Toán cao cấp 2- Bài 5: Không gian véc tơ doc

Bài 5: Không gian véc tơ

65
Bài 5 : KHÔNG GIAN VÉCTƠ

Mục tiêu Nội dung
• Nắm được khái niệm về không gian véctơ;
• Nắm được khái niệm về không gian con
và hệ sinh;
• Nắm được khái niệm về không gian hữu
hạn chiều;
• Giải được các bài toán về không gian véctơ.


Thời lượng
Bạn đọc nên để 10 giờ để nghiên cứu
LT
+
6 giờ làm bài tập.
Không gian véc tơ là một khái niệm được
xây dựng trên một tập khác rỗng và một
trường. Cấu trúc không gian véctơ là một
cấu trúc rất cơ bản của toán học và là nền
tảng cho nhiều lý thuyết khác nhau
• Cấu trúc của không gian véc tơ
• Không gian con và hệ sinh
• Không gian hữu hạn chiều


Bài 5: Không gian véc tơ

66
Bài toán mở đầu: Không gian trạng thái của nền kinh tế quốc dân
Ký hiệu K(t) là vốn, Y(t) là tổng sản phẩm, L(t) là lao động, I(t) là vốn đầu tư thêm, s(t) là tỷ
trọng tích lũy ở năm t đều là các véc tơ có nhiều thành phần. Ta có các hệ thức sau :
Hàm sản xuất Y(t)
=
F[L(t), K(t)]
K(t
+
1) – K(t)
=
I(t) – μ K(t), μ là hệ số hao mòn vốn 0 < μ < 1
I(t)
=
s(t) Y(t).
Từ các hệ thức trên suy ra :
K(t
+
1)
=
K(t)
+
s(t) F[L(t), K(t)] – μ K(t).
Coi K(t) là trạng thái, s(t) là biến điều khiển. Phương trình trên gọi là phương trình trạng thái.
Biết K(0) là trạng thái ở thời điểm ban đầu và luật tác động s(t), L(t) ta sẽ suy được K(t) tại mọi
thời điểm, tức là biết quỹ đạo của nền kinh tế trong không gian trạng thái.
5.1. Định nghĩa không gian véc tơ
5.1.1. Định nghĩa và tính chất
Định nghĩa 5.1: Xét tập V khác rỗng, trong đó mỗi phần tử ta quy ước gọi là một

véc tơ và trường số thực \. Tập V được gọi là một không gian véc tơ trên trường số
thực \, nếu tập V được trang bị hai phép toán: phép cộng hai véc tơ và phép nhân
véc tơ với một số thực sao cho các điều kiện sau đây được thỏa mãn:
• (V,
+
) là một nhóm Abel
• α(x
+
y)
=
αx
+
αy, ∀α ∈ \, x, y ∈ V
• (α
+
β)x
=
αx
+
βx, ∀α ∈ \, x ∈ V
• α(βx)
=
(αβ)x, ∀α, β ∈ \, x ∈ V
• 1x
=
x, ∀x ∈ V
Phần tử trung hòa của nhóm Abel (A,
+
) gọi là véc tơ không, ký hiệu là θ. Phần tử đối
của phần tử

x trong nhóm Abel (V,
+
) gọi là véc tơ đối của véc tơ x, ký hiệu là –x.
Ta có :
x
+
θ
=
x
x
+
(–x)
=
θ, ∀x ∈ V
Các tính chất :
• θx
=
θ, ∀x ∈ V
• αθ
=
θ, ∀α ∈ V
• αx
=
θ ⇔ (α
=
0) ∨ (x
=
0)
• α(–x)
=

–(αx), ∀α ∈ \, x ∈ V
5.1.2. Ví dụ
Xét \
n
là tập mà mỗi phần tử là một bộ n số thực có thứ tự x
=
(x
1
, x
2
, , x
n
) còn gọi là
một véc tơ n thành phần. Xét
x
=
(x
1
, x
2
, , x
n
) và y
=
(y
1
, y
2
,…, y
n

)

