Toán cao cấp 1-Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục potx

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

1


Nội dung
Trên cơ sở các kiến thức của chương trình phổ thông, mục đích của bài này là ôn tập, hệ thống
hóa và nâng cao các kiến thức về hàm số một biến số: Giới hạn, tính liên tục của
hàm số.


Hướng dẫn học
• Đây là bài học nhằm ôn tập và hệ thống hóa lại các kiến thức toán học đã học trong chương
trình phổ thông nên bạn cần đọc kỹ lại các lý thuyết về hàm số, giới hạn.
• Sau khi đọc kỹ lý thuyết bạn cần làm bài tập càng nhiều càng tốt để củng cố và nâng cao
kiến thức.

BÀI 1: HÀM SỐ, GIỚI HẠN VÀ LIÊN TỤC

Thời lượng Mục tiêu
Bạn nên học và làm bài tập của bài này
trong hai tuần, mỗi tuần khoảng 3 đến 4
giờ đồng hồ.

• Hiểu được khái niệm hàm số, giới hạn, sự
liên tục
• Giải được các bài tập về hàm số, giới hạn,
tính liên tục
• Áp dụng phần mềm toán để tính toán với
hàm số, giới hạn

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

2
1.1. Hàm số một biến số
1.1.1. Định nghĩa hàm số một biến số
Cho X là tập hợp khác rỗng của R . Ta gọi ánh xạ

()
f:X
xyfx
→
=6
R

là hàm số một biến số trên tập hợp X , trong đó
x là biến số độc lập, y là đại lượng
phụ thuộc hay hàm số
của
x
.
Tập hợp X gọi là miền xác định của hàm số f.
Tập hợp
f(X) {y ,y f(x):x X}
=
∈= ∈\ gọi là miền giá trị của f
Nếu hàm số một biến số cho trong dạng biểu thức:
yf(x)
=
mà không nói gì thêm thì

ta hiểu miền xác định của hàm số là tập hợp những giá trị thực của biến số
x làm cho
biểu thức có nghĩa.
Ví dụ 1:
Biểu thức
2
y1x=− xác định khi :
2
1x 0 x 1 1x1.
−
≥⇔ ≤⇔−≤≤

Do đó miền xác định của hàm số
2
y1x
=
− là
[
]
1,1− .
Dễ dàng thấy rằng miền giá trị của hàm y là [0,1].
Miền xác định của một hàm số có thể gồm nhiều tập con rời nhau, trên mỗi tập con đó
lại có một quy tắc riêng để xác định giá trị của hàm số. Hàm số có thể được xác định
bởi nhiều công thức khác nhau tùy thuộc vào giá trị của biến.
Ví dụ 2:

2
x 1 khi x 0
f(x)
1 2x khi x 0

⎧
+
≥
=
⎨
−
<
⎩

Hàm
f(x)
là một hàm số xác định trên
R
. Nếu
x
không âm thì giá trị của hàm số
được tính theo công thức:
2
f(x) x 1
=
+ . Nếu
x
âm, giá trị của hàm số được tính bởi:

f(x) 1 2x.
=
−

1.1.2. Đồ thị của hàm số
Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định là

X ⊂ R
. Ứng với mỗi giá trị
0
xX∈ ta có
giá trị
00
yf(x)= của hàm số. Trong hệ trục tọa độ Đề-các vuông góc, xét điểm
000
M(x,y)= . Khi
0
x thay đổi và “quét” hết tập xác định X thì
0
M cũng thay đổi
theo và vạch nên một đường cong trong mặt phẳng tọa độ
Oxy
. Đường cong này được
gọi là đồ thị của hàm số y = f(x).
Như vậy, đồ thị của hàm số y = f(x) là tập hợp những điểm trong mặt phẳng có tọa
độ
()
Mx;y, ở đó y = f(x), x thuộc miền xác định X.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

3

Ví dụ 3:
Đồ thị của hàm số
2
x khi x 0

y x khi 0 x 1
3
khi x 1
2
⎧
⎪
≤
⎪
=<≤
⎨
⎪
⎪
>
⎩
được biểu diễn như sau:


Hình 1.1
Việc vẽ phác họa đồ thị của hàm số f với miền xác định là một khoảng số thực
thường được xác định theo trình tự như sau:
Lấy các số
12 n
x , x , ,x từ miền xác định
của hàm số (càng nhiều điểm và các điểm
càng gần nhau càng tốt).
•
Tính các giá trị tương ứng của hàm số
11n n
y f (x ), , y f (x )==
•

Xác định các điểm
•

111 n nn
M (x , y ), ,M (x , y )==
•
Nối các điểm đã xác định nói trên ta có
hình ảnh phác họa của đồ thị hàm số.
Cách vẽ như trên không hoàn toàn chính xác
mà chỉ cho hình dáng của đồ thị hàm số.
Đồ thị của hàm số được dùng để minh họa
các đặc trưng cơ bản, sự phụ thuộc của giá
trị của hàm số và biến số. Nhìn vào đồ thị có thể dễ dàng quan sát xu hướng thay đổi
của giá trị hàm số khi bi
ến độc lập thay đổi.
1.1.3. Hàm số đơn điệu. Hàm số chẵn, lẻ, tuần hoàn
1.1.3.1. Hàm số đơn điệu
Hàm số f(x) xác định trong khoảng (a,b)
•
Được gọi là đơn điệu tăng trong khoảng (a,b)

nếu với mọi
12 1 2
x,x (a,b),x x∈<
kéo theo:
12
f(x ) f(x )≤ .
CHÚ Ý:
Đồ thị của hàm số có thể là tập hợp các điểm rời rạc, cũng có thể gồm một số cung liền

