Giáo trình tính toán khoa học - Chương 4 pot

93

Chương 4
TÍNH TRỊ RIÊNG VÀ
VECTOR RIÊNG CỦA MA TRẬN
4.1 MỞ ĐẦU
Cho một ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại một số  và một vector x0 sao
cho Ax=x thì  được gọi là trị riêng của ma trận A và x được gọi là vectơ riêng
của A ứng với trị riêng .
Có nhiều bài toán ứng dụng trong cơ học và vật lí được qui dẫn về việc tìm
trị riêng và vector riêng của ma trận. Trong các bài toán tìm trị riêng và vectơ
riêng của ma trận người ta chia ra làm 2 loại:
- Bài toán nhỏ: tìm các trị riêng có modul lớn nhất và nhỏ nhất của ma trận
và các vector riêng tương ứng. Bài toán này đến nay đã giải được cho ma trận có
cỡ n= 0(10
6
).
- Bài toán lớn: tìm tất cả các trị riêng và vector riêng của một ma trận. Bài
toán này đến nay đã giải được cho ma trận có cỡ n=0(10
2
).
Giải bài toán tìm trị riêng và vector riêng theo phương pháp đại số:
- Đầu tiên phải giải phương trình đặc trưng của ma trận A:
det(E-A) =0
để tìm các trị riêng .
- Sau đó thế  vào hệ phương trình thuần nhất:
Ax=x hay (E-A)x = 0
để tìm vector riêng tương ứng.
Chú ý rằng đa thức đặc trưng của ma trận là đa thức bậc cao (bằng cấp của
ma trận A) đối với . Mặt khác do hệ phương trình thuần nhất (E-A )x =0 có

ma trận hệ số suy biến và do đó tập nghiệm của hệ là không gian con của R
n
, nên
không thể giải bằng các phương pháp đã trình bày trong chương 3.
Trong chương này chúng ta sẽ nghiên cứu các phương pháp:
- Phương pháp trực tiếp: dùng các phép biến đổi tương đương đưa ma trận
A về ma trận có cấu trúc đơn giản hơn để dễ dàng tìm đa thức đặc trưng và các
vectơ riêng.

94
- Phương pháp lặp: khuếch đại sự khác biệt về modul của các trị riêng bằng
luỹ thừa bậc cao.
4.2 CÁC PHƯƠNG PHÁP TRỰC TIẾP
4.2.1 Phương pháp Krylov
Giả sử ma trận A có đa thức đặc trưng là:
1
0
( )
n
n k
n n k
k
p
   



 

.

Do

n
(A)= det(E-A), nên theo định lí Haminton-Kelly ta có

n
(A)=0. Xét
dãy lặp v
k+1
= Av
k
, với k=
0, 1
n

và vector ban đầu v
0
≠ 0

tuỳ ý của R
n
, ta có:

n
(A)v
0
=
1
0
n

n n k k
k
v p v





= 0 (4.1)
Do đó các hệ số p
i
chính là nghiệm của hệ phương trình (4.1). Việc giải hệ
phương trình (4.1) để tìm các hệ số p
i
gọi là các phương pháp trực tiếp. Tuy
nhiên nếu ma trận A có trị riêng bội thì hệ phương trình (4.1) suy biến với mọi
vector v
0
. Do đó phương pháp trực tiếp không ổn định. Một thay đổi nhỏ hệ số có
thể làm cho hệ vô nghiệm. Nghiệm của hệ phương trình cũng không ổn định nếu
các trị riêng của ma trận A có modul gần nhau. Vì vậy khả năng ứng dụng của
các phương pháp này không lớn.
Để xây dựng hệ phương trình đại số tuyến tính (4.1) ta làm như sau:
Đặt v
k
=
     


1 2

, , ,
T
k k k
n
v v v
, k=
n,1
.
Từ (4.1) ta có
   
1
0
n
k n
n k j j
k
p v v



 

, với j=
n,1
.
Hoặc







     
     


 
 
1 2 0
1 1 1 1
1
1 2 0
2
2 2 2 2
1 2 0





n n n
n n n
n n n
n
n n n n
v v v v
p
p
v v v v
p

v v v v
 
 
 
   
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
 
   
   
. (4.2)

Vì v
k+1
=Av
k
nên
   


 

1
1
n
k k k
i ij j
i
j
v Av a v


 

với
i 1,n , 0, 1
k n
  
. (4.3)

95
 Quá trình tính toán của phương pháp Krylov
- Chọn v
0

tuỳ ý, sau đó lần lượt tính


k
j
v , j 1,n ; k 1,n
  theo (4.3).

