chuyen de phan tich da thuc thanh nhan tu

CHUYấN
CAC PHệễNG PHAP PHAN TCH ẹA THệC THAỉNH
NHAN Tệ
A.cơ sở lý thuyết:
a/ Định lý về phép chia đa thức (phép chia hết và chia có d):
- Khi đó với hai đa thức bất kỳ f(x), g(x) và g(x) 0 tồn tại duy nhất hai
đa thức q(x) và r(x)sao cho:
f(x) = g(x).q(x) + r(x), r(x) = 0, hoặc bậc r(x) < bậc g(x).
q(x) đợc gọi là thơng, r(x) đợc gọi là d.
Nếu r(x) = 0 thì ta nói f(x) chia hết cho g(x) và ký hiệu f(x)
M
g(x)
Nếu r(x) 0 thì ta nói f(x) chia cho g(x) có d.
b/ Hệ quả: Ta có f(a) là d trong phép chia f(x) cho x- a.
c/ Định nghĩa nghiệm của một đa thức một ẩn:
Phần tử aA đợc gọi là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(a) = 0.
d/ Định lý Bơdu về nghiệm của một đa thức:
Phần tử a là nghiệm của đa thức f(x) khi và chỉ khi f(x)
M
x-a.
e/ Các phơng pháp cơ bản để phân tích đa thức thành nhân tử:
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp đặt nhân tử chung.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp dùng hằng đẳng
thức.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phơng
pháp.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách tách một hạng tử thành
nhiều hạng tử.
- Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách thêm bớt cùng một hạng tử.
1. Phng phỏp t nhõn t chung

Vớ d 1. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t.
28a
2
b
2
21ab
2
+ 14a
2
b = 7ab(4ab 3b + 2a)
2x(y z) + 5y(z y ) = 2(y z) 5y(y z) = (y z)(2 5y)
x
m
+ x
m + 3
= x
m
(x
3
+ 1) = x
m
( x+ 1)(x
2
x + 1)
2. Phng phỏp dựng hng ng thc
Vớ d 2. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t.
9x
2
4 = (3x)
2

2
2
= ( 3x 2)(3x + 2)
8 27a
3
b
6
= 2
3
(3ab
2
)
3
= (2 3ab
2
)( 4 + 6ab
2
+ 9a
2
b
4
)
25x
4
10x
2
y + y
2
= (5x
2

y)
2
3. Phng phỏp nhúm nhiu hng t
Vớ d 3. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t
2x
3
3x
2
+ 2x 3 = ( 2x
3
+ 2x) (3x
2
+ 3) = 2x(x
2
+ 1) 3( x
2
+ 1)
= ( x
2
+ 1)( 2x 3)
x
2
2xy + y
2
16 = (x y)
2
4
2
= ( x y 4)( x y + 4)
4. Phi hp nhiu phng phỏp

Vớ d 4. Phõn tớch cac a thc sau thnh nhõn t
3xy
2
12xy + 12x = 3x(y
2
4y + 4) = 3x(y 2)
2
3x
3
y 6x
2
y 3xy
3
6axy
2
3a
2
xy + 3xy =
= 3xy(x
2
2y y
2
2ay a
2
+ 1)
= 3xy[( x
2
2x + 1) (y
2
+ 2ay + a

2
)]
= 3xy[(x 1)
2
(y + a)
2
]
= 3xy[(x 1) (y + a)][(x 1) + (y + a)]
= 3xy( x 1 y a)(x 1 + y + a)
Ví dụ5:
A(x) =10x
2
-7x+a (aQ) xác định a sao cho A(x) chia hết cho 2x-3.
Đặt phép chia đa thức:
10x
2
-7x+a 2x-3
10x
2
-15x 5x+4
8x+a
-8x-12
a+12
Để A(x)
M
2x-3 ta phải có: a+12=0 a= -12.
Vậy a=-12 thì A(x) chia hết cho 2x-3
Ví dụ 6: Cho đa thức: A(x) = a
2
x

3
+3ax
2
-6x-2a (a Q)
Xác định a sao cho A(x) chia hết cho (x+1)
+Đặt phép chia đa thức:
a
2
x
3
+3ax
2
-6x-2a x+1
-a
2
x
3
+a
2
x
2
ax
2
+(3a-a
2
)x+(a
2
-3a-6)
(3a-a
2