Hình 1.2

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

4
(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức, tức là:
12 1 2 1 2
x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ <

thì ta nói hàm f tăng ngặt (hay đồng biến) trên (a,b) ).
•
Được gọi là đơn điệu giảm trong khoảng (a,b) nếu với mọi
12 1 2
x,x (a,b),x x∈<
kéo theo:
12
f(x ) f(x )≥ .
(Nếu điều kiện trên vẫn đúng khi bỏ dấu đẳng thức:
12 1 2 1 2
x ,x (a,b),x x f(x ) f(x )∀∈ <⇒ >

thì ta nói hàm
f giảm ngặt (hay nghịch biến) trên (a,b)).
Hàm số
f được gọi là đơn điệu trên (a,b) nếu nó chỉ đơn điệu tăng hoặc chỉ đơn
điệu giảm trong khoảng này.
Đồ thị của hàm số tăng là một đường “đi lên”, ngược lại đồ thị hàm số giảm là
đường “đi xuống” nếu nhìn từ trái sang phải.

Hình 1.3
1.1.3.2. Hàm số chẵn, hàm số lẻ
Hàm số f xác định trên một tập hợp D đối xứng
(
)
xD xD∈⇔−∈ , chẳng hạn khoảng
(l,l)−
, đoạn
[
]
a,a− , tập
(b,a) (a,b)(0 a b)−−∪ <<
,…
•
Được gọi là hàm chẵn nếu:
f(x) f( x)
=
−
với mọi
xD
∈
.
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì yvẫn không thay đổi.
•
Được gọi là hàm lẻ nếu: f(x) f( x)
=
−− với mọi x D
∈
.
Nói một cách đơn giản khi x đổi dấu thì ycũng đổi dấu.

Ví dụ 4:
Các hàm số
2
f(x) x , g(x) cosx== là các hàm chẵn trên R vì:

22
f( x) ( x) x f(x)
x
g( x) cos( x) cosx g(x)
⎫
−=− = =
∀
∈
⎬
−= −= =
⎭
R


Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

5
còn hàm số
3
h(x) x ,k(x) sin x== là các hàm lẻ trên R vì:
33
h( x) ( x) ( x) h(x)
x
k( x) sin( x) sinx k(x)
⎫

−=− =− =−
∀
∈
⎬
−= −=− =−
⎭
R

Đồ thị của hàm chẵn nhận trục
Oy làm trục đối xứng, còn đồ thị hàm lẻ nhận gốc tọa
độ
O làm tâm đối xứng (hình 1.4)
Hàm chẵn:


Hàm lẻ:

1.1.3.3. Hàm số tuần hoàn
Định nghĩa:
Hàm số fđược gọi là tuần hoàn trên miền xác định D (thông thường xét D ≡ R ) nếu
tồn tại số thực p 0
≠ sao cho:
x D thì x p D và f(x p) f (x).∀∈ ± ∈ + =

Số p gọi là chu kỳ của hàm f .

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

6
Nếu trong các số p nói trên, tồn tại một số dương nhỏ nhất – ký hiệu bởi T – thì T

được gọi là chu kỳ cơ bản của f .
Ví dụ 5:
Các hàm sin x,cos x đều tuần hoàn với chu kỳ 2
π
vì:
sin(x 2 ) sin x,cos(x 2 ) cosx x
+
π= +π= ∀∈R

Các hàm tgx,cotgx đều tuần hoàn với chu kỳ
π
vì:
()
tg x tgx, x k ;cotg(x ) cotg, x k
2
π
+
π= ∀ ≠ +π +π= ∀≠π

Hơn nữa các chu kỳ nói trên đều là các chu kỳ cơ bản. Thật vậy, chẳng hạn xem xét
hàm
ysinx=
, giả sử tồn tại số dương T2
<
π để:
(
)
sin x T sinx x .
+
=∀∈\

Khi đó với
x0
=
ta phải có:
sin T sin 0 0 T k (k )
=
=⇒ =π ∈Z

mà
T2<π nên T =π.
Khi đó với
x
2
π
=
thì sin sin
22
ππ
⎛⎞⎛⎞
+π =
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
, hay 1 1
=
− .
Về mặt hình học, đồ thị của hàm tuần hoàn là một họ đường lặp đi lặp lại trong từng
khoảng có độ dài bằng chu kỳ. Do đó để vẽ đồ thị của hàm tuần hoàn, ta chỉ cần vẽ đồ
thị trong một chu kỳ cơ bản T , sau đó thực hiện liên tiếp các phép tịnh tiến theo các
vectơ song song với trục hoành và có độ dài bằng T.

Hình 1.5: Đồ thị hàm số y = tgx
1.1.4. Hàm số hợp
Giả sử ta có hai hàm số
yf(u)= biểu diễn sự phụ thuộc của y theo
u
u(x)=ϕ
biểu diễn sự phục thuộc của u theo
x
.
Thêm vào đó, khi
x

thay đổi trong miền
X , các giá trị của hàm số u(x)=ϕ luôn
thuộc vào miền xác định của hàm
yf(u)
=
. Khi đó mỗi giá trị của biến x được cho
tương ứng với duy nhất một giá trị của biến
y theo quy tắc:

f
xuy
ϕ
⎯
⎯→⎯⎯→ , hay y f ( (x))
=
ϕ .

