bài giảng vật lí đại cương chương 3 - động lực học hệ chất điểm, động lực học vật rắn

Chơng III
động lực học hệ chất điểm,
động lực học vật rắn
Bi giảng Vật lý đại cơng
Tác giả: PGS. TS Đỗ Ngọc Uấn
Viện Vật lý kỹ thuật
Trờng ĐH Bách khoa H nội
1. Khối tâm: G
M
2
M
1
m
1
g
m
2
g
G
(m
1
+m
2
)g
GMgmGMgm
2211
=
0GMmGMm
2211
=+
Khối tâm của hệ chất điểm M

1
, M
2
,
,M
n
lần lợt có khối lợng m
1
, m
2
,
, m
n
l điểm G xác định bởi đẳng
thức:
0GMm GMmGMm
nn2211
=+++
0GMm
n
1i
ii
=

=
1.1. Định nghĩa
§èi víi mét gèc O
M
2
M

i
1.2. To¹ ®é khèi t©m
G
O
i
r
r
G
R
r
GMrR
iiG
+=
r
r
GMmrmRm
iiiiGi
+=
r
r
∑∑∑
===
+=
n
1i
ii
n
1i
ii
n

1i
Gi
GMmrmRm
r
r
∑∑
==
=
n
1i
ii
n
1i
Gi
rmRm
r
r
∑
∑
=
=
=⇒
n
1i
i
n
1i
ii
G
m

rm
R
r
r
M
i
(x
i
,y
i
,z
i
)
R
G
(X
G
,Y
G
,Z
G
)
∑
∑
=
=
=⇒
n
1i
i

n
1i
ii
G
m
xm
X
1.3. VËn tèc khèi t©m
∑
∑
∑
∑
=
=
=
=
==
n
1i
i
n
1i
ii
n
1i
i
n
1i
i
i

G
m
vm
m
dt
rd
m
dt
Rd
r
r
r
∑
∑
=
=
=⇒
n
1i
i
n
1i
ii
G
m
vm
V
r
r
G

n
1i
i
V).m(K
rr
∑
=
=⇒
∑
=
=
n
1i
ii
vmK
r
r
Tæng ®éng
l−îngcñac¶hÖ
Tæng ®éng l−îng cña c¶ hÖ = ®éng l−îng cña
mét chÊt ®iÓm ®Æt t¹i khèi t©m, cã khèi l−îng
b»ng tæng khèi l−îng c¶ hÖ, cã vËn tèc b»ng vËn
tèc cña khèi t©m cña hÖ
1.4.Phơng trình chuyển động của khối tâm
Hệ chất điểm M
1
, M
2
, ,M
n

có khối lợng m
1
, m
2
, , m
n
n21
a, ,a,a
r
r
r
Có gia tốc
n21
F, ,F,F
r
r
r
Chịu tác dụng lc
iii
Fam
r
r
=


=
=
=
n
1i

i
n
1i
ii
G
m
vm
V
r
r


=
=
=
n
1i
i
n
1i
i
i
G
m
dt
vd
m
dt
Vd
r

r
FFam
n
1i
i
n
1i
ii
rr
r
==

==
Đối với chất điểm thứ i:
Lấy tổng cho cả hệ:
Khèi t©m cña hÖ chuyÓn ®éng nh− chÊt ®iÓm cã
khèi l−îng b»ng khèi l−îngcñahÖvμ chÞu t¸c
dông cña mét lùc b»ng tæng hîp ngo¹i lùc t¸c
dông lªn hÖ.
∑∑
∑
==
=
==
n
1i
i
n
1i
i

n
1i
ii
G
m
F
m
am
A
r
r
r
FA).m(
G
n
1i
i
r
r
=
∑
=
2. Chuyển động của vật rắn
Vật rắn l hệ chất điểm m vị trí tơng đối giữa
các chất điểm đó không thay đổi
2.1. Chuyển động tịnh tiến: Tại mỗi thời điểm tất
cả các chất điểm của vật rắn có cùng véc tơ vận
tốc v véc tơ gia tốc.
Hệ chất điểm M
1