- Giải hệ (4.2) để tính các hệ số p
k
, k=
n,1
. của phương trình đặc trưng.
Nếu hệ phương trình (4.2) không duy nhất nghiệm thì bài toán trở nên phức tạp.
Để khắc phục, thông thường người ta chọn v
(0)
mới và tính toán lại.
- Sau khi tính được các hệ số p
k
, giải phương trình đặc trưng
0)(



n

để tìm các trị riêng
.,1, ni
i



- Tìm các vector riêng : Giả sử phương trình đặc trưng có n trị riêng phân
biệt .,1, ni
i


(

ji

 ), khi đó trong R
n
tồn tại một cơ sở gồm n vector riêng
n
ii
e
1
}{

tương ứng. Phân tích v
o
theo cơ sở vừa nêu : v
o
=
1
n
j j
j
e



. Vì vậy:
v
k
= A
k
v

0
=
1 1
n n
k k
j j j j j
j j
A e e
  
 

 
, k=1,2…
Bây giờ ta đặt


( )
n
i
i
 
 
 


. Do 
i
là một nghiệm của
( )
n

 
nên
( )
i
 
là
một đa thức bậc n-1 của :

( )
i
 

in
n
i
n
qq
,1
2
,1
1





=
1
1,
0

n
k
n k i
k
q


 



Từ
( ) ( ) ( )
n i i
     
 
hay
1
0
n
n k
n k
k
p
 



 


(
i

 )
1
1,
0
n
k
n k i j
k
q


 



suy ra các hệ số q
ji
có thể được tính theo sơ đồ Horner như sau:





 jijiji
i
pqq
q

,1
0
1

.
Ta có



0
vA
i

v
n-1
+q
1,i
v
n-2
+ +q
n-1,i
v
0

=
1 1
1, 1,
0 0 1
n n n
k

n k i k n k i j j j
k k j
q v q e
 
 
   
  
 
  


 
1
1,
1 0 1

n n n
k
j n k i j j j i j j
j k j
q e e
    

 
  
 
 
 
 
 

  
.

96
Chú ý rằng
 
 
0 khi i
' 0 khi i j
i j
n i
j
 
 




 

(4.4)
nên



0
vA
i






n
j
jjij
e
1

=


iiii
e



.
Từ đó suy ra nếu 0

i

thì:



0
vA
i


v
n-1
+q
1,i
v
n-2
+ +q
n-1,i
v
0

là một vector riêng của ma trận A tương ứng với trị riêng
i

.
Thí dụ 1. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận theo phương pháp Krylov:

1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
A
 
 
 

 
 
 
.

Giải. Chọn
0
1
0
0
0
v
 
 
 

 
 
 
. Tính v
k
=Av
k-1
ta có:
1
2 3 4
1 30 208 2108
2 22 178 1704
, , ,
3 18 192 1656
4 20 242 1992
v v v v
       
       
       

   
       
       
       
.
Xây dựng được hệ phương trình:
1
2
3
4
208 30 1 1 2108
178 22 2 0 1704
192 18 3 0 1656
242 20 4 0 1992
p
p
p
p
 
   
 
   
 
   
 
 
   
 
   
   

 
.
Giải hệ phương trình trên ta được : p
1
= -4, p
2
=-40, p
3
=- 56 , p
4
=-20 .
Từ đó đa thức đặc trưng của ma trận A là:





4
=
20
56
40
4
234


.

97
Để tìm nghiệm của đa thức





4
trong Matlab, có thể làm như sau:
>> p=[ 1 -4 -40 -56 -20];
>> roots (p) %% Tính các trị riêng
ans=
9.0990
-3.4142
-1.0990
-0.5858
4.2.2 Phương pháp Leverier
Phương pháp Leverier dùng để tính các hệ số của đa thức đặc trưng của một
ma trận vuông. Giả sử A là một ma trận vuông cấp n và đa thức đặc trưng là:

1 2
1 2
( )
n n n
n n
p p p
    
 
    

có các nghiệm ni
i
,1, 


kể cả bội. Đặt S
k
=


n
i
k
i
1

, với
nk ,0
.
Theo công thức Newton ta có :
S
k
+ p
1
S
k-1
+ p
2
S
k-2
+ + p
k-1
S
1

= - kp
k
, với
nk ,1

hay
 
 
1 1
2 2 1 1
1 1 1 1
1
2

1

n n n n
p S
p S p S
p S p S p S
n
 
 



  





    


. (4.5)
Các hệ số S
k
được tính theo công thức S
k
=Trace(A
k
) (Trace là hàm vết của
ma trận) với
nk ,1
.
 Quá trình tính toán của phương pháp Leverier
- Tính A
k
, S
k
=Trace(A
k
) =
 


n
i
k
ii

a
1
với
nk ,1
;
- Tính các p
i
,với
ni ,1
theo công thức (4.5).

