Một PP nhẩm nghiệm để phân tích đa thức thành nhân tử

Lê Trọng Châu – ST&GT
NHẨM NGHIỆM ĐỂ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Nhiều bạn khi nói đến nhẩm nghiệm đều băn khoăn là nhẩm những con số
nào ? Chẳng lẽ cứ nhẩm “vu vơ” may ra thì được ? Xin “mách” các bạn
nguyên tắc nhẩm (dựa trên kết quả đã được khẳng định nhưng không trình
bày trong chương trình sách giáo khoa).
Nguyên tắc cơ bản:
1) Cho đa thức ẩn x với hệ số nguyên
f(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n-1
+ + a
n-1
x + a
n
có nghiệm hữu tỉ thì p là ước của an và
q là ước của a0.
Hệ quả : Nếu a
0
= 1 thì mọi nghiệm hữu tỉ của f(x) đều là nghiệm nguyên
và nghiệm nguyên này là ước của số hạng tự do an.
2) Nếu đa thức f(x) có nghiệm x = a thì x - a là một nhân tử khi phân tích
f(x) về dạng tích. Chúng ta theo dõi một ví dụ đơn giản
sau :
Ví dụ 1 : Phân tích đa thức x
2

- 9x + 14 thành nhân tử.
Nhẩm nghiệm : Ta thấy nghiệm nguyên nếu có của f(x) sẽ là ước của 14.
Nhẩm thử sẽ tìm ra nghiệm x = 2 (có bạn nhẩm ra x = 7 trước !). Từ đó ta
có x - 2 phải là một nhân tử của f(x) (nếu nhẩm được x = 7 thì nhận định
có một nhân tử là x - 7).
Lời giải : Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 2.
Cách 1 : x
2
- 9x + 14 = x
2
- 2x - 7x + 14 = x(x - 2) - 7(x - 2) = (x - 2)(x -
7).
Cách 2 : x
2
- 9x + 14 = x
2
- 4 - 9x + 18 = (x + 2)(x - 2) - 9(x - 2) = (x - 2)
(x - 7).
Khi bạn nhẩm được nghiệm x = 7.
Cách 1 : x
2
- 9x + 14 = x
2
- 49 - 9x + 63 = (x - 7)(x + 7) - 9(x - 7) = (x - 7)
(x - 2).
Cách 2 : x
2
- 9x + 14 = x
2
- 7x - 2x + 14 = x(x - 7) - 2(x - 7) = (x - 7)(x -

2).
Ví dụ 2 : Phân tích thành nhân tử
f(n) = 5n
3
+ 15n
2
+ 10n.
Tìm lời giải : Ta có f(n) = 5n
3
+ 15n
2
+ + 10n = 5n(n
2
+ 3n + 2). Nhẩm
nghiệm của đa thức n
2
+ 3n + 2 ta được n = -1 (hoặc n = -2).
Lời giải : f(n) = 5n
3
+ 15n2 + 10n = 5n(n2 + 3n + 2) = 5n(n
2
+ n + 2n + 2)
= 5n[n(n + 1) + 2(n + 1)] = 5n(n + 1)(n + 2).
Chú ý : Từ kết quả trên có thể chứng minh f(n) chia hết cho 30 với mọi số
nguyên n.
Thí dụ dưới đây để các bạn lưu ý về tác dụng của ẩn phụ.
Ví dụ 3 : Phân tích đa thức thành nhân tử P(x) = (x
2
+ 3x + 1)(x
2

+ 3x +
2) - 12.
Tìm lời giải : Đặt t = x
2
+ 3x + 1 thì đa thức trở thành f(t) = t(t + 1) - 12 =
t
2
+ t - 12. Nhẩm nghiệm trong các ước của 12 ta có nghiệm t = 3 (hoặc t
= -4).
Lê Trọng Châu – ST&GT
Lời giải : Ta có f(t) = t
2
- 3t + 4t - 12 = t(t - 3) + 4(t - 3) = (t - 3)(t + 4).
Do đó :
P(x) = (x
2
+ 3x + 1 - 3)(x
2
+ 3x + 1 + 4) = (x
2
+ 3x - 2)(x
2
+ 3x + 5).
Mời các bạn thử làm các bài tập sau :
1) Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a) (x
2
+ x)
2
- 2(x
2

+ x) - 15 ;
b) (x
2
+ 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15 ;
2) Chứng minh P = (x
2
+ 1)
4
+ 9(x
2
+ 1)
3
+ + 21(x
2
+ 1)
2
- x
2
- 31 ≥ 0 với
mọi x. 3) Chứng minh Q = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + 1 là số chính phương
với mọi số nguyên x.