)x
2
-6x-2a
-(3a-a
2
)x
2
+(3a-a
2
)x
-a
2
+a+6
Để A(x) chia hết cho x+1 ta phải có: -a
2
+a+6=0 (a+2)(3-a)=0
a+2=0 a=-2
3-a=0 a=3
Vậy a=-2 hoặc a=3 thì A(x) chia hết cho x+1
Ví dụ 7: Phân tích đa thức 5x
3
-2x-3 thành nhân tử,
Dễ thấy x=1 là một nghiệm , theo định lý Bơdu thì đa thức 5x
3
-2x-
3 chia hết cho x-1.
Thực hiện phép chia ta đợc: 5x
3
-2x-3 =(x-1)(5x
2

+5x+3)
Ví dụ 8:
Phân tích đa thức f(x)=3x
5
- 6x
4
-2x
3
+4x
2
-x+2 thành nhân tử.
Dễ thấy x=1 là một nghiệm. Vì vậy đa thức đã cho chia hết cho x-1
Thức hiện phép chia ta đợc: f(x)=(x-1)(3x
4
- 3x
3
-5x
2
-x-2)
Dễ thấy 3x
4
- 3x
3
-5x
2
-x-2 có nghiệm là x= -1
Thực hiện phép chia ta đợc: 3x
4
- 3x
3

-5x
2
-x-2=(x+1)(3x
3
-6x
2
+x-2)
Dễ thấy rằng 3x
3
-6x
2
+x-2 có nghiệm x= 2
Vì thế 3x
3
-6x
2
+x-2=(x-2)(3x
2
+1)
Vậy 3x
5
- 6x
4
-2x
3
+4x
2
-x+2 =(x-1)(x+1)(x-2)(3x
2
+1).

B.các ph ơng pháp nâng cao
I. PHNG PHAP TCH MT HNG T THNH NHIU HNG T
1. i vi a thc bc hai (f(x) = ax
2
+ bx + c)
a) Cỏch 1 (tỏch hng t bc nht bx):
Bc 1: Tỡm tớch ac, ri phõn tớch ac ra tớch ca hai tha s nguyờn bng mi cỏch.
a.c = M
Bc 2: Chn hai tha s a
i
c
i
sao cho M = a
i
.c
i
vi b = a
i
+ c
i
Bc 3: Tỏch bx = a
i
x + c
i
x. T ú nhúm hai s hng thớch hp phõn tớch tip.
Vớ d 5. Phõn tớch a thc f(x) = 3x
2
+ 8x + 4 thnh nhõn t.
Hng dn
Phõn tớch ac = 12 = 3.4 = (3).(4) = 2.6 = (2).(6) = 1.12 = (1).(12)

Tớch ca hai tha s cú tng bng b = 8 l tớch a.c = 2.6 (a.c = a
i
.c
i
).
Tỏch 8x = 2x + 6x (bx = a
i
x + c
i
x)
Li gii
3x
2
+ 8x + 4 = 3x
2
+ 2x + 6x + 4 = (3x
2
+ 2x) + (6x + 4)= x(3x + 2) + 2(3x +
2)
= (x + 2)(3x +2)
b) Cỏch 2 (tỏch hng t bc hai ax
2
)
Lm xut hin hiu hai bỡnh phng :
f(x) = (4x
2
+ 8x + 4) x
2
= (2x + 2)
2

x
2
= (2x + 2 x)(2x + 2 + x)
= (x + 2)(3x + 2)
Tỏch thnh 4 s hng ri nhúm :
f(x) = 4x
2
x
2
+ 8x + 4 = (4x
2
+ 8x) ( x
2
4) = 4x(x + 2) (x 2)(x + 2)
= (x + 2)(3x + 2)
f(x) = (12x
2
+ 8x) (9x
2
4) = = (x + 2)(3x + 2)
c) Cỏch 3 (tỏch hng t t do c)
Tỏch thnh 4 s hng ri nhúm thnh hai nhúm:
f(x) = 3x
2
+ 8x + 16 12 = (3x
2
12) + (8x + 16) = = (x + 2)(3x +
2)
d) Cỏch 4 (tỏch 2 s hng, 3 s hng)
f(x) = (3x