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

7
Hàm số g

biến x thành y theo quy tắc trên gọi là (hàm số) hợp của hai hàm f và
ϕ
.
Ký hiệu: g f ( (x))=ϕ . (Nhớ rằng trong cách ký hiệu trên, hàm nào đứng sau lại có tác
động trước đến biến
x
).
Ví dụ 6:
Hàm số
5
ysinx= là hàm hợp của hai hàm
5
yu
=
và usinx
=
.
Cách nói sau cũng được chấp nhận:
“Hàm số
5
g(x) sin x= là hàm hợp của hai hàm
5
f(x) x
=
và (x) sin x

ϕ
= ”.
1.1.5. Hàm số ngược
Xét hàm số yf(x)
=
có miền xác định X , miền giá trị Yf(X)
=
. Nếu với mỗi
0
yY
∈

tồn tại duy nhất
0
xX∈ để
00
f(x ) y
=
(hay phương trình
0
f(x) y= có nghiệm duy
nhất trong X ) thì quy tắc biến mỗi số yY
∈
thành nghiệm duy nhất của phương trình
f(x) y= là một hàm số đi từ Y đến X gọi là hàm ngược của hàm f , ký hiệu
1
f
−

1

f(y) x f(x) y.
−
=
⇔=

Khi đó, dễ dàng thấy rằng
f
là hàm ngược của
1
f
−
.
Ví dụ 7:
• Hàm số
3
yx
=
( →RR) có hàm ngược là hàm số
3
xy= ( →RR) vì:
3
3
yx x y=⇔=

•
Hàm số
x
ya=
()
a0,a1>≠(

*
+
→RR
) có hàm ngược là hàm số
a
xlogy=
(
+
*
→RR) vì:
x
a
y a x log x.=⇔=

•
Các hàm lượng giác quen thuộc đều có hàm ngược với cùng một cách ký hiệu:
o Hàm số ysinx= , [ 1,1]
22
⎛ππ ⎞
⎡⎤
−→−
⎜⎟
⎢⎥
⎣⎦
⎝⎠
 có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược
đó là:

xarcsiny=
[1,1] , .

22
⎛ππ⎞
⎡
⎤
−→−
⎜⎟
⎢
⎥
⎣
⎦
⎝⎠


o Hàm số ycosx=
[
]
()
0, [ 1,1]π→− có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược
đó là:
xarccosy=
[
]
(
)
[1,1] 0,
−
→π.
o Hàm số ytgx= ,
22
⎛ππ ⎞

⎛⎞
−→
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
R có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là:

xarctgy , .
22
⎛ππ⎞
⎛⎞
=→−
⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠
\

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

8
o Hàm số y =cotgx
()
()
0, π→R
có hàm ngược, ta ký hiệu hàm ngược đó là:
(
)
(

)
xarccotgy 0.=→π\
(
)
(
)
0,→πR
















1.1.6. Các hàm số sơ cấp
1.1.6.1. Các hàm số sơ cấp cơ bản
• Hàm lũy thừa y x ( )
α
=α∈R
Miền xác định (MXĐ) của hàm phụ thuộc
vào số

α .
o Nếu 0α≥ , MXĐ là R .
o Nếu α nguyên âm. MXĐ là
\{0}R
.
o Nếu
*
1
,p
p
α= ∈R thì MXĐ là
+
R nếu
p chẵn và R nếu p lẻ.
o Nếu α vô tỷ, MXĐ được quy ước là
+
R .
•
Hàm mũ:
x
f(x) a (0 a 1)=<≠
MXĐ: R , MGT:
*
+
R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu 0a1<<.
•
Hàm số lôgarit:
a
f(x) log x= (0a1
<

≠ )
o MXĐ:
*
+
R , MGT:R ; Hàm số đồng biến nếu a1> và nghịch biến nếu
0a1<<.
•
Hàm lượng giác
o ysinx= : Có MXĐ là R , MGT [ 1,1]
−
; cho tương ứng mỗi số thực x với
tung độ điểm biểu diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác. Hàm sin là
hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản
2
π
.

Hình 1.7:
Đồ thị hàm số
=
3
y
x

CHÚ Ý :
• Do thường ký hiệu
x để chỉ biến độc lập và y để chỉ biến phụ thuộc nên khi biểu diễn
hàm ngược thay vì
1
xf(y)

−
=
có viết
1
yf(x)
−
=
.
Chẳng hạn
a
ylogx= là hàm ngược của hàm:
x
ya
=







• Đồ thị của hai hàm ngược nhau không
thay đổi như khi đổi vai trò x,y cho nhau
thì nó đối xứng nhau qua đường phân giác
thứ nhất.
Thật vậy, gọi (C) và (C’) lần lượt là đ
ồ
thị
của hai hàm
f(x) và

1
f(x)
−
thì theo
định nghĩa:
M (x, y) (C) M' (y,x) (C')=∈⇔=∈


Hình 1.6:
Hàm mũ, hàm logarit



Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

9
o ycosx= : Có MXĐ là R ,
MGT
[1,1]− ; cho tương ứng
mỗi số thực x với hoành độ
điểm biểu diễn cung x radian
trên đường tròn lượng giác.
Hàm cos là hàm chẵn, tuần
hoàn với chu kỳ cơ bản
2
π
.
o ytgx= : Có MXĐ là
\ (2k+1) , k
2

π
⎧⎫
∈
⎨⎬
⎩⎭
RZ,
MGT R ; cho tương ứng mỗi
số thực x với tung độ của giao
điểm tia
OM (M là điểm biểu
diễn cung x radian trên đường tròn lượng giác) với trục tan là đường thẳng có
phương trình:
x1= .
Hàm tgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản
π
.
o y = cotgx: Có MXĐ là
{
}
\k,kπ∈RZ, MGT R ; cho tương ứng mỗi số thực x
với hoành độ của giao điểm tia
OM (
M
là điểm biểu diễn cung
x
radian trên
đường tròn lượng giác) với trục cotg là đường thẳng có phương trình y 1
=
.
Hàm cotgx là hàm lẻ, tuần hoàn với chu kỳ cơ bản

π
.