, M
2
, ,M
n
có khối lợng m
1
, m
2
, , m
n
aa aa
n21
r
r
r
r
=
=
=
=
Có gia tốc
n21
F, ,F,F
r
r
r
Chịu tác dụng lực
1
Fa
r

r
=
1
m
2
Fa
r
r
=
2
m
n
Fa
r
r
=
n
m

Fa).m(
n
1i
i
r
r
=

=
Chỉ cần khảo sát chuyển động
của khối tâm của vật rắn

2.2. Chuyển động quay

r


r

r
r
t
a
r

v
r


Mọi điểm có quĩ đạo tròn cùng
trục
Trong cùng khoảng thời gian mọi
điểm cùng quay đi góc
Mọiđiểmcócùng vận tốc góc
=d/dt v gia tốc góc =d/dt=
d
2
/dt
2
Động học vật rắn quay quanh 1 trục:
rv
r

r
r
ì

=

ra
t
r
r
r
ì=
Tại mọi thời điểm v
của một điểm đợc xác định
t
a
r

v
r

3. Phơng trình cơ bản của chuyển động quay
của vật rắn quanh một trục cố định:

3.1.Tác dụng của lực
tn
FF
r
r
r

r
++=
z
FF
z
F
r

t
F
r

n
F
r

F
r
z
F v
r
r
n
F
đồng phẳng với trục
quay không gây quay vì
//
z
F
r

n
F
r

xuyên tâm
M
r
r
r
Trong chuyển động quay của vật rắn quanh
một trục chỉ có thnh phần tiếp tuyến với
quĩ đạo của điểm đặt mới có tác dụng thực sự
t
F
r

Mômen của lực
t
F
r
r
r
ì= rM
tt
F.rsin.F
=

=
r.M

r

ti
M
r

i
r
r

ti
a
r

ti
F
r


m
i
O
3.2. Phơngtrìnhcơbảncủa
chuyển động quay
Chất điểm thứ i
titi
Fa
r
r
= m

i
tiiti
Fra
r
r
r
r
ì=ì
ii
r m
).r(r)r.r.()r(ra
iiiiiiti
=ìì=ì
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
r
i
r
0).r(r
ii
=
r

r
r

titii
MFr.
r
r
r
r
=ì=
2
ii
rm


=
ti
M.)(
r
r
2
ii
rm
M
r
r
= I
Mômen của lực đối với trục quay
chính l mômen của lực đối với O -
giao điểm của trục với mặt phẳng của

quỹ đạo điểm đặt lực
t
F
r

M
r
r
=β I
I)( =
∑
2
ii
rm
M«men qu¸n tÝnh cña
vËt ®èi víi trôc quay
MM
ti
r
r
=
∑
Tæng hîp m«men cña c¸c lùc g©y quay
I
M
r
r
=β
Gia tèc gãc ~M vμ ~ nghÞch víi I
I <-> m vμ M<->F

3.3. TÝnh m«men qu¸n tÝnh cña vËt ®èi víi trôc
quay:
0
Δ

Thanh ®Òu: Khèi l−îng M, dμiL
2

L
2
-
L
dx
x
dx
M
.
L
x dI
2
=
12
ML
dx.
M
dx
M
.
2
2

L
2
L
2
L
2
L
===
∫∫
−−
22
0
x
LL
x I
2
MR
2
0
=I
R
2
0
MR=I
2
0
MR
5
2
=I

)ba(
12
M
22
0
+=I
a
b
0
Δ

Δ
2
0
MdII +=
2
Md
12
2
ML
dx.
M
dx
M
.
2
L
2
L
2

L
2
L
+=
−
+=
−
+=
Δ
∫∫
2
x)(d
LL
2
x)(d I
d
M«men QT cña vËt r¾n
®èi víi trôc bÊt kú =
§Þnh lý Stene-
Huyghen:
0
Δ
0
Δ
0
Δ

4. M«men ®éng l−îngcñahÖchÊt®iÓm
4.1. M«men ®éng l−îngcñahÖchÊt
®iÓm ®èi víi gèc O

HÖ chÊt ®iÓm M
1
, M
2
, ,M
n
cã khèi l−îng m
1
, m
2
, , m
n
n21
v, ,v,v
r
r
r
Cã vËn tèc
n21
r, ,r,r
r
r
r
VÞ trÝ ®èi víi gèc O
M«men ®éng l−îngcñahÖ®èivíiO
iiii
vmrLL
r
r
r

r
∑
∑
×==
M«men ®éng l−îng cña hÖ
chÊt ®iÓm quay quanh trôc Δ
∑
∑
ω==
i
iii
ILL
r
r
r
ω
=
ω
=
=
ω
=
ω
r
r
r
r
n21