Bài 5: Không gian véc tơ

67
Phép cộng véc tơ và phép nhân với một số thực được định nghĩa như sau:
x
+
y
=
(x
1

+
y
1
, x
2

+
y
2
,…, x
n

+
y
n
) (5.1)
αx

=
(αx
1
, αx
2
,…, αx
n
), ∀α ∈ \. (5.2)
Ngoài ra, x
=
y ⇔ x
i

=
y
i
∀i.
\
n
là một không gian véc tơ.
Chú ý:
– Mỗi cặp số (a
1
; a
2
) ∈ \
2
có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn nó bằng một điểm
M trong mặt phẳng tọa độ, trong đó a
1

là hoành độ, còn a
2
là tung độ. Mặt khác, cũng
có thể biểu diễn nó như là một véc tơ mà a
1

là thành phần thứ nhất và a
2
là thành phần
thứ hai. Ta viết
12
a(a ; a )
G
.

– Mỗi bộ ba số (a
1
; a
2
; a
3
) ∈ \
3
có thể biểu diễn bằng một điểm M(a
1
; a
2
; a
3
) với a

1
là
hoành độ, a
2
là tung độ và a
3
là cao độ. Ta cũng có thể biểu diễn như một véc tơ a
G
với
ba thành phần

– Mỗi bộ n số (a
1
; a
2
; ; a
n
) ∈ \
n
có thể xem là điểm M có n tọa độ, hay véc tơ
a
G
có n
thành phần.
O
x
2

x
1

a
2

a
1
M
Hình 5.1
G
a
x
2
x
1
a
2
a
1

(a
1
, a
2
)

Hình 5.2
O
a
3
a
2

a
1

x
3

x
1

x
2
O
M
Hình 5.3
Hình 5.4
G
a

x
3
x
1
x
2
O
(a
1
; a
2
; a

3
)

Bài 5: Không gian véc tơ

68
5.2. Không gian con và hệ sinh
5.2.1. Không gian con
Định nghĩa 5.2: Bộ phận W khác rỗng của không gian véc tơ V gọi là một không gian
con của V nếu các điều kiện sau đây được thỏa mãn :
a. x, y ∈ W ⇒ x
+
y ∈ W
b. α ∈ \, x ∈ W ⇒ αx ∈ W.
Vì W khác rỗng nên tồn tại x
∈
W. Theo điều kiện b) ta có θ
=
0x ∈ W, do đó mỗi
không gian con đều chứa véc tơ θ.
Nếu x∈W thì theo điều kiện b) ta có –x
=
(–1)x
∈
W.
Vậy mỗi không gian con của không gian véc tơ V cũng là một không gian véc tơ.
Định lý 5.1: Để bộ phận khác rỗng W của không gian véc tơ V là một không gian con
của V thì điều kiện cần và đủ là điều kiện sau được thỏa mãn.:
Với mọi x, y ∈ W ⇒ αx
+

βy ∈ W, đối với mọi α, β ∈ \.
Chứng minh
* Điều kiện cần: Giả sử x, y ∈ W, theo điều kiện b) của định nghĩa không gian con ta
có αx, βy ∈ W và theo điều kiện a) ta có αx
+
βy ∈ W.
* Điều kiện đủ: Nếu lấy α
=
β
=
1 ta có điều kiện a) được thỏa mãn. Nếu lấy β
=
0
ta có điều kiện b) được thỏa mãn. Vậy W là một không gian con.
Ví dụ: Mỗi phần tử của \
2
là một cặp số x
=
(x
1
, x
2
) biểu diễn bằng một điểm trong
mặt phẳng tọa độ O x
1
x
2
.

Xét tập

W
=
{(x
1
; x
2
) ∈ \
2
| ax
1

+
bx
2

=
0}.
W là tập điểm thuộc đường thẳng đi qua gốc tọa độ có phương trình
ax
1

+
bx
2

=
0
a và b không đồng thời bằng 0.

Giả sử x
=
(x
1
; x
2
), y
=
(y
1
; y
2
) ∈ W và α ∈ \. Ta có
12
11 2 2
12
ax bx 0
a(x y ) b(x y ) 0
ay by 0
+=
⎧
⇒+++=
⎨
+=
⎩

,
x
1
x
1
x
x
2

x
2

Hình 5.5
O


Bài 5: Không gian véc tơ

69
nghĩa là x
+
y ∈ W.

a(αx
1
) + b(αx
2
) = 0, nghĩa là αx ∈ W.