2
+ 12x + 12) (4x + 8) = 3(x + 2)
2
4(x + 2) = (x + 2)(3x
2)
f(x) = (x
2
+ 4x + 4) + (2x
2
+ 4x) = = (x + 2)(3x + 2)
e) Cỏch 5 (nhm nghim): Xem phn sau.
Chỳ ý : Nu f(x) = ax
2
+ bx + c cú dng A
2
2AB + c thỡ ta tỏch nh sau :
f(x) = A
2
2AB + B
2
B
2
+ c = (A B)
2
(B
2
c)
2. i vi a thc bc t 3 tr lờn
Qua các ví dụ trên ta thấy việc tách một số hạng thành nhiếu số hạng
khác thờng nhằm mục đích:

+ Làm xuất hiện các hệ số tỷ lệ nhờ đó mà xuất hiện thừa số chung
(cách 1).
+ Làm xuất hiện hiệu của hai bình phơng (cách 2)
Với các đa thức có bậc từ 3 trở lên, để dễ dàng làm xuất hiện các hệ số
tỷ lệ ngời ta thờng dùng cách làm xuất hiện nghiệm của đa thức.
Ta nhắc lại khái niệm nghiệm của đa thức: Số a đợc gọi là nghiệm
của đa thức f(x) nếu f(a)=0.
Nh vậy nếu đa thức f(x) có nghiệm x-a thì nó chứa thừa số x-a.
Giả sử đa thức: a
0
x
n
+a
1
x
n-1
+...+a
n

với a
0
,a
1
,...,a
n-1
,a
n
Z có nghiệm x= a (a Z)
=> a
0

x
n
+a
1
x
n-1
+...+a
n

=(x-a)(b
0
x
n
+b
1
x
n-1
+...+b
n

1
) trong đó b
0
,b
1
,...,b
n-1
,b
n
Z.

Số hạng có bậc thấp nhất của tích ở vế phải bằng-ab
n-1
.
Số hạng có bậc thấp nhất ở vế phải bằng a
n
-ab
n-1
= a
n
tức là a là ớc của a
n
.
Vậy đa thức có nghiệm nguyên thì nghiệm đó là ớc của hạng tử tự do
a
n
.
Ví dụ 3: Phân tích đa thức thành nhân tử. x
3
-x
2
-4.
Lần lợt kiểm tra với x=1,x=2,x=4 ta thấy f(2)=2
3
-2
2
-4=0
đa thức có nghiệm x= 2 do đó chứa thừa số (x-2)
Cách 1: x
3
-x

2
-4 =x
3
-2x
2
+x
2
-2x+2x-4 = (x
3
-2x
2
)+(x
2
-2x)+(2x-4)
=x
2
(x-2)+x(x-2)+2(x-2) = (x-2)(x
2
+x+2)
Cách 2: x
3
-x
2
-4 =x
3
-8-x
2
+4 = (x
3
-8)-(x

2
-4)
=(x-2)(x
2
+2x+4)-(x-2)(x+2) = (x-2)(x
2
+2x+4-x-2)
=(x-2)(x
2
+x+2)
Chú ý: Khi xét nghiệm nguyên của đa thức nên nhớ 2 định lý sau:
*ĐL1: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì 1 là
nghiệm của đa thức, do đó đa thức chứa thừa số x-1.
Ví dụ; x
3
-5x
2
+8x-4 x-1
-x
3
-x
2
x
2
-4x+4
- 4x
2
+8x-4
- 4x
2

+4x
4x-4
4x-4
0
Vậy x
3
-5x
2
+8x-4 = (x-1)(x
2
-4x+4) = (x-1)(x-2)
2
*/ĐL2: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của các số hạng bậc
chẵn bằng tổng các hệ số của các số hạng bậc lẻ thì -1 là nghiệm
của đa thức. đa thức chứa thừa số x+1
Ví dụ: x
3
-5x
2
+3x+9
Ta có 9-5=1+3
-1 là nghiệm của đa thức, đa thức chứa thừa số x+1
x
3
-5x
2
+3x+9 x+1
-x
3
+ x