Hình 1.8:
Quy tắc xác định các hàm lượng giác


Hình 1.9:
Đồ thị các hàm số lượng giác


Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

10
• Hàm lượng giác ngược
o yarcsinx= : Có MXĐ là [ 1,1]
−
, MGT ,
22
π
π

⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎣
⎦
là hàm ngược của hàm sin.
Hàm y arcsin x= là hàm lẻ, đồng biến.
o yarccosx= : Có MXĐ là [ 1,1]
−
, MGT
[
]
0,
π
là hàm ngược của hàm cos.
o Hàm y arccos x= là hàm nghịch biến.
o yarctgx= : Có MXĐ là R , MGT ,
22
π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
là hàm ngược của hàm tg.
Hàm y arctgx= là hàm lẻ, đồng biến.
o yarccotgx= : Có MXĐ là R , MGT ,
22

π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
là hàm ngược của hàm cotgx.
Hàm y arccotgx= là hàm lẻ, nghịch biến.

Hình 1.10:
Đồ thị các hàm lượng giác ngược

1.1.6.2. Định nghĩa
Hàm số sơ cấp là một hàm số được thành lập từ các hàm số sơ cấp cơ bản và hàm
hằng cùng với một số hữu hạn các phép toán số học (cộng, trừ, nhân chia) và các phép
toán lấy hàm hợp.
Ví dụ 8:
Các hàm số sau đều là các hàm sơ cấp:
•
Hàm bậc nhất: y ax b=+.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

11
• Hàm bậc hai:
2
yax bxc=++.
•
Hàm lôgarit:
(

)
2
a
log x x 1++.
•
Hàm lượng giác:
2
1sinx
yarctg(2x3)
1x
+
=++
−
.
•
Hàm phân thức hũu tỷ:
2
x
y
1x
=
−
.
1.2. Dãy số và giới hạn của dãy số
1.2.1. Khái niệm
1.2.1.1. Dãy số
Ta gọi dãy số là một tập hợp các số (gọi là các số hạng) được viết theo một thứ tự, hay
được đánh số bằng các số tự nhiên.
Để cho một dãy số, người ta có thể dùng các cách thức như liệt kê, công thức tổng
quát và công thức truy hồi.

•
Liệt kê: Viết tất cả các số hạng theo đúng thứ tự (nếu không viết được hết thì dùng
dấu “…” để biểu thị dãy còn tiếp tục).
•
Công thức tổng quát: Chỉ rõ cách xác định một số hạng bất kỳ chỉ cần biết thứ tự
của số hạng đó trong dãy.
•
Công thức truy hồi: Chỉ rõ cách xác định một số hạng khi biết các số hạng liền
trước nó trong dãy.
•
Liệt kê chỉ có ý nghĩa mô tả và thích hợp nhất với dãy hữu hạn, có thể xem là cách
biểu diễn bằng quy nạp không hoàn toàn. Còn hai cách kia đảm bảo có thể tìm
được số hạng với thứ tự bất kỳ trong dãy.
Ví dụ 9:
Dãy Fibonacci và 3 cách biểu diễn nêu trên
•
Liệt kê: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, …
•
Công thức tổng quát: Số hạng thứ n là:
nn
15 15
22
⎛⎞⎛⎞
−+
+
⎜⎟⎜⎟
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠

•

Công thức truy hồi: Hai số hạng đầu tiên đề bằng 1, tiếp đó, số hạng sau được tính
bằng tổng hai số hạng liền trước.
Công thức tổng quát của dãy số là cách biểu diễn tốt nhất để có thể định nghĩa dãy số.
Nhờ nó, dãy số được định nghĩa một cách hết sức đơn giản mà chặt chẽ.
Định nghĩa:
Dãy số là một ánh xạ (hàm số) có miền xác định là ` (hoặc một tập con các số tự
nhiên liên tiếp của
`
) và lấy giá trị trong tập các số thực R .
Ta thường ký hiệu dãy số bởi
{}
n
n1
x
∞
=
hay gọn hơn
{
}
n
x
.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

12
Ví dụ 10:
(A)
n1
1111

1, , , , ,
n23n
∞
=
⎧
⎫⎧ ⎫
=
⎨
⎬⎨ ⎬
⎩⎭ ⎩ ⎭

(B)
{
}
{
}
nn
n1
( 1) 1,1, 1, ,( 1) ,
∞
=
−=−−−
(C)
{
}
{
}
22
n1
n 1, 4,9, ,n ,

∞
=
=
(D)
n1
n123n
, , , , ,
n 1 234 n 1
∞
=
⎧
⎫⎧ ⎫
=
⎨
⎬⎨ ⎬
++
⎩⎭⎩ ⎭

1.2.1.2. Dãy tăng, dãy giảm, dãy bị chặn
Dãy
{
}
n
x
gọi là
•
Dãy tăng nếu
nn1
xx n
+

<∀∈`
•
Dãy giảm nếu
nn1
xx n
+
>∀∈`
•
Dãy đơn điệu nếu nó là dãy tăng hoặc dãy giảm.
•
Bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho
n
xM,n
≤
∀∈`
•
Bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho
n
xm,n≥∀∈`
•
Bị chặn nếu vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới.
Trong ví dụ 10
•
Dãy (A) là dãy số giảm, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1.
•
Dãy (B) không đơn điệu, bị chặn dưới bởi 1
−
và bị chặn trên bởi 1.
•
Dãy (C) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 1 không bị chặn trên nên không bị chặn.