Do đó, W là không gian con của \

2
.
5.2.2. Không gian con sinh bởi một họ véc tơ
Định nghĩa 5.3: V là một không gian véc tơ, S là một họ véc tơ của V
S
=
{x
1
; x
2
; ; x
n
}.
Biểu thức c
1
x
1

+
c
2
x
2

+
…
+
c
n
x

n
là một véc tơ thuộc V và được gọi là một tổ hợp
tuyến tính của các véc tơ của họ S, c
i
∈ \, i
=
1, n .
Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của họ S được gọi là bao tuyến tính của họ S,
ký hiệu là span(S).
Định lý 5.2: W
=
span(S) là một không gian con của V.
Chứng minh:
Vì x
1

=
1.x
1
nên x
1
∈ W. Do đó, W ≠ ∅. Giả sử
x
=
c
1
x
1

+

c
2
x
2

+

+
c
n
x
n
∈ W
y
=
d
1
x
1

+
d
2
x
2

+

+
d

n
x
n
∈ W, d
i
∈ \ (i
=
1, n ).
Khi đó:
x
+
y
=
(c
1

+
d
1
)x
1

+
(c
2

+
d
2
)x

2

+

+
(c
n

+
d
n
)x
n
∈ W
αx
=
(αc
1
)x
1

+

+
(αc
n
)x
n
∈ W.
Vậy W đóng kín đối với hai phép tính trong V. Vậy W là không gian con của V.

Ta gọi span(S) là không gian con sinh bởi hệ S, còn S được gọi là hệ sinh của không
gian con đó.
Ví dụ: Trong \
2
, xét các véc tơ e
1

=
(1; 0) và e
2

=
(0; 1), mọi x ∈ \
2
có dạng
x
=
(x
1
; x
2
) nên viết được như sau
x
=
(x
1
; x
2
)
=

x
1
(1; 0)
+
x
2
(0; 1)
=
x
1
e
1

+
x
2
e
2

nghĩa là
\
0
là một tổ hợp tuyến tính của e
1
và e
2
.
Vậy họ S
=
{e

1
; e
2
} là một hệ sinh của \
2
.
5.2.3. Họ véc tơ độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính
Định nghĩa 5.4: Cho V là một không gian véc tơ, S
=
{x
1
; x
2
; ; x
n
}.

Xét điều kiện
c
1
x
1

+
c
2
x
2

+

+
c
n
x
n

=
θ (5.3)
trong đó c
j
∈ \, ∀j
=
1, n .

Nếu điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c
1

=
0, c
2

=
0, , c
n

=
0 thì ta nói họ S độc lập tuyến
tính (không biểu diễn qua nhau được).

Bài 5: Không gian véc tơ

70
Nếu tồn tại các số thực c
1
, c
2
, , c
n
không đồng thời bằng 0 để (5.3) thỏa mãn thì ta nói
họ S phụ thuộc tuyến tính.
Ví dụ: Xét họ S
=
{e
1
; e
2
}, e
1

=
(1; 0), e
2

=
(0; 1) trong \
2
.

Bài 5: Không gian véc tơ

71
Điều kiện (5.3) viết
c
1
(1; 0)
+
c
2
(0; 1)
=
(0; 0) ⇔ (c
1
; c
2
)
=
(0; 0).
Vậy điều kiện (5.3) chỉ xảy ra khi c
1

=
0, c
2

=
0. Do đó, e
1
, e
2

là độc lập tuyến tính
trong
\
2
.
5.3. Không gian hữu hạn chiều
5.3.1. Khái niệm về không gian hữu hạn chiều và cơ sở của nó
5.3.1.1. Định nghĩa 5.5
Không gian véc tơ V được gọi là không gian n chiều (n ∈ `*) nếu trong V tồn tại n
véc tơ độc lập tuyến tính (đltt) và không tồn tại quá n véc tơ độc lập tuyến tính. Khi
đó, ta nói số chiều của không gian V là n và ký hiệu là dim(V).
5.3.1.2. Cơ sở của không gian n chiều
• Định nghĩa 5.6
Trong không gian n chiều V, một họ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính gọi là một cơ sở
của V.
• Các tính chất
Định lý 5.3: Giả sử V là một không gian véc tơ, S
=
{v
1
, v
2
, , v
n
} là một họ gồm n
véc tơ của V.
(1) Nếu V là không gian n chiều và S là một cơ sở thì x
∈ V có biểu diễn duy nhất
x
=

c
1
v
1

+

+
c
n
v
n
.