98
Công thức tính của phương pháp tương đối đơn giản, không cần xây dựng
và giải hệ phương trình như phương pháp Krylov. Tuy nhiên, khối lượng tính
toán của phương pháp này rất lớn.
Thí dụ 2. Tìm đa thức đặc trưng của ma trận theo phương pháp Leverier:
1 2 3 4
2 1 2 3
3 2 1 2
4 3 2 1
A
 
 
 

 
 
 
.
Giải:

Tính các ma trận
2 3
30 208
18 * 148 *
,
* 18 * 148
30 208
A A
   
   
   
 
   
   
   
,
và
4
2108
1388 *
* 1388
2108
A
 
 
 

 
 
 

.
Sau đó, dùng hàm vết tính được S
1
=4, S
2
=96, S
3
=712, S
4
=6992. Tính tiếp
theo công thức (4.5) ta được: p
1
=-4, p
2
=- 40, p
3
=-56, p
4
=-20.
Do đó




4
=
20
56
40
4

234



4.2.2 Một số hàm dùng để tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận
 Hàm POLY
Cú pháp :
p = poly(A)
Giải thích. Hàm POLY dùng để tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma
trận. Hàm POLY còn dùng để tính hệ số của một đa thức khi biết các nghiệm
của nó.
- Nếu A là vector, thì p là vector hệ số của đa thức có nghiệm là vector A.
- Nếu A là ma trận vuông thì p là vector hệ số của đa thức đặc trưng của
ma trận A: det(

E-A).

99
Thí dụ 3. Tính hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận:
1 2 3 4
2 1 2 3
.
3 2 1 2
4 3 2 1
A
 
 
 

 

 
 

Giải.
>> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2 ; 4 3 2 1];
>> p = poly(A)
p =
1.0000 -4.0000 -40.0000 -56.0000 -20.0000
Chú ý: Hàm ROOTS và hàm POLY là hai hàm ngược của nhau.
Thí dụ 4.
>> x =[ 2 3 4];
>> poly(x)
ans =
1 -9 26 -24
>> roots([1 -9 26 -24])
ans =
4.0000
3.0000
2.0000
 Hàm TRACE
Cú pháp :
s = trace (A)
Giải thích. Hàm TRACE dùng để tính vết (tổng các phần tử trên đường
chéo chính) của một ma trận vuông.
Nếu gọi s = trace (A) thì hàm trả sẽ về s là tổng của các phần tử trên đường
chéo gốc của ma trận vuông A, đổng thời đó cũng chính là tổng các trị riêng của
ma trận A.

100
Thí dụ 5.

>> A=pascal(5);
>> trace(A)
ans =
99
>> sum(eig(A))
ans =
99.0000

4.3 PHƯƠNG PHÁP LẶP
Giả sử ma trận A có một trị riêng trội và các trị riêng được đánh số thứ tự
1 2 3

n
   
   
và họ các vector riêng tương ứng e
1
,

e
2
, ,e
n
( 1
i
e ) lập
thành cơ sở của không gian R
n
. Ta cần tính trị riêng có modul lớn nhất 
1

.
Khi đó với giả thiết trên, mọi vectơ x
(0)

R
n
đều có khai triển
(0)
1
n
i i
i
x c e



.
Xét dãy lặp x
(k+1)
=Ax
(k)
k=1,2, Ta có:
x
(k)
=
1
n
k
i i
i

c A e


=


n
i
i
k
i
ec
1

= )(0
2111
k
k
ec

 .
Do đó các tích vô hướng:
<x
(k)
,x
(k)
> = )(0
21
2
1

2
1
kk
c


và <x
(k+1)
,x
(k)
>=
)(0
2
1
1
2
1
2
11
kkk
c



.
Đặt
 
   
 
1

2
1
1
2
1
,
0
k
k k
k
k
x x
x

 


 
 
 
  
 
 
.
Rõ ràng


1
1
 

k
k
nếu c
1
0.
Để tìm vector riêng tương ứng ta đặt:

101
 
 
 