•
Dãy (D) là dãy tăng, bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1.
1.2.2. Giới hạn của dãy số
Xét dãy số
n
n2n
n1
1111
x , , , ,
2222
∞
=
⎧⎫⎧ ⎫
==
⎨⎬⎨ ⎬
⎩⎭⎩ ⎭
. Khoảng cách giữa
n
x và 0 là:
n
n
1
x0
2
−=

Ta thấy: Cho trước một số
0
ε
> bé tùy ý thì sẽ tìm được một số N sao cho

n>N
∀

thì khoảng cách giữa
n
x và 0 sẽ bé hơn số
ε
đó.
Chẳng hạn, cho trước khoảng
0,05
ε
=
thì chỉ cần n8
=
thì
n
1
x0 0,05
256
−= <
.
Ta nói dãy
{
}
n
x dần tới 0 khi n tiến tới vô cùng.
Định nghĩa:
Dãy
{
}

n
x có giới hạn a hữu hạn khi
n
tiến tới vô cùng nếu với mọi số 0ε> cho
trước (bé tùy ý), tồn tại số tự nhiên
0
n sao cho với mọi
0
nn> thì
n
xa−<ε.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

13
Ta viết:
n
n
lim x a
→∞
= hay
n
x a khi n→→∞.
Dãy
{
}
n
x được gọi là dãy hội tụ nếu tồn tại số a để
n
n

lim x a
→∞
=
. Trong trường hợp
ngược lại, ta nói dãy phân kỳ.
Trong định nghĩa trên, số
0
n phụ thuộc vào
ε
nên ta viết
00
nn()
=
ε .
Ví dụ 11:

n
1
lim 0
n
→∞
=
.
Thật vậy, ta có:
n
1
x0
n
−
= .

Với mỗi
0ε> bất kỳ chỉ cần chọn
0
1
n1
⎡
⎤
=
+
⎢
⎥
ε
⎣
⎦
thì khi
0
nn> có ngay
n
11
x0
1
n
−
=< =ε
ε
.
Định nghĩa:
Dãy
{
}

n
x được nói là có giới hạn
∞
khi n tiến tới vô cùng nếu với mọi số M0>
cho trước (lớn tùy ý), tồn tại số tự nhiên
0
n sao cho với mọi
0
nn> thì
n
xM> ; ta
cũng viết
n
n
lim x
→∞
=∞ và là dãy phân kỳ.


Trên đây chỉ phát biểu định nghĩa giới hạn vô cùng nói chung, ta có thể phát biểu chi
tiết hơn về giới hạn
,+∞ −∞
.
1.2.3. Tiêu chuẩn tồn tại giới hạn
1.2.3.1. Tính duy nhất của giới hạn
Định lý:
Nếu một dãy có giới hạn (hữu hạn) thì
• Dãy đó là dãy bị chặn .
• Giới hạn là duy nhất.
1.2.3.2. Nguyên lý giới hạn kẹp

Nếu có ba dãy số
{
}
{
}
{
}
nnn
x,y,z thỏa mãn:
•
nnn
xyz≤≤
•
nn
nn
lim x lim z a
→∞ →∞
== (
a
có thể hữu hạn,
+
∞ hoặc
−
∞ ) thì
{
}
n
y có giới hạn và
n
n

lim y a
→∞
= .
1.2.3.3. Định lý Weierstrass
Dãy số tăng và bị chặn trên (hoặc giảm và bị chặn dưới) thì hội tụ.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

14
1.2.4. Các định lý về giới hạn của dãy số
Cho
{
}
{
}
nn
x,y là các dãy có giới hạn hữu hạn. Dùng định nghĩa có thể chứng minh
các kết quả sau:

nn n n
nnn
lim(x y ) lim x lim y
→∞ →∞ →∞
±
=±

nn n n
nnn
lim(x y ) lim x lim y
→∞ →∞ →∞

=


n
n
n
n
nn
nn
n
lim x
x
lim (khi lim y 0)
ylimy
→∞
→∞ →∞
→∞
=
≠ .
Chú ý rằng khi cả
{
}
{
}
nn
x,y có các giới hạn vô cực thì nhìn chung không sử dụng
được các kết quả nói trên. Các dạng vô định thường gặp là
0
,, ,0.
0

∞
∞−∞ ∞
∞
. Khi đó ta
phải dùng các phép biến đổi để khử dạng vô định.
Ví dụ 12:

2
2
2
nn
2
12
1
nn2 1
nn
:lim lim .
1
2n 1 2
2
n
→∞ →∞
+−
∞+−
⎛⎞
=
=
⎜⎟
∞+
⎝⎠

+

(
)
2
2
nn n
2
2
3
3n 2 3
n
():limn3n2nlim lim .
2
32
n3n2n
11
nn
→+∞ →+∞ →+∞
⎛⎞
−
⎜⎟
⎛⎞
−
⎜⎟
∞−∞ + − − = = =
⎜⎟
⎜⎟
+−+
⎝⎠

+− +
⎜⎟
⎝⎠

1.3. Giới hạn và sự liên tục của hàm số
1.3.1. Định nghĩa
1.3.1.1. Định nghĩa (giới hạn hàm số)
Giả sử hàm số f (x) xác định ở lân cận điểm
0
x (có thể trừ tại
0
x ). Ta nói hàm số
f(x)có giới hạn là A

khi x

dần tới
0
x nếu:
Với mọi số
0ε> cho trước, đều tồn tại một số 0
δ
> sao cho khi:

0
xx−<δ thì f(x) A
−
<ε.
Kí hiệu là:
0

xx
lim f (x) A
→
= hay f (x) A→ khi xa→ .