(5.4)
(2) Nếu mọi x
∈ V

có biểu diễn duy nhất (5.4) thì S là cơ sở của V.
Chứng minh: Ta sẽ chứng minh phần (1).
Giả sử V là không gian n chiều và S là một cơ sở của V. Lúc đó, họ S là độc lập tuyến
tính và mọi họ gồm n
+
1 véc tơ của V là phụ thuộc tuyến tính. Xét x bất kỳ của V, họ
{x; v
1
; v
2
; ; v
n

} gồm n
+
1 véc tơ nên phụ thuộc tuyến tính. Do đó, tồn tại các số c
i

không đồng thời bằng 0 để
c
0
x
+
c
1
v
1

+

+
c
n
v
n

=
θ.
Số c
0
phải khác 0, vì nếu c
0

=
0 thì tồn tại các số c
i
không đồng thời bằng 0 để
c
1
v
1

+
c
2
v
2

+

+
c
n
v
n

=
θ.
Trái với giả thiết S là độc lập tuyến tính.
Do đó
1n
1n
00

cc
x v v
cc
⎛⎞ ⎛⎞
=− ++−
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠
.
Vậy mọi x
∈ V đều có biểu diễn (5.4).
Bây giờ, ta chứng minh biểu diễn đó là duy nhất. Giả sử có một biểu diễn khác
11 n n
x c v c v .
′′
=++ (5.5)
Trừ từng vế (5.4) cho (5.5), ta có
111 nnn
(c c )v (c c )v
′′
−++−=θ.

Bài 5: Không gian véc tơ

72
Vì họ S độc lập tuyến tính nên đẳng thức này chỉ xảy ra khi
11 n n
c c 0, , c c 0,
′′
−= −=
tức là

11 n n
c c , , c c .
′
′
==
Vậy biểu thức (5.4) là duy nhất.
Ví dụ: Trong không gian \
n
, các véc tơ
e
1

=
(1, 0,…, 0)
e
2

=
(0, 1,…, 0)
……………….
e
n

=
(0, 0,…, 1)
là độc lập tuyến tính và chúng tạo thành một cơ sở của
\
n
.
Mọi véc tơ x

=
(x
1
; x
2
;…; x
n
) ∈ \
n
đều có biểu diễn duy nhất
x
=
x
1
e
1

+
x
2
e
2

+
…
+
x
n
e
n

.
Ví dụ: Cho V là không gian véc tơ n chiều
S
=
{v
1
; v
2
;…; v
n
} ∈ V.
Hãy tìm điều kiện để S độc lập tuyến tính, tức là điều kiện để S là một cơ sở của V.
Giả sử
12
11 12
1n
21 22
2n
12 n
nn
nn
aa
a
aa
a
v ; v ; ; v
aa
a
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞

⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
== =
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠
##
#

Khi đó, các véc tơ này có thể viết thành các cột của ma trận A.
11 12 1n
21 22 2n
n1 n2 nn
a a a
a a a
A
a a a
⎛⎞
⎜⎟
⎜⎟
=
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠

## ##

Định lý 5.4: Các véc tơ v
1
, v
2
,…, v
n
là độc lập tuyến tính khi và chỉ khi n véc tơ cột
của A là độc lập tuyến tính, hoặc hạng của A bằng n, tức là det A ≠ 0.
Ví dụ: Xét ba véc tơ thuộc \
2
.
v
1

=
(1; 2; 1); v
2

=
(2 ; 1; 4); v
3

=
(3 ; 2 ; 1).
Ta lập ma trận A:
123
A212
141

⎡⎤
⎢⎥
=
⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦

Ta có det A
=
15 ≠ 0.