1 1 1 2
1
1 1
1
1
1 1 2
2
1
0
0
1 0
k
k
n
k
k
i i i

k
k
i
k
k k k
c e
c e
c
x
e
c
x
 



 



 
 

 
 
  
 

 


 
 

.
Nếu đặt

k
=


)arg(
1
1
k
c 
thì


 
1 1
1
1
1 1
1
k
k
i
k
c e
e e

c e




.
Như vậy
 









k
i
k
eee
k
1
2
11
0



, do đó

 










k
k
i
eee
k
1
2
11
0



.
Xét một trường hợp phức tạp hơn:
1 2 3

n
   
   

, trong đó
1 2 1
0 và 0
  
   
là hai trị riêng thực của ma trận A.
Khi đó x
(k)
=




k
k
k
ecec
3212111
0


và
x
(k+2)
=
 


2
2

2
1 1 1 2 1 2 3
0
kk
k
c e c e
  



  


2
1


{




k
k
k
ecec
3212111
0



}
Đặt
 
   
 
2
2
3
1
2
1
,
0
k
k k
k
k
x x
x

 


 
 
 
  
 
 
,

và
 
 
 
 
 
 
1
1,2 1,2 1,.2
,
k
k k k
k k
z x x
  

   
.
- Nếu k chẵn thì :



 
 


1
1
11
( )

( ) 1
1 1 1 1 2 1 2 3
1
0
k
k
kk
k
k k
z x x c e c e
   




     

 
 
 
/2
3
1 1 1 1 2 1 2 3
1
0 0
k
k
k
k
c e c e


   

 
 
 
 
    
 
 
 
 
 

=


1
31
1
11
02



k
k
ec


102
và
 


 
1
1
3
1
1
1
1
1
1
0
k
k
k
k
i
k
z
e e e
z







 
 
  
 
 
, trong đó )arg(
1
11


k
k
c


.
- Tương tự nếu k lẻ thì








1
2 2
k k

k k
z x x


 
và
 


 
1
1
3
2
2
2
1
1
2
0
k
k
k
k
i
k
z
e e e
z







 
 
  
 
 
trong đó )arg(
1
11


k
k
c

.

4.4 CÁC HÀM TÍNH TRỊ RIÊNG CỦA MA TRẬN TRONG
MATLAB
4.4.1 Hàm EIG
Cú pháp:
[V,D] = eig(A,B)
Giải thích. Hàm EIG được dùng để tính tất cả các trị riêng và các vector
riêng của ma trận.
E = eig(A) : Sinh ra một vector E gồm các trị riêng của ma trận vuông A;
[V,D] = eig(A) : Sinh ra ma trận đường chéo D, trên đường chéo là các

trị riêng của ma trận A và ma trận vuông V gồm các vector riêng tương ứng sao
cho AV=VD;
E = eig(A,B) : Sinh ra một vector chứa các trị riêng suy rộng của các
ma trận vuông A và B sao cho A.V= B.V.D;
[V,D] = eig(A,B) : Sinh ra ma trận đường chéo D gồm các trị riêng suy
rộng và ma trận vuông V chứa các vectơ riêng tương ứng.
Thí dụ 6. Tính tất cả các trị riêng và vector riêng của ma trận:

1 2 3 4
2 1 2 3
.
3 2 1 2
4 3 2 1
A
 
 
 

 
 
 

Giải.

103
>> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2 ; 4 3 2 1];
>> [ V, D] = eig(A)
V =
0.2706 0.4483 0.6533 0.5468
-0.6533 -0.5468 0.2706 0.4483

0.6533 -0.5468 -0.2706 0.4483
-0.2706 0.4483 -0.6533 0.5468
D =
-0.5858 0 0 0
0 -1.0990 0 0
0 0 -3.4142 0
0 0 0 9.0990
>> B=pascal(4);
>> [ V, D] = eig(A,B)
V =
-0.3003 -0.9789 -0.7395 -0.4417
0.7258 -0.1382 0.2644 -0.3299
-0.5957 -0.1498 0.5591 -0.4726
0.1678 -0.0168 -0.2659 0.6875
D =
-15.7482 0 0 0
0 1.3804 0 0
0 0 -2.2172 0
0 0 0 -0.4150
4.4.2 Hàm EIGS
Cú pháp:
[V,D,F] = eigs(A,B,K,SIG)
Giải thích. Hàm EIGS tính một số trị riêng có modul lớn nhất hoặc nhỏ
nhất bằng phương pháp lặp.