Một cách tương đương ta có thể định nghĩa
(
)
fx
có giới hạn là A khi
0
xx→ khi và
chỉ khi với mọi
{
}
n0
xx→
ta có
(
)
{
}
n
fx A→ .
1.3.1.2. Định nghĩa (giới hạn một phía)
Trong định nghĩa nêu trên, chúng ta xét quá trình
0
xx→ không phân biệt
0
xx> hay

0
xx< . Khi xem xét giới hạn, nhiều khi ta phải xét riêng hai quá trình này với kí hiệu
như sau:

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

15
• Quá trình x tiến đến
0
x về phía bên phải, tức là
0
xx→ với điều kiện
0
xx> ,
được kí hiệu là:
0
xx0→+ hoặc đơn giản hơn là
0
xx→+
• Quá trình
x
tiến đến
0
x về phía bên trái, tức là
0
xx→ với điều kiện
0
xx
<
,

được kí hiệu là:
0
xx0→− hoặc đơn giản hơn là
0
xx→−
• Giới hạn của hàm số
f(x)
khi
0
xx→+ hoặc khi
0
xx→− được gọi tương ứng
là giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số tại điểm
0
x.
• Giới hạn bên phải:
000
xx xx,xx
lim f(x) lim f (x)
→+ → >
=
.
• Giới hạn bên trái:
000
xx xx,xx
lim f (x) lim f (x)
→− → <
=
.
Từ định nghĩa trên ta suy ra:

Định lý:
Điều kiện cần và đủ để
0
xx
lim f (x) L
→
=
là:
00
xx xx
lim f(x) lim f(x) L
→+ →−
=
= .
1.3.2. Tính chất
1.3.2.1. Tính chất các hàm có giới hạn
Giới hạn của hàm số cũng có một số tính chất tương tự như giới hạn của dãy số
Định lý:
Nếu hàm số f(x) có giới hạn khi xa→ thì giới hạn đó là duy nhất.
Định lý:
Nếu hàm số f(x) có giới hạn hữu hạn khi
xa→
thì nó bị chặn trong miền
{
}
Xx : 0xa ,=∈ <−<δR
với
δ
là một số dương đủ nhỏ.
Định lý:

Nếu
xa
lim f (x) L
→
=
và Lb (Lb)>< thì, với
δ
là một số dương đủ nhỏ ta cũng có
{
}
f(x) b (f(x) b) x x : 0 x a><∀∈∈<−<δR .
Định lý:
Nếu
()
f(x) g(x) f(x) g(x)≥> với mọi
{
}
xx : 0xa
∈
∈<−<δR
và cả hai hàm số
f(x),g(x) có giới hạn hữu hạn khi
xa→ thì
xa xa
lim f (x) lim g(x)
→→
≥ .
1.3.2.2. Các quy tắc tính giới hạn
Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số bằng ngôn ngữ dãy số và các quy tắc tương
ứng về giới hạn của dãy số ta dễ dàng chứng minh được các quy tắc sau đây:

Định lý:
Nếu khi xa→ các hàm số f(x) và g(x) lần lượt có giới hạn là các số thực
1
L và
2
L thì:
•
()
12
xa
lim f(x) g(x) L L
→
+
=+

•
()
1
xa
lim kf (x) kL
→
=


Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

16
•
()
12

xa
lim f(x)g(x) L L
→
=

•
1
xa
2
Lf(x)
lim
g(x) L
→
=
khi
2
L0≠ .
Định lý:
Giả sử (x)ϕ và f (u) thỏa mãn các điều kiện:
•
xa
lim (x) b
→
ϕ= và
(
)
ub
lim f (u) f b L
→
=

=

• tồn tại số 0
δ
> sao cho khi x (a ;a )
∈
−δ +δ và x a
≠
ta luôn có: u (x) b=ϕ ≠
thì:
(
)
xa
lim f (x) L
→
ϕ
= .
Định lý:
Nếu hàm số sơ cấp f (x) xác định trong khoảng chứa điểm xa
=
thì
xa
lim f (x) f (a)
→
= .
Định lý:
Nếu tồn tại số
0δ>
sao cho u(x) f(x) v(x)
≤

≤ với mọi
{
}
xx :0xa
∈
∈<−<δR và
xa xa
lim u(x) lim v(x) b
→→
== thì
xa
lim f (x) b
→
=
.
Định lý:
Giả sử các hàm số f(x) và g(x) có giới hạn hữu hạn khi xa→ :
xa
lim f (x) b 0,
→
=
>
xa
lim g(x)
→
=
α . Khi đó:
[
]
g(x)

xa
lim f (x) b
α
→
=
.
Ví dụ 13:

3x
x5
3
x
2x 1
lim 2 8
x1
−
→∞
−
⎛⎞
=
=
⎜⎟
+
⎝⎠
, do
x
2x 1
lim 2
x1
→∞

−
=
+
và
x
3x
lim 3
x5
→∞
=
−
.
Định lý:
Nếu
xa
lim f (x) 0
→
=
và
g(x)
là một hàm số bị chặn thì
xa
lim f (x).g(x) 0
→
=
.
Ví dụ:
2
x0
1

lim x sin 0
x
→
= vì
2
x0
lim x 0
→
=
và
1
sin
x
là hàm bị chặn.
1.3.3. Vô cùng lớn, vô cùng bé
1.3.3.1. Khái niệm
• Đại lượng f(x) gọi là một vô cùng bé (viết tắt là VCB) khi xa→ nếu
xa
lim f (x) 0
→
=
.
Ở đây,
a có thể là hữu hạn hay vô cùng. Từ định nghĩa giới hạn của hàm số, ta suy
ra rằng nếu:
f(x) A
→ khi
xa→
thì f(x) A (x)
=

+α
Trong đó (x)
α
là một VCB khi
xa→

• Đại lượng F(x) gọi là một vô cùng lớn (viết tắt là VCL) khi
xa→
nếu
xa
lim F(x)
→
=
+∞


Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

17
• Có thể dễ dàng thấy rằng nếu f(x) là một VCB khác không khi xa→ thì
1
f(x)
là VCL
và ngược lại nếu F(x) là một VCL khác không khi
xa→ thì
1
F(x)
là một VCB
khi
xa→ .