Vậy họ {v
1
, v
2
, v
3
} là độc lập tuyến tính.
Định lý 5.5: Cho V là một không gian n chiều, nếu S
=
{v
1
, v
2
,…, v
r
} ∈ V là một họ
độc lập tuyến tính thì r ≤ n, trường hợp r < n có thể tìm được n – r véc tơ v
r
+

1
,…, v
n

sao cho họ {v
1
, v
2
,…, v
n
} là một cơ sở của V.

Bài 5: Không gian véc tơ

73
Trở lại hệ phương trình đại số với định lý Croneker Capelli : Giả sử A
j
là các véc tơ
cột của ma trận A. Hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi tồn tại
0
j
x,j 1,n= sao
cho
n
0
jj
j1
xA h,
=
=

∑
hoặc h là tổ hợp tuyến tính của A
1
, A
2
,…, A
n
. Vì vậy, nó tương
đương với r(A)
=
r(A, h)
=
r.
5.3.2. Hạng của họ véc tơ
Định nghĩa 5.7: Cho S
=
{u
1
, u
2
, , u
n
} là một họ gồm n véc tơ thuộc không gian
véc tơ V.
Hạng của họ S ký hiệu là rank S
=
r là số tối đa các véc tơ độc lập tuyến tính mà ta có
thể chọn từ họ đó. Dĩ nhiên r ≤ n.
Định lý 5.6: Nếu S
=

{u
1
, u
2
, , u
p
} có hạng r và W là không gian con sinh bởi S của
không gian véc tơ V thì dimW
=
r.
Chứng minh:
Giả sử M
=

12 k
ii i
{u , u , , u } là hệ con lớn nhất gồm các véc tơ độc lập tuyến tính của
S. Ta chỉ cần chứng minh M sinh ra W.
Thật vậy, mỗi véc tơ của hệ S đều là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ của hệ M,
thành thử mỗi véc tơ của không gian con W, vốn là tổ hợp tuyến tính của các véc tơ
thuộc S (do S sinh ra W) cũng là tổ hợp tuyến tính của véc tơ thuộc M. Hệ M là hệ
độc lập tuy
ến tính và sinh ra W. Vậy là một cơ sở của W, suy ra k
=
r. Bởi vậy, theo
Định lý 5.3, ta có dimW
=
r.
Ta có, phương pháp thực hành để tính hạng của hệ véc tơ bằng biến đổi sơ cấp.
Ví dụ: Trong \

3
, xét họ S
=
{u
1
, u
2
, u
3
, u
4
} ⊂ \
3
.

u
1

=
(1, 3, 0); u
2

=
(0, 2, 4); u
3

=
(1, 5, 4); u
4

=
(1, 1, –4).
Ta lập ma trận A có 4 hàng là 4 véc tơ trên rồi thực hiện biến đổi.
31 31
41 42
LL LL
LL LL
130 130 130
024 024 024
A
154 024 000
11 4 0 2 4 000
−−
−+
⎡⎤ ⎡ ⎤ ⎡⎤
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
= ⎯⎯⎯→ ⎯⎯⎯→
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
⎢⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎥
−−−
⎣⎦ ⎣ ⎦ ⎣⎦

Vậy r(S)
=
2.
5.3.3. Biến đổi tọa độ khi cơ sở thay đổi
Cho B
=
{v

1
; v
2
; ; v
n
} và B′
=
{f
1
; f
2
; ; f
n
} là hai cơ sở khác nhau của không gian
véc tơ V. Với x ∈ V, ta có
n
jj
j1
xcv
=
=
∑
(1)
nghĩa là tọa độ của x theo cơ sở B là x
B

=
(c
1
, c

2
, , c
n
).
Ta cũng có
n
ii
i1
xdf
=
=
∑
(2)
nghĩa là tọa độ của x theo cơ sở B′

là x
B′

=
(d
1
; d
2
; ; d
n
).