M«men ®éng l−îng cña hÖ

lμ vËt r¾n quay quanh trôc Δ
∑
∑
ω==
i
iii
ILL
r
r
r
ω=ω=
∑
r
r
r
I).I(L
i
i
∑
∑
==
ii
2
iii
rmII
4.2. §Þnh lý vÒ m«men ®éng l−îngcñahÖchÊt
®iÓm
⇒μ= )F(
dt
Ld

i0/
i
r
r
r
MétchÊt®iÓm
∑∑
μ=
i
i0/
i
i
)F(
dt
Ld
r
r
r
dt
Ld
L
dt
d
dt
Ld
i
i
i
i
r

r
r
∑∑
==
M)F(
i
i0/
r
r
r
=μ
∑
M
dt
Ld
r
r
=
§¹o hμm theo thêi gian m«men ®éng
l−îng cña hÖ = tæng hîp c¸c m«men
ngo¹i lùc tdông lªn hÖ ®èi víi gèc O
Tr−êng hîp hÖ lμ vËt
r¾n quay quanh trôc Δ
ω=ω=
∑
r
r
r
I).I(L
i

i
⇒=
ω
= M
dt
)I(d
dt
Ld
r
r
r
∫
=−=Δ
2
1
t
t
12
dtMLLL
rrrr
tMLconstM Δ=Δ⇒=
r
r
r
M
dt
)I(d
r
r
=

ω
I=const
MI
r
r
=β⇒
§é biÕn thiªn cña m«men ®éng l−îng trong
kho¶ng thêi gian Δt b»ng xung l−îng cña
m«men lùc trong kho¶ng thêi gian ®ã
5. Định luật bảo ton mômen động lợng
5.1. Thiết lập: Hệ chất điểm chịu tác dụng
ngoại lực với mômen đối với gốc O bằng 0
0M
dt
Ld
==
r
r
constL =
r
Hệ cô lập, M
/O
=0
-> L=const
5.2. Hệ quay quanh một trục cố định
0M)I II(
dt
d
nn2211
==+++

r
rrr
constI II
nn2211
=+++
r
r
r
5.3. ứng dụng: Hệ quay quanh
một trục cố định với vận tốc
góc không đổi
cons
t
.I
=

GhÕ Giukèpxki quay quanh mét trôc cè ®Þnh
0constII
2211
==ω+ω
r
r
2
11
2
I
'I
'
ω
−=ω

r
r
11
I ω
r
cña b¸nh xe
22
I ω
r
cña ng−êi & ghÕ
2
'
ω
r
1
'
ω
r
6. Con quay trôc quay tù do
A
A’
B
B’
C
C’
Con quay C¸c ®¨ng
L
r
L
r

L
r
Δ
'L
r
M
r
Con quay ®ang quay
quay ngang
7.1. C«ng vμ c«ng suÊt cña lùc t¸c dông trong
chuyÓn ®éng quay cña vËt r¾n
ds.FdA
t
=
dα
ds
t
F
r
M
r
Δ
ds = r. dα
α
=
α
= d.Md.F.rdA
t
ω=
α

== M
dt
d
.M
dt
dA
P
ω=
r
r
.MP
7. C«ng vμ ®éng n¨ng cña vËt r¾n
7.2. §éng n¨ng trong tr−êng hîp vËt r¾n quay
Δ
ω=
r
r
.MP
dα
ds
t
F
r
M
r
ω
r
dtMdt.PdA ω==
r
r

ω
ω
=
β
ω= dIdtIdA
2
I
2
I
A
2
1
2
2
2,1
ω
−
ω
=
2
I
2
ω
W
®
=
§éng n¨ng vËt r¾n l¨n kh«ng tr−ît = §éng
n¨ng chuyÓn ®éng tÞnh tiÕn + §éng n¨ng
chuyÓn ®éng quay:
2

I
2
mv
22
ω
+=
W
®