đưa dạng toàn phương
22
1122
f(x, x) 27x 10x x 3x=− + về dạng chính tắc bằng phương pháp
trực chuẩn hóa.
2. Đưa dạng toàn phương
222
123121323
f6x 3x 3x 4xx 4xx 8xx=+++ + −
về dạng chính tắc.
3. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phép biến đổi tuyến tính
17x
2

+
12xy
+
8y
2
– 46x – 28y
+

17
=
0 (1)
4. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc
f
=
2x
1
x
2
– 6x
2
x
3

+
2x
3
x
1
(1)
5. Đưa dạng toàn phương về dạng chính tắc bằng phương pháp Lagrange
222
1 12 1323
f(x, x) 2x 3x x 4x x x x=+ + ++
.
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong \
2
?

A. (2, 0), (3, 0) B. (4, 1), (–7, –8)
C. (0, 0), (1, 3) D. (3, 9), (–4, –12).
2. Xét u
=
(u
1
, u
2
, u
3
), v
=
(v
1
, v
2,
v
3
) ∈ \
3
. Hỏi biểu thức nào dưới đây có thể là tích vô hướng
trong
\
3
?
A. <u, v>
=
u
1
v

1
+
u
3
v
3
B.
=
<u, v>
=

22 22 22
11 22 33
uv uv uv++

C.
=
<u, v>
=
2u
1
v
1

+
u
2
v
2

+
4u
3
D. <u, v>
=
u
1
v
1

+
u
2
v
2

+
u
3
v
3.