Bài 5: Không gian véc tơ

74

Mặt khác
n
ijij
j1
fPv,i1,n.
=
==
∑
(3)
Biểu diễn x
B
qua x
B′
. Với (2) sử dụng (3), ta có
nnn
ii i ji j
i1 i1 j1
xdf dPv
===
==
∑∑∑
nn
ji i j
j1i1
Pd v.
==
⎡
⎤
=
⎢

⎥
⎣
⎦
∑∑
(4)
Từ (1) và (4), ta suy ra
n
jjii
i1
cPd,j1,n
=
==
∑

111121n1
221222n2
jj1j2jnj
nn1n2nnn
c P P P d
c P P P d
c P P P d
c P P P d
⎛⎞⎛ ⎞⎛⎞
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
=
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟

⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎜⎟⎜ ⎟⎜⎟
⎝⎠⎝ ⎠⎝⎠
### ##
#####

TT
BB
xPx.
′
= (5)
Trong đó P được gọi là ma trận chuyển từ cơ sở {e
1
; e
2
; ; e
n
} sang cơ sở {f
1
; f
2
; ; f
n
}.
Từ (5) ta có
T1T
BB
xPx.
−
′

=
(6)
Ví dụ: Cho các cơ sở trong \
2
.
B
=
{e
1
; e
2
}, B’
=
{f
1
; f
2
}.
Các véc tơ viết ở dạng cột
1212
1012
e,e,f,f
0111
⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞ ⎛⎞
====
⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠ ⎝⎠

Cho x
=

7
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠

a. Hãy tìm tọa độ của x qua cơ sở B: x
B
.
b. Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B
′.
c. Tìm tọa độ của x qua cơ sở B
′: x
B′
.
Giải:
a. Ta có ngay x
B

=

7
2
⎛⎞
⎜⎟
⎝⎠
;
b.
11 2

212
fee
12
P
f2ee 11
=+
⎫
⎛⎞
⇒=
⎬
⎜⎟
=+
⎝⎠
⎭

c.
T1T
BB
xPx
−
′
= ;
1
12
P
11
−
−
⎛⎞
=

⎜⎟
−
⎝⎠
;
T
B
127 3
x
112 5
′
−
−
⎛⎞⎛⎞⎛⎞
==
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
−
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
nghĩa là x = –3f
1
+ 5f
2
.

Bài 5: Không gian véc tơ

75
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Các bạn đã được học về Không gian véc tơ.
Các bạn cần ghi nhớ các vấn đề sau:
• Nắm được khái niệm về không gian véc tơ;

• Nắm được khái niệm về không gian con và hệ sinh;
• Nắm được khái niệm về không gian hữu hạn chiều;
• Giải được các bài toán về không gian véc tơ.
Bài tiếp theo các bạn sẽ được học về Ánh xạ tuyến tính và Ma trận.

Bài 5: Không gian véc tơ

76
BÀI TẬP
1. a. Tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc nhỏ hơn hoặc bằng n có lập thành một không gian
véc tơ trên trường
\ với phép cộng đa thức thông thường và phép nhân đa thức với một số
thực không? Nếu có hãy tìm một cơ sở của nó.
b. Cũng với câu hỏi như trên, nếu xét tập hợp các đa thức hệ số thực có bậc bằng n ?
2. Ký hiệu
2
ab
M,a,b,c,d
cd
⎧⎫
⎛⎞
=∈
⎨⎬
⎜⎟
⎝⎠
⎩⎭
\
.
Chứng minh rằng M
2

là không gian véc tơ trên \ với phép cộng ma trận thông thường và
phép nhân ma trận với một số thực thông thường.
Chứng minh rằng
12
10 01
e,e,
00 00
⎛⎞ ⎛⎞
==
⎜⎟ ⎜⎟
⎝⎠ ⎝⎠

3
00
e
10
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
,
4
00
e
01
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
lập nên một cơ sở

của M
2
và tìm tọa độ của véc tơ
21
X
13
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
theo cơ sở đó.
3. Xét véc tơ x
=
(1; 2) và y
=
(1; 1) của \
2
.
a. Hỏi rằng họ {x ; y} có sinh ra
\
2
không?
b. Họ (x; y) có độc lập tuyến tính không?
4. Cho \
3
. Chứng minh rằng các véc tơ v
1
(2; 1; 1), v
2
(1; 3; 1), v