Chú thích:
• Một hàm hằng khác không dù nhỏ bao nhiêu cũng không là một VCB khi xa→
• Một hàm hằng lớn bao nhiêu cũng không thể là một VCL khi xa→
1.3.3.2. Tính chất
• Nếu
12
f (x),f (x) là hai VCB khi xa→ thì
1212
f(x) f(x),f(x).f(x)
±
cũng là những
VCB khi
xa→ .
• Nếu
12
f (x),f (x) cùng dấu và là hai VCL khi
xa→
thì
12
f(x) f(x)+ cũng là một
VCL khi
xa→ . Tích của hai VCL khi xa→ cũng là một VCL khi xa→ .
1.3.3.3. So sánh các vô cùng bé
• Bậc của các VCB
Định nghĩa:
Giả sử (x), (x)αβ là hai VCB khi
xa→
.
o Nếu
xa

(x)
lim 0
(x)
→
α
=
β
; ta nói rằng
(x)
α
là VCB bậc cao hơn
(x)β
.
o Nếu
xa
(x)
lim
(x)
→
α
=∞
β
; ta nói rằng (x)
α
là VCB bậc thấp hơn (x)β .
o Nếu
xa
(x)
lim A ( 0, )
(x)

→
α
=≠≠∞
β
; ta nói rằng (x)
α
và (x)
β
là hai VCB cùng bậc.
o Nếu
xa
(x)
lim
(x)
→
α
β
không tồn tại, ta nói rằng không thể so sánh hai VCB (x)α và
(x)β .
Ví dụ 14:
1cosx− và
2x

đều là những VCB khi
x0→ .
Vì:
2
x0 x0 x0
xx
sin sin

1cosx x 1
22
lim lim limsin .lim . 0
x
2x x 2 2
2
→→→
−
== =

nên
1cosx− là VCB bậc cao hơn 2x .
Ví dụ 15:
1
x.sin
x
và 2x là những VCB khi
x0→
.
Vì:
x0 x0 x0
11
xsin sin
11
xx
lim lim lim sin
2x 2 2 x
→→ →
== .

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

18
Nhưng không tồn tại
x0
1
lim sin
x
→
nên
1
xsin
x
và 2x là hai VCB khi
x0→ không
so sánh được với nhau.
• VCB tương đương
Định nghĩa:
Hai VCB
()
xα và
()
xβ khác 0 khi xa→ gọi là tương đương với nhau nếu
xa
(x)
lim 1
(x)
→
α
=

β
.
Kí hiệu:
(x)α
~
()
xβ
Nhận xét: 2VCB tương đương là trường hợp đặc biệt của 2 VCB cùng bậc.
Định lý:
Nếu (x)α và (x)β là hai VCB khi xa→ ,
11
(x) ~ (x), (x) ~ (x)
α
αβ β khi xa→ thì:

1
xa xa
1
(x)
(x)
lim lim
(x) (x)
→→
α
α
=
ββ
.
Thật vậy, vì
11

(x) ~ (x), (x) ~ (x)ααββ; ta có:
xa xa
11
(x) (x)
lim 1; lim 1
(x) (x)
→→
α
β
=
=
αβ
.
1.3.3.4. Các vô cùng bé tương đương thường gặp
Nếu (x) 0α→khi
xa→
thì :
sin (x) ~ (x), tg (x)~ (x),
arcsin (x) ~ (x), arctg (x) ~ (x).
αα αα
⎧
⎨
αα αα
⎩

1.3.4. Hàm số liên tục
1.3.4.1. Định nghĩa
f là một hàm số xác định trong khoảng
0
(a,b), x là một điểm thuộc (a,b).Ta nói

rằng hàm số f liên tục tại
0
x nếu:
0
0
xx
limf(x) f(x ).
→
=
(1.1)
Nếu hàm số
f

không liên tục tại
0
x , ta nói rằng nó gián đoạn tại
0
x.
Nếu đặt:
00
x x x, y f(x) f(x )=+ΔΔ= − thì đẳng thức (1.1) có thể viết là:
[
]
0
0
xx
lim f(x) f(x ) 0
→
−
= hay

x0
lim y 0
Δ→
Δ
=
.
Chú thích: Ta cũng có thể nói rằng f liên tục tại
0
x(a,b)
∈
nếu:
00
xx xx
lim f (x) f ( lim x)
→→
= .
Ví dụ 16:
Hàm số
2
yx= liên tục tại mọi
0
x
∈
R .
Thật vậy, ta có:
22222
000 0 0 0 0
0
x0 x0 x0 x0
y x,y y(x x),y(x x) x 2xx(x);

lim y 2x.lim x lim x.lim x 0.
Δ→ Δ→ Δ→ Δ→
=+Δ=+ΔΔ=+Δ−=Δ+Δ
Δ= Δ+ Δ Δ=

Tương tự như vậy, có thể chứng minh được rằng mọi hàm số sơ cấp cơ bản đều liên
tục tại những điểm thuộc miền xác định của nó.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