2
x
2
-6x+9
-6x
2
+3x+9
--6 x
2
-6x
9x+9
-9x+9
0
Vậy x
3
-5x
2
+3x+9 =(x+1)(x
2
-6x+9)
=(x+1)(x-3)
2
Hệ quả. Nếu f(x) có nghiệm nguyên x = a và f(1) và f(–1) khác 0 thì
( )
−
f 1
a 1
và
( )−
+

f 1
a 1
đều là số nguyên.
Chứng minh
Đa thức f(x) có nghiệm x = a nên f(x) có một nhân tử là x – a. Do đó f(x) có
dạng :
f(x) = (x – a).q(x)
(1)
Thay x = 1 vào (1), ta có : f(1) = (1 – a).q(1).
Do f(1) ≠ 0 nên a ≠ 1, suy ra q(1) =
−
−
( )f 1
a 1
. Vì các hệ số của f(x) nguyên nên
các hệ số của q(x) cũng nguyên. Do đó, q(1) là số nguyên. Vậy
−
( )f 1
a 1
là số nguyên.
Thay x = –1 vào (1) và chứng minh tương tự ta có
−
+
( )f 1
a 1
là số nguyên.
Ví dụ 9. Phân tích đa thức f(x) = 4x
3
− 13x
2

+ 9x − 18 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của 18 là ± 1, ± 2, ± 3, ± 6, ± 9, ± 18.
f(1) = –18, f(–1) = –44, nên ± 1 không phải là nghiệm của f(x).
Dễ thấy
−
− −
18
3 1
,
−
± −
18
6 1
,
−
± −
18
9 1
,
−
± −
18
18 1
không là số nguyên nên –3, ± 6, ±
9, ± 18 không là nghiệm của f(x). Chỉ còn –2 và 3. Kiểm tra ta thấy 3 là nghiệm của
f(x). Do đó, ta tách các hạng tử như sau :
= − − + + − = − − − + −
3 2 2 2
f(x) 4x 12x x 3x 6x 18 4x (x 3) x(x 3) 6(x 3)

= (x – 3)(4x
2
– x + 6)
Hệ quả 4. Nếu f(x) =
...
− −
− −
+ + + + +
n n 1 n 2
n n 1 n 2 1 0
a x a x a x a x a
(
−1 1 0
íi , ,..., ,
n n
v a a a a
là các số nguyên) có nghiệm hữu tỉ x =
p
q
, trong đó p, q
∈
Z
và (p , q)=1, thì p là ước a
0
, q là ước dương của a
n
.
Chứng minh
Ta thấy f(x) có nghiệm x =
p

q
nên nó có một nhân tử là (qx – p). Vì các hệ số
của f(x) đều nguyên nên f(x) có dạng: f(x) = (qx – p)
− −
− −
+ + + +
n 1 n 2
n 1 n 2 1 0
(b x b x ... b x b )
Đồng nhất hai vế ta được qb
n–1
= a
n
, –pb
0
= a
o
. Từ đó suy ra p là ước của a
0
,
còn q là ước dương của a
n
(đpcm).
Ví dụ 10. Phân tích đa thức f(x) = 3x
3
− 7x
2
+ 17x − 5 thành nhân tử.
Hướng dẫn
Các ước của –5 là ± 1, ± 5. Thử trực tiếp ta thấy các số này không là nghiệm

của f(x). Như vậy f(x) không có nghiệm nghuyên. Xét các số
± ±
1 5
,
3 3
, ta thấy
1
3
là
nghiệm của đa thức, do đó đa thức có một nhân tử là 3x – 1. Ta phân tích như sau :
f(x) = (3x
3
– x
2
) – (6x
2
– 2x) + (15x – 5) = (3x – 1)(x
2
– 2x + 5).
3. Đối với đa thức nhiều biến
Ví dụ 11. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 2x
2
− 5xy + 2y
2
;
b) x
2
(y − z) + y
2

(z − x) + z
2
(x − y).
Hướng dẫn
a) Phân tích đa thức này tương tự như phân tích đa thức f(x) = ax
2
+ bx + c.
Ta tách hạng tử thứ 2 :
2x
2
− 5xy + 2y
2
= (2x
2
− 4xy) − (xy − 2y
2
) = 2x(x − 2y) − y(x − 2y)
= (x − 2y)(2x − y)
a) Nhận xét z − x = −(y − z) − (x − y). Vì vậy ta tách hạng tử thứ hai của đa
thức :
x
2
(y − z) + y
2
(z − x) + z
2
(x − y) = x
2
(y − z) − y
2

(y − z) − y
2
(x − y) + z
2
(x − y) =
= (y − z)(x
2
− y
2
) − (x − y)(y
2
− z
2
) = (y − z)(x − y)(x + y) − (x − y)(y − z)(y +
z)
= (x − y)(y − z)(x − z)
Chú ý :
1) Ở câu b) ta có thể tách y
−
z =
−
(x
−
y)
−
(z
−
x) (hoặc z
−
x=