3
(–2; 1; 3) lập thành một cơ sở.
Hãy tìm tọa độ của véc tơ x(–2; –4; 2) theo cơ sở đó.
5. Chứng minh rằng các véc tơ a
=
(1; 0; 1); b(–1; –1; 0) và c
=
(–1; 1; 1) tạo thành một cơ sở
của
\
3
.
Biểu diễn các tọa độ của véc tơ v
=
(2; 2; 3) trong cơ sở này.
6. a. Trong không gian véc tơ V
4
(Q ), ta xét hai véc tơ
1
ξ

=
(3; –2; 0; 0) và
2
ξ
=
(0; 1; 0; 1).
Chứng minh rằng các véc tơ này là độc lập tuyến tính.
b. Xác định (nếu có thể được) một cơ sở chứa các véc tơ
12

và
ξ
ξ .
7. Một không gian véc tơ sinh bởi các véc tơ sau đây của \
5

v
1
= (2; 0; 1; 3; –1); v
2
= (0; –2; 1; 5; –3)
v
3
= (1; 1; 0; –1; 1); v
4
= (1; –3; 2; 9; –5).
Hãy tìm cơ sở và số chiều của không gian này.
8. Trong \
4
, cho các véc tơ v
1

=
(1; 0; 1; –2) ; v
2

=
(1; 1; 3; –2) ; v
3

=
(2; 1; 5; –1). Tìm số chiều
và một cơ sở của không gian con của
\
4
sinh bởi {v
1
; v
2
; v
3
}.
9. Chứng minh rằng tập
W
=
{(
α – β; 2α; α
+
2β; –β)⎜α; β ∈ \}
là một không gian con của
\
4
mà ta phải xác định số chiều và một cơ sở của nó.

Bài 5: Không gian véc tơ

77
10. Cho E
1
là không gian véc tơ con của \

3
, sinh bởi các véc tơ u
=
(2; 1; 0), v(–1; 0; 1),
w
=
(4; 1; –2).
1. Xác định một cơ sở và số chiều của E
1
. Viết dạng tổng quát một véc tơ của E
1
.
2. Cho E
2
= {(0, α
+
β, –β) ⎜α và β ∈ \}.
a. Chứng minh rằng E
2
là không gian véc tơ con của \
3
mà ta phải xác định số chiều và một
cơ sở của nó.
b. Hãy cho một cơ sở và số chiều của các không gian con E
1
∩ E
2
và E
1

+
E
2
.
c. Tổng của E
1

+
E
2
có phải là trực tiếp không?
CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1. Họ nào dưới đây là cơ sở trong \
3
.

A. (1; 0; 0) , (2; 2; 0), (3; 3; 3) B. (3; 1; –4) , (2; 5; 6), (1; 4; 8)
C. (2; –3; 1) , (4; 1; 1) , (0; –7; 1) D. (1; 6; 4) , (2; 4; –1) , (–1; 2; 5)
2. Xét xem các tập con sau đây của không gian véc tơ \
4
, tập nào là không gian con.
A. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x

4
) ∈ \
4
⎜ x
1

+
x
2

+
x
3

+
x
4

=
1}
B. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x
4

) ∈ \
4
⎜ x
1

+
x
2

+
x
3

+
x
4

=
0}
C. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x
4
) ∈ \

4
⎜ x
1

+
x
2

=
x
3

+
x
4

=
1}
D. {x
=
(x
1
; x
2
; x
3
; x
4
) ∈ \
4

⎜ x
i
∈ Q, i
=
1, 2}
3. Giả sử {f
1
; f
2
; ; f
n
} là một hệ véc tơ độc lập tuyến tính trong không gian véc tơ V trên
trường số
\. Xét hệ véc tơ u
i

=
f
i

+
f
i
+
1
, i
=
1, , n – 1; u
n

=
f
n

+
f
i
. Khi đó, hệ {u
1
; ; u
n
} độc
lập tuyến tính nếu
A. n lẻ B. n chẵn
C. n chẵn lớn hơn 0 D. n chẵn nhỏ hơn 0.