19
Định nghĩa:
f(x) được gọi là:
liên tục trong khoảng
(a,b)
nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó.
liên tục trên đoạn
[
]
a,b , nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng (a, b) , đồng thời liên tục
phải tại a (tức là
xa0
lim f (x) f (a)
→+
= ) và liên tục trái tại
b
(tức là:
xb0
lim f (x) f (b)
→−

= ).
1.3.4.2. Các phép toán về hàm liên tục
Từ các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương và từ định nghĩa của hàm số liên tục
tại một điểm, có thể dễ dàng suy ra:
Định lý:
Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại
0
x thì:
• f(x) g(x)+ liên tục tại
0
x
• f (x).g(x) liên tục tại
0
x
•
f(x)
g(x)
liên tục tại
0
x nếu
0
g(x ) 0
≠
.
Định lý:
Nếu hàm số u(x)=ϕ liên tục tại
0
x, hàm số yf(u)
=
liên tục tại

00
u(x)=ϕ thì hàm
số hợp
[
]
y (f )(x) f (x)=ϕ=ϕD liên tục tại
0
x.
Chứng minh:
Ta có
0
00
xx
lim (x) (x ) u
→
ϕ=ϕ = vì
ϕ
liên tục tại
0
x .
Hàm số:y f(u)
= liên tục tại
0
u. Do đó:
0
0
uu
lim f (u) f (u )
→
=

1.3.4.3. Tính chất của hàm số liên tục
Các định lý sau đây (không chứng minh) nêu lên những tính chất cơ bản của hàm số
liên tục.
Định lý:
Nếu hàm số f(x) liên tục trên đoạn
[
]
a;b
thì nó bị chặn trên đoạn đó, tức là tồn tại
hai số m và M sao cho
[
]
mf(x)M x a;b≤≤∀∈ .
Định lý:
Nếu hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn
[
]
a;b thì nó đạt giá trị nhỏ nhất
m
và giá trị lớn
nhất M của nó trên đoạn ấy, tức là tồn tại hai điểm
12
x , x sao cho:
[
]
[
]

12
f(x ) m f(x) x a,b ; f(x ) M f(x) x a,b= ≤ ∀∈ = ≥ ∀∈
Định lý (về giá trị trung gian):
Nếu hàm số
f(x)
liên tục trên đoạn
[
]
a;b ;
m
và
M
là các giá trị nhỏ nhất và lớn
nhất trên đoạn đó thì với mọi số
μ
nằm giữa m và M luôn tồn tại
[
]
a,bξ∈
sao cho:
f( )
ξ=μ.
Hệ quả:
Nếu f(x) liên tục trên
[
]
a,b , f(a)f(b) < 0 thì trong khoảng (a,b) tồn tại điểm
ξ

sao cho:

()
f0ξ=

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

20
TÓM LƯỢC CUỐI BÀI
Trong bài này chúng ta nghiên cứu ba vấn đề là:
• Những vấn đề cơ bản về hàm số một biến số
• Dãy số và giới hạn của dãy số
• Giới hạn của hàm số
Phần đầu tiên hệ thống hóa lại các khái niệm cơ bản về hàm số một biến số, một số tính chất
của hàm số như tính đơn điệu, tính chẵn lẻ, tính tuần hoàn. Tiếp theo, học viên sẽ tìm hiểu các
khái niệm về dãy số và giới hạn của dãy số, các định lý áp dụng để tính giới hạn của dãy số.
Phần cu
ối cùng trình bày về giới hạn hàm số, hàm số liên tục và các khái niệm vô cùng lớn, vô
cùng bé.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

21
CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Định nghĩa hàm số đơn điệu, chẵn, lẻ, tuần hoàn.
2. Định nghĩa hàm số ngược của hàm số y = f(x). Tìm hàm số ngược của các hàm số
lượng giác.
3. Định nghĩa và phân loại các hàm số sơ cấp.
4. Định nghĩa giới hạn của dãy số.
5. Định nghĩa giới hạn của hàm số, giới hạn một phía, giới hạn vô hạn.
6. Phát biểu hai tiêu chuẩn tồn tại giới hạn.
7. Định nghĩa VCB, VCL, VCB tương đương.

8. Hàm số liên tục: Định nghĩa, tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn.

Bài 1: Hàm số, giới hạn và liên tục

22
BÀI TẬP
1. Chứng minh rằng bất kỳ một hàm số nào xác định trong một khoảng đối xứng cũng có thể
viết được dưới dạng tổng của một hàm số chẵn và một hàm số lẻ.
2. Viết các hàm số sau đây dưới dạng hàm số hợp
a.
23
y(3x 7x1)=−+ b.
x
ylntg
2
=
c.
1
tg
x
y2= d.
x
yarcsin
1x
=
+
.
3. Xét tính tuần hoàn và tìm chu kỳ các hàm số sau:
a.
f(x) Acos x Bsin x=λ+λ b.

11
f (x) sin x sin 2x sin 3x
23
=+ +
c.
2
f(x) sin x= d. f(x) tgx=
4. Chứng minh rằng:
a.
arcsin x+arccos x=
2
π
b.
arc tgx+arccotgx =
2
π

5. Sử dụng định nghĩa giới hạn dãy số, chứng minh rằng dãy số
2
n
2
3n 1
x
5n 1
+
=
−
có giới hạn
bằng
3

5
.
6. Tìm giới hạn một phía của các hàm số sau:
a.
2x 3 x 1
f(x)
3x 5 x 1
−+ ≤
⎧
=
⎨
−>
⎩
khi
x1→
.
b.
1cosx
f (x) khi x 0.
x
−
=→

7. Chứng minh rằng hàm số
42
f(x) x 2x 1=+ + liên tục tại điểm x bất kỳ.