104
Hàm dùng để giải từng bước bài toán tìm trị riêng Av =

v hoặc tìm trị
riêng suy rộng theo nghĩa Av =


Bv. Tuy nhiên chỉ một vài trị riêng hoặc vector
riêng được tính toán. Trong đó A là một ma trận vuông (thực hay phức), là đối số
bắt buộc phải có. Các đối số còn lại là tuỳ chọn và có thể như sau:
- B : là một ma trận đối xứng xác định dương, có cùng cỡ với A. Nếu
B không xác định thì xem B như ma trận đơn vị cùng cấp với A; Còn nếu B xác
định thì phương pháp phân tích Cholesky được sử dụng để tính.
- K : là số trị riêng cần tính. Nếu K không xác định thì K = min(N,6)
trị riêng được tính.
- SIG : là một số thực hoặc phức hay một xâu gồm 2 chữ cái. Nếu SIG
không xác định thì K trị riêng có modul lớn nhất được tính. Nếu SIG=0, thì K trị
riêng có modul nhỏ nhất sẽ được tính. Nếu SIG là một số thực hay số phức khác
0 thì K trị riêng gần SIG sẽ được tính và phương pháp phân tích LU đối với A-
SIG*B được sử dụng. Nếu SIG là một trong các xâu hai chữ cái sau đây thì các trị
riêng cần tính được xác định như sau:
SIG Các trị riêng cần tính
‘LM’
Modul lớn nhất (Mặc định, Largest Magnitude).
‘SM’
Modul nhỏ nhất (Smallest Magnitude, như SIG = 0).
‘LR’
Phần thực lớn nhất (Largest Real part).
‘SR’
Phần thực nhỏ nhất (Smallest Real part).
‘BE’
Tính K/2 trị riêng từ mỗi phía của phổ trị riêng (Both Ends,
thêm 1 từ phía lớn nếu K lẻ).
Khi gọi hàm:
- với 1 tham số ra thì D là một vector chứa K trị riêng;
- với 2 tham số ra thì D là ma trận đường chéo cấp K và V là một ma trận

gồm K cột sao cho A*V=V*D hay A*V=B*V*D;
- với 3 tham số ra, F chỉ ra rằng liệu các trị riêng có hội tụ đến sai số cho
phép hay không. F = 0 là hội tụ, F = 1 là không hội tụ và F = 2 là thông báo hàm
EIGS bị đình trệ, nghĩa là hai bước lặp liên tiếp đưa đến cùng một kết cục nhưng
chưa phải là kết quả mong muốn.

105
Thí dụ 7.
>> A=[ 1 2 3 4; 2 1 2 3; 3 2 1 2; 4 3 2 1];
>> [V,D,F] = eigs(A)
iter =
1
eigs =
9.0990
-3.4142
-1.0990
-0.5858
stopcrit =
8.2712e-016
==========================
iter =
2
eigs =
9.0990
-3.4142
-1.0990
-0.5858
stopcrit =
1.7764e-016
==========================

V =
-0.5468 -0.6533 0.4483 -0.2706
-0.4483 -0.2706 -0.5468 0.6533
-0.4483 0.2706 -0.5468 -0.6533
-0.5468 0.6533 0.4483 0.2706
D =

106
9.0990 0 0 0
0 -3.4142 0 0
0 0 -1.0990 0
0 0 0 -0.5858
F =
0
>> B=pascal(4);
>> [ V, D, F] = eigs(A,B,2)
V =
-0.8770 0.8899
0.1808 -0.2484
0.4146 -0.3522
-0.1622 0.1491
D =
101.5543 0
0 -83.4936
F =
2
4.4.3 Hàm SVD (Singular Value Decomposition: Phân tích trị kì dị)
Giả sử A là ma trận thực cấp n thì A
T
A là ma trận thực đối xứng xác định

không âm. Do đó nó có n trị riêng thực không âm. Nếu

j
là một trị riêng của ma
trận A
T
A thì
j

còn được gọi là một trị kì dị (Singular Value) của ma trận A.
Như vậy nếu A là ma trận thực đối xứng thì một trị kỳ dị của A chính là trị tuyệt
đối của một trị riêng của nó. Phân tích trị kỳ dị được sử dụng để tính chuẩn
Euclide của ma trận.

Cú pháp:
[U,S,V] = svd(A)
Giải thích.