−
(y
−
z)
−
(x
−
y))
2) Đa thức ở câu b) là một trong những đa thức có dạng đa thức đặc biệt. Khi
ta thay x = y (y = z hoặc z = x) vào đa thức thì giá trị của đa thức bằng 0. Vì vậy,
ngoài cách phân tích bằng cách tách như trên, ta còn cách phân tích bằng cách xét
giá trị riêng (Xem phần IV).
C¸c bµi to¸n luyÖn TËp.
Bµi 1:
Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
, 5 6 d, 13 36
, 3 8 4 e, 3 18
, 8 7 f, 5 24
,3 16 5 h, 8 30 7
, 2 5 12 k, 6 7 20
− + − +
− + + −
+ + − −
− + + +
− − − −

a x x x x
b x x x x
c x x x x
g x x x x
i x x x x
Bµi 2
: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:

3 2 3
3 2 3
3 2 3 2
3 2 3 2
1/ 5 8 4 2/ 2 3
3/ 5 8 4 4/ 7 6
5/ 9 6 16 6/ 4 13 9 18
7 / 4 8 8 8/ 6 6 1
9/
− + − + −
+ + + − +
− + + − + −
− − + − − + +
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
3 2 3
3 3 2
3 2 3 2
3 3
6 486 81 10/ 7 6

11/ 3 2 12/ 5 3 9
13/ 8 17 10 14/ 3 6 4
15/ 2 4 16/ 2
− − + − −
− + − + +
+ + + + + +
− − −
x x x x x
x x x x x
x x x x x x
x x x
2
3 2 3 2
3 2 3 2
3 2 4 3 2
12 17 2
17 / 4 18/ 3 3 2
19 / 9 26 24 20/ 2 3 3 1
21/ 3 14 4 3 22/ 2 1
+ −
+ + + + +
+ + + − + −
− + + + + + +
x x
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
II. PHƯƠNG PHÁP THÊM VÀ BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ
1. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hiệu hai bình ph-
ương

Ví dụ 12. Phân tích đa thức x
4
+ x
2
+ 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ 2x
2
+ 1) – x
2
= (x
2
+ 1)
2
– x
2
= (x
2
– x + 1)
(x
2
+ x + 1).
Cách 2 : x
4

+ x
2
+ 1 = (x
4
– x
3
+ x
2
) + (x
3
+ 1) = x
2
(x
2
– x + 1) + (x + 1)
(x
2
– x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
Cách 3 : x
4
+ x
2
+ 1 = (x
4
+ x

3
+ x
2
) – (x
3
– 1) = x
2
(x
2
+ x + 1) + (x – 1)
(x
2
+ x + 1)
= (x
2
– x + 1)(x
2
+ x + 1).
Ví dụ 13. Phân tích đa thức x
4
+ 16 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1 : x
4
+ 4 = (x
4
+ 4x
2
+ 4) – 4x
2

= (x
2
+ 2)
2
– (2x)
2
= (x
2
– 2x + 2)
(x
2
+ 2x + 2)
Cách 2 : x
4
+ 4 = (x
4
+ 2x
3
+ 2x
2
) – (2x
3
+ 4x
2
+ 4x) + (2x
2
+ 4x + 4)
= (x
2
– 2x + 2)(x

2
+ 2x + 2)
2. Thêm và bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 14. Phân tích đa thức x
5
+ x − 1 thành nhân tử
Lời giải
Cách 1.
x
5
+ x − 1 = x
5
− x
4
+ x
3
+ x
4
− x
3
+ x
2
− x
2
+ x − 1
= x
3
(x
2
− x + 1) − x

2
(x
2
− x + 1) − (x
2
− x + 1)
= (x
2
− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
Cách 2. Thêm và bớt x
2
:
x
5
+ x − 1 = x
5
+ x
2
− x
2
+ x − 1 = x
2
(x
3
+ 1) − (x
2

− x + 1)
= (x
2
− x + 1)[x
2
(x + 1) − 1] = (x
2
− x + 1)(x
3
− x
2
− 1).
Ví dụ 15. Phân tích đa thức x
7
+ x + 1 thành nhân tử
Lời giải
x
7
+ x
2
+ 1 = x
7
– x + x
2
+ x + 1 = x(x
6
– 1) + (x
2
+ x + 1)
= x(x

3
– 1)(x
3
+ 1) + (x
2
+ x + 1)