107
[U,S,V] = svd(A) : Sinh ra một ma trận đường chéo S, có cùng cỡ với
ma trận A, các phần tử đường chéo đều không âm, sắp xếp giảm dần; Hai ma trận
trực giao U và V sao cho A = U*S*V'.
S = svd (A) : Trả về vector S chứa các trị kì dị.
[U,S,V] = svd (A,0) : Thực hiện sự phân tích “ cỡ tiết kiệm”. Nghĩa là
nếu A là một ma trận cỡ m×n và m > n thì chỉ có n cột đầu của ma trận U được
tính, và ma trận S sẽ có cỡ n

n.
Thí dụ 8.
>> A=[ 1 2 3; 4 5 6; 7 8 9];

>> eig(A)
ans =
16.1168
-1.1168
-0.0000
>> svd(A)
ans =
16.8481
1.0684
0.0000
>> C=[ 1 2 3 4; 5 6 7 8];
>> svd(C)
ans =
14.2274
1.2573
>> [U,S,V] = svd (C,0)
U =
-0.3762 -0.9266
-0.9266 0.3762


108

S =
14.2274 0 0 0
0 1.2573 0 0
V =
-0.3521 0.7590 -0.5400 0.0917
-0.4436 0.3212 0.7883 0.2803
-0.5352 -0.1165 0.0434 -0.8355

-0.6268 -0.5542 -0.2917 0.4636
Khi A là ma trận thực đối xứng xác định không âm thì trị kỳ dị cũng chính
là trị riêng.
Thí dụ 9.
>> B=pascal(4);
>> svd(B)
ans =
26.3047
2.2034
0.4538
0.0380
>> eig(B)
ans =
0.0380
0.4538
2.2034
26.3047



109
BÀI TẬP
A. Cài đặt chương trình và lập hàm
1. Cài đặt hàm Krylov.m tìm hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận vuông theo
phương pháp Krylov. Lệnh gọi hàm có dạng:
p = Krylov(A)
2. Cài đặt hàm Leverier.m tìm hệ số của đa thức đặc trưng của ma trận vuông
theo phương pháp Leverier. Lệnh gọi hàm có dạng:
p = Leverier(A)
3. Giả sử biết được một trị riêng L của ma trận A, hãy cài đặt hàm EigVec.m

tìm vectơ riêng tương ứng của ma trận theo phương pháp Krylov. Lệnh gọi
hàm có dạng:
V = EigVec(A,L),
trong đó :
- A là ma trận vuông;
- L là trị riêng đã biết;
- V vector riêng tương ứng cần tìm (
1
V

).
4. Nếu ma trận A có một trị riêng thực trội. Cài đặt hàm tìm trị riêng có modul
lớn nhất đó và vector riêng tương ứng của ma trận vuông A theo phương pháp
lặp với sai số 10
-8
. Lệnh gọi hàm có dạng:
[L,V] = MaxEig(A),
trong đó :
- A là ma trận vuông;
- L là trị riêng trội cần tính và V là vector riêng tương ứng (
1
V

).
B. Sử dụng các hàm nội trú của Matlab
1. Tìm 3 trị riêng có modul lớn nhất và 2 trị riêng có modul nhỏ nhất của ma trận
Ma phương cấp 30.
2. Tính hệ số của đa thức đặc trưng, chuẩn và số điều kiện loại 2;

110

Tìm 2 trị riêng có modul lớn nhất của ma trận Hilbert cấp 20.
3. Tính hệ số của đa thức đặc trưng, tất cả các trị riêng và vector riêng tương
ứng của các ma trận:
0 1 3 4 1 1 5 0 1 1 3 4
2 0 1 3 2 3 0 8 1 1 2 3
, ,
3 1 0 2 3 1 6 7 3 2 1 5
1 3 2 0 9 0 7 2 4 3 5 1
A B C
 
     
     

     
  
     

     

     
.
4. Tính hệ số của đa thức đặc trưng, chuẩn và số điều kiện loại +  của ma trận
vuông cấp 50 có dạng:
4 2 0 0 0 0 0
1 4 2 0 0 0 0
0 1 4 2 0 0 0
0 0 1 4 0 0 0

0 0 0 0 1 4 2
0 0 0 0 0 1 4

A
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 
 
.
5. Tìm ma trận P làm chéo hoá ma trận :
2 1 0 3 3 1 1 1
1 1 2 1 1 3 1 1
,
-1 2 3 1 1 1 3 1
0 1 2 1 1 1 1 3
A B

   
   

   
 
   
   
   

.
6. Tìm ma trận P làm chéo hoá trực giao ma trận:
1 2 3 4
2 1 1
2 1 2 3
1 2 1 ,
3 2 1 2
1 1 2
4 3 2 1
A B
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
.